2024届河北省石家庄市部分重点高中高三上学期期末考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1河北省石家庄市部分重点高中2024届高三上学期期末考试数学试题一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因为，，所以；因为，，解得，所以，所以.故选：C.2.已知复数满足（为虚数单位），则在复平面内的共轭复数所对应的点在（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【答案】A【解析】由题意可知：，则的共轭复数为，其所对应的点为，在第一象限.故选A.3.一袋中装有大小､质地均相同的5个白球，3个黄球和2个黑球，从中任取3个球，则至少含有一个黑球的概率是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】根据题意，至少含有一个黑球的概率是.故选：B4.设，，则，，的大小关系为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】设，令得，所以函数在区间单调递增，因为，所以，即，，不等式两边同乘得，即.故选：B.5.数列是公差不为零的正项等差数列，为等比数列，若.则数列的公比为（）A.2 B.3 C.5 D.11【答案】A【解析】设的公差为，且，的公比为，因为，所以，则，因为，所以，所以的公比.故选：A.6.记抛物线的焦点为为抛物线上一点，，直线与抛物线另一交点为，则（）A. B. C.2 D.3【答案】C【解析】，由拋物线定义可知到准线距离为，即，解得，即抛物线方程为，不妨取，又，所以，联立，消去整理得，解得，即，则.故选：C.7.是直线上的一动点，过作圆的两条切线，切点分别为，则四边形面积的最小值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】圆的圆心，半径，点到直线的距离，显然，由于切圆于点，则，四边形的面积，当且仅当直线垂直于直线时取等号，所以四边形面积的最小值为.故选：B8.已知函数关于的方程有且仅有4个不同的实数根，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】当时，，当时，当时，，所以在单调递减，在单调递增.当时，，当时，，当时，，所以在单调递减，在单调递增，，时，.画出函数的图象，如下图所示，可得函数最小值为有四个不同的实数根，数形结合可知的取值范围是，故选：A.二、选择题:本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.为丰富优质旅游资源，释放旅游消费潜力，推动旅游业高质量发展，某地政府从2023年国庆期间到该地旅游的游客中，随机抽取部分游客进行调查，得到各年龄段游客的人数和对景区服务是否满意的数据，并绘制统计图如图所示，利用数据统计图估计，得到的结论正确的是（）A.游客中，青年人是老年人的2倍多B.老年人的满意人数是青年人的2倍C.到该地旅游的游客中满意的中年人占总游客人数的24.5%D.到该地旅游的游客满意人数超过一半【答案】ACD【解析】由扇形统计图可知青年人占比是老年人占比的2倍多，故A正确；其中满意的青年人占总人数的，满意的中年人占总人数的，满意的老年人占总人数的，故B错误，C正确；总满意率为，故D正确.故选：.10.已知函数的部分图象如图所示，则（）A.的单调递增区间是B.的单调递增区间是C.在上有3个零点D.将函数图象向左平移3个单位长度得到的图象所对应的函数为奇函数【答案】AC【解析】由图象得，周期，得，所以，．令，解得，故单调递增区间为．A正确，B错误；令，解得，令得，解得，可知C选项正确；函数图象关于直线对称，向左平移3个单位长度，图象关于轴对称，得到的函数为偶函数，故D错误．故选：AC．11.正方体中，为的中点，为正方体表面上一个动点，则（）A.当在线段上运动时，与所成角的最大值是B.当在棱上运动时，存在点使C.当在面上运动时，四面体的体积为定值D.若在上底面上运动，且正方体棱长为与所成角为，则点的轨迹长度是【答案】BC【解析】对于A，在正方体中，易知，所以与所成角等价于与所成的角，当为中点时，，此时所成角最大，为，故A错误.对于B，以为原点，为轴建立空间直角坐标系，设正方体棱长为1，，因为，，所以，故B正确.对于C，因为在面内，面到平面的距离等于，而三角形面积不变，故体积为定值，故C正确.对于D，因为棱垂直于上底面，且与所成角为，所以在中，，由圆锥的构成可知所在的轨迹是以为圆心1为半径的弧，轨迹长度是，故D错误.故选：BC.12.已知函数和是定义域为的函数.若，，且，则下列结论正确的是（）A.函数的图象关于直线对称B.C.函数的图像关于直线对称D.【答案】BC【解析】由可知的图象关于直线对称，C正确；所以，则①，令为，则②.的图象关于点对称，，令，故B正确；由①②可知，所以的图象关于直线对称.故错误；所以4是的周期，由，得，令，由①得是的周期.有2024项，故，故D错误.故选：BC.三、填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知角的顶点为坐标原点，始边为轴非负半轴，终边与单位圆交于点，若点沿着单位圆顺时针旋转到点，且.则__________.【答案】【解析】由三角函数定义知则.故答案为：14.等边三角形的边长是，分别是与的中点，则__________.【答案】【解析】.故答案是：.15.已知，则__________.（用数字作答）【答案】405【解析】对两边求导得：，令，可得.故答案为：.16.若不等式对任意恒成立，则的取值范围是__________.【答案】【解析】令，可知的定义域为，且在上单调递增，则在上单调递增，因为，则，即，结合的单调性可知，整理得在内恒成立，令，则，当时，，单调递增；当时，，单调递减；所以的最大值为，则，所以的取值范围是.故答案为：.四、解答题:本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.设的内角的对边分别为，且.（1）求角;（2）若，求面积的最大值.解：（1）因为，由正弦定理得，即，所以，因为，可得，所以，显然，所以，又因为，所以.（2）因为，由余弦定理可得，所以，当且仅当时取到号，故面积的最大值为.18.已知正项数列满足.（1）证明:数列是等比数列;（2）若，数列的前项和为.证明:.证明：（1）证明：因为，可得，即，且，可得，所以数列是首项为2，公比为2的等比数列.（2）由（1）可知，则，可得，则，因为，则，所以.19.杭州第19届亚运会，中国代表团共获得201金111银71铜，共383枚奖牌，金牌数超越2010年广州亚运会的199枚，标志着我国体育运动又有了新的突破.某大学从全校学生中随机抽取了130名学生，对其日常参加体育运动情况做了调查，其中是否经常参加体育运动的数据统计如下：经常参加不经常参加男生6020女生4010（1）利用频率估计概率，现从全校女生中随机抽取5人，求其中恰有2人不经常参加体育运动的概率；（2）依据小概率值的独立性检验，能否认为是否经常参加体育运动与性别有关联.参考公式：.0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828解：（1）由表格知：经常参加与不经常参加体育运动的女生比例为，所以，抽取到不经常参加体育运动的女生人数服从，故恰有2人不经常参加体育运动的概率.（2）由题设得列联表如下：经常参加不经常参加男生602080女生40105010030130故，所以，依据小概率值的独立性检验认为经常参加体育运动与性别没有关联.20.正方体中分别是的中点.（1）证明：平面；（2）求与平面所成角的正弦值.证明：（1）设正方体的棱长是2，以为坐标原点，为轴正方向，为轴正方向，为轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则，则，设平面的法向量为，则，令，则，所以，则，又平面，故平面.解：（2）由（1）知，是平面的一个法向量，设与平面所成角为，则，所以与平面所成角的正弦值为.21.已知函数.（1）时，求函数值域;（2）若在上有两个实数根，求实数的取值范围.解：（1）当时，函数，其定义域为，且，令，可得，当时，；当时，，所以在区间单调递减，在区间单调递增，所以当时，取得极小值，同时也是最小值，最小值，又因为时，，所以的值域为.（2）由在有两个实数根，则在有两个零点，又由，令，当时，恒成立，，在上单调递减，舍去；当时，解得或，有两个根，且，当时，在上恒小于，，单调递减，舍去；当时，，不妨设，则，时，，单调递增，时，，单调递减，且，则，令，可得，当时，，单调递减，且，所以，当时，，则，且，故使，故在上存在两个零点，综上，实数的取值范围为.22.已知椭圆的左、右焦点分别为、，离心率为，是椭圆上的点.（1）求椭圆的标准方程；（2）设为的左顶点，过的直线交椭圆于、两点，直线、分别交直线于、两点，是线段的中点，在轴上求出一定点，使得.解：（1）由椭圆过可得，可得，又因为，解得，，所以椭圆的标准方程为.（2）设点、，易知点、，若直线与轴重合，则、中必有一点与点重合，不合乎题意，设直线的方程为，联立可得，，由韦达定理可得，，直线方程为，在直线的方程中，令，可得，即点，同理可得点，则中点.因为，则点是在以为直径的圆上，以为直径的圆的方程为，在圆的方程中，令，得，.所以，即，又因为，所以，即，解得，所以点坐标为.河北省石家庄市部分重点高中2024届高三上学期期末考试数学试题一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因为，，所以；因为，，解得，所以，所以.故选：C.2.已知复数满足（为虚数单位），则在复平面内的共轭复数所对应的点在（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【答案】A【解析】由题意可知：，则的共轭复数为，其所对应的点为，在第一象限.故选A.3.一袋中装有大小､质地均相同的5个白球，3个黄球和2个黑球，从中任取3个球，则至少含有一个黑球的概率是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】根据题意，至少含有一个黑球的概率是.故选：B4.设，，则，，的大小关系为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】设，令得，所以函数在区间单调递增，因为，所以，即，，不等式两边同乘得，即.故选：B.5.数列是公差不为零的正项等差数列，为等比数列，若.则数列的公比为（）A.2 B.3 C.5 D.11【答案】A【解析】设的公差为，且，的公比为，因为，所以，则，因为，所以，所以的公比.故选：A.6.记抛物线的焦点为为抛物线上一点，，直线与抛物线另一交点为，则（）A. B. C.2 D.3【答案】C【解析】，由拋物线定义可知到准线距离为，即，解得，即抛物线方程为，不妨取，又，所以，联立，消去整理得，解得，即，则.故选：C.7.是直线上的一动点，过作圆的两条切线，切点分别为，则四边形面积的最小值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】圆的圆心，半径，点到直线的距离，显然，由于切圆于点，则，四边形的面积，当且仅当直线垂直于直线时取等号，所以四边形面积的最小值为.故选：B8.已知函数关于的方程有且仅有4个不同的实数根，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】当时，，当时，当时，，所以在单调递减，在单调递增.当时，，当时，，当时，，所以在单调递减，在单调递增，，时，.画出函数的图象，如下图所示，可得函数最小值为有四个不同的实数根，数形结合可知的取值范围是，故选：A.二、选择题:本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.为丰富优质旅游资源，释放旅游消费潜力，推动旅游业高质量发展，某地政府从2023年国庆期间到该地旅游的游客中，随机抽取部分游客进行调查，得到各年龄段游客的人数和对景区服务是否满意的数据，并绘制统计图如图所示，利用数据统计图估计，得到的结论正确的是（）A.游客中，青年人是老年人的2倍多B.老年人的满意人数是青年人的2倍C.到该地旅游的游客中满意的中年人占总游客人数的24.5%D.到该地旅游的游客满意人数超过一半【答案】ACD【解析】由扇形统计图可知青年人占比是老年人占比的2倍多，故A正确；其中满意的青年人占总人数的，满意的中年人占总人数的，满意的老年人占总人数的，故B错误，C正确；总满意率为，故D正确.故选：.10.已知函数的部分图象如图所示，则（）A.的单调递增区间是B.的单调递增区间是C.在上有3个零点D.将函数图象向左平移3个单位长度得到的图象所对应的函数为奇函数【答案】AC【解析】由图象得，周期，得，所以，．令，解得，故单调递增区间为．A正确，B错误；令，解得，令得，解得，可知C选项正确；函数图象关于直线对称，向左平移3个单位长度，图象关于轴对称，得到的函数为偶函数，故D错误．故选：AC．11.正方体中，为的中点，为正方体表面上一个动点，则（）A.当在线段上运动时，与所成角的最大值是B.当在棱上运动时，存在点使C.当在面上运动时，四面体的体积为定值D.若在上底面上运动，且正方体棱长为与所成角为，则点的轨迹长度是【答案】BC【解析】对于A，在正方体中，易知，所以与所成角等价于与所成的角，当为中点时，，此时所成角最大，为，故A错误.对于B，以为原点，为轴建立空间直角坐标系，设正方体棱长为1，，因为，，所以，故B正确.对于C，因为在面内，面到平面的距离等于，而三角形面积不变，故体积为定值，故C正确.对于D，因为棱垂直于上底面，且与所成角为，所以在中，，由圆锥的构成可知所在的轨迹是以为圆心1为半径的弧，轨迹长度是，故D错误.故选：BC.12.已知函数和是定义域为的函数.若，，且，则下列结论正确的是（）A.函数的图象关于直线对称B.C.函数的图像关于直线对称D.【答案】BC【解析】由可知的图象关于直线对称，C正确；所以，则①，令为，则②.的图象关于点对称，，令，故B正确；由①②可知，所以的图象关于直线对称.故错误；所以4是的周期，由，得，令，由①得是的周期.有2024项，故，故D错误.故选：BC.三、填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知角的顶点为坐标原点，始边为轴非负半轴，终边与单位圆交于点，若点沿着单位圆顺时针旋转到点，且.则__________.【答案】【解析】由三角函数定义知则.故答案为：14.等边三角形的边长是，分别是与的中点，则__________.【答案】【解析】.故答案是：.15.已知，则__________.（用数字作答）【答案】405【解析】对两边求导得：，令，可得.故答案为：.16.若不等式对任意恒成立，则的取值范围是__________.【答案】【解析】令，可知的定义域为，且在上单调递增，则在上单调递增，因为，则，即，结合的单调性可知，整理得在内恒成立，令，则，当时，，单调递增；当时，，单调递减；所以的最大值为，则，所以的取值范围是.故答案为：.四、解答题:本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.设的内角的对边分别为，且.（1）求角;（2）若，求面积的最大值.解：（1）因为，由正弦定理得，即，所以，因为，可得，所以，显然，所以，又因为，所以.（2）因为，由余弦定理可得，所以，当且仅当时取到号，故面积的最大值为.18.已知正项数列满足.（1）证明:数列是等比数列;（2）若，数列的前项和为.证明:.证明：（1）证明：因为，可得，即，且，可得，所以数列是首项为2，公比为2的等比数列.（2）由（1）可知，则，可得，则，因为，则，所以.19.杭州第19届亚运会，中国代表团共获得201金111银71铜，共383枚奖牌，金牌数超越2010年广州亚运会的199枚，标志着我国体育运动又有了新的突破.某大学从全校学生中随机抽取了130名学生，对其日常参加体育运动情况做了调查，其中是否经常参加体育运动的数据统计如下：经常参加不经常参加男生6020女生4010（1）利用频率估计概率，现从全校女生中随机抽取5人，求其中恰有2人不经常参加体育运动的概率；（2）依据小概率值的独立性检验，能否认为是否经常参加体育运动与性别有关联.参考公式：.0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828解：（1）由表格知：经常参加与不经常参加体育运动的女生比例为，所以，抽取到不经常参加体育运动的女生人数服从，故恰有2人不经常参加体育运动的概率.（2）由题设得列联表如下：经常参加不经常参加男生602080女生4010501