高考数学总复习《导数与函数的极值与最值》专项测试卷带答案

第第页高考数学总复习《导数与函数的极值与最值》专项测试卷带答案学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一、单项选择题1．若函数f(x)＝x3lnx，则()A．既有极大值，也有极小值B．有极小值，无极大值C．有极大值，无极小值D．既无极大值，也无极小值2．如图所示是函数y＝f(x)的导函数的图象，下列结论中正确的是()A．f(x)在[－2，－1]上单调递增B．当x＝3时，f(x)取得最小值C．当x＝－1时，f(x)取得极大值D．f(x)在[－1,2]上单调递增，在[2,4]上单调递减3．(2024·云南玉溪模拟)已知函数f(x)＝x(x－c)2在x＝2处有极大值，则c＝()A．6B．5C．4D．34．(2024·山西太原模拟)已知函数f(x)＝eq\f(1,3)x3＋mx2＋nx＋2，其导函数f′(x)为偶函数，f(1)＝－eq\f(2,3)，则函数g(x)＝f′(x)ex在区间[0,2]上的最小值为()A．－3eB．－2eC．eD．2e5．(2024·海南八校联盟)已知函数f(x)＝3lnx－x2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(1,2)))x在区间(1,3)上有最大值，则实数a的取值范围是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，5)) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(11,2)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(11,2))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，5))6．某商场从生产厂家以每件20元的价格购进一批商品，若该商品零售价定为p(p≥20)元时的销售量为Q件，且Q＝8300－170p－p2，则这批商品的最大毛利润(毛利润＝销售收入－进货支出)为()A．30000元 B．60000元C．28000元 D．23000元7．如果存在函数g(x)＝ax＋b(a，b为常数)，使得对函数f(x)定义域内任意的x都有f(x)≤g(x)成立，那么g(x)为函数f(x)的一个“线性覆盖函数”．已知f(x)＝－2xlnx－x2，g(x)＝－ax＋3，若g(x)为函数f(x)在区间(0，＋∞)上的一个“线性覆盖函数”，则实数a的取值范围是()A．(－∞，0] B．(－∞，2]C．(－∞，4] D．(－∞，6]8．已知函数f(x)＝ex－3，g(x)＝1＋lnx，若f(m)＝g(n)，则n－m的最小值为()A．－ln2B．ln2C．2D．－2二、多项选择题9．已知函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则下列结论正确的是()A．f(a)<f(b)<f(c)B．f(e)<f(d)<f(c)C．当x＝c时，f(x)取得最大值D．当x＝d时，f(x)取得最小值10．已知函数f(x)＝xlnx＋x2，x0是函数f(x)的极值点，以下几个结论中正确的是()A．0<x0<eq\f(1,e) B．x0>eq\f(1,e)C．f(x0)＋2x0<0 D．f(x0)＋2x0>011．(2022·新高考全国Ⅰ卷)已知函数f(x)＝x3－x＋1，则()A．f(x)有两个极值点B．f(x)有三个零点C．点(0,1)是曲线y＝f(x)的对称中心D．直线y＝2x是曲线y＝f(x)的切线三、填空题与解答题12．(2024·吉林长春模拟)已知y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y＝x－1，且f′(x)＝lnx＋1，则函数y＝f(x)的最小值为________．13．(2024·山东潍坊模拟)某商场销售某种商品，经验表明，该商品每日的销售量y(千克)与销售价格x(元/千克)满足关系式y＝eq\f(2,x－3)＋10(x－6)2，x∈(3,6)．若该商品的成本为3元/千克，则当销售价格为________元/千克时，该商场每日销售该商品所获得的利润最大．14．给出定义：设f′(x)是函数y＝f(x)的导函数，f″(x)是函数f′(x)的导函数，若方程f″(x)＝0有实数解x0，则称点(x0，f(x0))为函数y＝f(x)的拐点．已知f(x)＝ax＋eq\r(3)sinx－cosx.(1)求证：函数y＝f(x)的拐点M(x0，f(x0))在直线y＝ax上；(2)当x∈(0,2π)时，讨论f(x)的极值点的个数．高分推荐题15．设函数f(x)＝mx2ex＋1，若对任意a，b，c∈[－3，1]，f(a)，f(b)，f(c)都可以作为一个三角形的三边长，则m的取值范围为________．解析版一、单项选择题1．若函数f(x)＝x3lnx，则()A．既有极大值，也有极小值B．有极小值，无极大值C．有极大值，无极小值D．既无极大值，也无极小值解析：依题意，f′(x)＝3x2lnx＋x2＝x2(3lnx＋1)，x>0.令f′(x)＝0，解得x＝eeq\s\up15(－eq\f(1,3))，故当x∈(0，eeq\s\up15(－eq\f(1,3)))时，f′(x)<0，当x∈(eeq\s\up15(－eq\f(1,3))，＋∞)时，f′(x)>0，故当x＝eeq\s\up15(－eq\f(1,3))时，函数f(x)有极小值，且函数无极大值．故选B.答案：B2．如图所示是函数y＝f(x)的导函数的图象，下列结论中正确的是()A．f(x)在[－2，－1]上单调递增B．当x＝3时，f(x)取得最小值C．当x＝－1时，f(x)取得极大值D．f(x)在[－1,2]上单调递增，在[2,4]上单调递减解析：根据题图知，当x∈(－2，－1)，x∈(2,4)时，f′(x)＜0，函数y＝f(x)单调递减；当x∈(－1,2)，x∈(4，＋∞)时，f′(x)＞0，函数y＝f(x)单调递增．所以y＝f(x)在[－2，－1]上单调递减，在(－1,2)上单调递增，在(2,4)上单调递减，在(4，＋∞)上单调递增，故A不正确，D正确；故当x＝－1时，f(x)取得极小值，C不正确；当x＝3时，f(x)不是最小值，B不正确．答案：D3．(2024·云南玉溪模拟)已知函数f(x)＝x(x－c)2在x＝2处有极大值，则c＝()A．6B．5C．4D．3解析：由题可得f′(x)＝(x－c)2＋2x(x－c)＝3x2－4cx＋c2.因为函数f(x)＝x(x－c)2在x＝2处有极大值，所以f′(2)＝0，即c2－8c＋12＝0，解得c＝6或2.经检验当c＝2时，函数f(x)在x＝2处取得极小值，不符合题意，应舍去，故c＝6.故选A.答案：A4．(2024·山西太原模拟)已知函数f(x)＝eq\f(1,3)x3＋mx2＋nx＋2，其导函数f′(x)为偶函数，f(1)＝－eq\f(2,3)，则函数g(x)＝f′(x)ex在区间[0,2]上的最小值为()A．－3eB．－2eC．eD．2e解析：由题意可得f′(x)＝x2＋2mx＋n，∵f′(x)为偶函数，∴m＝0，故f(x)＝eq\f(1,3)x3＋nx＋2，∵f(1)＝eq\f(1,3)＋n＋2＝－eq\f(2,3)，∴n＝－3.∴f(x)＝eq\f(1,3)x3－3x＋2，则f′(x)＝x2－3.故g(x)＝ex(x2－3)，则g′(x)＝ex(x2－3＋2x)＝ex(x－1)(x＋3)．据此可知函数g(x)在区间[0,1)上单调递减，在区间(1,2]上单调递增，故函数g(x)在x＝1处存在极小值，即为最小值，g(1)＝e1·(12－3)＝－2e.答案：B5．(2024·海南八校联盟)已知函数f(x)＝3lnx－x2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(1,2)))x在区间(1,3)上有最大值，则实数a的取值范围是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，5)) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(11,2)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(11,2))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，5))解析：f′(x)＝eq\f(3,x)－2x＋a－eq\f(1,2)，由题意易知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f′1＞0，,f′3＜0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,2)＞0，,a－\f(11,2)＜0，))解得－eq\f(1,2)＜a＜eq\f(11,2).故选B.答案：B6．某商场从生产厂家以每件20元的价格购进一批商品，若该商品零售价定为p(p≥20)元时的销售量为Q件，且Q＝8300－170p－p2，则这批商品的最大毛利润(毛利润＝销售收入－进货支出)为()A．30000元 B．60000元C．28000元 D．23000元解析：设毛利润为L(p)元，由题意知L(p)＝pQ－20Q＝Q(p－20)＝(8300－170p－p2)(p－20)＝－p3－150p2＋11700p－166000(p≥20)，所以L′(p)＝－3p2－300p＋11700.令L′(p)＝0，解得p＝30或p＝－130(舍去)．因为当20≤p＜30时，L′(p)＞0，当p＞30时，L′(p)＜0，所以L(30)是极大值，根据实际问题的意义知，L(30)也是最大值，此时，L(30)＝23000，即零售价定为每件30元时，最大毛利润为23000元．故选D.答案：D7．如果存在函数g(x)＝ax＋b(a，b为常数)，使得对函数f(x)定义域内任意的x都有f(x)≤g(x)成立，那么g(x)为函数f(x)的一个“线性覆盖函数”．已知f(x)＝－2xlnx－x2，g(x)＝－ax＋3，若g(x)为函数f(x)在区间(0，＋∞)上的一个“线性覆盖函数”，则实数a的取值范围是()A．(－∞，0] B．(－∞，2]C．(－∞，4] D．(－∞，6]解析：由题意可知，f(x)≤g(x)对任意x∈(0，＋∞)恒成立，即a≤2lnx＋x＋eq\f(3,x)对任意x∈(0，＋∞)恒成立．设h(x)＝2lnx＋x＋eq\f(3,x)，则h′(x)＝eq\f(2,x)＋1－eq\f(3,x2)＝eq\f(x＋3x－1,x2)，x＞0，易知h(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，所以h(x)min＝h(1)＝4，故a≤4.答案：C8．已知函数f(x)＝ex－3，g(x)＝1＋lnx，若f(m)＝g(n)，则n－m的最小值为()A．－ln2B．ln2C．2D．－2解析：令t＝f(m)＝g(n)，则em－3＝t,1＋lnn＝t，所以m＝3＋lnt，n＝et－1，即n－m＝et－1－3－lnt，令h(t)＝et－1－3－lnt，则h′(t)＝et－1－eq\f(1,t)(t＞0)，令h′(t)＝0，得t＝1.当0＜t＜1时，h′(t)＜0，h(t)单调递减；当t＞1时，h′(t)＞0，h(t)单调递增．所以h(t)min＝h(1)＝e0－3－ln1＝－2，即n－m的最小值为－2.故选D.答案：D二、多项选择题9．已知函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则下列结论正确的是()A．f(a)<f(b)<f(c)B．f(e)<f(d)<f(c)C．当x＝c时，f(x)取得最大值D．当x＝d时，f(x)取得最小值解析：由f′(x)的图象可知，当x∈(－∞，c)∪(e，＋∞)时，f′(x)＞0；当x∈(c，e)时，f′(x)＜0，∴f(x)在(－∞，c)，(e，＋∞)上单调递增，在(c，e)上单调递减．对于A，∵a＜b<c，∴f(a)＜f(b)＜f(c)，A正确；对于B，∵c<d<e，∴f(e)＜f(d)＜f(c)，B正确；对于C，由以上分析知，f(c)为极大值，当x>e时，可能存在f(x0)＞f(c)，C错误；对于D，由单调性知f(e)＜f(d)．D错误．故选AB.答案：AB10．已知函数f(x)＝xlnx＋x2，x0是函数f(x)的极值点，以下几个结论中正确的是()A．0<x0<eq\f(1,e) B．x0>eq\f(1,e)C．f(x0)＋2x0<0 D．f(x0)＋2x0>0解析：∵函数f(x)＝xlnx＋x2(x>0)，∴f′(x)＝lnx＋1＋2x，易知f′(x)在(0，＋∞)上单调递增．∵x0是函数f(x)的极值点，∴f′(x0)＝0，即lnx0＋1＋2x0＝0.∵f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)))＝eq\f(2,e)>0，∴当x>eq\f(1,e)时，f′(x)>0.又∵当x→0时，f′(x)→－∞，∴0＜x0＜eq\f(1,e)，即A正确，B不正确；又f(x0)＋2x0＝x0lnx0＋xeq\o\al(2,0)＋2x0＝x0(lnx0＋x0＋2)＝x0(1－x0)＞0，故D正确，C不正确．故选AD.答案：AD11．(2022·新高考全国Ⅰ卷)已知函数f(x)＝x3－x＋1，则()A．f(x)有两个极值点B．f(x)有三个零点C．点(0,1)是曲线y＝f(x)的对称中心D．直线y＝2x是曲线y＝f(x)的切线解析：由题意知f′(x)＝3x2－1.令f′(x)＝0，得x＝eq\f(\r(3),3)或x＝－eq\f(\r(3),3).令f′(x)>0，得x<－eq\f(\r(3),3)或x>eq\f(\r(3),3)；令f′(x)<0，得－eq\f(\r(3),3)<x<eq\f(\r(3),3)，所以f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(\r(3),3)))和eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)，＋∞))上单调递增，在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),3)，\f(\r(3),3)))上单调递减，所以f(x)有两个极值点，所以A正确．f(x)极大值＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),3)))＝－eq\f(\r(3),9)＋eq\f(\r(3),3)＋1>0，f(x)极小值＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)))＝eq\f(\r(3),9)－eq\f(\r(3),3)＋1>0.当x→＋∞时，f(x)→＋∞；当x→－∞时，f(x)→－∞，所以f(x)有一个零点，所以B错误．因为f(x)＋f(－x)＝x3－x＋1＋(－x)3＋x＋1＝2，所以曲线y＝f(x)关于点(0,1)对称，所以C正确．令f′(x)＝3x2－1＝2，得x＝1或x＝－1，所以当切线的斜率为2时，切点为(1,1)或(－1,1)，则切线方程为y＝2x－1或y＝2x＋3，所以D错误．故选AC.答案：AC三、填空题与解答题12．(2024·吉林长春模拟)已知y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y＝x－1，且f′(x)＝lnx＋1，则函数y＝f(x)的最小值为________．解析：根据题意，不妨设f(x)＝xlnx＋C(C为常数)．由切线方程，得f(1)＝0，即1·ln1＋C＝0，所以C＝0，所以f(x)＝xlnx.令f′(x)＝lnx＋1＝0，解得x＝eq\f(1,e)，所以当0<x<eq\f(1,e)时，f′(x)<0，当x>eq\f(1,e)时，f′(x)>0，所以f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,e)))上单调递减，在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)，＋∞))上单调递增，所以f(x)min＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)))＝eq\f(1,e)·lneq\f(1,e)＝－eq\f(1,e).答案：－eq\f(1,e)13．(2024·山东潍坊模拟)某商场销售某种商品，经验表明，该商品每日的销售量y(千克)与销售价格x(元/千克)满足关系式y＝eq\f(2,x－3)＋10(x－6)2，x∈(3,6)．若该商品的成本为3元/千克，则当销售价格为________元/千克时，该商场每日销售该商品所获得的利润最大．解析：由题意得，商场每日销售该商品所获得的利润为f(x)＝(x－3)·eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2,x－3)＋10x－62))＝2＋10(x－3)·(x－6)2,3<x<6，则f′(x)＝10[(x－6)2＋2(x－3)(x－6)]＝30(x－4)(x－6)．令f′(x)＝0，得x＝4或x＝6(舍去)．故当x∈(3,4)时，f′(x)>0，当x∈(4,6)时，f′(x)<0，则函数f(x)在(3,4)上单调递增，在(4,6)上单调递减，∴当x＝4时，函数f(x)取得最大值f(4)＝42.故当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大．答案：414．给出定义：设f′(x)是函数y＝f(x)的导函数，f″(x)是函数f′(x)的导函数，若方程f″(x)＝0有实数解x0，则称点(x0，f(x0))为函数y＝f(x)的拐点．已知f(x)＝ax＋eq\r(3)sinx－cosx.(1)求证：函数y＝f(x)的拐点M(x0，f(x0))在直线y＝ax上；(2)当x∈(0,2π)时，讨论f(x)的极值点的个数．(1)证明：∵f(x)＝ax＋eq\r(3)sinx－co