2025年中考数学复习新题速递之图形的对称（2024年9月）

第1页（共1页）2025年中考数学复习新题速递之图形的对称（2024年9月）一．选择题（共10小题）1．（2024•沙坪坝区自主招生）如下字体的四个汉字中，是轴对称图形的是（）A． B． C． D．2．（2024•湖北模拟）如图，“箭头”是一个轴对称图形，AB∥CD，∠B＝80°，∠E＝46°，则图中∠G的度数是（）A．78° B．70° C．68° D．58°3．（2024•西乡塘区校级模拟）在直角坐标系中，点P（2，1）关于x轴对称的点的坐标是（）A．（2，1） B．（﹣2，1） C．（2，﹣1） D．（﹣2，﹣1）4．（2023秋•船山区期末）在平面直角坐标系xOy中，与点（2，5）关于y轴对称的点是（）A．（﹣2，5） B．（2，﹣5） C．（﹣2，﹣5） D．（5，2）5．（2023秋•潮南区期末）如图，等边△ABC中，D为AC中点，点P、Q分别为AB、AD上的点，且BP＝AQ＝4，QD＝3，在BD上有一动点E，则PE+QE的最小值为（）A．7 B．8 C．10 D．126．（2024春•新会区期末）如图，已知矩形ABCD沿着直线BD折叠，使点C落在C′处，BC′交AD于E，AD＝8，AB＝4，则DE的长为（）A．3 B．4 C．5 D．67．（2024•临湘市校级开学）在下面平面图形中，对称轴最多的是（）A．扇形 B．长方形 C．正方形 D．等边三角形8．（2024•旌阳区模拟）围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史，下列由黑白棋子摆成的图案是轴对称图形的是（）A． B． C． D．9．（2024•港南区二模）点（﹣2，3）关于x轴的对称点的坐标为（）A．（﹣2，﹣3） B．（2，3） C．（﹣2，3） D．（2，﹣3）10．（2024•凤城市二模）在一条沿直线MN铺设的电缆两侧有甲、乙两个小区，现要求在MN上选取一点P，向两个小区铺设电缆．下面四种铺设方案中，使用电缆材料最少的是（）A． B． C． D．二．填空题（共5小题）11．（2024•开福区校级开学）已知点P（﹣2，﹣4）关于x轴对称的点的坐标是．12．（2024•渝北区自主招生）如图，将正五边形纸片ABCDE折叠，使点B与点E重合，折痕为AM，展开后，再将纸片折叠，使边AB落在线段AM上，点B的对应点为点B′，折痕为AF，则∠AFC的度数为．13．（2024•路桥区校级开学）如图，在等腰△ABO中，∠ABO＝90°，腰长为2，则A点关于y轴的对称点的坐标为．14．（2024春•龙江县期末）如图已知长方形ABCD中AB＝8cm，BC＝10cm，在边CD上取一点E，将△ADE折叠使点D恰好落在BC边上的点F，则CE的长为．15．（2023秋•牧野区校级期末）在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝1，点D是AB边上一动点，将△ACD沿直线CD翻折，使点A落在点E处，连接CE交AB于点F．当△DEF是直角三角形时，AD＝．三．解答题（共5小题）16．（2024春•来宾期中）小林同学是一名剪纸爱好者，喜欢运用数学知识对自己的剪纸作品进行分析思考，下面是他利用勾股定理对部分剪纸作品的数量关系进行探究思考的过程，请你帮助他一起完成．（1）如图1，图案1是以Rt△ABC的三条边为直径，向外作半圆，其面积分别记为S1，S2，S3，请写出S1，S2，S3之间的数量关系：．（2）如图2，这是由四个全等的直角三角形紧密地拼接形成的飞镖状图案，测得外围轮廓（实线）的周长为80，OC＝5，求该飞镖状图案的面积．（3）如图3，这是由八个全等的直角三角形紧密地拼接形成的大正方形ABCD，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3．若S1+S2+S3＝16，则S2＝．17．（2024•路桥区校级开学）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一个格点三角形ABC（即三角形的顶点都在格点上）．（1）在图中作出△ABC关于直线MN的对称图形△A1B1C1；（2）在MN上找一点P，使得PB+PC的距离最短，在图中作出P点的位置；（保留作图痕迹）（3）若点B坐标为（﹣1，3），点B1坐标为（5，3），则△ABC上一点P（a，b）的对应点P1坐标表示为．18．（2023秋•齐齐哈尔期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，点O（0，0），A（﹣1，2），B（2，1）．（1）在图中画出△AOB关于y轴对称的△A1OB1，并直接写出点A1和点B1的坐标；（2）在x轴上画出点P，使得PA+PB的值最小（保留作图痕迹）．19．（2024春•广平县校级月考）如图，点O，A，B，C都在正方形网格图中的格线交点处．（1）以点O为坐标原点，向东方向为x轴正方向，向北方向为y轴正方向，每个小正方形的边长为单位长度，建立平面直角坐标系，并写出A，B，C三点的坐标；（2）在（1）中建立的坐标系中标出点D（2，﹣3），E（0，﹣1），F（2，1），并判断由点D，E，F围成的三角形是不是轴对称图形．20．（2023秋•法库县期末）如图，在直角坐标系中，A（﹣1，5），B（﹣3，0），C（﹣4，3）．（1）在图中作出△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1；（2）写出点C1的坐标；（3）求△ABC的面积．

2025年中考数学复习新题速递之图形的对称（2024年9月）参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．（2024•沙坪坝区自主招生）如下字体的四个汉字中，是轴对称图形的是（）A． B． C． D．【考点】轴对称图形．【专题】平移、旋转与对称；运算能力．【答案】D【分析】根据轴对称的定义判断即可．【解答】解：根据轴对称的定义，是轴对称图形，故选：D．【点评】本题主要考查轴对称图形，熟练掌握轴对称图形是解题的关键．2．（2024•湖北模拟）如图，“箭头”是一个轴对称图形，AB∥CD，∠B＝80°，∠E＝46°，则图中∠G的度数是（）A．78° B．70° C．68° D．58°【考点】轴对称图形；平行线的性质．【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．【答案】C【分析】延长AB交EG于M，延长CD交FG于N，过G作GK∥AB，得到GK∥CD，推出∠KGM＝∠EMB，∠KGN＝∠DNF，得到∠EGF＝∠EMB+∠DNF，由三角形外角的性质得到∠EMB＝34°，∠DNF＝34°，即可求出∠EGF的度数．【解答】解：延长AB交EG于M，延长CD交FG于N，过G作GK∥AB，∵“箭头”是一个轴对称图形，∴∠CDF＝∠ABE＝80°，∠F＝∠E＝46°，∵AB∥CD，GK∥AB，∴GK∥CD，∴∠KGM＝∠EMB，∠KGN＝∠DNF，∴∠KGM+∠KGN＝∠EMB+∠DNF，∴∠EGF＝∠EMB+∠DNF，∵∠ABE＝80°，∠E＝46°，∴∠EMB＝∠ABE﹣∠E＝34°，同理：∠DNF＝34°，∴∠EGF＝∠EMB+∠DNF＝34°+34°＝68°．故选：C．【点评】本题考查平行线的性质以及轴对称图形，正确作出辅助线是解答本题的关键．3．（2024•西乡塘区校级模拟）在直角坐标系中，点P（2，1）关于x轴对称的点的坐标是（）A．（2，1） B．（﹣2，1） C．（2，﹣1） D．（﹣2，﹣1）【考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标．【答案】C【分析】根据关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数可直接得到答案．【解答】解：点P（2，1）关于x轴对称的点的坐标是（2，﹣1），故选：C．【点评】此题主要考查了关于x轴对称点的坐标特点，关键是掌握点的坐标的变化规律．4．（2023秋•船山区期末）在平面直角坐标系xOy中，与点（2，5）关于y轴对称的点是（）A．（﹣2，5） B．（2，﹣5） C．（﹣2，﹣5） D．（5，2）【考点】坐标与图形变化﹣对称．【专题】平移、旋转与对称；推理能力．【答案】A【分析】根据关于y轴对称的点的纵坐标不变，横坐标互为相反数解答即可．【解答】解：∵点（2，5），∴与点（2，5）关于y轴对称的点（﹣2，5）．故选：A．【点评】本题考查的是坐标与图形变化﹣对称，熟知关于y轴对称的点的纵坐标不变，横坐标互为相反数是解题的关键．5．（2023秋•潮南区期末）如图，等边△ABC中，D为AC中点，点P、Q分别为AB、AD上的点，且BP＝AQ＝4，QD＝3，在BD上有一动点E，则PE+QE的最小值为（）A．7 B．8 C．10 D．12【考点】轴对称﹣最短路线问题；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．【专题】平移、旋转与对称；几何直观．【答案】C【分析】作点Q关于BD的对称点Q′，连接PQ′交BD于E，连接QE，此时PE+EQ的值最小．最小值PE+QE＝PE+EQ′＝PQ′，【解答】解：如图，∵△ABC是等边三角形，∴BA＝BC，∵D为AC中点，AQ＝4，QD＝3，∴AD＝DC＝AQ+QD＝7，作点Q关于BD的对称点Q′，连接PQ′交BD于E，连接QE，此时PE+EQ的值最小．最小值PE+QE＝PE+EQ′＝PQ′，∵AQ＝4cm，AD＝DC＝7，∴QD＝DQ′＝3，∴CQ′＝BP＝4，∴AP＝AQ′＝10，∵∠A＝60°，∴△APQ′是等边三角形，∴PQ′＝PA＝10，∴PE+QE的最小值为10．故选：C．【点评】本题考查等边三角形的性质和判定，轴对称最短问题等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型．6．（2024春•新会区期末）如图，已知矩形ABCD沿着直线BD折叠，使点C落在C′处，BC′交AD于E，AD＝8，AB＝4，则DE的长为（）A．3 B．4 C．5 D．6【考点】翻折变换（折叠问题）．【答案】C【分析】先根据翻折变换的性质得出CD＝C′D，∠C＝∠C′＝90°，再设DE＝x，则AE＝8﹣x，由全等三角形的判定定理得出Rt△ABE≌Rt△C′DE，可得出BE＝DE＝x，在Rt△ABE中利用勾股定理即可求出x的值，进而得出DE的长．【解答】解：∵Rt△DC′B由Rt△DBC翻折而成，∴CD＝C′D＝AB＝4，∠C＝∠C′＝90°，设DE＝x，则AE＝8﹣x，∵∠A＝∠C′＝90°，∠AEB＝∠DEC′，∴∠ABE＝∠C′DE，在Rt△ABE与Rt△C′DE中，∠A=∴Rt△ABE≌Rt△C′DE（ASA），∴BE＝DE＝x，在Rt△ABE中，AB2+AE2＝BE2，∴42+（8﹣x）2＝x2，解得：x＝5，∴DE的长为5．故选：C．【点评】本题考查的是翻折变换的性质及勾股定理，熟知折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等的知识是解答此题的关键．7．（2024•临湘市校级开学）在下面平面图形中，对称轴最多的是（）A．扇形 B．长方形 C．正方形 D．等边三角形【考点】轴对称图形．【专题】平移、旋转与对称；推理能力．【答案】C【分析】根据轴对称图形的概念以及对称轴的概念判断．【解答】解：扇形有一条对称轴，长方形有两条对称轴，正方形有四条对称轴，等边三角形有三条对称轴，∴对称轴最多的是正方形，故选：C．【点评】本题考查的是轴对称图形，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．8．（2024•旌阳区模拟）围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史，下列由黑白棋子摆成的图案是轴对称图形的是（）A． B． C． D．【考点】轴对称图形．【专题】平移、旋转与对称；几何直观．【答案】D【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．【解答】解：A，B，C选项中的图案都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；D选项中的图案能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；故选：D．【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．9．（2024•港南区二模）点（﹣2，3）关于x轴的对称点的坐标为（）A．（﹣2，﹣3） B．（2，3） C．（﹣2，3） D．（2，﹣3）【考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标．【专题】平面直角坐标系；符号意识．【答案】A【分析】根据“关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”解答．【解答】解：点（﹣2，3）关于x轴的对称点的坐标是（﹣2，﹣3）．故选：A．【点评】本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数．10．（2024•凤城市二模）在一条沿直线MN铺设的电缆两侧有甲、乙两个小区，现要求在MN上选取一点P，向两个小区铺设电缆．下面四种铺设方案中，使用电缆材料最少的是（）A． B． C． D．【考点】轴对称﹣最短路线问题．【专题】平移、旋转与对称；推理能力．【答案】A【分析】连接甲乙，交MN于点P，点P就是所求的点，理由是连接甲、乙的所有线中，线段最短．【解答】解：根据线段的性质可知，点P即为所求作的位置．符合题意的画法是A．故选：A．【点评】本题考查应用与设计作图，利用两点之间线段最短是解决问题关键，学会将实际问题转化为数学知识．二．填空题（共5小题）11．（2024•开福区校级开学）已知点P（﹣2，﹣4）关于x轴对称的点的坐标是（﹣2，4）．【考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标．【专题】平移、旋转与对称；几何直观．【答案】（﹣2，4）．【分析】根据关于x轴对称的点的横坐标相同，纵坐标互为相反数进行求解即可．【解答】解：点P（﹣2，﹣4）关于x轴对称的点的坐标是（﹣2，4），故答案为：（﹣2，4）．【点评】本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称，解题的关键是了解对称点的坐标特点．12．（2024•渝北区自主招生）如图，将正五边形纸片ABCDE折叠，使点B与点E重合，折痕为AM，展开后，再将纸片折叠，使边AB落在线段AM上，点B的对应点为点B′，折痕为AF，则∠AFC的度数为135°．【考点】翻折变换（折叠问题）；正多边形和圆．【专题】多边形与平行四边形；展开与折叠；推理能力．【答案】135°．【分析】根据题意求得正五边形的每一个内角为15(5-2)×180°=108°，根据折叠的性质求得∠BAM，∠FAB′，在△AFB′中，根据三角形内角和定理求出∠AFB′＝45°，得到∠AFB＝∠AFB′＝【解答】解：∵正五边形的每一个内角为15将正五边形纸片ABCDE折叠，使点B与点E重合，折痕为AM，则∠BAM=∵将纸片折叠，使边AB落在线段AM上，点B的对应点为点B′，折痕为AF，∴∠FAB'=12∠BAM=12×54°=27°在△AFB′中，∠AFB′＝180°﹣∠B﹣∠FAB′＝180°﹣108°﹣27°＝45°，∴∠AFB＝∠AFB′＝45°，∴∠AFC＝180°﹣∠AFB＝135°故答案为：135°．【点评】本题考查了折叠的性质，正多边形的内角和的应用，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．13．（2024•路桥区校级开学）如图，在等腰△ABO中，∠ABO＝90°，腰长为2，则A点关于y轴的对称点的坐标为（2，2）．【考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标；等腰三角形的性质．【专题】平面直角坐标系；等腰三角形与直角三角形；推理能力．【答案】（2，2）．【分析】先根据等腰三角形的定义得出AB＝OB＝2，推出点A的坐标，再结合关于y轴对称的点的特征，即可求解．【解答】解：在等腰△ABO中，∠ABO＝90°，腰长为2，∴AB＝OB＝2，∴点A的坐标为（﹣2，2），故答案为：（2，2）．【点评】本题考查了等腰三角形的定义，关于y轴对称的点的特征，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．14．（2024春•龙江县期末）如图已知长方形ABCD中AB＝8cm，BC＝10cm，在边CD上取一点E，将△ADE折叠使点D恰好落在BC边上的点F，则CE的长为3cm．【考点】翻折变换（折叠问题）．【答案】见试题解答内容【分析】要求CE的长，应先设CE的长为x，由将△ADE折叠使点D恰好落在BC边上的点F可得Rt△ADE≌Rt△AFE，所以AF＝10cm，EF＝DE＝8﹣x；在Rt△ABF中由勾股定理得：AB2+BF2＝AF2，已知AB、AF的长可求出BF的长，又CF＝BC﹣BF＝10﹣BF，在Rt△ECF中由勾股定理可得：EF2＝CE2+CF2，即：（8﹣x）2＝x2+（10﹣BF）2，将求出的BF的值代入该方程求出x的值，即求出了CE的长．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝10cm，CD＝AB＝8cm，根据题意得：Rt△ADE≌Rt△AFE，∴∠AFE＝90°，AF＝10cm，EF＝DE，设CE＝xcm，则DE＝EF＝CD﹣CE＝（8﹣x）cm，在Rt△ABF中由勾股定理得：AB2+BF2＝AF2，即82+BF2＝102，∴BF＝6cm，∴CF＝BC﹣BF＝10﹣6＝4（cm），在Rt△ECF中，由勾股定理可得：EF2＝CE2+CF2，即（8﹣x）2＝x2+42，∴64﹣16x+x2＝x2+16，∴x＝3（cm），即CE＝3cm．故答案为：3cm．【点评】本题主要考查了图形的翻折变换以及勾股定理、全等三角形、方程思想等知识，关键是熟练掌握勾股定理，找准对应边．15．（2023秋•牧野区校级期末）在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝1，点D是AB边上一动点，将△ACD沿直线CD翻折，使点A落在点E处，连接CE交AB于点F．当△DEF是直角三角形时，AD＝1或3-32【考点】翻折变换（折叠问题）；含30度角的直角三角形；勾股定理．【专题】平移、旋转与对称；推理能力．【答案】1或3-3【分析】根据折叠的性质可得∠E＝∠A＝30°，∠ACD＝∠ECD，AD＝DE，再由直角三角形两锐角的关系可得∠B＝60°，AB＝2BC＝2，然后分两种情况讨论：当∠DFE＝90°时，当∠EDF＝90°时，分别进行计算即可得到答案．【解答】解：由折叠的性质可得：∠E＝∠A＝30°，∠ACD＝∠ECD，AD＝DE，∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，∴∠B＝90°﹣∠A＝60°，AB＝2BC＝2，如图，当∠DFE＝90°时，则∠BFC＝90°，∴∠FCB＝90°﹣∠B＝30°，∴BF=1∴AF=AB-∵∠E＝30°，∴DF=1∴DF+AD=1∴AD＝1；如图，当∠EDF＝90°时，则∠EFD＝90°﹣∠E＝60°，∴∠BFC＝60°，∵∠B＝60°，∴△BFC是等边三角形，∴CF＝BC＝BF＝1，∵AC=A∴CE=AC=3∵∠E＝30°，∠EDF＝90°，∴DF=1∴AD=AB-综上，AD的值为1或3-3故答案为：1或3-3【点评】此题考查直角三角形的两个锐角互余、含30度角的直角三角形的特征，轴对称的性质，勾股定理等知识，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．三．解答题（共5小题）16．（2024春•来宾期中）小林同学是一名剪纸爱好者，喜欢运用数学知识对自己的剪纸作品进行分析思考，下面是他利用勾股定理对部分剪纸作品的数量关系进行探究思考的过程，请你帮助他一起完成．（1）如图1，图案1是以Rt△ABC的三条边为直径，向外作半圆，其面积分别记为S1，S2，S3，请写出S1，S2，S3之间的数量关系：S1+S2＝S3．（2）如图2，这是由四个全等的直角三角形紧密地拼接形成的飞镖状图案，测得外围轮廓（实线）的周长为80，OC＝5，求该飞镖状图案的面积．（3）如图3，这是由八个全等的直角三角形紧密地拼接形成的大正方形ABCD，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3．若S1+S2+S3＝16，则S2＝163【考点】图形的剪拼；全等图形；勾股定理的应用．【专题】三角形；推理能力．【答案】（1）S1+S2＝S3；（2）120；（3）163【分析】（1）利用圆的面积公式，结合勾股定理进行求解即可；（2）根据周长公式和勾股定理求出OA的长，分割法求出面积即可；（3）利用勾股定理结合正方形的面积公式以及面积关系，求解即可．【解答】解：（1）由题意，得：a2+b2＝c2，S1∴S1（2）设：OA＝a，AB＝c，由题意，得：OB＝OC＝5，∴4c+4（a﹣5）＝80，a2+52＝c2，∴c＝25﹣a，∴a2+52＝（25﹣a）2，解得：a＝12，∴飞镖状图案的面积为4×（3）设直角三角形的长直角边为a，短直角边为b，斜边长为c，则：c2＝a2+b2，由题意，得：S1∴S＝a2+2ab+b2+c2+a2﹣2ab+b2＝c2+c2+c2＝3c2＝16，∴c2∴S2故答案为：163【点评】本题考查勾股定理，以直角三角形的三边构成的图形的面积问题，掌握勾股定理是关键．17．（2024•路桥区校级开学）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一个格点三角形ABC（即三角形的顶点都在格点上）．（1）在图中作出△ABC关于直线MN的对称图形△A1B1C1；（2）在MN上找一点P，使得PB+PC的距离最短，在图中作出P点的位置；（保留作图痕迹）（3）若点B坐标为（﹣1，3），点B1坐标为（5，3），则△ABC上一点P（a，b）的对应点P1坐标表示为．【考点】作图﹣轴对称变换；轴对称﹣最短路线问题．【专题】作图题；平移、旋转与对称；几何直观；推理能力．【答案】（1）作图见解析过程；（2）作图见解析过程；（3）（4﹣a，b）．【分析】（1）先找出点A、B、C关于直线MN的对称点A1、B1、C1，再顺次连接A1B1、B1C1、A1C1即可；（2）根据对称的性质可得PC＝PC1，故PB+PC＝PB+PC1，当点B，点C，点P三点共线时，PB+PC的值最小为BC1；（3）先根据对称的两点的坐标得出对称轴，再结合关于对称轴对称的两个点到对称轴的距离相等，求出点P1的横坐标，即可求解．【解答】解：（1）如图1：△A1B1C1即为所求．（2）连接BC1，与MN的交点即为所求点P，如图2：（3）∵点B坐标为（﹣1，3），点B1坐标为（5，3），∴点B、B1关于直线x＝2对称，故△ABC上一点P（a，b）的对应点P1的纵坐标为b，横坐标为a+2（2﹣a）＝4﹣a，故点P1的坐标为（4﹣a，b）．故答案为：（4﹣a，b）．【点评】本题考查了作图﹣轴对称变换，轴对称﹣最短路线问题，解答本题的关键是熟练掌握轴对称变换的性质．18．（2023秋•齐齐哈尔期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，点O（0，0），A（﹣1，2），B（2，1）．（1）在图中画出△AOB关于y轴对称的△A1OB1，并直接写出点A1和点B1的坐标；（2）在x轴上画出点P，使得PA+PB的值最小（保留作图痕迹）．【考点】作图﹣轴对称变换；轴对称﹣最短路线问题．【专题】作图题；几何直观．【答案】见试题解答内容【分析】（1）根据关于y轴对称的点的坐标特征写出点A1和点B1的坐标，然后描点即可；（2）作点B关于x轴的对称点B′，连接AB′交x轴于点P．【解答】解：（1）如图，△A1OB1为所求，A1（1，2），B1（﹣2，1）；（2）如图，点P为所作．【点评】本题考查了作图﹣轴对称变换：作轴对称后的图形的依据是轴对称的性质，掌握其基本作法是解决问题的关键（先确定图形的关键点；利用轴对称性质作出关键点的对称点；按原图形中的方式顺次连接对称点）．也考查了最短路径问题．19．（2024春•广平县校级月考）如图，点O，A，B，C都在正方形网格图中的格线交点处．（1）以点O为坐标原点，向东方向为x轴正方向，向北方向为y轴正方向，每个小正方形的边长为单位长度，建立平面直角坐标系，并写出A，B，C三点的坐标；（2）在（1）中建立的坐标系中标出点D（2，﹣3），E（0，﹣1），F（2，1），并判断由点D，E，F围成的三角形是不是轴对称图形．【考点】作图﹣轴对称变换；三角形三边关系．【专题】几何直观．【答案】（1）A（4，3），B（﹣2，3），C（﹣4，﹣1）；（2）见解析，由点D，E，F围成的三角形是轴对称图形．【分析】（1）根据题意建立适当的平面直角坐标系，再写出点A，B，C，D的坐标，即可求解；（2）根据题意画出△DEF，再根据轴对称的定义判断即可．【解答】解：（1）如图；A（4，3），B（﹣2，3），C（﹣4，﹣1）；（2）如图，由点D，E，F围成的三角形是轴对称图形．【点评】本题主要考查了坐标与图形，熟练掌握坐标与图形的性质是解题的关键．20．（2023秋•法库县期末）如图，在直角坐标系中，A（﹣1，5），B（﹣3，0），C（﹣4，3）．（1）在图中作出△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1；（2）写出点C1的坐标；（3）求△ABC的面积．【考点】作图﹣轴对称变换．【专题】作图题．【答案】见试题解答内容【分析】（1）、（2）利用关于y轴对称的点的坐标特征写出A1、B1、C1的坐标，然后描点即可；（3）用一个矩形的面积减去三个三角形的面积计算△ABC的面积．【解答】解：（1）如图，△A1B1C1为所作；（2）点C1的坐标为（4，3）；（3）△ABC的面积＝3×5-12×3×1-12×3×2【点评】本题考查了作图﹣对称性变换：在画一个图形的轴对称图形时，先从确定一些特殊的对称点开始的，一般的方法是：由已知点出发向所给直线作垂线，并确定垂足；直线的另一侧，以垂足为一端点，作一条线段使之等于已知点和垂足之间的线段的长，得到线段的另一端点，即为对称点；连接这些对称点，就得到原图形的轴对称图形．

考点卡片1．平行线的性质1、平行线性质定理定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单说成：两直线平行，同位角相等．定理2：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．简单说成：两直线平行，同旁内角互补．定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简单说成：两直线平行，内错角相等．2、两条平行线之间的距离处处相等．2．三角形三边关系（1）三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边．（2）在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．（3）三角形的两边差小于第三边．（4）在涉及三角形的边长或周长的计算时，注意最后要用三边关系去检验，这是一个隐藏的定时炸弹，容易忽略．3．全等图形（1）全等形的概念能够完全重合的两个图形叫做全等形．（2）全等三角形能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形．（3）三角形全等的符号“全等”用符号“≌”表示．注意：在记两个三角形全等时，通常把对应顶点写在对应位置上．（4）对应顶点、对应边、对应角把两个全等三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点；重合的边叫做对应边；重合的角叫做对应角．4．全等三角形的判定与性质（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．5．等腰三角形的性质（1）等腰三角形的概念有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．（2）等腰三角形的性质①等腰三角形的两腰相等②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】（3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论．6．等边三角形的性质（1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形．①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法；②可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊情况．在等边三角形中，腰和底、顶角和底角是相对而言的．（2）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴．7．含30度角的直角三角形（1）含30度角的直角三角形的性质：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．（2）此结论是由等边三角形的性质推出，体现了直角三角形的性质，它在解直角三角形的相关问题中常用来求边的长度和角的度数．（3）注意：①该性质是直角三角形中含有特殊度数的角（30°）的特殊定理，非直角三角形或一般直角三角形不能应用；②应用时，要注意找准30°的角所对的直角边，点明斜边．8．勾股定理（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．（3）勾股定理公式a2+b2＝c2的变形有：a=c2-b2，b（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．9．勾股定理的应用（1）在不规则的几何图形中，通常添加辅助线得到直角三角形．（2）在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．（3）常见的类型：①勾股定理在几何中的应用：利用勾股定理求几何图形的面积和有关线段的长度．②由勾股定理演变的结论：分别以一个直角三角形的三边为边长向外作正多边形，以斜边为边长的多边形的面积等于以直角边为边长的多边形的面积和．③