三角形大题100道含答案

三角形大题100道

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第I卷(选择题)

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第II卷(非选择题)

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一、解答题

1.在中，内角A,B,C的对边分别为叫b,c,且18。的面积为

—(b2+c2-a2).

⑴求A的值；

(2)若cos8=今=c=6,求6.

2.已知△ABC的角A,B,C对边分别为a,b,c,且bcosA+〃cosB=0(3cosA-l).

⑴求cosA；

(2)若丽.衣=-10,求△ABCf勺面积S的值.

3.在“18。中，内角A,B,C的对边分别为。，b,c,已知.芋A二二产.

sinB-sinCb-a

(1)求角C的大小；

(2)若cosA=乎，求sin(2A-C)的值.

4.在中，角A,从C的对边分别为mb,c,已知5为锐角，且

[a2+c2-Z>2)tanB=Sac.

(1)求B；

⑵若AABC的面积为26,〃+c=®，求外接圆的半径.

5.在△A4C中，内角A,B,C的对边分别为mh,c,且

GsinC+cosC=sin8+sinC

sinA

⑴求角A;

(2)若AABC是锐角三角形，旦c=4,求。的取值范围.

6.在aABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知cos8=f.

3c

(1)证明：tan5=2tanC；

(2)若8=1,求△ABC面积的最大值.

7.在“1BC中，点。在A8上，C。平分ZAC8,已知DB=2,DC=3,NBQC=60。

⑴求BC的长;

(2)求sinA的值.

8.AABC的内角A、5、C的对边分别为“、b、c,若6+4€osA(acosC+ccosA)=0.

⑴求8sA的值；

-----------3

(2)若a=4,ABAC=~.求“ABC的周长.

9.在ZiABC中，2ccosA=2Z?-a,tan+tanC+1=tanAtanC.

⑴求8的大小；

(2)在下列三个条件中选择一个作为已知，使AABC存在且唯一确定，并求出A8的长.

①辰二岳：②48截得角C的角平分线的线段C。长为1；③面积为%18c=等.

10.设“IBC的内角A,B,C的对边分别为。，b,c,力=〃tanB,且A为钝角.

JT

(1)证明：A-B=-；

⑵求sin3+sinC的取值范围.

11.已知。=(sinx,sinx),力=(sinx,-Vicosx),f(x)=ab

⑴求人r)的单调递增区间；

3

(2)AA8C中，角A,B,C所对的边为a,b,c.若f(A)=/,a=4,求AABC周长

的取值范围.

cin/?resR

12.己知△45C的内角A,B,C的对边分别为"，b,J已知华+笔=上.

sinAcosAa

⑴求A；

⑵若。=2,。为BC的中点，A£)2=4B.AC,求AMC的面积.

13.记IBC的内角AaC的对边分别为〃力,％B=y,且

(sinA+sinB)sinC+cos2C=1

⑴求证5a=3c；

(2)若“18。的面积为156，求J

4

14.AABC内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知cosC=g,

sinA+sinC=2sinB.

⑴求J

(2)求cos3的值.

15.在锐角△ABC中，角A,B,C的对边分别为〃，b,c且

cos2C—cos2A=y/3sinAsinB—sin2B.

(I)求C的大小；

⑵若c=l,求从-您的取值范围.

16.在△ABC中，角4,在。所走的边分别为仇c,已知ccosA+(a+2Z?)cosC=0.

⑴求NC的大小；

(2)AA8C的面积等于46，。为3c边的中点，当中线A。长最短时，求48边长.

17.在AABC中，内角A,B,C的对边分别是叫b,c,已知

(q+Z?)(a_/?)=(a_c)c且满足力=26.

⑴若a+c=4,求AABC的面积;

(2)求a+c的取值范围.

卜in(?+工/行sinx(>"si

18.已知向量。=,b=sin若函数/(x)=a3

⑴求/闺的值;

⑵在^ABC中，若/(9)=1，求sinB+sinC的最大值.

19.设△A8C的内角A,B,C所对的边长分别为〃，b,c,向量

w=(cosAcosC),n=(gc-2b,y/^a),且而

(1)求角A的大小；

(2)若角8=£,BC边上的中线AM的长为"，求AABC的面积.

6

20.已知AA8c的外接圆的半径为R=2百，角AB,C的对边分别为a尻c,又向量

in=(sia4-sinC,由(方一a)),l"A+sinC,曙｝且蔡..

(1)求角C；

⑵求的面积S的最大值，并求此时“BC的周长.

21.在AABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,且

在下面的三个条件中任选一个补充到上面的问题中，并给出解答.

®2a—b=2ccosB,(2)sin[C+7|=cosC+—,-(a-c,b-a),n-(a+c,b),

m.Ln-

⑴求角c；

(2)若c=V5,求AABC周长的取值范围.

22.锐角△ABC中，角A、6、C所对的边分别为。、〃、c,且

a八人

------=tanB+tanC.

ccosB

(1)求角C的大小；

(2)若边c=2,边AB的中点为D,求中线8长的取值范围.

23.在AABC中，角A、8、。所对的边分别为。、b、c,有以下条件：

①2cos8(acosC+ccosA)=b；②cos2A+cos2C-cos2B=1-sinAsinC.请从以上条件

中，任选一个解答下列问题.

(1)求角B;

(2)若力=",△ABC的面积为更，求AABC的周长.

2

24.在IBC中，角人仇。所对的边分别为。也。，且2bcosA=ccosA+acosC

(1)求角A的大小；

(2)若”=\/7,>+c=4,求he的值.

25.若帆=(疯山,8&¥),〃=(8瓢83),%£]<,且/(X)=〃；6.

⑴求了(X)的解析式

(2)在AABC中，角4B、C所对的边分别为。、b、c,且a=l,"c=2J(4)=l,求

△A8C的面积.

26.己知函数/(x)=2cosMsinx-cosx)+〃2(〃2wR),将y=/(x)的图像向左平移(个

单位后得到y=g(x)的图像，且在区间0彳内的最大值为友.

(1)求实数，〃的值；

3

(2)在AABC中，角A、B、C所对边的分别是。、b、c、若g(：8)=l,且a+c=2,

4

求AABC的周长/的取值范围.

27.在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别是小b,c,已知tanA=号底

l-V2cosC

(1)求驾;

sinB

⑵若2c=6，且“IBC的面积为叵，求边长。

4

28.在448c中，角A,B,C的对边分别为小b,c,若

b(a-ccosB)=a(b-ccosA),判斯△ABC的形状

29.已知a,b,c为锐角的内角A,B,C的对边，满足acosA+»cos3=c.

⑴证明△ABC为等腰三角形；

(2)若“18C的外接圆面积为不，求生士史竺的范围.

a

30.已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为“，b,c,向量所=S,a+c),

n=(b-c,c-a),mln.

⑴若a=8,ABAC=S,。为边8c的中点，求中线A。的长度：

(2)若E为边BC上一点,且AE=1,BE:EC=2c:b,求%+c的最小值.

31.已知8c中，角A,B,C的对边分别为mb,c,且&戾1nA-c=b-a

sinA+sinBsin(A+B)

⑵若6=46，。为外一点，如图，且O=2A,DC=2,ABCQ的面积为4&,

求c.

32.在AABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,且向+c=2b

⑴求8sB的最小值；

⑵若加sinA=(2Z?-c)sinB+(2c-Z?)sinC,求角C.

33.在•中，a,b,。分别是角A,B,C的对边，向量而=(2a+c,b),

/7=(COSB,COSC),且而

⑴求8

(2)若b=G，求AABC的外接圆的面积.

34.已知一个三角形的两个内角分别是45。，60°,它们所夹边的长是1,求最小边

长.

35.已知锐角三角形ABC的内角A、B、C的对边分别为。、b、c,且

asinA+csinC=bsin8+csinA.

⑴求角3；

(2)求2cosig+sinl^+c)的最大值.

36.如图，在中，。是AC边上一点，NA8C为钝角，NDBC=90。.

(1)证明：cosZADB+sinC=0；

(2)若AB=2",BC=2,再从下面①②中选取一个作为条件，求△相£)的面积.

①sinNH5C=^^;®AC=3AD.

14

注：若选择两个条件分别解答，则按第一个解答计分.

37.在锐角8c中，a,b,c分别是内角A,B,C的对边，

Gccos'+♦=sinA(acosB+bcosA).

2

⑴求A:

⑵若b=l,求。的取值范围.

38.在“IBC中，角A,B,。所对的边分别为a,b,c,且asin2E+Z?sinA=0.

⑴求角&

(2)若。=2,A为的最小角，求AABC周长的取值范围.

39.®®ccos£?+/>cosC=——,®2c-b=2acosB,③也，=tan8+tanA这三

2cosAacos8

个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题.

在△ABC4«,内角A、B、C的对边分别为。、b、c,且满足.

(1)求角A；

(2)^—sinB+fc-^cos

B=币，b—c=2,求8C边上的高.

2)

4°.在①焉M=冷’②>篝M③2s=&瓯而’这三个条件中任

选一个，补充在下面的横线上，并加以解答.

在中，角A,B,C的对边分别是mb,c,S为的面积，若

(填条件序号)

⑴求角C的大小；

(2)点。在CA的延长线上，且A为8的中点，线段8。的长度为2,求AABC的面积

的最大值.

41.已知△ABC的内角A、B、C的对边分别为。、b、c,且“16。的面积为

75(a2+b2-c2)

4

⑴求“；

⑵若4=NC的角平分线CE与边AB相交于点E,延长CE至点。，使得

CE=DE,求8SZA£>8.

42.在“IBC中，内角A,B,C的对边分别为“，b,。，且

(sinB-sinC)2=sin2A-sinBsinC.

⑴求角A；

(2)若人=5,BC边上的高为随,求边J

7

/a3

43.已知/(x)=^-sin2x+cos2x-^.

⑴求/(x)的最小正周期和单调减区间；

(2)在△4BC中，=0为8C中点，AD=g,求△48C面积的最大值.

44.如图，在四边形48CQ中，AB=2,AC=J1,AD=20

(1)求sinZ.BCA；

⑵求80.

45.在锐角△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知①

tan+tany=4,②3•国=26工谢，③

(sinC+sinB)(sinC-sinB)=sinA(sinA->/3sinB),从这三个条件中任选一个，回答下

列问题，

⑴求角C；

(2)若c=l,求面积的取值范围.

46.请从下面的三个条件：①asin空C=〃sin4；@bsinA=acos(B-7);③

26

a?+c?2="cosA+a28s8中任选一个，补充在下面的横线上，并加以解答.

已知三角形A8C的内角A,B,C所对的边分别为。，b,c,。=3,c=4,.

⑴求角8的大小；

⑵若M为边AC上一点，且8M为NA8C的平分线，求8M的长.

47.在△ABC中，/(x)=2sinAcos2y+cosAsinx,l^CCB^-^-c2

(1)8=120。，g(x)=2J(2x),求尸g(x)的最值与单调区间

(2必屋,求8的大小.

32

48.在A48C中，内角4,B,C的对边分别为a,b,c,且csinA-岛cosC=0.

⑴求角。的大小；

(2)若AABC是锐角三角形，且而=2,求人的取值范围.

49.已知圆内接四边形ABC。中，AB=3,BC=1,AD=CD=2.

(1)求8。的长及该外接圆的面积:

(2)求/ADC的正弦值

50.已知第由“1BC中，内角AB,C所对的边分别为且满足

(sinA+sinB+sinC)(sinA+sinB-sin。)

=3

sin人sinB

(I)求角C的大小;

(2)若边长c=逐，求△ABC的周长取值范围.

51.如图，在平面凸四边形A8C。中(凸四边形指没有角度数大于180的四边形),

AB=2,BC=5,CD=6.

，求A。；

⑵已知4Q=3,记四边形/IBCQ的面积为S.

①求S的最大值;

②若对于常数几，不等式SN久恒成立，求实数丸的取值范围.(直接写结果，不需要

过程)

52.在△ABC中，角A,B,。的对边分别为a,b,c,

(sin8+sinC)"-(2+6卜inBsinC=sin2A,且“二6.

⑴若b=2,求cosC；

(2)若cosC=立，求6.

3

53.设IBC的内角A,B,C所对边的长分别为。，Z?,c,且

Z?sinC=csinB+2cosA-1

(1)求角A的大小:

⑵若8=2,c=l,。为48的中点，求C。的长.

54.在锐角中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,ABAC=b+C~~t

4cosA

⑴求A;

(2)若。为BC的中点，且AABC的面积为些，AB=2,求4。的长.

2

55.已知AABC内角A,B,。的对边分别为a,b,c,b=c=4,且满足

sinC-\/3sinB=sin(4-fi).

⑴求角4

(2)点P为“IBC内一点，当/3户。=彳时，求△8PC面积的最大值.

(Gsin；,2),亓=(2cos5,cos2：),/(x)=而万

56.已知向量历

⑴若/(x)=2,求cos(x+q)的值;

(2)在“IBC中，角A、B、C的对边分别是久b、c,且满足

(2a-cosB=y/ibcosC,求/(A)的取值范围.

57.在AABC中，a,"c•分别为内角A,6,C的对边，若

siMsinBsinC=^-(sin2i4+sin2B-sin2C).

⑴求C;

(2)若°=退，求AABC周长的取值范围.

58.在“IBC中，内角4,B,。所对的边分别为mb,c,且满足加4=且，

25

丽•/二6.

(1)求“13。的面积；

(2)若6=5,求BC边中线的长.

59.在AABC中，内角A,B,。所对的边分别为a,b,c,且c=6：

2x/3tan-+—!—=2

22C

cos—

2

(1)求角。的大小；

⑵若一，求的周长，从下列三个条件中任选1个，补充在上面问题的横线

中，然后对问题进行求解.

①“18c的面积为36sinA,②2acosC+2cosA二运，③通便-丽)=容

注：如选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

60.已知,其中4=(sin2%,2cosx),b=(\/3,cosx)(x€R).

(1)求〃丫)的最小正周期和最小值；

(2)在AABC中，角A、B、。的对边分别为。、b、c,若/用=@b2=ac^求

61.在中，角A,B,C所对边分别为。，b,c,且

8cosC(acosB+Z?cosA)=c.

(1)求cost?的值；

(2)已知ZAC8的平分线交AB于点£),若八钮:。的面积是面积的2倍，且

8=1,求“IBC的面积.

62.△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b.c,且面积为当十。?一/)

cos(/4+B)>0.

(1)求角8的大小

(2)求£的取值范围

a

63.AABC的内角A、B、C所对的边分别为。、b、c,力sinA=J3acos8.

⑴求B：

(2)若。是AABC的外接圆的劣弧4c上一点，且a=3,c=4,AD=[,求8.

64.已知向量a=(6sinx,cosx),b=(2cosx,2cosx),函数=a

⑴求函数/(力在[o,5上的最大值；

(2)若“IBC的内角A、B、C所对的边分别为。、b、J且=a=\,求

△A8C的周长的取值范围.

3

65.在△ABC中角A8,C的对边分别为a,"c,已知cosA=1.

Uliuuu

(1)若的面积为3,求84XC的值；

(2)设而=(2sin*l),G=(cos&cos3且而/启，求sin(B-C)的值.

66.如图，在四边形A8CD中，5£><4O,sin佶—/A卜os传+4)=；.

(2)若AB=G,A。=3,CO=1,/C=2ZCBD，求四边形ABCD的面积.

67.△ABC的内角A,B,。的对边分别为小b,c/ABC的面积为S,若

4as=(2b-a)(a2+b2-c2).

tanA

(1)求角C；

⑵求sinA+sin4的取值范围.

68.在△ABC中，内角A,B,。所对的边分别为a,b,c,且满足

cr+b2-c2=a2cosC+accosA■

A

13

(1)求角C的大小；

(2)如图，若6=2方，E为BC的中点，△0龙的面积为Q,ZXCQE的周长为6,

求AB边的长度.

69.在△相€?中，角A、氏C、对应的边分别为4瓦&。=五，b=BB=y

⑴求sin(A+J

⑵求/(x)=28s4Ccos2x+siiu的最小值.

70.在△川(7中，角4,B,C所对的边分别是mb,c,已知

2sinA-sinCa2+b2-c2

sinCa2+c2-b2'

⑴求角B的大小及y=sir4+si/C的取值范围；

(2)设。是AC上一点，且4O:DC=1:2,瓦)=1,求〃+3c的最大值；

71.在AA"1中，内角4R,C所对的边分别为〃，h,ct^6rsin5=/?cosM--^J.

⑴求角4

⑵若茹=2反，且AO=2,求△ABC面积的最大值.

72.记aABC中，a,b,c分别是角A,B,。所对的边，Kc=Z?cosA+asinB.

⑴求8；

(2)若b=4,点”为AC边的中点，且|丽|=2应，求的面积.

73.在AABC中，a,b,c分别为角A,B,C的对边，已知®sin('+A)=asinB.

⑴求角A的大小；

(2)若b,a,c成等比数列,判断△ABC的形状.

74.在“BC中，角4、B、。的对边分别为a、b、c,且满足/一片—'2+屏c=0,

2bsinA=atBC边上中线AM的长为近.

⑴求角A和角B的大小；

⑵求AABC的面积.

75.已知a,b,c分别为AABC的三个内角A,B,C的对边，a=石，且

(x/5+b)(sinA-sin5)=(c-b)sinC.

⑴求角A

(2)若AABC为钝角三角形，求“8C周长的取值范围.

76.已知△ABC的面积为S,店角A,B,C所对的边分别为小b,c,且

4S=j3（b2-a2-c2）.

(1)求8的大小；

(2)若ADu'lAC,且B£)=2,求S的最大值.

77.A4BC的内角4,B,C的对边分别为。，b,c,且tanA-tan8=叫且.

cosA

(1)证明：A=2B.

(2)若c=4,且△/$(?为锐角三角形，求AABC面积的取值范围.

78.在△A8C中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c且ccosB+6cosc=%8sB.

(1)求8sB的值：

(2)若-调=2,△A3C的面积为2&，求边儿

79.设函数/(%)=；]；,其中向量肩=(2cosx,l),n=(cosx,75sin2x)(xe/?).

⑴求/1(x)的最小值；

(2)在△ABC中，a,by。分别是角A,B,。所对的边，已知/(A)=2,b=l,A

ABC的面积为立，求.?+'=的值.

2sinS+sinC

80.为迎接2022年的亚运会，城市开始规划公路自行车比赛的赛道，该赛道的平面示

意图为如图所示的五边形ABCZJE.运动员在公路自行车比赛中如出现故障，可以在本队

的器材车、公共器材车或收容车上获得帮助，也可以从固定修车点上获得帮助.另外，

为满足需求，还需要运送一些补给物品，例如食物、饮料、工具和配件.所以项目设计需

要预留出赛道内的两条服务通80，BE(不考虑宽度)，己知七-。-。-8-4-七为赛

道，/BCD=NBAE.,NCBD=jCO=2疯m,DE=8km.

⑴若N6E=;，求服务通道M的长度；

(2)在(1)的条件下，应该如何设计，才能使折线赛道8-A-石最长(即8A+AE最

大)？最长为多少？

81.在△ABC中，角A,B,。所对的边分别是mb,c,AD为/胡C的角平分线，

己知c=2且/+/—从=[g—2s$A)bc,AD=|x/5

(1)求AABC的面积；

(2)设点E,产分别为边48,AC上的动点，线段E/交A。于G,且AAEF的面积为

△4BC面积的一半，求而•乔的最小值.

82.已知向量。=coscor-Lsinl^+2(arj石=(4sincor,2)其中s>(),记

2

/(1)=7况且八制的最小正周期为兀

⑴求了(X)的单调递增区间；

(2)在AABC中，角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且满足一：，求

/(C)的值.

83.在①sin8+：inC一②吟=丁*；这两个条件中任选一个，补充在下面

sia4b-ccosB2a-b

的横线上.并加以解答.

在△ABC中，角A,B,C所对的边分别是小b,c,且满足.

⑴求角C；

(2)若a=8,b=5,。在线段AB上，且满足而二,而，求线段CO的长度

84.如图，在AABC中，M是边8C的中点，tanZfiAA/=—,cosZAA/C=--.

57

(1)求角3的大小；

(2)若角NB4C=1,BC边上的中线A"的长为近，求的面积.

85.在锐角△ABC中，角A,B,。所对的边分别为〃，b,c,设S为的面

积，满足5=@(/+02-从).

⑴求角8的大小；

(2)求sinA$inC取值范围;

(3)如图所示，当sinAsinC取得最大值时，在AABC所在平面内取一点。，使得线段

DC=2tDA=\,求△BCD面积的最大值.

3一一27

86.在A48C中，已知C=2A,cosA=:二，BA-CB=------.

42

(I)求8sB的值；

(2)求AC的长度.

87.己知平行四边形A5C。中，4LO),5(O,1),C(2,5).

⑴求点。的坐标；

(2)设向量而与正夹角为6,求cos。的值；

(3)求平行四边形A8CQ的面积.

88.已知△48C的内角A,B,C的对边分别是a,b,c,且

2acos2C+2ccosAcosC+6=0.

⑴求角C的大小；

(2)若b=2sin8,求△ABC面积的最大值.

89.在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为。，且

(20、

sin2B+sin2C=sinA+——-sinBsinCsinA.

I3J

(1)求角A；

(2)若。=2,求面积的最大值.

万

90.AABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知力sinA=^〃.

2

⑴求角B的大小；

(2)若△ABC为锐角三角形，且a=2c,b=2遍,求的面积.

91.在AABC中，角A,B,。的对边分别为a,b,c,

c=26/sinCcosB4-22?sinCcosA,且sinCWsin8.

(1)求角。的大小；

(2)若8=f,且AABC的面积为4百，求AC边上的中线8。的长.

92.在“IBC中，角A,B,C的对边分别为。，b,c,«sin2B-Z?sinA=0.

(1)求8；

(2)若角月的平分线交AC于点D,RD=2,且4)=2CO,求b.

93.&.®a=(sin4,cosA),b-(-1,\/3)Ka1,②加8s4=)cosC+c8s8,③

asinB="8s(A-£］这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答该问题.

问题：锐角△/$(7的内角4及C的对边分别为，也c,。=4且.

⑴求A;

⑵求sin8+sinC的最大值.

94.如图，△ABC中，角A,B,。的对边分别为〃，b,c,且2a-c=2Z?8sC.

⑴求角8的大小；

(2)已知6=3,若。为AABC外接圆劣弧AC上一点，求AO+OC的最大值.

95.在“IBC中，角A,B,。所对的边分别为a,b,c,

«sinU--B)+bsinu—+A)=2ccosC.

3

(1)若sinA=g,a＜人，求cosB的值；

⑵若AABC的面积为6,求边长c的最小值.

96.在“IBC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,且_________.在下面的三个条

件中任选一个补充到上面的问题中，并给出解答.①为-b=2ccosB,②

sin(c+2)=cosc+g,③m=(a-c,b-a),n=(a+cyb),玩_L河.

⑴求角C：

(2)若。=石，求△ABC周长的取值范围.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

97.在AA8c中，内角A,B,。的对边分别为a,b,c,JGasin6-bcosA=b.

⑴求角A的大小；

(2)若8。为AC边上的中线，且比＞=2,求方+2c•的最大值.

98.如图，在凸四边形A8CO中，已知AB=4)=4,4C=6.

⑴若NAO8=S，C=£,求cos/BDC的值;

⑵若8=2,四边形A8CO的面积为4,求cos(A+C)的值.

99.在平面四边形A8CO中，已知乙48。二等乙ADC噎,AC平分42.

(1)若N8AO=q,AC=2,求四边形ABC。的面积；

(2)若C。=2,求tanNBAC的值.

/?sin?A

100.在△A3C中，角A,B,C所对的边分别是小b、c,-f=-----=a.

x/2一cosB

⑴求良

(2)若4ABC的面积为8心in(A+C),b=4,求a和c.

参考答案:

(2)4

【解析】

【分析】

(1)利用余弦定理及三角形面积公式得到;bcsinA=*反cosA,即可得到tanA,从而

求出A；

(2)根据同角三角函数的基本关系求出sin8,再根据两角和的正弦公式、诱导公式求出

sinC,最后利用正弦定理计算可得；

(1)

2

解：因为S.AHC=—(b+c2-«2)=叵bcssA，又S“8C另bcsinA，所以

ArtDV4'z22

—^csinA=—bccosA»所以tanA=G，又4e(0,万)，A=

223

⑵

解:因为cosB=sinB=71-cos2B=，

77

/.sinC=sin(乃—C)=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB

62疗103721

------X------------F—X--------=------------

272714

6x叵

由正弦定理4=一不，可得6=包?=一"

sinBsinCsinC3j21

14

2.⑴:

⑵遇

2

【解析】

【分析】

(1)由题及正弦定理可得，sinBcosA+sinAcosB=sinC(3cosA-1);利用诱导公式化简

可得3cosA-l=l,即可求得;

(2)先求出儿=15,利用三角形的面积公式直接求得.

(1)

对于bcosA+acos8=c(3cosA-l),

答案第1页，共93页

由正弦定理可得，sinBcosA+sinAcosB=sinC(3cosA-1)即sin(A+B)=sinC(3cosA-1).

因为A+8+C=4,所以sin(4+/?)=sinC,所以sinC=sinC(3ccs人一1).

2

因为。£(0,乃)，所以sinC工0,所以3cosA-l=l,所以cosA='.

(2)

因为胡"=-10，所以仇*8SA=1(),所以bc=15.

2

因为cosA=3,所以sinA=A/1-CDS2A

.A1x/55^

..5C.=­Z?csinA=—xl15Cx——=-----♦

3Ancr2232

3.(1)C=1

⑵2氏6

6

【解析】

【分析】

(I)利用正弦定理化简.:nA="£,得/+。2一。2二"，再利用余弦定理进行计

sinB-sinCb-a

算即可求解

(2)由cos4=且，得sinA=Jl-cos2A=走,进而利用倍角公式和和差公式进行求解即

33

可

⑴

sinA_b+c

sin4-sinCb-a

由正弦定理得，言b+c

b-a

化简得/+/一寸=".

由余弦定理得，cosC=a———.

2ab2

7F

又0＜。＜乃，AC=y.

⑵

由cosA=—,得sinA=\!\-cos2A=

33

2^21

**«sin2A=2sin4cosA=------,cos2A=2cos2A-l=--

33

答案第2页，共93页

TVTV2V2+V3

：.sin(2A-C)=sinl2A--|=sin2Acos--cos2i4sin—=

3336

4.(1)«=|

(2)R=2.

【解析】

【分析】

(1)利用余弦定理化简已知即得解;

(2)先利用余弦定理求出〃=2后，再利用正弦定理得解.

(1)

解:由(a2+c2—b2)tan8=6ac,得8s八正3=4_=走浊

2ac2tanB2sinB

因为8为锐角，所以sin4=立，所以B=f.

23

(2)

解：由条件得52时=3讹4118=26,得讹=8,

222

由余弦定理可得〃=a+c-2accosB=(a+c)-3act

因为a+c=6b，所以从=3从一3讹=劝2—24,解得6=26，

2"上=递=4

设“1BC外接圆的半径为七则一sinB一直一，所以R=2.

T

5.(l)y;

(2)(2,8).

【解析】

【分析】

(1)根据GsinC+cosC=sm8+：mC,利用三角恒等变换公式即可求A；

sinA

(2)根据A和△4BC为锐角三角形求出。的范围，根据正弦定理表示出儿根据三角函数范

围即可求b的范围.

⑴

*/V5sinC+cosCsinB+sinC

sinA

答案第3页，共93页

Gsin4•sinC+sinA•cosC=sin8+sinC

V5sinAsinC+sinA-cosC=sin（A+C）+sinC

•75sinAsinC+sinAcosC=sinAcosC+cosAsinC+sinC

V5sinAsinC=cosAsinC+sinC

•.•C£（O,/r）,/.sinC*O,

:.y/3s\nA=cosA+1

GsinA-cosA=1

2sin（A一看

sinf4-y=—1

2

n5万

丁Ae（0,万）,A——€

6~6'~6

.n7r.it

A---=一,A=一

663

⑵

Ag・M+C咛'；・C言—B,

.八l乃八247T7T7T

•••△44C是锐角三角形,..0<C<—=>0<-------—=—<B<-

23262t

同理，J<C<三

o2

根据正弦定理得,

cosC+—sinC

bc4sinB_4sin（A+C）22石，

-----✓D=---------=------------------------------------^=2+

sinBsinCsinCsinCsinCtanC

冗c冗一

一<C*v—=>tanC>>=>o<-L<G=be（2,8）.

62V3tanC

6.(1)证明见解析

【解析】

【分析】

(1)由正弦定理化边为角，然后由诱导公式、两角和的正弦公式、商数关系可证;

答案第4页，共93页

(2)由S=；〃csin3把面积表示CM的关系式，再由余弦定理得出关系，从而把S表示

不。的函数，结合二次函数的性质可得最大值.

(1)

cos5=*,即a=3ccos8,由正弦定理得sinA=3cosBsinC,VA+B+C=/r,:.

3c

sin(B+C)=3cosBsinC,

/.sinBcosC+cosBsinC=3cosBsinC,sinBcosC=2cosBsinC,Sin=2-Sin,

cosCcosC

即tail5=2tanC.

⑵

由已知得sinB=—cos?B=J1-工,，,AABC的面积

V9c2

S=-acsinB=-ac.l--=—\l9a2c2-a4,

22V9c26

由余弦定理知cosB='-从=f,整理得3c2=3—/,.・.

2ac3c

S=\&2(3一*一〃4='4-4八9a2.

当时，S取得最大值，最大值为J

OO

7.⑴万

⑵粤

【解析】

【分析】

(1)利用余弦定理求出8C；(2)先用正弦定理求出sin=叵，利用同角三角函数

7

平方关系求出COSNOC3=2且，再用正弦的差角公式求出答案.

7

(1)

依题意，由余弦定理得：BC?=DB，+DC?-2DB-DCss/BDC

=4+9-12xi=7,

2

解得：BC=y/7

答案第5页，共93页

⑵

BCDB

依题意，由正弦定理得:

sinZBDC~sinZDCB

所以—笔等

因为O3<0C,所以/DC8为锐角,

所以cosNDCB=Vl-sin2ZDCB=月孚

因为ZBDC=ZA+ZDCA,

所以ZA=NBDC—ZDCA=NBDC-NDCB,

所以sinA=sin(60°-NDCB)=sin60°cosZDC£?-cos60°sinZZX7£?

琳2>/71VITV21

=------X-----------------X---------=----------.

272714

8.(l)cosA=--

4

⑵9

【解析】

【分析】

(1)利用正弦定理化简可得cosA的值；

(2)利用平面向量数量积的定义可求得从的值，由余弦定理可求得b+c的值，即可求得

△