2024届辽宁省辽阳市高三上学期期末考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1辽宁省辽阳市2024届高三上学期期末数学试题一、选择题1.已知集合，，则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由、，故.故选：A.2.若复数，则z的虚部是（）A. B.5 C.1 D.【答案】C【解析】，故z的虚部为1.故选：C.3.函数的图象在点处的切线方程为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由函数，可得，所以且，所以所求切线方程为，即.故选：B.4.在的展开式中，项的系数为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】的展开式的通项为，令解得，所以项的系数为，故选：A5.古希腊的毕达哥拉斯学派通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割率.黄金分割率的值也可以用表示，即，设为正五边形的一个内角，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因为，所以，所以，故选：A.6.已知是偶函数，在上单调递增，，则不等式的解集为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】函数的图象可由的图象向右平移1个单位得到，因为偶函数，则其图象关于轴对称，所以的图象关于直线对称，又在上单调递增，则在上单调递减，又，则有，当，即时，需，解得或；当，即时，需，无解；综上，不等式的解集为.故选：D7.在平面四边形中，为正三角形，，，如图1，将四边形沿AC折起，得到如图2所示的四面体，若四面体外接球的球心为O，当四面体的体积最大时，点O到平面ABD的距离为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由题意可知当平面平面时四面体的体积最大时，因为为正三角形，，，所以，则，当平面平面时，取线段中点，则点为直角三角形外心，连接，则易知平面，所以四面体外接球球心在上，因为为正三角形，所以四面体外接球球心即为的中心，则，设点到面的距离为，点到面的距离为，由得，因边长为2，所以，，中，，所以，则，所以点到面的距离为.故选：C.8.在中，，D为AB的中点，，P为CD上一点，且，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因为D为AB的中点，则，可得，即，解得，又因为P为CD上一点，设，则，可得，解得，即，则，可得，即.故选：D.二、选择题9.某市组织举办了信息安全知识竞赛.已知某校现有高一学生1200人、高二学生1000人、高三学生1800人，利用分层抽样的方式随机抽取100人参加校内选拔赛，赛后前10名学生成绩（满分100分）为75，78，80，84，84，85，88，92，92，92，则（）A.选拔赛中高一学生有30人B.选拔赛前10名学生成绩的第60百分位数为85C.选拔赛前10名学生成绩的平均数为85D.选拔赛前10名学生成绩的方差为33.2【答案】ACD【解析】选拔赛中高一学生有人，所以A正确；因为，所以选拔赛前10名学生成绩的第60百分位数为，所以B错误；因为，所以C正确；因为，所以D正确.故选：ACD10.已知椭圆的离心率分别为它的左、右焦点，分别为它的左、右顶点，是椭圆上的一个动点，且的最大值为，则下列选项正确的是（）A.当不与左、右端点重合时，的周长为定值B.当时，C.有且仅有4个点，使得为直角三角形D.当直线的斜率为1时，直线的斜率为【答案】ABD【解析】对于A：因为，当且仅当为右顶点时取等号，又因为的最大值为，所以，因为，所以，所以椭圆的方程为，因为的周长为，故A正确；对于B：当时，，所以，所以，所以，因为，所以，故B正确；对于C：设椭圆的上顶点为，因为，所以，所以的最大值为，所以存在个点，使得，又因为存在个点使，存在个点使，所以存在个点，使得为直角三角形，故C错误；对于D：因为，设，则，所以，所以，因为，所以，故D正确，故选：ABD.11.已知正方体的棱长为2，E，F分别为AD，的中点，则（）A.B.过，B，F的截面面积为C.直线BF与AC所成角的余弦值为D.EF与平面ABCD所成角的正弦值为【答案】BCD【解析】对于A，取的中点为，连接,故,由于相交，所以不可能平行，故A错误，对于B，取的中点为，连接,则四边形即为截面，由于,故四边形为等腰梯形，过作，则,所以,故B正确，对于C，由于，所以即为直线BF与AC所成角或其补角，,所以,故C正确，对于D，由于平面，所以即为与平面所成角,故,故D正确，故选：BCD.12.已知函数，且对恒成立，则（）A.B.的图象关于点对称C.若方程在上有2个实数解，则D.的图象与直线恰有5个交点【答案】BCD【解析】对于A，因为对恒成立，所以图象关于直线对称，则，即，解得，故A错误；对于B，，所以的图象关于点对称，故B正确；对于C，当时，，因为在上有2个实数解，所以，解得，故C正确；对于D，直线经过点与，而与分别是函数的零点与其图象的最高点，如图所示：结合图象可知的图象与直线恰有5个交点，故D正确.故选：BCD．三、填空题13.已知函数，若，则______．【答案】1【解析】因为，所以，即，故答案为：1.14.已知为抛物线上一点，点到的焦点的距离为16，到轴的距离为10，则_______.【答案】12【解析】由题意可知抛物线的准线方程为，根据抛物线的定义可得，所以.故答案为：12.15.已知直线是圆的对称轴，过点作圆的一条切线，切点为，则__________.【答案】【解析】由，得，所以圆的圆心为，半径为3.因为直线是圆的对称轴，所以经过点.由，得，所以的坐标为.因为圆的半径为3，所以.故答案为：.16.如图，将个整数放入的宫格中，使得任意一行及任意一列的乘积为2或－2，记将个整数放入的宫格有种放法，则______，______．【答案】32【解析】根据题意可以得到，所以得到宫格中的放置共有，根据正负号和正负号共有种情况，则通项公式，则;因此，所以.故答案为：；四、解答题17.记正项数列的前n项和为，，．①；②；③．从以上三个条件中选择一个解决下面问题．（1）求的通项公式；（2）若求数列的前项和．解：（1）选①，，（i），（ii）（i）（ii）得，，，，又，所以数列是以1为首项，以2为公差的等差数列，则，.选②，由，即，，，又，所以数列是以1为首项，以2为公差的等差数列，则，.选③，由，则，又，所以数列是以1为首项，以1为公差的等差数列，即，，，又，，.（2）由（1）得，，.18.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，S为的面积，且．（1）求角A；（2）求的取值范围．解：（1）由三角形面积公式可得：，即，则，即，则，则因为，所以.（2），则，由正弦定理得，，又，则，所以19.如图，在四棱锥中，为等边三角形，，，，E，F分别是BC，PD的中点．（1）证明：平面PAB．（2）若，求平面AEF与平面PBD夹角的余弦值．（1）证明：取的中点，连接分别为的中点，，又分别为的中点，，，因为面，面，面，面，面，面，，面，面，面面，又面，平面PAB．（2）解：设，，，，，又且面，面，面，连接，因为面，所以，因为为等边三角形，所以，又因为面，所以平面.如图，以点为原心，建立空间直角坐标系，则，，，，，，则，，设平面的法向量为，设平面的法向量为，则，令则，即，则，令则，即，设平面AEF与平面PBD夹角为，则，平面AEF与平面PBD夹角的余弦值为.20.某中学选拔出20名学生组成数学奥赛集训队，其中高一学生有8名、高二学生有7名、高三学生有5名．（1）若从数学奥赛集训队中随机抽取3人参加一项数学奥赛，求抽取的3名同学中恰有2名同学来自高一的概率．（2）现学校欲对数学奥赛集训队成员进行考核，考核规则如下：考核共4道题，前2道题答对每道题计1分，答错计0分，后2道题答对每道题计2分，答错计0分，累积计分不低于5分的学生为优秀学员．已知张同学前2道题每道题答对的概率均为，后2道题每道题答对的概率均为，是否正确回答每道题之间互不影响．记张同学在本次考核中累积计分为X，求X的分布列和数学期望，并求张同学在本次考核中获得优秀学员称号的概率．解：（1）设事件A为“抽取的3名同学中恰有2名同学来自高一”，则.（2）由题意可知的取值可为，前两道题答错的概率为，后两道题答错的概率也为，，，，，，，，故X的分布列为：X0123456P数学期望为，因为累积计分不低于5分的学生为优秀学员，所以张同学在本次考核中获得优秀学员称号的概率为.21.在平面直角坐标系内，已知定点，定直线，动点P到点F和直线l的距离的比值为，记动点P的轨迹为曲线E．（1）求曲线E的方程．（2）以曲线E上一动点M为切点作E的切线，若直线与直线l交于点N，试探究以线段MN为直径的圆是否过x轴上的定点．若过定点．求出该定点坐标；若不过，请说明理由．（1）解：设点是所求轨迹上的任意一点，因为定点，定直线l：，动点P到点F和直线l的距离的比值为，可得，化简得，所以曲线的方程为.（2）解：因为直线与相交，所以的斜率存在，可设的方程为，联立方程组，整理得，则，可得，即且，所以，即，所以，则，所以，联立方程组，解得，即，假设以线段为直径的圆过轴上一定点，设为，则，所以恒成立，即，可得，即，整理得，即，即恒成立，要使得恒成立，则，所以恒过定点，即以线段为直径的圆过轴上一定点.22.已知函数.（1）当时，求的最大值；（2）若在上恒成立，求实数的取值范围.解：（1）由题可知的定义域为，当时，，因为，当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，所以.（2）因为，所以，令，则，当时，由（1）知，不满足题意；当时，，所以恒成立，不满足题意；当时，在上恒成立，所以在上单调递减，所以.①当时，因为，所以，所以在上单调递减，所以，所以满足题意，②当时，因为在上单调递减，且，所以存在，使得，当时，，即，当时，，即，所以在上单调递增，在上单调递减，因为，所以当时，，不满足题意，综上所述，.辽宁省辽阳市2024届高三上学期期末数学试题一、选择题1.已知集合，，则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由、，故.故选：A.2.若复数，则z的虚部是（）A. B.5 C.1 D.【答案】C【解析】，故z的虚部为1.故选：C.3.函数的图象在点处的切线方程为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由函数，可得，所以且，所以所求切线方程为，即.故选：B.4.在的展开式中，项的系数为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】的展开式的通项为，令解得，所以项的系数为，故选：A5.古希腊的毕达哥拉斯学派通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割率.黄金分割率的值也可以用表示，即，设为正五边形的一个内角，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因为，所以，所以，故选：A.6.已知是偶函数，在上单调递增，，则不等式的解集为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】函数的图象可由的图象向右平移1个单位得到，因为偶函数，则其图象关于轴对称，所以的图象关于直线对称，又在上单调递增，则在上单调递减，又，则有，当，即时，需，解得或；当，即时，需，无解；综上，不等式的解集为.故选：D7.在平面四边形中，为正三角形，，，如图1，将四边形沿AC折起，得到如图2所示的四面体，若四面体外接球的球心为O，当四面体的体积最大时，点O到平面ABD的距离为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由题意可知当平面平面时四面体的体积最大时，因为为正三角形，，，所以，则，当平面平面时，取线段中点，则点为直角三角形外心，连接，则易知平面，所以四面体外接球球心在上，因为为正三角形，所以四面体外接球球心即为的中心，则，设点到面的距离为，点到面的距离为，由得，因边长为2，所以，，中，，所以，则，所以点到面的距离为.故选：C.8.在中，，D为AB的中点，，P为CD上一点，且，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因为D为AB的中点，则，可得，即，解得，又因为P为CD上一点，设，则，可得，解得，即，则，可得，即.故选：D.二、选择题9.某市组织举办了信息安全知识竞赛.已知某校现有高一学生1200人、高二学生1000人、高三学生1800人，利用分层抽样的方式随机抽取100人参加校内选拔赛，赛后前10名学生成绩（满分100分）为75，78，80，84，84，85，88，92，92，92，则（）A.选拔赛中高一学生有30人B.选拔赛前10名学生成绩的第60百分位数为85C.选拔赛前10名学生成绩的平均数为85D.选拔赛前10名学生成绩的方差为33.2【答案】ACD【解析】选拔赛中高一学生有人，所以A正确；因为，所以选拔赛前10名学生成绩的第60百分位数为，所以B错误；因为，所以C正确；因为，所以D正确.故选：ACD10.已知椭圆的离心率分别为它的左、右焦点，分别为它的左、右顶点，是椭圆上的一个动点，且的最大值为，则下列选项正确的是（）A.当不与左、右端点重合时，的周长为定值B.当时，C.有且仅有4个点，使得为直角三角形D.当直线的斜率为1时，直线的斜率为【答案】ABD【解析】对于A：因为，当且仅当为右顶点时取等号，又因为的最大值为，所以，因为，所以，所以椭圆的方程为，因为的周长为，故A正确；对于B：当时，，所以，所以，所以，因为，所以，故B正确；对于C：设椭圆的上顶点为，因为，所以，所以的最大值为，所以存在个点，使得，又因为存在个点使，存在个点使，所以存在个点，使得为直角三角形，故C错误；对于D：因为，设，则，所以，所以，因为，所以，故D正确，故选：ABD.11.已知正方体的棱长为2，E，F分别为AD，的中点，则（）A.B.过，B，F的截面面积为C.直线BF与AC所成角的余弦值为D.EF与平面ABCD所成角的正弦值为【答案】BCD【解析】对于A，取的中点为，连接,故,由于相交，所以不可能平行，故A错误，对于B，取的中点为，连接,则四边形即为截面，由于,故四边形为等腰梯形，过作，则,所以,故B正确，对于C，由于，所以即为直线BF与AC所成角或其补角，,所以,故C正确，对于D，由于平面，所以即为与平面所成角,故,故D正确，故选：BCD.12.已知函数，且对恒成立，则（）A.B.的图象关于点对称C.若方程在上有2个实数解，则D.的图象与直线恰有5个交点【答案】BCD【解析】对于A，因为对恒成立，所以图象关于直线对称，则，即，解得，故A错误；对于B，，所以的图象关于点对称，故B正确；对于C，当时，，因为在上有2个实数解，所以，解得，故C正确；对于D，直线经过点与，而与分别是函数的零点与其图象的最高点，如图所示：结合图象可知的图象与直线恰有5个交点，故D正确.故选：BCD．三、填空题13.已知函数，若，则______．【答案】1【解析】因为，所以，即，故答案为：1.14.已知为抛物线上一点，点到的焦点的距离为16，到轴的距离为10，则_______.【答案】12【解析】由题意可知抛物线的准线方程为，根据抛物线的定义可得，所以.故答案为：12.15.已知直线是圆的对称轴，过点作圆的一条切线，切点为，则__________.【答案】【解析】由，得，所以圆的圆心为，半径为3.因为直线是圆的对称轴，所以经过点.由，得，所以的坐标为.因为圆的半径为3，所以.故答案为：.16.如图，将个整数放入的宫格中，使得任意一行及任意一列的乘积为2或－2，记将个整数放入的宫格有种放法，则______，______．【答案】32【解析】根据题意可以得到，所以得到宫格中的放置共有，根据正负号和正负号共有种情况，则通项公式，则;因此，所以.故答案为：；四、解答题17.记正项数列的前n项和为，，．①；②；③．从以上三个条件中选择一个解决下面问题．（1）求的通项公式；（2）若求数列的前项和．解：（1）选①，，（i），（ii）（i）（ii）得，，，，又，所以数列是以1为首项，以2为公差的等差数列，则，.选②，由，即，，，又，所以数列是以1为首项，以2为公差的等差数列，则，.选③，由，则，又，所以数列是以1为首项，以1为公差的等差数列，即，，，又，，.（2）由（1）得，，.18.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，S为的面积，且．（1）求角A；（2）求的取值范围．解：（1）由三角形面积公式可得：，即，则，即，则，则因为，所以.（2），则，由正弦定理得，，又，则，所以19.如图，在四棱锥中，为等边三角形，，，，E，F分别是BC，PD的中点．（1）证明：平面PAB．（2）若，求平面AEF与平面PBD夹角的余弦值．（1）证明：取的中点，连接分别为的中点，，又分别为的中点，，，因为面，面，面，面，面，面，，面，面，面面，又面，平面PAB．（2）解：设，，，，，又且面，面，面，连接，因为面，所以，因为为等边三角形，所以，又因为面，所以平面.如图，以点为原心，建立空间直角坐标系，则，，，，，，则，，设平面的法向量为，设平面的法向量为，则，令则，即，则，令则，即，设平面AEF与平面PBD夹角为，则，平面AEF与平面PBD夹角的余弦值为.20.某中学选拔出20名学生组成数学奥赛集训队，其中高一学生有8名、高二学生有7名、高三学生有5名．（1）若从数学奥赛集训队中随机抽取3人参加一项数学奥赛，求抽取的3名同学中恰有2名同学来自高一的概率．（2）现学校欲对数学奥赛集训队成员进行考核，考核规则如下：考核共4道题，前2道题答对每道题计1分，答错计0分，后2道题答对每道题计2分，答错计0分，累积计分不低于5分的学生为优秀学员．已知张同学前2道题每道题答对的概率均为，后2道题每道题答对的概率均为，