【八年级上册数学浙教版】专题2.4 特殊三角形（一）（轴对称、等腰三角形与逆命题（定理）十大题型）重难点题型（原卷版）

第第页专题2.4特殊三角形（一）（轴对称、等腰三角形与逆命题（定理）十大题型）重难点题型注意：该部分包含2.1节2.5节的重难点题型题型1轴对称图形的性质与辨别【方法技巧】掌握轴对称图形的概念：把一个图形沿着某一条直线翻折，如果直线两旁的部分能够互相重合，那么称这个图形是轴对称图形，这条直线就是对称轴。注意：理解轴对称图形的定义应注意两点：（1）轴对称图形是一个图形，反映的是这个图形自身的性质。（2）符合要求的“某条直线”可能不止一条，但至少要有一条。1．（2022·重庆八中七年级期末）2022年北京冬奥会会徽“冬梦”以汉字“冬”为灵感来源，运用中国书法的艺术形态，将厚重的东方文化底蕴与国际化的现代风格融为一体．以下是参选的会徽设计的一部分图形，其中是轴对称图形的是（

）A． B． C． D．2．（2022·河北承德·八年级期末）在下列给出的几何图形中，是轴对称图形的个数有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个3．（2022·浙江金华·八年级阶段练习）下面所给的标志图中属于轴对称图形的是（

）A．B．C．D．4．（2022·河南新乡·七年级阶段练习）如图，与关于直线对称，若，，则（

）A． B． C． D．5．（2022·河南洛阳·七年级期末）如图，若与关于直线对称，交于点，则下列说法中，不一定正确的是（

）A． B． C． D．6．（2022·福建泉州·八年级期末）如图，直线m，l相交于点O，P为这两直线外一点，且OP＝1.3．若点P关于直线l，m的对称点分别是点P1，P2，则P1，P2之间的距离可能是（

）A．2 B．3 C．4 D．5题型2轴对称性质的运用方法技巧：常见应运用有：折叠（剪纸）、台球桌面、光的反射和镜面对称等问题。折叠问题中，折痕就是图形的对称轴，折叠前后的图形关于对称轴对称。1．（2022·河北八年级期末）如图是台球桌面示意图，阴影部分表示四个入球孔，小明按图中方向击球（球可以多次反弹），则球最后落入的球袋是（）A．1号袋 B．2号袋 C．3号袋 D．4号袋2．（2022·湖南湘潭·中考真题）如图，一束光沿方向，先后经过平面镜、反射后，沿方向射出，已知，，则_________．3．（2022·无锡市积余实验学校八年级月考）小明站在河岸边看见水中的自己胸前球衣的号码是，则实际的号码为____．4．（2022·广西防城港·八年级期中）如图，将一条对边互相平行的纸带进行两次折叠，折痕分别为、，若CD//BE，，则的度数是________．6．（2022·浙江·浦江县第五中学一模）如图，把一张矩形纸片ABCD按所示方法进行两次折叠，得到△ECF．若BC＝1，则△ECF的周长为（）A． B． C． D．题型3线段垂直平分线性质与判定及运用【解题技巧】掌握线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等垂直平分线的性质判定：到一条直线两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。三角形的外心：三角形三边的垂直平分线的交点；外心性质：外心到该三角形三顶点的距离相等。1．（2021·山东济南市·八年级期末）如图，若记北京为地，莫斯科为地，雅典为地．若想建立一个货物中转仓，使其到、、三地的距离相等，则中转仓的位置应选在（）A．三边垂直平分线的交点 B．三边中线的交点C．三条角平分线的交点 D．三边上高的交点2．（2022·四川八年级期中）如图，在△ABC中，∠B＝30°，用直尺和圆规在边AB上确定一点D，则∠ADC＝（）A．30° B．45° C．50° D．60°3．（2022·内蒙古通辽·八年级期末）如图，，C为OB上的定点，M，N分别为射线OA、OB上的动点．当的值最小时，的度数为（

）A． B． C． D．4．（2022·湖南怀化市·八年级期末）如图．在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°．（1）用直尺和圆规作AB的垂直平分线，分别交AB、AC于D、E，交BC的延长线于F，连接EB．（不写作法，保留作图痕迹）（2）求证：EB平分∠ABC．（3）求证：AE=EF．5．（2021·石家庄九年级二模）如图，在中，D为BC中点，交的平分线AE于E，于F，交AC的延长线于G．（1）求证：；（2）若，，求AF的长．6．（2022·云南·初二期末）在中，的垂直平分线交于点，的垂直平分线交于点，与相交于点，的周长为6．（1）与的数量关系为．（2）求的长．（3）分别连接，，，若的周长为16，求的长．题型4角平分线的运用【解题技巧】角平分线的性质：角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。1．（2022·湖南·长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校二模）如图，三条公路把A，B，C三个村庄连成一个三角形区域，某地区决定在这个三角形区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，则这个集贸市场应建在（

）A．三个角的角平分线的交点 B．三条边的垂直平分线的交点C．三角形三条高的交点 D．三角形三条中线的交点2．（2022·河北·围场满族蒙古族自治县中小学教研室八年级期末）如图，已知、的角平分线、相交于点P，，，垂足分别为M、N．现有四个结论：①平分；②；③；④．其中结论正确的是（

）A．①②④ B．①④ C．①②③ D．②③④3．（2022·广东汕头·八年级期末）如图，的三边，，长分别是，，，其三条角平分线将分为三个三角形，则：：等于（

）A．：：B．：：C．：：D．：：4．（2022·山东枣庄·八年级期中）如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝3，BC＝5，对角线BD平分∠ABC，则△BCD的面积为（）A．15 B．7.5 C．8 D．95．（2021·内蒙古赤峰·中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，且AC=AD．（1）作∠BAC的平分线，交BC于点E；(要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)（2）在（1）的条件下，连接DE，证明．6．（2020·湖南长沙·中考真题）人教版初中数学教科书八年级上册第48页告诉我们一种作已知角的平分线的方法：已知：求作：的平分线做法：（1）以O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N，（2）分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点C（3）画射线OC，射线OC即为所求．请你根据提供的材料完成下面问题：（1）这种作已知角平分线的方法的依据是______(填序号)．①

②③

④（2）请你证明OC为的平分线．题型5等腰三角形的性质与判定【解题技巧】掌握等腰三角形的性质：1）等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）。2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（简称“三线合一”）。3）有两条边相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）。1．（2022年江苏省苏州市中考数学真题）定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫做“倍长三角形”．若等腰△ABC是“倍长三角形”，底边BC的长为3，则腰AB的长为______．2．（陕西省西安市高新一中2021-2022学年八年级下学期期末考试数学试题）如图，中，于点D，于点E，于点F，，则的长为（

）A．2 B．3 C．4 D．53．（陕西省榆林市高新区2021-2022学年七年级下学期期末数学试题）习题课上，张老师和同学们一起探究一个问题∶“如图，在中，分别是上的点，与相交于点，添加下列哪个条件能判定是等腰三角形？"请你判断正确的条件应为（

）A． B． C． D．4．（陕西省西安市西安交通大学附属中学2021-2022学年七年级下学期期末考试数学试题）已知中，，在AB边上有一点D，若CD将分为两个等腰三角形，则________．5．（陕西省咸阳市武功县2021-2022学年八年级下学期期末数学试题）如图，E为的外角平分线上的一点，AE//BC，．(1)求证：是等腰三角形；(2)若，求CE的长．6．（四川省广元市剑阁县2020-2021学年八年级上学期期末数学试题）如图，已知在等腰直角三角形△DBC中，∠BDC＝90°，BF平分∠DBC，与CD相交于点F，延长BD到A，使DA＝DF，延长BF交AC于E．(1)求证：△FBD≌△ACD；(2)求证：△ABC是等腰三角形；(3)求证：CEBF．题型7等边三角形的性质与判定【解题技巧】掌握等边三角形的性质与判定：1）三边相等的三角形叫做等边三角形或正三角形。2）等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于60°。3）三个角都相等的三角形是等边三角形。4）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。1．（河南省周口市西华县2021-2022学年八年级上学期期中数学试题）如图，已知△ABC是等边三角形，点B，C，D，E在同一直线上，且CG＝CD，DF＝DE，则∠E＝（）A．15° B．20° C．25° D．30°2．（陕西省安康市紫阳县2021-2022学年八年级上学期期末考试数学试题（A卷））如图，在等边△ABC中，AB＝4cm，BD平分∠ABC，点E在BC的延长线上，且，则CE的长是（

）A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm3．（2022年湖南省湘潭市中考数学真题）（多选题）如图，小明在学了尺规作图后，作了一个图形，其作图步骤是：①作线段，分别以点、为圆心，以长为半径画弧，两弧相交于点、；②连接、，作直线，且与相交于点．则下列说法正确的是（

）A．是等边三角形B．C．D．4．（河北省廊坊市大城县2021-2022学年八年级上学期期末数学试题）如图，已知△ABD是等边三角形，，E是AD上的点，，与BD交于点F．则下列结论正确的有（

）①连接AC，则AC垂直平分线段BD；②△DEF是等边三角形；③若，则；④若AB＝8，DE＝2，则CF＝4．A．①② B．①②④ C．②③④ D．①③④5．（2022年湖南省怀化市中考数学真题）如图，在等边三角形ABC中，点M为AB边上任意一点，延长BC至点N，使CN=AM，连接MN交AC于点P，MH⊥AC于点H．(1)求证：MP=NP；(2)若AB＝a，求线段PH的长（结果用含a的代数式表示）．6．（江西省景德镇市乐平市2021-2022学年八年级下学期期中数学试题）如图，在中，，于点D，于点E．AD交B于点F，点G为BC边的中点，作交直线FG于点H．(1)如图1，当，时，______，______．(2)如图2，当时，试探索AF与BH的数量关系，并证明．(3)如图3，当时，（2）中AF与BH的数量关系______成立（填“仍然”或“不再”）．请说明理由．题型8轴对称作图1．（2022·湖南·中考模拟）在边长为1的小正方形网格中，△AOB的顶点均在格点上．（1）B点关于y轴的对称点坐标为；（2）将△AOB向左平移3个单位长度得到△A1O1B1，请画出△A1O1B1；（3）在（2）的条件下，A1的坐标为．2．（2022·云南·三模）在平面直角坐标系中的位置如图所示．、、三点在格点上．（1）作出关于轴对称的，并写出点的坐标；（2）作出关于对称的，并写出点的坐标．3．（2022·浙江宁波·模拟预测）在下面的方格纸中，的三个顶点都在格点上，（1）在图1中画出与成关于BC成轴对称的格点三角形；（2）在图2的格点中标出使与面积相等的点D的位置（除点C外）4．（2022·河南·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，其中，点、、的坐标分别为、、.5．（2022·山东济南·七年级期末）（1）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，点A，B，C均在小正方形的顶点上．①在图中画出与△ABC关于直线l成轴对称的△A'B'C′；②在直线l上找一点P，使得△APC的周长最小；③求△ABC的面积．（2）如图是5×5的正方形网格，请以DE为一边作两个位置不同的格点三角形(三角形的顶点在网格的交点上)，使所作的三角形(△DEB1、△EDB2)与△ABC全等．6．（2022·陕西安康·八年级期末）已知：方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，△的顶点均在格点上，点C的坐标为（4，-1），(1)请以y轴为对称轴，画出与△对称的△，并直接写出点、、的坐标；(2)点（a+1，b-1）与点C关于x轴对称，则____________，____________．题型9等腰三角形与全等三角形综合题1．（2021·重庆南开中学八年级期末）如图，在锐角△ABC中，点D在线段CA的延长线上，BC边的垂直平分线分别交AB边于点E，交∠BAC的平分线于点M，交BAD的平分线于点N，过点C作AM的垂线分别交AM于点F，交MN于点O，过点O作OG⊥AB于点G，点G恰为AB边的中点，过点A作AI⊥BC于点I，交OC于点H，连接OA、OB，则下列结论中，（1）∠MAN=90°；（2）∠AOB=2∠ACB；（3）OH=2OG；（4）△AFO≌△AFH；（5）AE+AC=2AG．正确的是________．（填序号）2．（2021·四川八年级期末）如图1，在等边三角形中，于于与相交于点．（1）求证：；（2）如图2，若点是线段上一点，平分交所在直线于点．求证：．（3）如图3，若点是线段上一点（不与点重合），连接，在下方作边交所在直线于点．猜想：三条线段之间的数量关系，并证明．3．（2021·山东济南市·八年级期末）如图1，在△ABC中，BO⊥AC于点O，AO＝BO＝3，OC＝1，过点A作AH∠BC于点H，交BO于点P．（1）求线段OP的长度；（2）连接OH，求证：∠OHP＝45°；（3）如图2，若点D为AB的中点，点M为线段BO延长线上一动点，连接MD，过点D作DN⊥DM交线段A延长线于N点，则S△BDM－S△ADN的值是否发生改变，如改变，求出该值的变化范围；若不改变，求该式子的值．4．（2021·江苏景山中学八年级期末）（1）如图1，等边△ABC中，点D为AC的中点，若∠EDF＝120°，点E与点B重合，DF与BC的延长线交于F点，则DE与DF的数量关系是；BE＋BF与的BC数量关系是；（写出结论即可，不必证明）（2）将（1）中的点E移动一定距离（如图2），DE交AB于E点，DF交BC的延长线于F点，其中“等边△ABC中，D为AC的中点，若∠EDF＝120°”这一条件不变，则DE与DF有怎样的数量关系？BE＋BF与BC之间有怎样的数量关系？写出你的结论并加以证明；（3）将（1）中的点E移动到AB延长线上，DE与AB的延长线交于E点，DF交BC的延长线于F点（如图3），其中“等边△ABC中，D为AC的中点，若∠EDF＝120°”这一条件仍然不变，则BE、BF、BC这三者之间的数量关系是．（直接写出结论即可）5．（2021·南师附中树人学校九年级月考）如图1，若△DEF的三个顶点D，E，F分别在△ABC各边上，则称△DEF是△ABC的内接三角形．（1）如图2，点D，E，F分别是等边三角形ABC各边上的点，且AD＝BE＝CF，则△DEF是△ABC的内接．A．等腰三角形B．等边三角形C．等腰三角形或等边三角形D．直角三角形（2）如图3，已知等边三角形ABC，请作出△ABC的边长最小的内接等边三角形DEF．（保留作图痕迹，不写作法）（3）问题：如图4，△ABC是不等边三角形，点D在AB边上，是否存在△ABC的内接等边三角形DEF？如果存在，如何作出这个等边三角形？①探究1：如图5，要使△DEF是等边三角形，只需∠EDF＝60°，DE＝DF．于是，我们以点D为角的顶点任作∠EDF＝60°，且DE交BC于点E，DF交AC于点F．我们选定两个特殊位置考虑：位置1（如图6）中的点F与点C重合，位置2（如图7）中的点E与点C重合．在点E由位置1中的位置运动到位置2中点C的过程中，DE逐渐变大而DF逐渐变小后再变大，如果存在某个时刻正好DE＝DF，那么这个等边三角形DEF就存在（如图8）．理由：是等边三角形．②探究2：在BC上任取点E，作等边三角形DEF（如图9），并分别作出点E与点B、点C重合时的等边三角形DBF′和DCF″．连接FF'，FF″，证明：FF'+FF″＝BC．③探究3：请根据以上的探究解决问题：如图10，△ABC是不等边三角形，点D在AB边上，请作出△ABC的内接等边三角形DEF．（保留作图痕迹，不写作法）6．（2021·四川成都市·八年级期末）如图，已知△ABC是等边三角形，AB＝8，M为AC中点，D为BC边上一动点，将AD绕点A逆时针旋转60°得到AE，连接CE、DE、ME．（1）求证：CD＋CE＝CA；（2）求出点M到CE所在直线的距离；（3）当ME＝时，求CE的值．7．（2021·四川）如图，△ABC中，∠ABC＝60°，分别以AB，AC为边向三角形外作等边△ABD和等边△ACE，解答下列各题，并要求标注推导理由：（1）如图1，求证：AD∥BC；（