2025届河南省周口市川汇区两校高三联考一模数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1河南省周口市川汇区两校2025届高三联考一模数学试题一、单选题1.若复数在复平面内对应的点在直线x+y=0上，则（）A.2 B.2 C.1 D.【答案】B【解析】因为复数，所以复数在复平面内对应的点的坐标为，由复数在复平面内对应的点在直线x+y=0上，可得,,故选B.2.已知向量和的夹角为，且，则（）A.-10 B.-7 C.-4 D.-1【答案】D【解析】＝＝故选：D.3.若，则等于（）A. B.C. D.【答案】C【解析】因为，当时，，或，所以，所以，或，这时四个选项全对，当时，则.故选：C.4.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】当时，，则，所以，故选：C．5.已知等比数列的前项和为，若，，则（）A.16 B.64 C.112 D.32【答案】D【解析】设的公比为，由已知，可得，解得，所以.故选：D．6.已知函数且，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由题意知，当时，，得，又，所以方程无解；当时，，得，即，解得，所以.故选：D7.“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】根据不等式同向正数可乘性可得；但，不妨取，不能推出“”，故“”是“”充分不必要条件．故A正确．8.已知，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意知，可得，可得，又由.故选：C.9.曲线在点处的切线方程为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】，在点处的切线斜率，所求切线方程为：.故选：C.10.已知集合，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意且，，所以.故选：A.11.已知函数的导函数为和的定义域均为为偶函数，也为偶函数，则下列不等式一定成立的是（）．A. B.C. D.【答案】C【解析】根据题意，设，由于为偶函数，则，即，等号两边同时求导可得：，即，又由为偶函数，变形可得，故为常数），由此分析选项：对于A，由于不确定，不一定成立，A错误；对于B，，B错误；对于C，设，有，当时，，为增函数，当时，，为减函数，则有，故在R上恒成立，又由，为R上的增函数，则有，C正确；对于D，为偶函数，其图象关于轴对称，不能保证成立，D错误．故选：C．12.在矩形ABCD中，已知，E是AB的中点，将沿直线DE翻折成，连接，当二面角的平面角的大小为时，则三棱锥外接球的表面积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由已知，E是AB的中点，所以，又，，所以为等腰直角三角形，故为等腰直角三角形，取的中点为，则，因为，又，，所以同理可得，又，所以，取的中点为，连接，则，所以，所以为二面角的平面角，所以，因为，，，所以为等边三角形，取的中点为，则，因为，，，平面，所以平面，平面，所以，又，，平面，所以平面，因为直角三角形，为斜边，所以，所以为的外接圆的圆心，设为三棱锥外接球的球心，则平面，设，三棱锥外接球的半径为，则，若球心和点位于平面的两侧，延长到点，使得，因为平面，平面，所以，所以四边形为平行四边形，所以，，所以，所以，所以，，所以三棱锥外接球的表面积，若球心和点位于平面的同侧，因为平面，平面，所以，过点作，则四边形为平行四边形，所以，，所以，所以，所以，舍去，故选：A.二、填空题13.已知函数，若方程仅有两个不同的实数解，则的取值范围是___________.【答案】【解析】，令gx=则，故当时，，当时，，故f'x在上单调递减，在上单调递增，且当时，f'x又，故当时，f'x<0，当时，f'所以在上单调递减，在1,+∞上单调递增，所以，当时，；且当x∈1,+∞时，画出的图象如下：设，则，易知不是上述方程的解，则，画出的图象，①当时，，即原方程仅有一解，不符题意；②当时，，此时存在，使得，符合题意；③当时，无解，不符题意；④当时，，此时存在，使得，符合题意；⑤当时，方程的两个解满足，此时存在，使得，不符题意.综上，.14.如果，，那么=_______．【答案】【解析】因，，则，所以.15.若函数有两个极值点，则实数的取值范围是__________．【答案】【解析】令由于函数函数有两个极值点点在区间上有两个实数根．当时，，则函数在区间单调递增，因此在区间上不可能有两个实数根，应舍去．

当时，令，解得，

令，解得，此时函数单调递增；

令，解得，此时函数单调递减．

∴当时，函数取得极大值．要使在区间上有两个实数根，

则，解得．

∴实数的取值范围是（.16.设数列的前项和为，若，则数列的通项公式为_______.【答案】【解析】由Sn=2an+n（n∈N*），当n=1时，可得S1=2a1+1，即a1=﹣1．当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=2an+n﹣（2an﹣1+n﹣1）=2an﹣2an﹣1+1即an=2an﹣1﹣1可得：（an﹣1）=2（an﹣1﹣1）可得{an﹣1}是公比为2的等比数列，首项为﹣2．∴an﹣1=﹣2•2n﹣1．即an=﹣2n+1．三、解答题17.对于数列，，的前n项和，在学习完“错位相减法”后，善于观察的小周同学发现对于此类“等差×等比数列”，也可以使用“裂项相消法”求解，以下是她的思考过程：①为什么可以裂项相消？是因为此数列的第n，n＋1项有一定关系，即第n项的后一部分与第n＋1项的前一部分和为零②不妨将，也转化成第n，n＋1项有一定关系的数列，因为系数不确定，所以运用待定系数法可得，通过化简左侧并与右侧系数对应相等即可确定系数③将数列，表示成形式，然后运用“裂项相消法”即可！聪明的小周将这一方法告诉了老师，老师赞扬了她的创新意识，但也同时强调一定要将基础的“错位相减法”掌握．（1）（巩固基础）请你帮助小周同学，用“错位相减法”求的前n项和；（2）（创新意识）请你参考小周同学的思考过程，运用“裂项相消法”求的前n项和．解：（1）因为所以①则②所以①-②得：所以；（2）因为，设，比较系数得：，得，所以，所以.18.圆内有一点，AB为过点P且倾斜角为的弦．（1）当时，求AB的长；（2）当弦AB被点P平分时，写出直线AB方程．解：（1）圆的圆心，半径，因为，所以直线的斜率，所以，即，所以圆心到的距离，所以；（2）因为弦被平分，所以，又因为，所以，所以，即.19.我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休.”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，已知曲线C上任意一点满足.（1）化简曲线的方程；（2）已知圆（为坐标原点），直线经过点且与圆相切，过点A作直线的垂线，交于两点，求△OMN面积的最小值.解：（1），由得．所以曲线的方程是；（2）设，直线方程是，则直线方程为，即,直线与已知圆相切，所以，则，由得，，由题意（∵），，，∴或，，又原点到直线距离为，∴，由或得，设，，当且仅当时等号成立，，当且仅当时等号成立，∴时，，∴，即时，．20.2022年第12号强台风“梅花”9月8日自在西北太平洋洋面生成，至9月16日减弱为温带气旋停止编号，共历时8天，期间4次登录我国东部沿海。9月14日20时30分前后，在我国浙江省舟山普陀沿海首次登陆，登陆时中心附近最大风力14级，9月16日0时左右在山东省青岛市崂山区沿海第三次登陆，台风过境时带来的狂风暴雨天气，造成了人民生命、财产的巨大损失，受灾民众不惧困难，众志成城，积极开展抗灾、救灾，守护自己的美丽家园。某地受其影响普降暴雨，一大型堤坝发生了渗水现象，当发现时已有的坝面渗水，经测算，坝面每平方米发生渗水现象的直接经济损失约为300元，且渗水面积以每天的速度扩散．当地有关部门在发现的同时立即组织人员抢修渗水坝面，假定每位抢修人员平均每天可抢修渗水面积，该部门需支出服装补贴费为每人600元，劳务费及耗材费为每人每天300元．若安排x名人员参与抢修，需要k天完成抢修工作．（1）写出k关于x的函数关系式；（2）应安排多少名人员参与抢修，才能使总损失最小．（总损失＝因渗水造成的直接损失＋部门的各项支出费用）解：（1）由题意得，所以，，（2）设总损失为元，则当且仅当，即时，等号成立．所以，应安排22名民工参与抢修，才能使总损失最小．21.如图，平行六面体的底面是菱形，且．试用尽可能多的方法解决以下两问：（1）若，记面为，面为，求二面角的平面角的余弦值；（2）当的值为多少时，能使平面？解：（1）连接、设和交于，连接，作，垂足为，作，垂足为，连接．四边形是菱形，，又，．又，，△△，，，，又，，平面平面，又平面，．是二面角的平面角．方法一：∵，可得，，又．因为平面，故平面平面，而平面平面，平面，故平面，而平面，故，而，平面，故平面，而平面，故，∴．又，∴，∴．方法二：在中，．由余弦定理知，又，∴，∴，即．∴是中点，．方法三：∵，，∴，即．∴，∴，，．∴，故．（2）当时，能使平面．方法一：由前知平面，∴．当时，平行六面体的六个面是全等的菱形．同的证法可得，而平面，故平面．方法二：∵，∴．由题设可知三棱锥是正三棱锥，设与相交于．∵，且，∴．又是正三角形的边上的高和中线，∴点是正三角形的中心．∴平面，即平面．方法三：如图，沿面补一个全等的平行六面体．∴．若平面，则平面．∴．令．由余弦定理可知，．又，则，即．∴，解得或（舍）．由此可知当时，平面．方法四：如图，若平面，则与成的角．过作交的延长线于，则．四边形为平行四边形．设，，则．∵，∴．∴，．在Rt中，，即，∴，解得或（舍去）．由此可知当时，平面．方法五：记，菱形边长为．∵是菱形，∴．又，∴平面，得，要使平面，还需．由，则，得，即时成立．河南省周口市川汇区两校2025届高三联考一模数学试题一、单选题1.若复数在复平面内对应的点在直线x+y=0上，则（）A.2 B.2 C.1 D.【答案】B【解析】因为复数，所以复数在复平面内对应的点的坐标为，由复数在复平面内对应的点在直线x+y=0上，可得,,故选B.2.已知向量和的夹角为，且，则（）A.-10 B.-7 C.-4 D.-1【答案】D【解析】＝＝故选：D.3.若，则等于（）A. B.C. D.【答案】C【解析】因为，当时，，或，所以，所以，或，这时四个选项全对，当时，则.故选：C.4.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】当时，，则，所以，故选：C．5.已知等比数列的前项和为，若，，则（）A.16 B.64 C.112 D.32【答案】D【解析】设的公比为，由已知，可得，解得，所以.故选：D．6.已知函数且，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由题意知，当时，，得，又，所以方程无解；当时，，得，即，解得，所以.故选：D7.“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】根据不等式同向正数可乘性可得；但，不妨取，不能推出“”，故“”是“”充分不必要条件．故A正确．8.已知，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意知，可得，可得，又由.故选：C.9.曲线在点处的切线方程为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】，在点处的切线斜率，所求切线方程为：.故选：C.10.已知集合，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意且，，所以.故选：A.11.已知函数的导函数为和的定义域均为为偶函数，也为偶函数，则下列不等式一定成立的是（）．A. B.C. D.【答案】C【解析】根据题意，设，由于为偶函数，则，即，等号两边同时求导可得：，即，又由为偶函数，变形可得，故为常数），由此分析选项：对于A，由于不确定，不一定成立，A错误；对于B，，B错误；对于C，设，有，当时，，为增函数，当时，，为减函数，则有，故在R上恒成立，又由，为R上的增函数，则有，C正确；对于D，为偶函数，其图象关于轴对称，不能保证成立，D错误．故选：C．12.在矩形ABCD中，已知，E是AB的中点，将沿直线DE翻折成，连接，当二面角的平面角的大小为时，则三棱锥外接球的表面积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由已知，E是AB的中点，所以，又，，所以为等腰直角三角形，故为等腰直角三角形，取的中点为，则，因为，又，，所以同理可得，又，所以，取的中点为，连接，则，所以，所以为二面角的平面角，所以，因为，，，所以为等边三角形，取的中点为，则，因为，，，平面，所以平面，平面，所以，又，，平面，所以平面，因为直角三角形，为斜边，所以，所以为的外接圆的圆心，设为三棱锥外接球的球心，则平面，设，三棱锥外接球的半径为，则，若球心和点位于平面的两侧，延长到点，使得，因为平面，平面，所以，所以四边形为平行四边形，所以，，所以，所以，所以，，所以三棱锥外接球的表面积，若球心和点位于平面的同侧，因为平面，平面，所以，过点作，则四边形为平行四边形，所以，，所以，所以，所以，舍去，故选：A.二、填空题13.已知函数，若方程仅有两个不同的实数解，则的取值范围是___________.【答案】【解析】，令gx=则，故当时，，当时，，故f'x在上单调递减，在上单调递增，且当时，f'x又，故当时，f'x<0，当时，f'所以在上单调递减，在1,+∞上单调递增，所以，当时，；且当x∈1,+∞时，画出的图象如下：设，则，易知不是上述方程的解，则，画出的图象，①当时，，即原方程仅有一解，不符题意；②当时，，此时存在，使得，符合题意；③当时，无解，不符题意；④当时，，此时存在，使得，符合题意；⑤当时，方程的两个解满足，此时存在，使得，不符题意.综上，.14.如果，，那么=_______．【答案】【解析】因，，则，所以.15.若函数有两个极值点，则实数的取值范围是__________．【答案】【解析】令由于函数函数有两个极值点点在区间上有两个实数根．当时，，则函数在区间单调递增，因此在区间上不可能有两个实数根，应舍去．

当时，令，解得，

令，解得，此时函数单调递增；

令，解得，此时函数单调递减．

∴当时，函数取得极大值．要使在区间上有两个实数根，

则，解得．

∴实数的取值范围是（.16.设数列的前项和为，若，则数列的通项公式为_______.【答案】【解析】由Sn=2an+n（n∈N*），当n=1时，可得S1=2a1+1，即a1=﹣1．当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=2an+n﹣（2an﹣1+n﹣1）=2an﹣2an﹣1+1即an=2an﹣1﹣1可得：（an﹣1）=2（an﹣1﹣1）可得{an﹣1}是公比为2的等比数列，首项为﹣2．∴an﹣1=﹣2•2n﹣1．即an=﹣2n+1．三、解答题17.对于数列，，的前n项和，在学习完“错位相减法”后，善于观察的小周同学发现对于此类“等差×等比数列”，也可以使用“裂项相消法”求解，以下是她的思考过程：①为什么可以裂项相消？是因为此数列的第n，n＋1项有一定关系，即第n项的后一部分与第n＋1项的前一部分和为零②不妨将，也转化成第n，n＋1项有一定关系的数列，因为系数不确定，所以运用待定系数法可得，通过化简左侧并与右侧系数对应相等即可确定系数③将数列，表示成形式，然后运用“裂项相消法”即可！聪明的小周将这一方法告诉了老师，老师赞扬了她的创新意识，但也同时强调一定要将基础的“错位相减法”掌握．（1）（巩固基础）请你帮助小周同学，用“错位相减法”求的前n项和；（2）（创新意识）请你参考小周同学的思考过程，运用“裂项相消法”求的前n项和．解：（1）因为所以①则②所以①-②得：所以；（2）因为，设，比较系数得：，得，所以，所以.18.圆内有一点，AB为过点P且倾斜角为的弦．（1）当时，求AB的长；（2）当弦AB被点P平分时，写出直线AB方程．解：（1）圆的圆心，半径，因为，所以直线的斜率，所以，即，所以圆心到的距离，所以；（2）因为弦被平分，所以，又因为，所以，所以，即.19.我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休.”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，已知曲线C上任意一点满足.（1）化简曲线的方程；（2）已知圆（为坐标原点），直线经过点且与圆相切，过点A作直线的垂线，交于两点，求△OMN面积的最小值.解：（1），由得．所以曲线的方程是；（2）设，直线方程是，则直线方程为，即,直线与已知圆相切，所以，则，由得，，由题意（∵），，，∴或，，又原点到直线距离为，∴，由或得，设，，当且仅当时等号成立，，当且仅当时等号成立，∴时，，∴，即时，．20.2022年第12号强台风“梅花”9月8日自在西北太平洋洋面生成，至9月16日减弱为温带气旋停止编号，共历时8天，期间4次登录我国东部沿海。9月14日20时30分前后，在我国浙江省舟山普陀沿海首次登陆，登陆时中心附近最大风力14级，9月16日0时左右在山东省青岛市崂山区沿海第三次登陆，台风过境时带来的狂风暴雨天气，造成了人民生命、财产的巨大损失，受灾民众不惧困难，众志成城，积极开展抗灾、救灾，守护自己的美丽家园。某地受其影响普降暴雨，一大型堤坝发生了渗水现象，当发现时已有的坝面渗水，经测算，坝面每平方米发生渗水现象的直接经济损失约为300元，且渗水面积以每天的速度扩散．当地有关部门在发现