2024-2025学年北京市高二上册第二学段12月月考数学检测试卷（含解析）

2024-2025学年北京市高二上学期第二学段12月月考数学检测试卷一、选择题（共12小题，每小题4分，共48分，选出符合题目要求的一项）1．已知i为虚数单位，则复数z＝的虚部为（

）A．i B．2 C．－1 D．－i2．已知点与关于直线对称，则的值分别为（

）A．1，3 B．， C．-2，0 D．，3．已知两条不重合的直线和平面，则的一个充分不必要条件是（

）A． B．C． D．4．与椭圆有相同焦点，且满足短半轴长为的椭圆方程是（

）A． B．C． D．5．在中，若，，的面积为，则（

）A．13 B． C．2 D．6．直线与圆相交于，两点，则的面积为A． B． C． D．7．若直线始终平分圆的周长，则的最小值为（

）A． B．5 C． D．108．已知椭圆的左焦点是，右焦点是，点P在椭圆上，如果线段的中点在轴上，那么A．3:5 B．3:4 C．4:3 D．5:39．四名同学各掷骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数．根据四名同学的统计结果，可以判断可能出现点数为6的是（

）A．平均数为3，中位数为2 B．中位数为3，众数为2C．平均数为2，方差为2.4 D．中位数为3，方差为2.810．椭圆任意两条相互垂直的切线的交点轨迹为圆：，这个圆称为椭圆的蒙日圆．在圆上总存在点P，使得过点P能作椭圆的两条相互垂直的切线，则r的取值范围是（

）A． B． C． D．11．已知函数，若，且函数的部分图象如图所示，则等于（

）A． B． C． D．12．如图，在直三棱柱中，是边长为2的正三角形，，N为棱上的中点，M为棱上的动点，过N作平面ABM的垂线段，垂足为点O，当点M从点C运动到点时，点O的轨迹长度为（

）A． B． C． D．二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）13．已知椭圆的离心率为，则.14．已知x，y满足，则的最大值为．15．已知直线，.若，则的值为；若直线与圆交于两点，则.16．已知椭圆的左、右焦点分别是，且是面积为的正三角形．过垂直于的直线交椭圆M于B，C两点，则的周长为．17．已知为直线上的一个动点，为圆上的两个动点，则的最大值是．18．某中学开展“劳动创造美好生活”的劳动主题教育活动，展示劳动实践成果并进行评比，某学生设计的一款如图所示的“心形”工艺品获得了“十佳创意奖”，该“心形”由上、下两部分组成，并用矩形框虚线进行镶嵌，上部分是两个半径都为的半圆，分别为其直径，且，下部分是一个“半椭圆”，并把椭圆的离心率叫做“心形”的离心率．（1）若矩形框的周长为，则当该矩形框面积最大时，；（2）若，图中阴影区域的面积为，则该“心形”的离心率为．三、解答题（共5题，共72分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）19．给出以下三个条件：①直线，是图象的任意两条对称轴，且的最小值为，②，③对任意的，；请从这三个条件中任选一个将下面的题目补充完整，并求解．已知函数，，______．(1)求的表达式；(2)将函数的图象向右平移个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，求的单调递增区间以及在区间上的值域．20．如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，其中，，，，平面，且，点在棱上，点为中点．(1)证明：若，直线平面；(2)求二面角的余弦值；(3)是否存在点，使与平面所成角的正弦值为？若存在求出值；若不存在，说明理由．21．某心理教育测评研究院为了解某市市民的心理健康状况，随机抽取了n位市民进行心理健康问卷调查，将所得评分(百分制)按研究院制定的心理测评评价标准整理，得到频率分布直方图.已知调查评分在[70，80)中的市民有200人心理测评评价标准调查评分[0，40)[40，50)[50，60)[60，70)[70，80)[80，90)[90，100]心理等级EDCBA（1）求n的值及频率分布直方图中t的值；（2）在抽取的心理等级为D的市民中，按照调查评分的分组，分为2层，通过分层随机抽样抽取3人进行心理疏导.据以往数据统计，经心理疏导后，调查评分在[40，50)的市民的心理等级转为B的概率为，调查评分在[50，60)的市民的心理等级转为B的概率为，假设经心理疏导后的等级转化情况相互独立，求在抽取的3人中，经心理疏导后至少有一人的心理等级转为B的概率；（3）该心理教育测评研究院建议该市管理部门设定预案：若市民心理健康指数的平均值不低于0.75，则只需发放心理指导资料，否则需要举办心理健康大讲堂.根据调查数据，判断该市是否需要举办心理健康大讲堂，并说明理由.(每组的每个数据用该组区间的中点值代替，心理健康指数=调查评分÷100)22．已知线段的端点的坐标是，端点的运动轨迹是曲线，线段的中点的轨迹方程是．(1)求曲线的方程；(2)已知斜率为的直线与曲线相交于异于原点的两点直线的斜率分别为，，且证明：直线恒过定点．23．设A是正整数集的一个非空子集，如果对于任意，都有或，则称A为自邻集.记集合的所有子集中的自邻集的个数为.(1)直接写出的所有自邻集；(2)若为偶数且，求证：的所有含5个元素的子集中，自邻集的个数是偶数；(3)若，求证.1．C【分析】先化简分母，再分母实数化，化简即可.【详解】因为z＝，所以z的虚部为－1.故选：C.本题考查了复数的四则运算，属于基础题.2．B点关于直线对称，则利用垂直关系，以及线段的中点在直线上，列式求解.【详解】，若点与关于直线对称，则直线与直线垂直，直线的斜率是，所以，得.线段的中点在直线上，则，得故选:B3．C【分析】利用直线与直线，直线与平面的位置关系判断.【详解】A.当时，或m与n异面或相交，故错误；B.当时，或m与n异面或相交，故错误；C.当时，，反之不一定成立，故正确；

D.当时，或m与n异面，故错误；故选：C4．B【分析】由焦点和短半轴长，待定系数法求椭圆方程.【详解】椭圆化成标准方程为，焦点在轴上，设所求椭圆方程为，依题意有，所以，所求椭圆方程为.故选：B5．B【分析】先用面积公式求出c，再用余弦定理求出a.【详解】在中，，，的面积为，所以,解得：c=4.由余弦定理得：,所以.故选：B.6．B【分析】此题直线与圆的交点恰有一点就是（0，1），就以1为底，另一点到y轴的距离就是另一点的横坐标的绝对值为高，求得面积．【详解】解得或

故选B求解三角形面积问题，选取合适的底和高是解题关键．7．A由直线过圆心得满足的关系式，说明点在一条直线上，由点到平面的距离公式可得最小值．【详解】由题意直线过已知圆的圆心，圆心为，∴，即，点在直线上，表示直线的点到点的距离，∴最小值为．故选：A．方法点睛：本题考查二元函数的最值问题．解题方法是利用其几何意义：两点间距离求解，解题关键是求出满足的条件，得点在一条直线上，从而只要求得定点到直线的距离即可得．8．A【分析】求出椭圆的焦点坐标，再根据点P在椭圆上，线段的中点在轴上,求得P点坐标，进而计算，从而求解.【详解】由椭圆方程可得：,设P点坐标为，线段的中点为，因为线段的中点在轴上，所以，即，代入椭圆方程得或，不妨取,则，所以，故选A.本题主要考查了椭圆的几何性质，距离公式，中点公式，属于中档题.9．ABD【分析】根据题意举例判断即可【详解】解：对于A，当掷骰子出现的结果为1，1，2，5，6时，满足平均数为3，中位数为2，可以出现点6，所以A正确；对于B，当掷骰子出现的结果为2，2，3，4，6时，满足中位数为3，众数为2，可以出现点6，所以B正确；对于C，若平均数为2，且出现点数6，则方差，所以当平均数为2，方差为2.4时，一定不会出现点数6，所以C错误；对于D，当掷骰子出现的结果为1，2，3，3，6时，满足中位数为3，则平均数为，方差为，所以可以出现点6，所以D正确，故选：ABD10．D【分析】根据蒙日圆的定义，将问题转化为两圆有公共点的问题，根据两圆关系即可求解.【详解】由题意可知：与椭圆相切的两条互相垂直的直线的交点的轨迹为圆：，圆心由于在圆，圆心，故两圆有公共点即可，故两圆的圆心距为，故.故选：D11．B【分析】结合图象即可得到，进而求得，结合正弦型函数的性质可求得周期和，从而求得答案.【详解】由图可知，函数过点和点，即，又因为，所以，结合正弦型函数的性质可知，，解得，所以，解得，因为，所以所以，所以，即，解得，因为，所以故选：B.12．B【分析】根据条件先判断出点的轨迹为圆的一部分，再由弧长公式求解即可.【详解】取AB中点P，连接PC，C1N，如图，因为PC⊥AB，PN⊥AB，且PN∩PC=P，所以AB⊥平面，AB平面ABM,所以平面ABM⊥平面，平面ABM∩平面=PM，过N作NO⊥PM，NO平面，所以NO⊥平面ABM，当点M从点C运动到点C1时，点是以PN为直径的圆(部分)，如图，当M运动到点时，点到最高点，此时，所以，从而，所以弧长，即点的轨迹长度为.故选:B13．4【分析】将椭圆化成标准方程得，由椭圆的离心率为，利用，化简整理，可求得．【详解】由题意得：椭圆化成标准方程为，∵椭圆的离心率为，∴，，又，∴，故．故答案为.本题主要考查了椭圆离心率有关的问题，注意公式的运用，解题过程注意的关系．属于较易题.14．##【分析】设，故直线与圆有交点，从而利用点到直线距离得到不等式，求出答案.【详解】可化为，设，则直线与圆有交点，所以，解得，的最大值为2+2．故．15．-1..【分析】由列式求解值；利用直线系方程求出直线所过定点，化圆的方程为标准方程，求出圆心坐标与半径，作出图象，再由垂径定理求．【详解】解：直线，若，则，解得；直线过定点，化圆为，可知圆心坐标为，半径为5.如图，，则.故-1；.

本题考查直线的一般方程与直线平行的关系，考查直线与圆位置关系的应用，考查数形结合的解题思想方法．16．【分析】由面积为，且其为正三角形，可得.后由中垂线性质结合椭圆定义可得答案.【详解】如图，设，则，因面积为，且其为正三角形，又，则，则.又直线BC过，与垂直，为正三角形，则直线BC为中垂线，则，又，故的周长，又C，B在椭圆上，则由椭圆定义有.故17．【分析】分析出当为圆的切线且⊥时，最大，结合，求出此时，从而得到最大值.【详解】的圆心为，半径为，圆心到直线的距离，若要最大，则最大，显然当为圆的切线时，最大，此时，由于，故当最小时，取得最大值，则最大，当⊥时，最小，最小值为，故，所以，故的最大值为.故18．1##0.5【分析】空1：设矩形的宽为，写出面积表达式，利用二次函数的性质即可；空2：建立合适的直角坐标系，求出点的坐标即可.【详解】设矩形的宽为，则长为，矩形面积，当且仅当时，矩形框面积最大为9，所以；如图，以为轴，的中垂线为轴，直线交轴于点，设为椭圆长轴，则，所以圆圆联立两圆方程得，所以，，所以扇形面积，又因为，所以，即，得，，解得，又，所以，则.故1；.关键点点睛：阴影部分面积的表示中的难点是，需要先利用相似三角形表示出点的横坐标即可.19．(1)任选一条件，都有(2)单调递增区间为：，值域为．【分析】（1）先进行三角恒等变换求出，再分别选三个条件，结合正弦函数的性质，分别求解，即可得出函数解析式；（2）先根据图象变换求出，再根据正弦函数的单调性和值域求解.【详解】（1）．选①时，由于直线，是图象的任意两条对称轴，且的最小值为，所以，解得，所以．选②时，，即，整理得，故，由于，故当时，，所以．选③时，对任意的，，所以，即，，解得：，，由于，故当时，，所以．（2）函数的图象向右平移个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象，令，整理得，所以函数的单调递增区间为：．由于，所以，故．所以函数的值域为．20．(1)证明见解析(2)(3)存在点，此时或．【分析】（1）先利用面面平行的判定定理证明平面平面，从而得线面平行；（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求二面角；（3）假设存在点，设，即，，利用线面角的向量法求的值即可.【详解】（1）如图所示，在线段上取一点，使，连接，，，，平面，平面，平面，又，，且，四边形为平行四边形，，平面，平面，平面，又平面，所以平面平面，平面，平面；（2）如图所示，以点为坐标原点，以为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，则，，，，又是中点，则，所以，，，设平面的法向量，则，令，则，设平面的法向量，则，令，则，所以，则二面角的余弦值为（3）假设存在点，设，即，，由（2）得，，，且平面的法向量，则，，则，，，解得或，故存在点，此时或．21．（1），t=0.002；（2）；（3）只需发放心理指导材料，不需要举办心理健康大讲堂活动，理由见解析.【分析】（1）利用公式求n的值，利用矩形的面积和为1求的值；（2）设事件M=“在抽取的3人中，经心理疏导后至少有一人的心理等级转为B”，利用对立事件的概率公式求解；（3）利用频率分布直方图的平均数求出平均数即得解.【详解】解：(1)由已知条件可得，又因为每组的小矩形的面职之和为1.所以(0.035+0.025+0.02+0.004+8t)×10=1，解得t=0.002·(2)由(1)知：t=0.002，所以调查评分在[40，50)中的人数是调查评分在[50，60)中人数的，若按分层抽样抽取3人，则调查评分在[40，50)中有1人，在[50，60)中有2人，设事件M=“在抽取的3人中，经心理疏导后至少有一人的心理等级转为B”.因为经心理疏导后的等级转化情况相互独立，所以所以故经心理疏导后至少有一人的心理等级转为B的概率为·(3)由频率分布直方图可得，45×0.02+55×0.04+65×0.14+75×0.2+85×0.35+95×0.25=80.7.估计市民心理健康调查评分的平均值为80.7，所以市民心理健康指数平均值为.所以只需发放心理指导材料，不需要举办心理健康大讲堂活动.22．(1)(2)证明见解析【分析】（1）利用中点坐标公式以及求轨迹方程的方法求解；（2）利用韦达定理结合题意求解.【详解】（1）（1）设，，由中点坐标公式得因为点的轨迹方程是，所以，整理得曲线的方程为．（2）设直线的方程为，，，，由，得，所以，，所以，所以，且即，即，所以直线的方程为，即直线过定点．方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为，；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x（或y）的一元二次方程，必要时计算；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为的形式；（5）代入韦达定理求解.23．(1)(2)证明见解析(3)证明见解析【分析】（1）根据自邻集的定义及子集的概念一一写出结果即可；（2）取的一个含5个元素的自邻集，判定集合，再证明C也是自邻集且，从而得出结论；（3）