2025年高考数学复习新题速递之一、二次函数及方程不等式（2024年9月）

第1页（共1页）2025年高考数学复习新题速递之一、二次函数及方程不等式（2024年9月）一．选择题（共8小题）1．（2024•珠海模拟）不等式x2+x﹣6＜0的解集是（）A．（﹣6，1） B．（﹣1，6） C．（﹣2，3） D．（﹣3，2）2．（2024•新蔡县校级开学）下列不等式组x+2≥A． B． C． D．3．（2024•安徽开学）已知集合A＝{x|（x﹣1）（x﹣2）≤0}，B＝{﹣1，0，1，2，3}，则A∩B＝（）A．{﹣1，0，3} B．{﹣1，0，1} C．{1，2} D．{2，3}4．（2024•肇庆模拟）已知集合A＝{x|x2﹣3x+2≥0，x∈Z}，B＝{y||y|≤2，y∈N}，则A∩B＝（）A．{0，1} B．{1，2} C．{0，1，2} D．{﹣2，﹣1，0，1，2}5．（2024•陕西模拟）已知集合A＝{x∈N|x2﹣x﹣6＜0}，B＝{y|y＝x2，x∈A}，则A∩B＝（）A．{0} B．{1} C．{0，1} D．[0，3）6．（2024春•桦南县校级期末）已知关于x的一元二次不等式ax2+bx﹣c＜0的解集为{x|3＜x＜5}，则不等式cx2+bx﹣a＞0的解集为（）A．{x|x＜15或x＞13}C．{x|15＜x7．（2024•天元区校级开学）函数y＝kx2﹣2与y=kx(k≠0)A． B． C． D．8．（2024•天元区校级开学）下列方程中两根之和为6的是（）A．x2﹣6x+15＝0 B．x2﹣12x+6＝0 C．2x2﹣6x﹣3＝0 D．3x2﹣18x+17＝0二．多选题（共4小题）（多选）9．（2024•天元区校级开学）已知二次函数y＝（m﹣2）x2+2mx+m﹣3的图像与x轴有两个交点（x1，0），（x2，0），则下面说法正确的是（）A．该二次函数的图像一定过定点（﹣1，﹣5） B．若该函数图像开口向下，则m的取值范围为：65C．当m＞2，且1≤x≤2时，y的最大值为4m﹣5 D．当m＞2，且该函数图像与x轴两交点的横坐标x1，x2满足﹣3＜x1＜﹣2，﹣1＜x2＜0时，m的取值范围为：21（多选）10．（2023秋•环县校级期末）下列不等式的解集为R的是（）A．x2+6x+10＞0 B．x2C．﹣x2+x﹣2＜0 D．2x2﹣3x﹣3＜0（多选）11．（2024秋•武功县校级月考）已知不等式x2﹣2x﹣3＜0的解集为A，不等式x2+x﹣6＜0的解集为B，不等式x2+ax+b＜0的解集是A∩B，则（）A．A∪B＝{x|﹣3＜x＜3} B．A∪B＝{x|x＞﹣3} C．a+b＝﹣1 D．a+b＝﹣3（多选）12．（2024•南靖县校级开学）已知不等式ax2+2x+c＞0的解集为{x|-A．a＝﹣12 B．c＝﹣12 C．c＝2 D．a＝2三．填空题（共4小题）13．（2024•天元区校级开学）如图，一段抛物线y＝﹣x（x﹣3）（0≤x≤3）记为C1，它与x轴交于点O、A1；将C1绕点A1旋转180°得到C2，交x轴于点A2；将C2绕点A2旋转180°得到C3，交x轴于点A3…如此进行下去，直至得到C13．若P（37，m）在第13段抛物线C13上，则m＝．14．（2024•王益区校级模拟）若实数x，y满足约束条件x-4y+2≤0x-y-1≤0y≥0，则z＝x﹣3y15．（2024秋•广陵区校级月考）已知集合A＝{x|（x+1）（x﹣a）≤0}，B＝{x|（x+3）（x+2）（x﹣1）＝0}，若A∩B≠∅，则实数a的取值范围为．16．（2024•平罗县校级三模）设x，y满足约束条件y≥0x-y≥0x+y≤2，则z＝2x﹣y的最大值为四．解答题（共4小题）17．（2024•福鼎市校级开学）解关于x的不等式ax2﹣4≥2x﹣2ax（a∈R）．18．（2024•新蔡县校级开学）已知函数y＝x2﹣（a+2）x+2a，a∈R．（1）解关于x的不等式y＜0；（2）若方程x2﹣（a+2）x+2a＝x+1有两个正实数根x1，x2，求|x1﹣x2|的最小值．19．（2024•碑林区校级开学）已知二次函数f（x）＝ax2+bx+c（a≠0）．（1）若不等式f（x）＞0的解集为{x|0＜x＜3}，解关于x的不等式bx2+3ax﹣（c+2b）＜0．（2）若a＞0且b＝﹣a﹣1，c＝1，解关于x的不等式f（x）＜0．20．（2024春•西湖区校级期末）二次函数f（x）满足f（x+1）﹣f（x）＝2x﹣1，且f（0）＝2．（1）求f（x）的解析式；（2）若x∈[﹣1，2]时，y＝f（x）的图象恒在y＝﹣x+a图象的上方，试确定实数a的取值范围．

2025年高考数学复习新题速递之一、二次函数及方程不等式（2024年9月）参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）1．（2024•珠海模拟）不等式x2+x﹣6＜0的解集是（）A．（﹣6，1） B．（﹣1，6） C．（﹣2，3） D．（﹣3，2）【考点】解一元二次不等式．【专题】转化思想；转化法；不等式的解法及应用；数学运算．【答案】D【分析】利用二次不等式的解法可得出原不等式的解集．【解答】解：由x2+x﹣6＜0得（x﹣2）（x+3）＜0，解得﹣3＜x＜2，故原不等式的解集为（﹣3，2）．故选：D．【点评】本题主要考查二次不等式的解法，属于基础题．2．（2024•新蔡县校级开学）下列不等式组x+2≥A． B． C． D．【考点】一次函数的性质与图象．【专题】整体思想；综合法；不等式的解法及应用；数学运算．【答案】A【分析】先解不等式组，再进行判断即可．【解答】解：由x+2≥12x＜x+3⇒x≥-1x故选：A．【点评】本题主要考查了一次不等式组的求解，属于基础题．3．（2024•安徽开学）已知集合A＝{x|（x﹣1）（x﹣2）≤0}，B＝{﹣1，0，1，2，3}，则A∩B＝（）A．{﹣1，0，3} B．{﹣1，0，1} C．{1，2} D．{2，3}【考点】解一元二次不等式；求集合的交集．【专题】集合思想；综合法；集合；数学运算．【答案】C【分析】解不等式化简集合A，利用交集的定义直接求解即得．【解答】解：依题意，集合A＝{x|（x﹣1）（x﹣2）≤0}＝{x|1≤x≤2}，而B＝{﹣1，0，1，2，3}，所以A∩B＝{1，2}．故选：C．【点评】本题主要考查了一元二次不等式的解法，考查了集合的交集运算，属于基础题．4．（2024•肇庆模拟）已知集合A＝{x|x2﹣3x+2≥0，x∈Z}，B＝{y||y|≤2，y∈N}，则A∩B＝（）A．{0，1} B．{1，2} C．{0，1，2} D．{﹣2，﹣1，0，1，2}【考点】一元二次不等式及其应用；交集及其运算．【专题】集合思想；定义法；不等式的解法及应用；数学运算．【答案】C【分析】解不等式得出集合A，B，再根据交集的定义求解即可．【解答】解：A＝{x|x2﹣3x+2≥0，x∈Z}＝{x|x≥2或x≤1，x∈Z}，B＝{y|﹣2≤y≤2，y∈N}，则A∩B＝{0，1，2}．故选：C．【点评】本题考查了解不等式与集合的运算问题，是基础题．5．（2024•陕西模拟）已知集合A＝{x∈N|x2﹣x﹣6＜0}，B＝{y|y＝x2，x∈A}，则A∩B＝（）A．{0} B．{1} C．{0，1} D．[0，3）【考点】一元二次不等式及其应用；交集及其运算．【专题】集合思想；综合法；集合；数学运算．【答案】C【分析】先求出集合A，B，再利用交集运算求解．【解答】解：集合A＝{x∈N|x2﹣x﹣6＜0}＝{x∈N|﹣2＜x＜3}＝{0，1，2}，∴B＝{y|y＝x2，x∈A}＝{1，0，4}，∴A∩B＝{0，1}．故选：C．【点评】本题主要考查了一元二次不等式的解法，考查了集合的交集运算，属于基础题．6．（2024春•桦南县校级期末）已知关于x的一元二次不等式ax2+bx﹣c＜0的解集为{x|3＜x＜5}，则不等式cx2+bx﹣a＞0的解集为（）A．{x|x＜15或x＞13}C．{x|15＜x【考点】解一元二次不等式．【专题】转化思想；综合法；不等式的解法及应用；数学运算．【答案】D【分析】由题意可得a＞0且方程ax2+bx﹣c＝0的解为3，5，利用韦达定理将b，c用a表示，再根据一元二次不等式的解法即可得解．【解答】解：因为关于x的一元二次不等式ax2+bx﹣c＜0的解集为{x|3＜x＜5}，所以a＞0且方程ax2+bx﹣c＝0的解为3，5，所以-ba=8，-ca=15，所以b＝﹣则不等式cx2+bx﹣a＞0，即为不等式﹣15ax2﹣8ax﹣a＞0，则15x2+8x+1＜0，解得-1所以不等式cx2+bx﹣a＞0的解集为{x|-故选：D．【点评】本题主要考查二次函数，二次方程，二次不等式的性质应用，属于基础题．7．（2024•天元区校级开学）函数y＝kx2﹣2与y=kx(k≠0)A． B． C． D．【考点】二次函数的性质与图象．【专题】计算题；整体思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算．【答案】C【分析】根据k＞0，k＜0，结合两个函数的图象及其性质分类讨论．【解答】解：分两种情况讨论：①当k＞0时，反比例函数y=k而二次函数y＝kx2﹣2开口向上，与y轴交点为（0，﹣2），都不符；②当k＜0时，反比例函数y=k而二次函数y＝kx2﹣2开口向下，与y轴交点为（0，﹣1），C符合．故选：C．【点评】本题主要考查二次函数、反比例函数的图象特点，属于基础题．8．（2024•天元区校级开学）下列方程中两根之和为6的是（）A．x2﹣6x+15＝0 B．x2﹣12x+6＝0 C．2x2﹣6x﹣3＝0 D．3x2﹣18x+17＝0【考点】一元二次方程的根的分布与系数的关系．【专题】计算题；整体思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算．【答案】D【分析】先判断每个方程的Δ是否大于等于0，确定方程是否有解，进而利用根与系数的关系求解即可得结论．【解答】解：对于A：x2﹣6x+15＝0，Δ＝（﹣6）2﹣4×1×15＝﹣24＜0，所以方程无实数根，故A不满足题意；对于B：x2﹣12x+6＝0，Δ＝（﹣12）2﹣4×1×6＝120＞0，所以方程有两个不等实数根且两根之和为-ba=12对于C：2x2﹣6x﹣3＝0，Δ＝（﹣6）2﹣4×2×（﹣3）＝60＞0，所以方程有两个不等实数根且两根之和为-ba=3对于D：3x2﹣18x+17＝0，Δ＝（﹣18）2﹣4×3×17＝120＞0，所以方程有两个不等实数根且两根之和为-ba=6故选：D．【点评】本题考查了根与系数的关系，属于基础题．二．多选题（共4小题）（多选）9．（2024•天元区校级开学）已知二次函数y＝（m﹣2）x2+2mx+m﹣3的图像与x轴有两个交点（x1，0），（x2，0），则下面说法正确的是（）A．该二次函数的图像一定过定点（﹣1，﹣5） B．若该函数图像开口向下，则m的取值范围为：65C．当m＞2，且1≤x≤2时，y的最大值为4m﹣5 D．当m＞2，且该函数图像与x轴两交点的横坐标x1，x2满足﹣3＜x1＜﹣2，﹣1＜x2＜0时，m的取值范围为：21【考点】二次函数的性质与图象．【专题】计算题；整体思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算．【答案】ABD【分析】代入x＝﹣1，解得y＝﹣5，即可求解A，根据判别式即可求解B，利用二次函数的单调性即可求解C，利用二次函数的图象性质即可列不等式求解D．【解答】解：由y＝（m﹣2）x2+2mx+m﹣3可得y＝m（x+1）2﹣2x2﹣3，当x＝﹣1时，y＝﹣5，故二次函数的图象一定过定点（﹣1，﹣5），A正确；若该函数图象开口向下，且与x轴有两个不同交点，则m-解得：65＜m当m＞2，函数开口向上，对称轴为x=-mm-2＜0，故函数在1当x＝2时，y＝9m﹣11，故y的最大值为9m﹣11，C错误；当m＞2，则开口向上，又﹣3＜x1＜﹣2，﹣1＜x2＜0时，则x＝﹣3，y＝4m﹣21＞0，且x＝﹣2，y＝m﹣11＜0，且x＝﹣1，y＝﹣5＜0，且x＝0，y＝m﹣3＞0，解得214＜m＜11故选：ABD．【点评】本题考查了二次函数的性质，属于中档题．（多选）10．（2023秋•环县校级期末）下列不等式的解集为R的是（）A．x2+6x+10＞0 B．x2C．﹣x2+x﹣2＜0 D．2x2﹣3x﹣3＜0【考点】一元二次不等式及其应用．【专题】整体思想；综合法；不等式的解法及应用；数学运算．【答案】AC【分析】利用一元二次不等式的解法逐个分析判断即可．【解答】解：对于选项A，因为Δ＝62﹣4×1×10＝﹣4＜0，1＞0，所以不等式x2+6x+10＞0的解集为R，故选项A正确；对于选项B，因为Δ=(25所以方程x2+25所以不等式x2+25x+5＞对于选项C，因为Δ＝12﹣4×（﹣1）×（﹣2）＝﹣7＜0，所以不等式﹣x2+x﹣2＜0的解集为R，故选项C正确；对于选项D，因为Δ＝（﹣3）2﹣4×2×（﹣3）＝33＞0，所以方程2x2﹣3x﹣3＝0的根为x=3±所以不等式2x2﹣3x﹣3＜0的解集为{x|3-334故选：AC．【点评】本题主要考查了一元二次不等式的解法，属于基础题．（多选）11．（2024秋•武功县校级月考）已知不等式x2﹣2x﹣3＜0的解集为A，不等式x2+x﹣6＜0的解集为B，不等式x2+ax+b＜0的解集是A∩B，则（）A．A∪B＝{x|﹣3＜x＜3} B．A∪B＝{x|x＞﹣3} C．a+b＝﹣1 D．a+b＝﹣3【考点】解一元二次不等式．【专题】集合思想；综合法；集合；数学运算．【答案】AD【分析】可求出集合A，B，然后即可求出A∩B和A∪B，然后根据条件可求出a，b的值，从而得出正确的选项．【解答】解：A＝{x|﹣1＜x＜3}，B＝{x|﹣3＜x＜2}，∴A∩B＝{x|﹣1＜x＜2}，A∪B＝{x|﹣3＜x＜3}，又x2+ax+b＜0的解集是A∩B，∴﹣1，2是方程x2+ax+b＝0的两实根，∴﹣1+2＝﹣a，﹣1×2＝b，∴a＝﹣1，b＝﹣2，∴a+b＝﹣3．故选：AD．【点评】本题考查了一元二次不等式的解法，韦达定理，交集和并集的定义及运算，是基础题．（多选）12．（2024•南靖县校级开学）已知不等式ax2+2x+c＞0的解集为{x|-A．a＝﹣12 B．c＝﹣12 C．c＝2 D．a＝2【考点】由一元二次不等式的解求参数．【专题】整体思想；综合法；不等式的解法及应用；数学运算．【答案】AC【分析】根据一元二次不等式的解与二次方程的根的关系，利用韦达定理即可求解．【解答】解：由于不等式ax2+2x+c＞0的解集为{x|-所以x=-13和x=12是方程ax2+2x故-13+12=-2a且-1故选：AC．【点评】本题主要考查了二次方程与二次不等式转化关系及方程的根与系数关系的应用，属于基础题．三．填空题（共4小题）13．（2024•天元区校级开学）如图，一段抛物线y＝﹣x（x﹣3）（0≤x≤3）记为C1，它与x轴交于点O、A1；将C1绕点A1旋转180°得到C2，交x轴于点A2；将C2绕点A2旋转180°得到C3，交x轴于点A3…如此进行下去，直至得到C13．若P（37，m）在第13段抛物线C13上，则m＝2．【考点】二次函数的性质与图象．【专题】计算题；整体思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算．【答案】2．【分析】结合图象根据图象的变换规律，可得出图象C13与x轴的交点坐标，从而得出C13的表达式，代入求解即可．【解答】解：由题知图象C1与x轴的交点坐标分别为（0，0），（3，0），图象在x轴上方，图象C2与x轴的交点坐标分别为（3，0），（6，0），图象在x轴下方，图象C3与x轴的交点坐标分别为（6，0），（9，0），图象在x轴上方，…以此类推，图象C13与x轴的交点坐标分别为（36，0），（39，0），且图象在x轴上方，∴C13的表达式为y13＝﹣（x﹣36）（x﹣39），当x＝37时，y＝﹣（37﹣36）×（37﹣39）＝2，即m＝2．故答案为：2．【点评】本题考查了二次函数的图象和性质，属于中档题．14．（2024•王益区校级模拟）若实数x，y满足约束条件x-4y+2≤0x-y-1≤0y≥0，则z＝x﹣3y【考点】简单线性规划．【专题】数形结合；数形结合法；不等式的解法及应用；数学运算．【答案】﹣1．【分析】作出不等式组表示的可行域，由z＝x﹣3y，得y=13x-z3，作出直线y=13x，向上平移过点A时，z取得最大值，求出点A【解答】解：实数x，y满足约束条件x-由z＝x﹣3y，得y=13x-z3，作出直线y=由x-4y+2=0x-y-1=0，解得x＝2，y＝1，即A（2所以zmax＝2﹣3＝﹣1，即z＝x﹣3y的最大值为﹣1．故答案为：﹣1．【点评】本题考查简单的线性规划问题，考查运算求解能力，属于基础题．15．（2024秋•广陵区校级月考）已知集合A＝{x|（x+1）（x﹣a）≤0}，B＝{x|（x+3）（x+2）（x﹣1）＝0}，若A∩B≠∅，则实数a的取值范围为（﹣∞，﹣2]∪[1，+∞）．【考点】解一元二次不等式；求集合的交集．【专题】转化思想；转化法；不等式的解法及应用；数学运算．【答案】（﹣∞，﹣2]∪[1，+∞）．【分析】根据条件A∩B≠∅，逐一讨论集合A，求出符合条件的a即可．【解答】解：由题可得B＝{﹣3，﹣2，1}，当a＝﹣1时，A＝{﹣1}，则A∩B＝∅，不满足条件；当a＜﹣1时，A＝{x|a≤x≤﹣1}，要使A∩B≠∅，则a≤﹣2，当a＞﹣1时，A＝{x|﹣1≤x≤a}，要使A∩B≠∅，则a≥1，综上，实数a的取值范围为（﹣∞，﹣2]∪[1，+∞）．故答案为：（﹣∞，﹣2]∪[1，+∞）【点评】本题主要考查解一元二次不等式，属于基础题．16．（2024•平罗县校级三模）设x，y满足约束条件y≥0x-y≥0x+y≤2，则z＝2x﹣y的最大值为【考点】简单线性规划．【专题】计算题；数形结合；转化思想；综合法；不等式的解法及应用；数学运算．【答案】4．【分析】由题意画出可行域，利用目标函数的几何意义结合图象即可求解．【解答】解：作出可行域如下：由z＝2x﹣y可得y＝2x﹣z，由图可知当直线y＝2x﹣z过点（2，0）时，﹣z最小，则z最大，此时z＝2x﹣y＝2×2﹣0＝4．故答案为：4．【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键，是基础题．四．解答题（共4小题）17．（2024•福鼎市校级开学）解关于x的不等式ax2﹣4≥2x﹣2ax（a∈R）．【考点】解一元二次不等式．【专题】转化思想；转化法；不等式的解法及应用；数学运算．【答案】当a＝0时，不等式的解集为{x|x≤﹣2}；当a＞0时，不等式的解集为{x|x≥当﹣1＜a＜0时，不等式的解集为{x|2当a＝﹣1时，不等式的解集为{﹣2}；当a＜﹣1时，不等式的解集为{x|-【分析】先将不等式变形，然后分a＝0，a＞0和a＜0三种情况，在a＜0时，再分三种情况，求出不等式解集．【解答】解：不等式ax2﹣4≥2x﹣2ax化为ax2+（2a﹣2）x﹣4≥0，①当a＞0时，原不等式化为(x-2a)(x+2)≥0，解得x≥②当a＝0时，原不等式化为2x+4≤0，解得x≤﹣2．③当a＜0时，原不等式化为(x-当2a＞-2，即a＜﹣1当2a=-2，即a＝﹣1时，解得x＝﹣当2a＜-2，即﹣1＜a＜0综上所述，当a＝0时，不等式的解集为{x|x≤﹣2}；当a＞0时，不等式的解集为{x|x≥当﹣1＜a＜0时，不等式的解集为{x|2当a＝﹣1时，不等式的解集为{﹣2}；当a＜﹣1时，不等式的解集为{x|-【点评】本题主要考查解一元二次不等式，属于基础题．18．（2024•新蔡县校级开学）已知函数y＝x2﹣（a+2）x+2a，a∈R．（1）解关于x的不等式y＜0；（2）若方程x2﹣（a+2）x+2a＝x+1有两个正实数根x1，x2，求|x1﹣x2|的最小值．【考点】一元二次方程的根的分布与系数的关系；解一元二次不等式．【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算．【答案】（1）当a＜2时，不等式的解集为{x|a＜x＜2}；当a＝2时，不等式的解集为∅；当a＞2时，不等式的解集为{x|2＜x＜a}；（2）23【分析】（1）因式分解得到（x﹣a）（x﹣2）＜0，分a＜2，a＝2和a＞2三种情况，求出不等式的解集；（2）由韦达定理和根的判别式得到不等式，求出a＞12，表达出|x1-x2|【解答】解：（1）不等式y＜0即为x2﹣（a+2）x+2a＜0，∴（x﹣a）（x﹣2）＜0，方程（x﹣a）（x﹣2）＝0的两根分别为2和a，当a＜2时，解不等式可得a＜x＜2，当a＝2时，不等式无解，当a＞2时，解不等式可得2＜x＜a，综上可知：当a＜2时，不等式的解集为{x|a＜x＜2}；当a＝2时，不等式的解集为∅；当a＞2时，不等式的解集为{x|2＜x＜a}；（2）方程x2﹣（a+2）x+2a＝x+1有两个正实数根x1，x2，即方程x2﹣（a+3）x+2a﹣1＝0有两个正实数根x1，x2，则Δ=(a+3)解得a＞由韦达定理得，x1+x2＝a+3，x1x2＝2a﹣1，故|x当a＝1时，|x故|x1﹣x2|的最小值为23【点评】本题主要考查了一元二次不等式的解法，考查了韦达定理的应用，属于中档题．19．（2024•碑林区校级开学）已知二次函数f（x）＝ax2+bx+c（a≠0）．（1）若不等式f（x）＞0的解集为{x|0＜x＜3}，解关于x的不等式bx2+3ax﹣（c+2b）＜0．（2）若a＞0且b＝﹣a﹣1，c＝1，解关于x的不等式f（x）＜0．【考点】解一元二次不等式．【专题】转化思想；综合法；不等式的解法及应用；数学运算．【答案】（1）{x|﹣1＜x＜2}（2）当0＜a＜1时，不等式的解集为{x|1＜当a＝1时，不等式的解集为∅；当a＞1时，不等式的解集为{x|1【分析】（1）由已知得b＝﹣3a，c＝0，a＜0，代入所求不等式得﹣3ax2+3ax+6a＜0（a＜0）从而求得解集；（2）由已知f（x）＜0转化为ax2﹣（a+1）x+1＜0，又a＞0，再解含参的一元二次不等式可得答案．【解答】解：（1）∵ax2+bx+c＞0的解集为{x|0＜x＜3}，∴a＜∴b＝﹣3a，c＝0，a＜0，∴bx2+3ax﹣（c+2b）＜0⇔﹣3ax2+3ax+6a＜0（a＜0），则x2﹣x﹣2＜0，即（x+1）（x﹣2）＜0，∴所求不等式的解集为{x|﹣1＜x＜2}．（2）由b＝﹣a﹣1，c＝1，得f（x）＝ax2+（﹣a﹣1）x+1，则f（x）＜0，即ax2﹣（a+1）x+1＜0，又a＞0，则不等式可化为(x-当0＜a＜1时，不等式的解集为{x|1＜当a＝1时，不等式的解集为∅；当a＞1时，不等式的解集为{x|1【点评】本题考查了不等式的解法，考查了方程思想和转化思想，属中档题．20．（2024春•西湖区校级期末）二次函数f（x）满足f（x+1）﹣f（x）＝2x﹣1，且f（0）＝2．（1）求f（x）的解析式；（2）若x∈[﹣1，2]时，y＝f（x）的图象恒在y＝﹣x+a图象的上方，试确定实数a的取值范围．【考点】二次函数的性质与图象．【专题】对应思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算．【答案】（1）f（x）＝x2﹣2x+2．（2）(-∞，【分析】（1）设f（x）＝ax2+bx+c（a≠0），利用f（0）＝2求得c，由f（x+1）﹣f（x）＝2x﹣1可求得a，b，即得答案；（2）依题意可得当x∈[﹣1，2]时，x2﹣2x+2＞﹣x+a恒成立，参变分离可得a＜x2﹣x+2恒成立，再令g（x）＝x2﹣x+2，x∈[﹣1，2]，求出g（x）min，即可求出参数的取值范围．【解答】解：（1）由题意设f（x）＝ax2+bx+c（a≠0），由f（0）＝2得c＝2；由f（x+1）﹣f（x）＝2x﹣1得a（x+1）2+b（x+1）+c﹣ax2﹣bx﹣c＝2x﹣1，即2ax+a+b＝2x﹣1恒成立，故2a=2a+b=-1，则a=1故f（x）＝x2﹣2x+2；（2）因为当x∈[﹣1，2]时，y＝f（x）的图象恒在y＝﹣x+a图象的上方，所以当x∈[﹣1，2]时，x2﹣2x+2＞﹣x+a恒成立，即当x∈[﹣1，2]时，a＜x2﹣x+2恒成立，令g（x）＝x2﹣x+2，x∈[﹣1，2]，则g(x)=(x-12)2所以g(x)所以a＜74，即实数a【点评】本题考查了二次函数的图像与性质，属于基础题．

考点卡片1．交集及其运算【知识点的认识】由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合叫做A与B的交集，记作A∩B．符号语言：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}．A∩B实际理解为：x是A且是B中的相同的所有元素．当两个集合没有公共元素时，两个集合的交集是空集，而不能说两个集合没有交集．运算性质：①A∩B＝B∩A．②A∩∅＝∅．③A∩A＝A．④A∩B⊆A，A∩B⊆B．⑤A∩B＝A⇔A⊆B．⑥A∩B＝∅，两个集合没有相同元素．⑦A∩（∁UA）＝∅．⑧∁U（A∩B）＝（∁UA）∪（∁UB）．【解题方法点拨】解答交集问题，需要注意交集中：“且”与“所有”的理解．不能把“或”与“且”混用；求交集的方法是：①有限集找相同；②无限集用数轴、韦恩图．【命题方向】掌握交集的表示法，会求两个集合的交集．命题通常以选择题、填空题为主，也可以与函数的定义域，值域，函数的单调性、复合函数的单调性等联合命题．2．求集合的交集【知识点的认识】由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合叫做A与B的交集，记作A∩B．符号语言：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}．A∩B实际理解为：x是A且是B中的相同的所有元素．当两个集合没有公共元素时，两个集合的交集是空集，而不能说两个集合没有交集．运算性质：①A∩B＝B∩A．②A∩∅＝∅．③A∩A＝A．④A∩B⊆A，A∩B⊆B．【解题方法点拨】解答交集问题，需要注意交集中：“且”与“所有”的理解．不能把“或”与“且”混用；求交集的方法是：①有限集找相同；②无限集用数轴、韦恩图．【命题方向】掌握交集的表示法，会求两个集合的交集．已知集合A＝{x∈Z|x+1≥0}，B＝{x|x2﹣x﹣6＜0}，则A∩B＝（）解：因为A＝{x∈Z|x+1≥0}＝{x∈Z|x≥﹣1}，B＝{x|x2﹣x﹣6＜0}＝{x|﹣2＜x＜3}，所以A∩B＝{﹣1，0，1，2}．故选：D．3．二次函数的性质与图象【知识点的认识】二次函数相对于一次函数而言，顾名思义就知道它的次数为二次，且仅有一个自变量，因变量随着自变量的变化而变化．它的一般表达式为：y＝ax2+bx+c（a≠0）【解题方法点拨】二次函数是一个很重要的知识点，不管在前面的选择题填空题还是解析几何里面，或是代数综合体都有可能出题，其性质主要有初中学的开口方向、对称性、最值、几个根的判定、韦达定理以及高中学的抛物线的焦点、准线和曲线的平移．这里面略谈一下他的一些性质．①开口、对称轴、最值与x轴交点个数，当a＞0（＜0）时，图象开口向上（向下）；对称轴x=-b2a；最值为：f（-b2a）；判别式△＝b2﹣4ac，当△＝0时，函数与x轴只有一个交点；△＞0②根与系数的关系．若△≥0，且x1、x2为方程y＝ax2+bx+c的两根，则有x1+x2=-ba，x1•x③二次函数其实也就是抛物线，所以x2＝2py的焦点为（0，p2），准线方程为y=-p④平移：当y＝a（x+b）2+c向右平移一个单位时，函数变成y＝a（x﹣1+b）2+c；【命题方向】熟悉二次函数的性质，会画出抛物线的准确形状，特别是注意抛物线焦点和准线的关系，抛物线最值得取得，这也是一个常考点．4．一元二次不等式及其应用【知识点的认识】含有一个未知数且未知数的最高次数为2的不等式叫做一元二次不等式．它的一般形式是ax2+bx+c＞0或ax2+bx+c＜0（a不等于0）其中ax2+bx+c是实数域内的二次三项式．特征当△＝b2﹣4ac＞0时，一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实根，那么ax2+bx+c可写成a（x﹣x1）（x﹣x2）当△＝b2﹣4ac＝0时，一元二次方程ax2+bx+c＝0仅有一个实根，那么ax2+bx+c可写成a（x﹣x1）2．当△＝b2﹣4ac＜0时．一元二次方程ax2+bx+c＝0没有实根，那么ax2+bx+c与x轴没有交点．【解题方法点拨】例1：一元二次不等式x2＜x+6的解集为．解：原不等式可变形为（x﹣3）（x+2）＜0所以，﹣2＜x＜3故答案为：（﹣2，3）．这个题的特点是首先它把题干变了形，在这里我们必须要移项写成ax2+bx+c＜0的形式；然后应用了特征当中的第一条，把它写成两个一元一次函数的乘积，所用的方法是十字相乘法；最后结合其图象便可求解．【命题方向】①一元二次不等式恒成立问题：一元二次不等式ax2+bx+c＞0的解集是R的等价条件是：a＞0且△＜0；一元二次不等式ax2+bx+c＜0的解集是R的等价条件是：a＜0且△＜0．②分式不等式问题：f(x)g(x)＞0⇔f（x）•g（x）＞f(x)g(x)＜0⇔f（x）•g（x）＜f(x)g(x)≥0⇔f(x)g(x)≤0⇔5．解一元二次不等式【知识点的认识】含有一个未知数且未知数的最高次数为2的不等式叫做一元二次不等式．它的一般形式是ax2+bx+c＞0或ax2+bx+c＜0（a不等于0）其中ax2+bx+c是实数域内的二次三项式．特征当△＝b2﹣4ac＞0时，一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实根，那么ax2+bx+c可写成a（x﹣x1）（x﹣x2）当△＝b2﹣4ac＝0时，一元二次方程ax2+bx+c＝0仅有一个实根，那么ax2+bx+c可写成a（x﹣x1）2．当△＝b2﹣4ac＜0时．一元二次方程ax2+bx+c＝0没有实根，那么ax2+bx+c与x轴没有交点．【解题方法点拨】例1：一元二次不等式x2＜x+6的解集为．解：原不等式可变形为（x﹣3）（x+2）＜0所以，﹣2＜x＜3故答案为：（﹣2，3）．这个题的特点是首先它把题干变了形，在这里我们必须要移项写成ax2+bx+c＜0的形式；然后应用了特征当中的第一条，把它写成两个一元一次函数的乘积，所用的方法是十字相乘法；最后结合其图象便可求解．【命题方向】一元二次不等式ax2+bx+c＞0﹣将不等式转化为ax2+bx+c＝0形式，求出根．﹣根据根的位置，将数轴分为多个区间．﹣在各区间内选择测试点，确定不等式在每个区间内的取值情况．﹣综合各区间的解，写出最终解集．不等式x2﹣2x＞0的解集是（）解：不等式x2﹣2x＞0整理可得x（x﹣2）＞0，可得x＞2或x＜0，{x|x＜0或x＞2}6．由一元二次不等式的解求参数【知识点的认识】含有一个未知数且未知数的最高次数为2的不等式叫做一元二次不等式．它的一般形式是ax2+bx+c＞0或ax2+bx+c＜0（a不等于0）其中ax2+bx+c是实数域内的二次三项式．特征当△＝b2﹣4ac＞0时，一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实根，那么ax2+bx+c可写成a（x﹣x1）（x﹣x2）当△＝b2﹣4ac＝0时，一元二次方程ax2+bx+c＝0仅有一个实根，那么ax2+bx+c可写成a（x﹣x1）2．当△＝b2﹣4ac＜0时．一元二次方程ax2+bx+c＝0没有实根，那么ax2+bx+c与x轴没有交点．【解题方法点拨】例1：一元二次不等式x2＜x+6的解集为．解：原不等式可变形为（x﹣3）（x+2）＜0所以，﹣2＜x＜3故答案为：（﹣2，3）．这个题的特点是首先它把题干变了形，在这里我们必须要移项写成ax2+bx+c＜0的形式；然后应用了特征当中的第一条，把它写成两个一元一次函数的乘积，所用的方法是十字相乘法；最后结合其图象便可求解．【命题方向】一元二次不等式ax2+bx+c＞0，﹣设定一元二次不等式的解，并根据解的形式建立不等式．﹣求出根，结合数轴分析区间．﹣通过区间分析，确定参数的取值范围．设a，b，c为常数，若不等式ax2+bx+c＞0的解集是（﹣3，2），则不等式ax2﹣bx+c＜0的解集是（）解：不等式ax2+bx+c＞0的解集是（﹣3，2），可得﹣3，2是方程ax2+bx+c＝0的两根，且a＜0，则-3+2=-ba-3×2=ca不等式ax2﹣bx+c＜0整理可得x2-bax+即x2﹣x﹣6＞0，解得x＞3或x＜﹣2，所以不等式ax2﹣bx+c＜0的解集为（3，+∞）∪（﹣∞，﹣2）．7．一元二次方程的根的分布与系数的关系【知识点的认识】一元二次方程根与系数的关系其实可以用一个式子来表达，即当ax2+bx+c＝0（a≠0）有解时，不妨设它的解为x1，x2，那么这个方程可以写成ax2﹣a（x1+x2）x+ax1•x2＝0．即x2﹣（x1+x2）x+x1•x2＝0．它表示根与系数有如下关系：x1+x2=-ba，x1•x【解题方法点拨】例：利用根与系数的关系求出二次项系数为1的一元二次方程，使它的两根分别是方程x2﹣3x+1＝0两根的平方．解：方程x2﹣3x+1＝0中，∵a＝1，b＝﹣3，c＝1，∴△＝9﹣4＝5＞0，即方程有两个不相等的实数根，设方程两根分别为x1，x2，∴x1+x2＝3，x1x2＝1，∴（x1+x2）2=x12+x22+2x∴x12+x22=7，又x12x22则所求方程为x2﹣7x+1＝0．这个题基本上是套用定理，唯一注意的是x1+x2与x1•x2可以变换，不管是变成加还是减还是倒数，都可以应用上面的公式（韦达定理）．【命题方向】首先申明，这是必考点．一般都是在解析几何里面，通过联立方程，求出两交点的横坐标与系数的关系，然后通过这个关系去求距离，或者斜率的积等等．所以在复习的时候要结合解析几何一同复习效果更佳．8．一次函数的性质与图象【知识点的认识】所谓一次函数，就是指只有一个自变量，自变量的次数为1，且因变量随着自变量的变化而变化，其表达形式有y＝kx+b（k≠0）、ay+bx+c＝0（ab≠0）、xa+yb=1（【解题方法点拨】一次函数作为最基本的函数，作为一个单独的考点的可能性甚低，一般能涉及到一次函数的地方一般都是关于恒成立问题和解析几何里，但我们也有必要了解一次函数的一些重要性质．①一次函数的斜率：点斜式的斜率为k，一般式的斜率和截距式的斜率为-b②一次函数的图象：是一条直线，注意必过的点和斜率即可，如点斜式必过（0，b）点；③点到直线的距离：如（m，n）到直线y＝kx+b的距离公式为；d=【命题方向】一次函数是最基本的函数，大家理应掌握，其中比较重要的是图形的画法和点到直线的距离和直线截某曲线的弦长是一个要重视的地方．9．简单线性规划【知识点的认识】线性规划主要用于解决生活、生产中的资源利用、人力调配、生产安排等问题，它是一种重要的数学模型．简单的线性规划指的是目标函数含两个自变量的线性规划，其最优解可以用数形结合方法求出．我们高中阶段接触的主要是由三个二元一次不等式组限制的可行域，然后在这个可行域上面求某函数的最值或者是斜率的最值．【解题方法点拨】1．画出平面区域．避免失误的重要方法就是首先使二元一次不等式标准化．2．在通过求直线的截距zb的最值间接求出z的最值时，要注意：当b＞0时，截距zb取最大值时，z也取最大值；截距zb取最小值时，z也取最小值；当b＜0时，截距zb取最大值时，z取最小值；截距【命题方向】例：若目标函数z＝x+y中变量x，y满足约束条件x+2y≥（1）试确定可行域的面积；（2）求出该线性规划问题中所有的最优解．解：（1）作出可行域如图：对应得区域为直角三角形ABC，其中B（4，3），A（2，3），C（4，2），则可行域的面积S=1（2）由z＝x+y，得y＝﹣x+z，则平移直线y＝﹣x+z，则由图象可知当直线经过点A（2，3）时，直线y＝﹣x+z得截距最小，此时z最小为z＝2+3＝5，当直线经过点B（4，3）时，直线y＝﹣x+z得截距最大，此时z最大为z＝4+3＝7，故该线性规划问题中所有的最优解为（4，3），（2，3）这是高中阶段接触最多的关于线性规划的题型，