2024-2025学年福建省福州市高二上册期中考试数学检测试卷（含解析）

2024-2025学年福建省福州市高二上学期期中考试数学检测试卷一、单选题（本大题共8小题）1．如果，，三点共线，那么（

）A．1 B．2 C．3 D．42．“”是“直线与直线垂直”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3．已知直线过点，且在轴上的截距为轴上的截距的两倍，则直线的方程是（

）A． B．C．或 D．或4．在空间四边形中，点在上，点在上，且，则向量等于（

）A． B．C． D．5．已知直线：恒过点，过点作直线与圆C：相交于A，B两点，则的最小值为（

）A． B．2 C．4 D．6．已知椭圆C：（），过点且方向向量为的光线，经直线反射后过C的右焦点，则C的离心率为（

）A． B． C． D．7．已知动点在直线上，过总能作圆的两条切线，切点为，且恒成立，则的取值范围是（）A． B．C． D．8．已知梯形中，，，，，.如图，将沿对角线翻折至，使得，则异面直线，所成角的余弦值为（

）

A． B． C． D．二、多选题（本大题共3小题）9．下面四个结论正确的是（）A．若三个非零空间向量满足，则有B．若空间中任意一点，则P，A，B，C四点共面C．已知是空间的一组基底，若，则也是空间的一组基底D．已知向量，若，则为钝角10．已知，动点满足，记的轨迹为.过A的直线与交于P，Q两点，直线BP与的另一个交点为，则（）A．的面积的最大值为B．当时，C．Q，M关于轴对称D．在上存在点，使得11．如图，造型为“”的曲线称为双纽线，其对称中心在坐标原点，且上的点满足到点和的距离之积为定值，则（）A． B．点在上C．上的点的纵坐标的最大值为 D．若点在上，则三、填空题（本大题共3小题）12．若点在圆的外部，则实数的取值范围是.13．如图，一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面（椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面）的一部分.过对称轴的截口是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点上，片门位于另一个焦点上.由椭圆的一个焦点发出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点.已知，.若透明窗DE所在的直线与截口所在的椭圆交于一点，且，则的面积为.14．已知实数满足，则的取值范围是.四、解答题（本大题共5小题）15．已知的顶点，边上的高线所在的直线方程为，边上的中线所在的直线方程为．(1)求点的坐标；(2)求直线的方程．16．如图，在长方体中，，点在AB上，且.(1)求直线与平面所成角的正弦值；(2)若点在侧面上，且点到直线和CD的距离相等，求点到直线距离的最小值.17．如图，在四棱锥中，底面ABCD是边长为2的菱形，是正三角形，.平面平面ABCD，点在棱PC上.(1)若平面ADE与棱PB交于点，求证：平面ABCD；(2)若二面角E-AD-B的余弦值为，求点到平面ABCD的距离.18．已知线段AB的端点B的坐标是，端点A的运动轨迹是曲线C，线段AB的中点M的轨迹方程是.(1)求曲线C的方程；(2)已知斜率为k的直线l与曲线C相交于两点E，F（异于原点O），直线OE，OF的斜率分别为，且，①证明：直线l过定点P，并求出点P的坐标；②若，D为垂足，证明：存在定点Q，使得为定值.19．“曼哈顿距离”是一种度量距离的方式，定义如下：在平面直角坐标系内，任意两点，的曼哈顿距离为.对于动点，若存在定点使得（为大于的常数），则称动点的轨迹为“”曲线.(1)已知，若，求；(2)已知曲线是“”曲线（是原点），，点是上一点，（i）写出曲线的方程并画出图形，求的最大值；（ii）已知点在直线上，求的最小值.

答案1．【正确答案】D【详解】即，，，，三点共线，故，即，解得，，，故.故选：D2．【正确答案】A【详解】若直线与直线垂直，等价于，解得或，显然是真子集，所以“”是“直线与直线垂直”的充分不必要条件.故选：A.3．【正确答案】C设直线在轴上的截距为，则直线在轴上的截距为，分类讨论，利用直线方程的截距式可得结果.【详解】设直线在轴上的截距为，则直线在轴上的截距为，当时，直线经过原点，其方程为，即；当时，设直线的方程为，因为直线过点，所以，解得，所以直线的方程为，即.所以直线的方程为或.故选：C易错点点睛：容易漏掉截距为0的情况.4．【正确答案】A【分析】根据空间向量的加减运算法则，以为基底，不断向其转化即可得到答案.【详解】故选：A.5．【正确答案】A【分析】写出直线的定点坐标并判断与圆的位置关系，进而确定最小时直线与直线的位置关系，即可得结果.【详解】由恒过，又，即在圆C内，要使最小，只需圆心与的连线与该直线垂直，所得弦长最短，由，圆的半径为5，所以.故选：A6．【正确答案】A【详解】设过点且方向向量为的光线，经直线的点为，右焦点为C.因为方向向量的直线斜率为，则，，又由反射光的性质可得，故，所以为等腰直角三角形，且到的距离为，又，故，，则，故，离心率.故选：A7．【正确答案】D【详解】设，则,恒成立，即，则恒成立，最短即为点到直线的距离，则，解得或.故选D.8．【正确答案】C【详解】因为，，所以,因为所以.所以即所以异面直线与CD所成角的余弦值为.故选：C.9．【正确答案】BC【详解】对于A选项,在空间向量中，时，与不一定平行.例如墙角处的三条相交直线对应的向量，两两垂直，所以A选项错误.对于B选项,对于空间中任意一点O，若，且，则P，A，B，C四点共面.因为，所以P，A，B，C四点共面，B选项正确.对于C选项,已知是空间的一组基底，则不共面.假设共面，则存在实数，使得，即，可得，这与是基底矛盾，所以也是空间的一组基底，C选项正确.对于D选项,若为钝角，则且与不反向.，令，即，解得.当时，，此时与反向，所以D选项错误.故选：BC.10．【正确答案】BCD【详解】

设，则，整理得，所以动点的轨迹为圆心为，半径为4的圆，由图可知，当点到直线的距离最大时的面积最大，所以，故A错；连接，，当时，，则为等腰直角三角形，，故B正确；由题易知，又由正弦定理可得，，且，所以，所以，又轨迹关于轴对称，所以关于轴对称，故C正确；设，，则，整理得，，故D正确.故选：BCD.11．【正确答案】ABC【详解】对于A,由原点在曲线上得，选项A正确.对于B,设曲线与x轴正半轴相交于，则，解得，故B正确.对于C，设曲线C上任一点坐标为，则，得，则，所以，由，得，由，得，所以，则，故C正确．对于D，由，得，故点在C上时有成立，故D错误．故选：ABC.12．【正确答案】【详解】因为点在圆的外部，所以，解得，故答案为.13．【正确答案】【详解】由，，，得，则椭圆长轴长，由点在椭圆上，得，又，则，因此，所以的面积为.故14．【正确答案】【详解】设Px,y为圆上一点，直线为，过点作，连接，作出如下示意图：

则Px,y到直线的距离，所以，又，所以，所以只需求出取值范围即可，设直线与圆相切，所以，解得，所以两条切线方程为和，设两切点分别为，，分别过作，垂足为，过作，垂足为，所以，因为直线的斜率为，所以，则，所以，，又因为切线方程为，所以，则，所以，，所以，所以，所以.故答案为.15．【正确答案】(1)；(2).【分析】（1）由垂直关系求出直线的方程，再求出两直线的交点坐标即得.（2）设出点的坐标，利用中点坐标公式求出点坐标，再利用两点式求出直线方程.【详解】（1）由边上的高线所在的直线方程为，得直线的斜率为1，直线方程为，即，由，解得，所以点的坐标是.（2）由点在直线上，设点，于是边的中点在直线上，因此，解得，即得点，直线的斜率，所以直线的方程为，即.16．【正确答案】(1)(2)【详解】（1）以为坐标原点，分别以所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图所示：,则,设平面的一个法向量为，因为，所以，即，令，则，所以为平面的一个法向量，设直线与平面所成角为，则，所以直线与平面所成角的正弦值为.（2）设，根据题意有，即，，则点到的距离，当时，取得最小值.所以点到的距离最小值为.17．【正确答案】(1)答案见解析(2)【详解】（1）因为底面是菱形，所以，又平面，平面，则平面．点在线段上，平面与线段交于点，所以平面平面，而平面，所以．又平面，平面，所以平面．（2）取的中点，连接，，如图所示，由条件，是正三角形，，则，，，而平面平面，平面平面，平面，所以平面，又平面，则，而，得．在中，，结合勾股定理易得．以为原点，，，分别为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，则O0,0,0，A1,0,0，，，，，设，，则，所以点，，，设平面的法向量为n=x,y,z由取，则，，平面的法向量为，而平面的法向量为，故，解得（舍负），所以．设直线E与平面所成角为，．18．【正确答案】(1)(2)①证明见解析；定点②详见解析.【详解】（1）设，，由中点坐标公式得，由题意可知，，所以，整理得到曲线的方程为；（2）①设直线的方程为，，，，联立，得，所以，即，所以，，所以，，所以且，所以直线的方程为，即直线过定点；②如图所示：因为为定值，且于点，所以为直角三角形，为斜边，所以当点是的中点时，此时为定值，因为，，所以由中点坐标公式得，所以存在定点，使得为定值.19．【正确答案】(1)或(2)（i），图象见解析，最大值为；（ii）【详解】（1）因为，则，解得或.（2）（i）因为曲线是“”曲线（是原点），设曲线上任意一点，则，所以曲线的方程为，当时，由，得到，当时，由，得到，当时，由，得到，当时，由，得到，所以图象如图1，因为，又易知，所以，令，则，由图1易知的最小值为，所以的最大值为.（ii）如图2，因为点在直线上，设，，则，因为，当时，，所以，易知，，不妨把看成一个常量，当时，，当时，，当时，，由一次函数的性质知