中考数学试卷5 带解析

中考数学二模试卷一、选择题：本大题共6小题，每小题3分，共18分，在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的．1．下列运算正确的是（）A．a6÷a2=a4 B．2（a+b）=2a+b C．（ab）﹣2=ab﹣2 D．a3+a3=a62．如图，AB、CD、MN均为直线，AB∥CD，∠GFC=80°，GH平分∠MGB，则∠1的值为（）A．35° B．40° C．45° D．50°3．已知m﹣n=100，x+y=﹣1，则代数式（n+x）﹣（m﹣y）的值是（）A．﹣99 B．﹣101 C．99 D．1014．在a2□4a□4的空格□中，任意填上“+”或“﹣”，在所有得到的代数式中，能构成完全平方式的概率是（）A．1 B． C． D．5．如图1是边长为1的六个小正方形组成的图形，它可以围成图2的正方体，则图1中小正方形顶点A，B在围成的正方体上的距离是（）A．0 B．1 C． D．6．如图，在直角坐标系中，四边形OABC为菱形，对角线OB、AC相交于D点，已知A点的坐标为（10，0），双曲线y=（x＞0）经过D点，交BC的延长线于E点，且OB•AC=160（OB＞AC），有下列四个结论：①双曲线的解析式为y=（x＞0）；②E点的坐标是（5，8）；③sin∠COA=；④AC+OB=12．其中正确的结论有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二、填空题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分，不许写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡的相应位置7．分解因式：a2﹣9=．8．已知关于x的方程x2﹣6x+m=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是．9．某乒乓球训练队共有9名队员，他们的年龄（单位：岁）分别为：12，13，13，14，12，13，15，13，15，则他们年龄的众数为．10．如图，AB是⊙O的直径，C、D是圆上的两点，若BC=8，cos∠D=，则AB的长为．11．若（7x﹣a）2=49x2﹣bx+9，则|a+b|=．12．如图，△ABC中，AE交BC于点D，∠C=∠E，AD：DE=3：5，AE=8，BD=4，则DC的长等于．13．如图，直线y=kx+b经过A（﹣1，2）和B（﹣，0）两点，则不等式0＜kx+b＜﹣2x的解集为．14．如图，把Rt△ABC放在直角坐标系内，其中∠CAB=90°，BC=5，点A、B的坐标分别为（1，0）、（4，0），将△ABC沿x轴向右平移，当点C落在直线y=2x﹣6上时，线段BC扫过的面积为cm2．15．关于x的方程a（x+m）2+b=0的解是x1=﹣2，x2=1（a，m，b均为常数，a≠0），则方程a（x+m+3）2+b=0的解是．16．如图①，在△AOB中，∠AOB=90°，OA=3，OB=4，将△AOB沿x轴依次以点A、B、O为旋转中心顺时针旋转，分别得到图②、图③、…，则旋转得到的图⑧的直角顶点的坐标为．三、解答题：本大题共有10小题，共102分，请在答题卡制定区域内作答17．（1）计算：|﹣1|﹣×﹣（5﹣π）0+4cos45°（2）化简：（﹣a+1）÷．18．（1）解方程：；（2）解不等式组：．19．为了提高足球基本功，甲、乙、丙三位同学进行足球传球训练，球从一个人脚下随机传到另一个人脚下，且每位传球人传球给其余两人的机会是均等的，由甲开始传球，共传三次．（1）请用树状图列举出三次传球的所有可能情况；（2）三次传球后，球回到甲脚下的概率大还是传到乙脚下的概率大？20．初三年级教师对试卷讲评课中学生参与的深度与广度进行评价调查，其评价项目为主动质疑、独立思考、专注听讲、讲解题目四项．评价组随机抽取了若干名初中学生的参与情况，绘制成如图所示的频数分布直方图和扇形统计图（均不完整），请根据图中所给信息解答下列问题：（1）在这次评价中，一共抽查了名学生；（2）在扇形统计图中，项目“主动质疑”所在的扇形的圆心角的度数为度；（3）请将频数分布直方图补充完整；（4）如果全市有6000名初三学生，那么在试卷评讲课中，“独立思考”的初三学生约有多少人？21．如图，从A地到B地的公路需经过C地，图中AC=10千米，∠CAB=25°，∠CBA=37°，因城市规划的需要，将在A、B两地之间修建一条笔直的公路．（1）求改直的公路AB的长；（2）问公路改直后比原来缩短了多少千米？（sin25°≈0.42，cos25°≈0.91，sin37°≈0.60，tan37°≈0.75）22．如图，已知：在平行四边形ABCD中，点E、F、G、H分别在边AB、BC、CD、DA上，AE=CG，AH=CF，且EG平分∠HEF．求证：（1）△AEH≌△CGF；（2）四边形EFGH是菱形．23．我市某风景区门票价格如图所示，百姓旅行社有甲、乙两个旅行团队，计划在“五一”小黄金周期间到该景点游玩，两团队游客人数之和为120人，乙团队人数不超过50人．设甲团队人数为x人，如果甲、乙两团队分别购买门票，两团队门票款之和为W元．（1）求W关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）若甲团队人数不超过100人，请说明甲、乙两团队联合购票比分别购票最多可节约多少元．24．如图，已知以Rt△ABC的AC边为直径作⊙O交斜边AB于点E，连接EO并延长交BC的延长线于点D，点F为BC的中点，连接EF．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）若AD的长为2，∠EAC=60°，求①⊙O的半径；②求图中阴影部分的面积（保留π及根号）25．如图，若四边形ABCD、四边形GFED都是正方形，显然图中有AG=CE，AG⊥CE．（1）当正方形GFED绕D旋转到如图2的位置时，AG=CE是否成立？若成立，请给出证明，若不成立，说明理由．（2）若正方形GFED绕D旋转到如图3的位置（F在线段AD上）时，延长CE交AG于H，交AD于M，①求证：AG⊥CH；②当AD=4，DG=时，求CH的长．（3）在（2）的条件下，在如图所示的平面上，是否存在以A、G、D、N为顶点的四边形为平行四边形的点N？如果存在，请在图中画出满足条件的所有点N的位置，并直接写出此时CN的长度；若不存在，请说明理由．26．如图，⊙E的圆心E（3，0），半径为5，⊙E与y轴相交于A、B两点（点A在点B的上方），与x轴的正半轴交于点C，直线l的解析式为y=kx+4k+1（k为实数），以点C为顶点的抛物线过点B．（1）求抛物线的解析式；（2）求证：不论k为何实数，直线l必过定点M并求出此定点坐标；（3）若直线l过点A，动点P在抛物线上，当点P到直线l的距离最小时，求出点P的坐标及最小距离．

中考数学二模试卷参考答案与试题解析专业学习资料平台网资源一、选择题：本大题共6小题，每小题3分，共18分，在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的．1．下列运算正确的是（）A．a6÷a2=a4 B．2（a+b）=2a+b C．（ab）﹣2=ab﹣2 D．a3+a3=a6【考点】同底数幂的除法；合并同类项；去括号与添括号；负整数指数幂．【分析】根据同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加；去括号：利用括号外的因数分别乘以括号里的每一项；同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减；积的乘方，把积的每一个因式分别乘方，再把幂相乘；合并同类项，只把系数相加，字母部分不变进行分析即可．【解答】解：A、a6÷a2=a4，故原题计算正确；B、2（a+b）=2a+2b，故原题计算错误；C、（ab）﹣2=a﹣2b﹣2，故原题计算错误；D、a3+a3=2a3，故原题计算错误；故选：A．【点评】此题主要考查了同底数幂的除法、积的乘方，去括号以及合并同类项，关键是掌握各计算法则．2．如图，AB、CD、MN均为直线，AB∥CD，∠GFC=80°，GH平分∠MGB，则∠1的值为（）A．35° B．40° C．45° D．50°【考点】平行线的性质．【分析】根据平行线的性质得出∠BGP=∠GFC=80°，求出∠BGM=100°，根据角平分线定义求出即可．【解答】解：∵AB∥CD，∴∠BGF=∠GFC，∵∠GFC=80°，∴∠BGF=80°，∴∠BGM=180°﹣∠BGF=100°，∵GH平分∠MGB，∴∠1=∠BGM=50°，故选D．【点评】本题考查了平行线的性质的应用，能根据定理求出∠BGP=80°是解此题的关键．3．已知m﹣n=100，x+y=﹣1，则代数式（n+x）﹣（m﹣y）的值是（）A．﹣99 B．﹣101 C．99 D．101【考点】整式的加减—化简求值．【专题】计算题；整式．【分析】原式去括号整理后，将已知等式代入计算即可求出值．【解答】解：∵m﹣n=100，x+y=﹣1，∴原式=n+x﹣m+y=﹣（m﹣n）+（x+y）=﹣100﹣1=﹣101，故选B【点评】此题考查了整式的加减﹣化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．4．在a2□4a□4的空格□中，任意填上“+”或“﹣”，在所有得到的代数式中，能构成完全平方式的概率是（）A．1 B． C． D．【考点】概率公式；完全平方式．【分析】此题考查完全平方公式与概率的综合应用，注意完全平方公式的形式．【解答】解：能够凑成完全平方公式，则4a前可是“﹣”，也可以是“+”，但4前面的符号一定是：“+”，此题总共有（﹣，﹣）、（+，+）、（+，﹣）、（﹣，+）四种情况，能构成完全平方公式的有2种，所以概率是．故选B．【点评】用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比；a2±2ab+b2能构成完全平方式．5．如图1是边长为1的六个小正方形组成的图形，它可以围成图2的正方体，则图1中小正方形顶点A，B在围成的正方体上的距离是（）A．0 B．1 C． D．【考点】勾股定理．【分析】将图1折成正方体，然后判断出A、B在正方体中的位置关系，从而可得到AB之间的距离．【解答】解：将图1折成正方体后点A和点B为同一条棱的两个端点，故此AB=1．故选：B．【点评】本题主要考查的是展开图折成几何体，判断出点A和点B在几何体中的位置关系是解题的关键．6．如图，在直角坐标系中，四边形OABC为菱形，对角线OB、AC相交于D点，已知A点的坐标为（10，0），双曲线y=（x＞0）经过D点，交BC的延长线于E点，且OB•AC=160（OB＞AC），有下列四个结论：①双曲线的解析式为y=（x＞0）；②E点的坐标是（5，8）；③sin∠COA=；④AC+OB=12．其中正确的结论有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【考点】反比例函数综合题．【分析】过B作BF⊥x轴于点F，由菱形的面积可求得BF，在Rt△ABF中，可求得AF，过D作DG⊥x轴于点G，由菱形的性质可求得D点坐标，则可求得双曲线解析式；根据BC∥OF可知E点纵坐标为BF的长，代入反比例函数的解析式即可得出E点坐标；过C作CH⊥x轴于点H，则HF=BC，可求得OH，可求得sin∠COA；在Rt△OBF中，由勾股定理可求得OB，结合条件可求得AC，则可求得AC+OB，可得出答案．【解答】解：如图，过B作BF⊥x轴于点F，过D作DG⊥x轴于点G，过C作CH⊥x轴于点H，∵A（10，0），∴OA=10，∴S菱形ABCD=OA•BF=AC•OB=×160=80，即10BF=80，∴BF=8，在Rt△ABF中，AB=10，BF=8，由勾股定理可得AF=6，∴OF=OA+AF=10+6=16，∵四边形OABC为菱形，∴D为OB中点，∴DG=BF=×8=4，OG=OF=×16=8，∴D（8，4），∵双曲线过点D．∴4=，解得k=32，∴双曲线解析式为y=．故①正确；∵BC∥OF，BF=8，∴y==4，∴E（4，8）．故②错误；在Rt△OCH中，OC=10，CH=8，∴sin∠COA===，故③正确；在Rt△OBF中，OF=16，BF=8，∴OB===8，∵AC•OB=160，∴AC===4，∴AC+OB=4+8=12，故④正确；综上可知正确的为①③④共3个，故选C．【点评】本题主要考查反比例函数的综合应用，涉及待定系数法、菱形的性质、直角三角形、菱形的面积等知识．利用菱形的面积求得B到x轴的距离是解题的关键，注意菱形两个面积公式的灵活运用．本题考查知识点较基础，综合性很强，但难度不大．二、填空题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分，不许写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡的相应位置7．分解因式：a2﹣9=（a+3）（a﹣3）．【考点】因式分解-运用公式法．【分析】直接利用平方差公式分解因式进而得出答案．【解答】解：a2﹣9=（a+3）（a﹣3）．故答案为：（a+3）（a﹣3）．【点评】此题主要考查了公式法分解因式，熟练应用平方差公式是解题关键．8．已知关于x的方程x2﹣6x+m=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是m＜9．【考点】根的判别式．【分析】若一元二次方程有两个不相等的实数根，则根的判别式△=b2﹣4ac＞0，建立关于m的不等式，解不等式即可求出m的取值范围．【解答】解：∵关于x的方程x2﹣6x+m=0有两个不相等的实数根，∴△=b2﹣4ac=（﹣6）2﹣4m=36﹣4m＞0，解得：m＜9．故答案为m＜9．【点评】本题考查了根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣4ac有如下关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．9．某乒乓球训练队共有9名队员，他们的年龄（单位：岁）分别为：12，13，13，14，12，13，15，13，15，则他们年龄的众数为13．【考点】众数．【分析】由于众数是一组数据中出现次数最多的数据，由此可以确定这组数据的众数．【解答】解：依题意得13在这组数据中出现四次，次数最多，则他们年龄的众数为13．故答案为13．【点评】此题考查了众数的定义，注意众数是指一组数据中出现次数最多的数据，它反映了一组数据的多数水平，一组数据的众数可能不是唯一的．10．如图，AB是⊙O的直径，C、D是圆上的两点，若BC=8，cos∠D=，则AB的长为12．【考点】圆周角定理．【分析】连接AC，先根据圆周角定理得到∠B=∠D，然后根据锐角三角函数求出AB的长度．【解答】解：连接AC，根据圆周角定理可知：∠B=∠D，∵AB是直径，∴∠ACB是直角，∴cos∠B==cos∠D=，∵BC=8，∴AB=12，故答案为12．【点评】本题主要考查了圆周角定理的知识，解答本题的关键是根据圆周角定理得到∠B=∠D，此题难度不大．11．若（7x﹣a）2=49x2﹣bx+9，则|a+b|=45．【考点】完全平方公式．【分析】先将原式化为49x2﹣14ax+a2=49x2﹣bx+9，再根据各未知数的系数对应相等列出关于a、b的方程组，求出a、b的值代入即可．【解答】解：∵（7x﹣a）2=49x2﹣bx+9，∴49x2﹣14ax+a2=49x2﹣bx+9，∴﹣14a=﹣b，a2=9，解得a=3，b=42或a=﹣3，b=﹣42．当a=3，b=42时，|a+b|=|3+42|=45；当a=﹣3，b=﹣42时，|a+b|=|﹣3﹣42|=45．故答案为45．【点评】本题是一个基础题，考查了完全平方公式以及代数式的求值，要熟练进行计算是解此题的关键．12．如图，△ABC中，AE交BC于点D，∠C=∠E，AD：DE=3：5，AE=8，BD=4，则DC的长等于．【考点】相似三角形的判定与性质．【分析】求出AD、DE的长度；证明A、B、E、C四点共圆，运用相交弦定理列出关于线段DC的等积式，即可解决问题．【解答】解：∵AD：DE=3：5，AE=8，∴AD=3，DE=5；∵∠C=∠E，∴A、B、E、C四点共圆，∴AD•DE=BD•DC（相交弦定理），而BD=4，∴DC=．故答案为．【点评】该题主要考查了四点共圆的判定及其性质的应用问题；解题的关键是首先证明A、B、E、C四点共圆，运用相交弦定理列出关于线段DC的等积式，来分析、运算、求解．13．如图，直线y=kx+b经过A（﹣1，2）和B（﹣，0）两点，则不等式0＜kx+b＜﹣2x的解集为﹣＜x＜﹣1．【考点】一次函数与一元一次不等式．【分析】根据点B的坐标确定kx+b＞0时x的范围，根据图象和y=﹣2x经过点A（﹣1，2），确定kx+b＜﹣2x时，x的范围．【解答】解：∵B（﹣，0）∴x＞﹣时，kx+b＞0，∵y=﹣2x经过点A（﹣1，2），∴当x＜﹣1时，kx+b＜﹣2x，则不等式0＜kx+b＜﹣2x的解集为﹣＜x＜﹣1，故答案为：﹣＜x＜﹣1．【点评】本题考查的是一次函数与一元一次不等式，一次函数与一元一次不等式的关系从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．14．如图，把Rt△ABC放在直角坐标系内，其中∠CAB=90°，BC=5，点A、B的坐标分别为（1，0）、（4，0），将△ABC沿x轴向右平移，当点C落在直线y=2x﹣6上时，线段BC扫过的面积为16cm2．【考点】一次函数综合题．【专题】压轴题．【分析】根据题意，线段BC扫过的面积应为一平行四边形的面积，其高是AC的长，底是点C平移的路程．求当点C落在直线y=2x﹣6上时的横坐标即可．【解答】解：如图所示．∵点A、B的坐标分别为（1，0）、（4，0），∴AB=3．∵∠CAB=90°，BC=5，∴AC=4．∴A′C′=4．∵点C′在直线y=2x﹣6上，∴2x﹣6=4，解得x=5．即OA′=5．∴CC′=5﹣1=4．∴S▱BCC′B′=4×4=16（cm2）．即线段BC扫过的面积为16cm2．故答案为16．【点评】此题考查平移的性质及一次函数的综合应用，难度中等．15．关于x的方程a（x+m）2+b=0的解是x1=﹣2，x2=1（a，m，b均为常数，a≠0），则方程a（x+m+3）2+b=0的解是x1=﹣5，x2=﹣2．【考点】解一元二次方程-直接开平方法．【专题】计算题．【分析】根据方程a（x+m）2+b=0的解是x1=﹣2、x2=1知，方程a（x+m+3）2+b=0中x+3=﹣2或x+3=1，解之可得．【解答】解：∵方程a（x+m）2+b=0的解是x1=﹣2，x2=1，∴方程a（x+m+3）2+b=0中x+3=﹣2或x+3=1，解得：x=﹣5或x=﹣2，故答案为：x1=﹣5，x2=﹣2．【点评】本题主要考查方程的解，根据方程的特点将待求方程中x+3看做已知方程中的未知数x是解题的关键．16．如图①，在△AOB中，∠AOB=90°，OA=3，OB=4，将△AOB沿x轴依次以点A、B、O为旋转中心顺时针旋转，分别得到图②、图③、…，则旋转得到的图⑧的直角顶点的坐标为（，）．【考点】坐标与图形变化-旋转．【专题】计算题．【分析】根据勾股定理列式求出AB的长度，再利用面积法计算图②的直角顶点的纵坐标，然后根据图形不难发现，每3个图形为一个循环组依次循环，所以图⑧与图②的直角顶点的纵坐标相同，横坐标为两个三角形周长加OH的长．【解答】解：∵∠AOB=90°，OA=3，OB=4，∴AB===5，过C作CH⊥x轴于H，如图，∵CH•5=•3•4，∴CH=，∴AH==，根据图形，每3个图形为一个循环组，3+5+4=12，而8=3×2+2，∴图⑧与图②的直角顶点的纵坐标相同，都为，图⑧的直角顶点的横坐标为2×12+3+=，即图⑧的直角顶点的坐标为（，）．故答案为（，）．【点评】本题考查了坐标与图形变换：旋转图形的坐标：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°．也考查了勾股定理．三、解答题：本大题共有10小题，共102分，请在答题卡制定区域内作答17．（1）计算：|﹣1|﹣×﹣（5﹣π）0+4cos45°（2）化简：（﹣a+1）÷．【考点】实数的运算；分式的混合运算；零指数幂；特殊角的三角函数值．【专题】计算题．【分析】（1）根据绝对值、零指数幂、特殊角的三角函数可以解答本题；（2）先对括号内的式子通分，然后根据分式的除法进行化简即可．【解答】解：（1）|﹣1|﹣×﹣（5﹣π）0+4cos45°=1﹣﹣1+4×=1﹣﹣1+=；（2）（﹣a+1）÷====．【点评】本题考查实数的混合运算、分式的混合运算、零指数幂、特殊角的三角函数、去绝对值，解题的关键是明确它们各自的计算方法．18．（1）解方程：；（2）解不等式组：．【考点】解一元一次不等式组；解分式方程．【专题】计算题．【分析】（1）分式方程两边都乘以（x﹣2），把分式方程化为整式方程，求解，再进行检验即可；（2）先求出两个不等式的解集，再求其公共解．【解答】解：（1）方程两边都乘以（x﹣2）得，1=x﹣1﹣3（x﹣2），解得x=2，检验：当x=2时，x﹣2=2﹣2=0，所以，原分式方程无解；（2），解不等式①得，x≥﹣1，解不等式②得，x＜2，所以，不等式组的解集是﹣1≤x＜2．【点评】本题主要考查了一元一次不等式组解集的求法，其简便求法就是用口诀求解．求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）．19．为了提高足球基本功，甲、乙、丙三位同学进行足球传球训练，球从一个人脚下随机传到另一个人脚下，且每位传球人传球给其余两人的机会是均等的，由甲开始传球，共传三次．（1）请用树状图列举出三次传球的所有可能情况；（2）三次传球后，球回到甲脚下的概率大还是传到乙脚下的概率大？【考点】列表法与树状图法．【分析】（1）根据题意画出树状图即可；（2）根据（1）的树形图，利用概率公式列式进行计算即可得解，分别求出球回到甲脚下的概率和传到乙脚下的概率，比较大小即可．【解答】解：（1）根据题意画出树状图如下：由树形图可知三次传球有8种等可能结果；（2）由（1）可知三次传球后，球回到甲脚下的概率==；传到乙脚下的概率=，所以球回到乙脚下的概率大．【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．20．初三年级教师对试卷讲评课中学生参与的深度与广度进行评价调查，其评价项目为主动质疑、独立思考、专注听讲、讲解题目四项．评价组随机抽取了若干名初中学生的参与情况，绘制成如图所示的频数分布直方图和扇形统计图（均不完整），请根据图中所给信息解答下列问题：（1）在这次评价中，一共抽查了560名学生；（2）在扇形统计图中，项目“主动质疑”所在的扇形的圆心角的度数为54度；（3）请将频数分布直方图补充完整；（4）如果全市有6000名初三学生，那么在试卷评讲课中，“独立思考”的初三学生约有多少人？【考点】频数（率）分布直方图；用样本估计总体；扇形统计图．【分析】（1）根据专注听讲的人数是224人，所占的比例是40%，即可求得抽查的总人数；（2）利用360乘以对应的百分比即可求解；（3）利用总人数减去其他各组的人数，即可求得讲解题目的人数，从而作出频数分布直方图；（4）利用6000乘以对应的比例即可．【解答】解：（1）调查的总人数是：224÷40%=560（人），故答案是：560；（2）“主动质疑”所在的扇形的圆心角的度数是：360×=54°，故答案是：54；（3）“讲解题目”的人数是：560﹣84﹣168﹣224=84（人）．；（4）在试卷评讲课中，“独立思考”的初三学生约有：6000×=1800（人）．【点评】本题考查扇形统计图及相关计算．在扇形统计图中，每部分占总部分的百分比等于该部分所对应的扇形圆心角的度数与360°比．21．如图，从A地到B地的公路需经过C地，图中AC=10千米，∠CAB=25°，∠CBA=37°，因城市规划的需要，将在A、B两地之间修建一条笔直的公路．（1）求改直的公路AB的长；（2）问公路改直后比原来缩短了多少千米？（sin25°≈0.42，cos25°≈0.91，sin37°≈0.60，tan37°≈0.75）【考点】解直角三角形的应用．【专题】几何图形问题．【分析】（1）作CH⊥AB于H．在Rt△ACH中，根据三角函数求得CH，AH，在Rt△BCH中，根据三角函数求得BH，再根据AB=AH+BH即可求解；（2）在Rt△BCH中，根据三角函数求得BC，再根据AC+BC﹣AB列式计算即可求解．【解答】解：（1）作CH⊥AB于H．在Rt△ACH中，CH=AC•sin∠CAB=AC•sin25°≈10×0.42=4.2（千米），AH=AC•cos∠CAB=AC•cos25°≈10×0.91=9.1（千米），在Rt△BCH中，BH=CH÷tan∠CBA=4.2÷tan37°≈4.2÷0.75=5.6（千米），∴AB=AH+BH=9.1+5.6=14.7（千米）．故改直的公路AB的长14.7千米；（2）在Rt△BCH中，BC=CH÷sin∠CBA=4.2÷sin37°≈4.2÷0.6=7（千米），则AC+BC﹣AB=10+7﹣14.7=2.3（千米）．答：公路改直后比原来缩短了2.3千米．【点评】此题考查了解直角三角形的应用，主要是三角函数的基本概念及运算，关键把实际问题转化为数学问题加以计算．22．如图，已知：在平行四边形ABCD中，点E、F、G、H分别在边AB、BC、CD、DA上，AE=CG，AH=CF，且EG平分∠HEF．求证：（1）△AEH≌△CGF；（2）四边形EFGH是菱形．【考点】平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质；菱形的判定．【专题】证明题．【分析】（1）由全等三角形的判定定理SAS证得结论；（2）易证四边形EFGH是平行四边形，那么EF∥GH，那么∠HGE=∠FEG，而EG是角平分线，易得∠HEG=∠FEG，根据等量代换可得∠HEG=∠HGE，从而有HE=HG，易证四边形EFGH是菱形．【解答】（1）证明：如图，∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A=∠C，在△AEH与△CGF中，，∴△AEH≌△CGF（SAS）；（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AD=BC，∠B=∠D．又∵AE=CG，AH=CF，∴BE=DG，BF=DH，在△BEF与△DGH中，∴△BEF≌△DGH（SAS），∴EF=GH．又由（1）知，△AEH≌△CGF，∴EH=GF，∴四边形EFGH是平行四边形，∴HG∥EF，∴∠HGE=∠FEG，∵EG平分∠HEF，∴∠HEG=∠FEG，∴∠HEG=∠HGE，∴HE=HG，∴四边形EFGH是菱形．【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质、菱形的判定．解题的关键是掌握两组对边相等的四边形是平行四边形，一组邻边相等的平行四边形是菱形．23．我市某风景区门票价格如图所示，百姓旅行社有甲、乙两个旅行团队，计划在“五一”小黄金周期间到该景点游玩，两团队游客人数之和为120人，乙团队人数不超过50人．设甲团队人数为x人，如果甲、乙两团队分别购买门票，两团队门票款之和为W元．（1）求W关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）若甲团队人数不超过100人，请说明甲、乙两团队联合购票比分别购票最多可节约多少元．【考点】一次函数的应用．【分析】（1）由甲团队人数为x人，乙团队人数不超过50人，可得出关于x的一元一次不等式，解不等式可得出x的取值范围，结合门票价与人数的关系分段考虑，由总钱数=甲团队购票钱数+乙团队购票钱数得出函数关系式；（2）由甲团队人数不超过100人，选定所用W关于x的函数解析式，由一次函数的单调性结合x的取值范围可得出W的最大值，用其减去甲乙团队合作购票所需钱数即可得出结论．【解答】解：（1）∵甲团队人数为x人，乙团队人数不超过50人，∴120﹣x≤50，解得：x≥70．①当70≤x≤100时，W=70x+80（120﹣x）=﹣10x+9600；②当100＜x＜120时，W=60x+80（120﹣x）=﹣20x+9600．综上所述，W=．（2）∵甲团队人数不超过100人，∴x≤100，W=﹣10x+9600，∵70≤x≤100，W随x的增大而减少，∴x=70时，W取最大值，最大值=﹣10×70+9600=8900（元），若两团联合购票需120×60=7200（元），∴最多可节约8900﹣7200=1700（元）．答：甲、乙两团队联合购票比分别购票最多可节约1700元钱．【点评】本题考查了解一元一次不等式以及一次函数的性质，解题的关键：（1）根据x的取值范围结合门票价与人数的关系分段寻找函数的解析式；（2）利用一次函数的单调性求取最值．本题属于中档题，难度不大，（1）需根据已知条件寻找x的取值范围；（2）需根据一次函数的单调性求极值．24．如图，已知以Rt△ABC的AC边为直径作⊙O交斜边AB于点E，连接EO并延长交BC的延长线于点D，点F为BC的中点，连接EF．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）若AD的长为2，∠EAC=60°，求①⊙O的半径；②求图中阴影部分的面积（保留π及根号）【考点】圆的综合题．【分析】（1）连接FO，根据三角形的中位线的性质得到OF∥AB，由于AC是⊙O的直径，得出CE⊥AE，根据平行线的性质得出OF⊥CE，于是得到OF所在直线垂直平分CE，推出FC=FE，OE=OC，再由∠ACB=90°，即可得到结论；（2）①设⊙O的半径为r，解直角三角形得到CD=r，根据勾股定理列方程即可得到结论；②根据已知条件得到BC=4，∠B=30°，由于AC是⊙O的直径，得到CE⊥AB，于是得到S△EFC=S△BCE=6，求得S△CEO=×2×1=，于是得到结论．【解答】（1）证明：如图，连接FO，∵F为BC的中点，AO=CO，∴OF∥AB，∵AC是⊙O的直径，∴CE⊥AE，∵OF∥AB，∴OF⊥CE，∴OF所在直线垂直平分CE，∴FC=FE，OE=OC，∴∠FEC=∠FCE，∠0EC=∠0CE，∵∠ACB=90°，即：∠0CE+∠FCE=90°，∴∠0EC+∠FEC=90°，即：∠FEO=90°，∴FE为⊙O的切线；（2）解：①设⊙O的半径为r，∴AO=CO=EO=r，∵∠EAC=60°，OA=OE，∴∠EOA=60°，∴∠COD=∠EOA=60°，∵在Rt△OCD中，∠COD=60°，OC=r，∴CD=r，∵在Rt△ACD中，∠ACD=90°，∴AC2+CD2=AD2，即（2r）2+（r）2=（2）2，∴r=2，∴⊙O的半径是2；②∵∠BAC=60°，AC=4，∴BC=4，∠B=30°，∵AC是⊙O的直径，∴CE⊥AB，∴CE=BC=2，∴BE=6，∴S△EFC=S△BCE=6，∵S△CEO=×2×1=，∴S阴影=S四边形EFCO﹣S扇形=6+﹣=7﹣π．【点评】本题考查了切线的判定和性质，三角形的中位线的性质，勾股定理，线段垂直平分线的性质，直角三角形的性质，证得△AOE是等边三角形是解题的关键．25．如图，若四边形ABCD、四边形GFED都是正方形，显然图中有AG=CE，AG⊥CE．（1）当正方形GFED绕D旋转到如图2的位置时，AG=CE是否成立？若成立，请给出证明，若不成立，说明理由．（2）若正方形GFED绕D旋转到如图3的位置（F在线段AD上）时，延长CE交AG于H，交AD于M，①求证：AG⊥CH；②当AD=4，DG=时，求CH的长．（3）在（2）的条件下，在如图所示的平面上，是否存在以A、G、D、N为顶点的四边形为平行四边形的点N？如果存在，请在图中画出满足条件的所有点N的位置，并直接写出此时CN的长度；若不存在，请说明理由．【考点】几何变换综合题．【分析】（1）利用SAS证△ADG≌△CDE即可；（2）①同样先证明△ADG≌△CDE，得出∠DAG=∠DCE，而∠DCM+∠DMC=90°，从而∠DAG+∠AMH=90°，结论显然；②连接AC、CG，注意到DG∥AC，△GAC与△DAC的面积相等，于是考虑用等积变换，求出AG即可求出CH；（3）A、C、G三点固定，将△ACG每边作为平行四边形的对角线就得出三种情况，画出相应的图形，相应的CN长可直接算出；【解答】解：（1）成立．如图2，∵∠CDE+∠EDA=∠ADG+∠ADE=90°，∴∠ADG=∠CDE，在△ADG和△CDE中，，∴△ADG≌△CDE（SAS），∴AG=CE；（2）如图3，过点E作EP⊥CD于点P，连接AC，①同（1）可证△ADG≌△CDE，∴∠DAG=∠DCE，∵∠DCM+∠DMC=90°，∴∠DAG+∠AMH=90°，∴AG⊥CH；②∵∠EDF=∠EDC=45°，DG=，∴DP=EP=1，∵CD=AD=4，∴CP=3，∴CE=，∴AG=，∵∠DAC=∠ADG=45°，∴DG∥AC，∴S△AGC=S△ADC==8，∵，∴；（3）①如图4，NADG是平行四边形，此时，CN=CA+AN=CA+DG==；②如图5，ANDG是平行