晶体光学简介

晶体光学简介一晶体的介电常数张量由电磁场理论已知，介电常数是表征介质电学特性的参量。在各向同性介质中，电位移矢量与电场矢量满足如下关系：（1）由于介电常数是标量，所以电位移矢量与电场矢量的方向相同，即矢量的每个分量只与矢量的相应分量线性相关。对于各向异性晶体，和间的关系为（2）介量常数是二阶张量，该关系的分量形式为（3）这里的是相对介电常数张量元素。由该式可见，电位移矢量的每个分量与电场矢量的各个分量均线性相关，在一般情况下，与的方向不同。因此，晶体的相对介电常数张量可以写为（4）由于是对称张量，因而晶体的相对介电张量是一个对称张量，因此它有六个独立分量，经过主轴变换后的介电常数张量是对角张量，只有三个非零的对角元素，为（5）式中，、、称为相对主介电常数。由麦克斯韦关系式，还可以相应地定义三个主折射率，，（6）在主轴坐标系中，电位移矢量与电场强度矢量的分量关系可表示为（7）对于自然界中存在的七大晶系：立方晶系、四方晶系、六方晶系、三方晶系、正交晶系、单斜晶系、三斜晶系，由于它们的空间对称性不同，其相对介电常数张量的形式也不同。三斜、单斜和正交晶系中，相对主介电常数，这几类晶体在光学上称为双轴晶体；三方、四方、六方晶系中，相对主介电常数，这几类晶体在光学上称为单轴晶体；立方晶系在光学上是各向同性的，其相对主介电常数。二晶体光学的基本方程在均匀、不导电、非磁性的晶体中，若没有自由电荷存在，麦克斯韦方程组为（8）以及物质方程（9）由麦克斯韦方程组和物质方程，消去，可以得到（10）式中，为平面光波波法线方向的单位矢量，该式即为描述晶体光学性质的基本方程。其分量形式为（11）将的关系（7）式代入，经过整理可得（12）该式描述了在晶体中传播的光波波法线方向与相应的折射率和晶体的主介电常数之间的关系，称为波法线菲涅耳方程。实际上，利用上述基本方程描述平面光波在晶体中传播特性的问题是求解本征方程的问题，其本征值为，相应的光电场本征矢为，本征方程为（13）晶体中有两个可以传播的横向本征模(矢)。如果用点乘(13)式，可得（14）交换指标和后，有（15）将上二式两边相减，考虑到介电常数张量是对称张量，可以得到（16）如果，则有（17）如果，仍可选择本征矢使之满足该方程，并可选择本征矢使其满足归一化条件：（18）将上面两个方程组合在一起，便给出权重正交性条件：（19）或表示为（20）这个关系叫做双正交条件，它表明每一个矢量与指标不同的另一类型的矢量是正交的。如果将点乘的等式两边，则有（21）考虑到，当时，有（22）即晶体中两个自由传播模的电位移矢量是正交的。由以上讨论可以得到，晶体中相应于某一波法线方向的两个本征模的光电场矢量方向、电位移矢量方图1向及光线方向的关系如图1所示。在一般情况下，这两个本征模的折射率或速度不相等。三光在晶体中的传播规律现将波法线菲涅耳方程(12)式展开，可以得到一个关于的二次方程，即（23）由此，我们可以利用（20）式和（23）式来分析各向同性介质(包括立方晶体)、单轴晶体及双轴晶体中光波传播模的本征值和本征矢。1各向同性介质这是最简单的一种情况。对于各向同性介质有（24）代入(23)式后，得由此可得，折射率为（25）可见，对于各向同性介质，折射率只有一个值，即沿各个方向介质折射率相同。现令是其中一个传播横向模光电场方向的单位矢量，并假定（26）式中，是一个归一化常数，相应的电位移矢量为（27）利用归一化条件（18）式，可以求得。对于另一个传播的横向模来说，按（20）式，应有，所以有（28）（29）图2利用归一化条件（18）式，可求出归一化常数为综上所述，在各向同性介质中的两个传播横向模的光电场矢量和电位移矢量都垂直于光波的传播方向，光能流传播方向与光波的传播方向相同，如图2所示，它们的折射率相等，传播速度相同。2单轴晶体对于单轴晶体有，，主轴、的方向是任意的。如果选择主轴方向使得光波传播方向在平面内，则有如下关系：（30）式中，是轴与方向之间的夹角。将上述关系代入(23)式，得（31）由此可见，对于满足上式第一个因子等于零，即的光波来说，其折射率与光波的传播方向无关，称为寻常光(光)，折射率为。晶体对寻常光的折射率与光的传播方向无关。对于由上式第二个因子等于零所确定的光波，其折射率满足如下关系：（32）该式表明，这个光波的折射率与光波的传播方向有关，称为非常光(光)，折射率表示为。晶体对非常光的折射率与光的传播方向有关。当时，，即沿该方向（轴）传播的非常光的折射率与寻常光的折射率相等，，通常称该方向(轴)为光轴方向；当，即光波垂直于光轴方向传播时，非常光的折射率为；沿其他方向传播的非常光的折射率。对于寻常光来说，将代入本征方程（13），可以证明，除沿光轴方向传播外，和分量均为零，仅有分量。因此，寻常光的振动方向与光波传播方向和光轴所组成的平面相垂直。当将非常光的折射率关系（32）式代入本征方程（13）时，可以证明其，而和分量均不为零。由此可见，非常光的振动方向在光波传播方向与光轴所组成的平面内。进一步可以证明，假设非常光的光电场矢量与电位移矢量的夹角为，则有（33）该角实际上也就是光波波矢方向与光线(能量)方向之间的夹角，称为离散角。对于我们所感兴趣的大多数情况来说，与只相差百分之几，因而的值很小，可以用代替。当或时，，这时光电场矢量与方向垂直，而对于的其它方向，与方向并不垂直。下面分析横向传播模式的本征矢。对于寻常光的本征矢量有（34）如果用表示轴方向的单位矢量，则平行于。所以，可令（35）利用归一化条件（18）式和矢量代数公式，可得寻常光的归一化常数为（36）对于非常光的本征矢，按（20）式应有（37）又因，所以可表示为（38）相应的为（39）利用归一化条件（18）式和矢量代数公式，可以求得非常光的归一化常数为（40）式中的为非常光的折射率，由(32)式决定。单轴晶体中两个横向传播模的光电场矢量和电位移矢量与波矢的方向关系如图3所示，可见，寻常光的与平行，非常光的与在一般情况下不平行。图33双轴晶体介电张量三个主值都不相同的晶体具有两个光轴，称为双轴晶体。属于正交、单斜和三斜晶系的晶体都是双轴晶体。其中，正交晶体的对称性足够高，三个介电主轴方向都沿晶轴方向，单斜晶体只有一个主轴方向沿着晶轴，而三斜晶体的三个介电主轴都不沿晶轴，并且介电主轴相对晶轴的方向随频率而变。按习惯，主值是按选取的。所谓光轴，就是两个传播模具有相同相速度的方向。由波法线菲涅耳方程（12）式可以证明，双轴晶体的两个光轴都在平面内，并且与轴的夹角分别为和，如图4所示，值由（41）给出。对于小于的晶体，叫正双轴晶体；大于的晶体，叫负双轴晶体。由两个光轴构成的平面叫光轴面。由波法线菲涅耳方程（12）式出发可以证明，若光波波法线方向与二光轴方向的夹角为和(图5)，则相应的两个传播模的折射率满足下面关系：（42）当，即当波法线方向在二光轴角平分面内时，相应两个传播模的折射率为（43）（44）图4图5双轴晶体传播模的本征矢可由(13)式和(20)式求得，其电场分量形式为（45）式中（46）相应的电位移矢量分量为（47）四光波在晶体中传播特性的几何法描述光波在晶体中的传播规律除了利用上述解析方法进行严格的描述外，还可以利用一些几何图形描述。这些几何图形能使我们直观地看出晶体中光波的各个矢量场间的方向关系，以及与各传播方向相应的光波的光速或折射率的空间取值分布。当然，几何方法仅仅是一种表示方法，它的基础仍然是光的电磁理论基本方程和基本关系。在这里，根据非线性光学的应用需要，仅介绍折射率椭球和折射率曲面两种几何描述方法。1折射率椭球由光的电磁理论知道，在主轴坐标系中，晶体中的电场能量密度为（48）因而有（49）在给定电场能量密度的情况下，该方程表示为空间的椭球面。若用代替，即，，（50）则椭球面方程可以化为，（51）这是一个在归一化空间中的椭球，它的三个主轴方向就是介电主轴方向，它就是在主轴坐标系中的折射率椭球方程。利用折射率椭球可以确定晶体内沿任意方向传播的两个独立传播模的折射率和相应电位移矢量的方向。其步骤如下：如图6所示，从主轴坐标系的原点出发作波法线矢量，再过坐标原点作与垂直的平面(中心截面)，与椭球的截线为一椭圆，其半短轴和半长轴的矢径分别为和，则图6(1)与波法线方向相应的两个传播模的折射率和分别等于这个椭圆两个主轴的半轴长，即，（52）(2)与波法线方向相应的两个传播模的振动方向和分别平行于和，即，（53）这里，是振动方向上的单位矢量。利用折射率椭球，可以确定各向同性介质、单轴晶体和双轴晶体的光学特性。（1）各向同性介质或立方晶体在各向同性介质或立方晶体中，主介电常数，相应的主折射率，折射率椭球方程为(54)这就是说，各向同性介质或立方晶体的折射率椭球是一个半径为的球。因此，不论沿什么方向，垂直于的中心截面与球的交线均是半径为的圆，不存在特定的长、短轴，因而相应二传播模的折射率相等，均为，其电位移矢量和正交，但可为任意方向。（2）单轴晶体在单轴晶体中，，、，因此，折射率椭球方程为(55)这是一个旋转椭球面，旋转轴为轴。若，称其为正单轴晶体，若，则称为负单轴晶体。如图7所示，对于一个正单轴晶体的折射率椭球，光波与轴夹角为，由于单轴晶体折射率椭球是一个旋转椭球，所以不失普遍性，可以选择坐标使在平面内。由此作出的中心截面与椭球的交线椭圆，其短半轴长度与的方向无关，不管方向如何，均为；长半轴长度则随的方向而定，并且可以证明，其折射率满足：(56)相应于这两个折射率和的传播模分别为寻常光(光)和非常光(光)。非常光折射率随变化：时，，该方向(轴)为光轴方向；当，即光波垂直于光轴方向传播时，非常光的折射率为；沿其他方向传播的非常光的折射率。相应于寻常光的电位移矢量的振动方向，垂直于光轴(轴)与波法线方向组成的平面；图7相应于非常光的电位移矢量的振动方向，在光轴(轴)与波法线方向组成的平面内。（3）双轴晶体双轴晶体中，，，因此折射率椭球方程为(57)若约定，则折射率椭球与平面的交线椭圆(见图8)方程为(58)椭圆上任一点矢径与轴的夹角为，长度为，且的大小在间随变化。由于，所以总可以找到某一矢径，其长度为。设这个与轴的夹角为，则由(58)式可以确定满足(59)显然，矢径与轴组成的平面与折射率椭球的截线是一个半径为的圆，若以表示该圆截面，则与面垂直的方向即为光轴方向。由于相应的面及法线方向有两个，因此有两个光轴方向和，这就是双轴晶体名称的由来。实际上，和对称地分布在轴两侧，如图9所示。由和构成的平面叫光轴面，该光轴面即是平面。设和与轴的夹角为和，则值满足(60)图8图9利用双轴晶体的折射率椭球可以确定相应于波法线方向的两个传播模的折射率和光场振动方向。当波法线方向与折射率椭球的三个主轴既不平行又不垂直时，相应的两个传播模的折射率都不等于主折射率，其中一个介于之间，另一个介于之间。如果用波法线与两个光轴的夹角和来表示波法线方向(见图5)，则利用折射率椭球的几何关系，可以得到与相应的二传播模折射率的表示式为(61)当给定波法线方向，并已知两个光轴的方向时，便可用作图法很方便地给出两个传播模矢量的振动面。如图10所示，给定方向后，通过双轴晶体折射率椭球的中心作垂直于的中心截面，则其截线椭圆的长、短轴方向就是与相应的两个矢量振动方向和，其半轴长度就是相应的折射率和。设双轴晶体的光轴方向为和，垂直光轴的两个圆截面为和，这两个圆截面与面分别在和处相交，和有相等的长度，它们与椭圆的主轴有相等的夹角(见图10和图11)，所以和方向必是和两个方向的等分角线的方向。又因垂直于和，所以它垂直于和组成的平面。同样垂直于和组成的平面。设平面和平面与椭圆分别交于矢径和，则，。所以，椭圆的主轴也等分和方向。由此可以得到如下结论：矢量的两个振动面和分别是和两个平面的内等分面和外等分面。最后应当指出，在双轴晶体中，由于折射率椭球没有旋转对称性，相应于的两个传播模的折射率都与的方向有关，因此这两个传播模都是非常光。所以在双轴晶体中，不能采用光和光的称呼来区分这两个传播模。图10图112折射率曲面折射率椭球可以用来确定与波法线方向相应的两个传播模的折射率，但需要通过一定的作图过程才能实现。为了更直接地确定出与每一个波法线方向相应的两个折射率，人们引入了折射率曲面。折射率曲面的矢径为，其方向平行于给定的波法线方向，长度则等于与相应的两个传播模的折射率。因此，折射率曲面必定是一个双壳层曲面。实际上，根据折射率曲面的意义，波法线菲涅耳方程(12)式就是它在主轴坐标系