2025届高考数学二轮总复习专题1函数与导数专题突破练6利用导数研究函数的零点课件

专题突破练6利用导数研究函数的零点12341.(17分)(2024江苏南京模拟)已知函数f(x)=ex+(a-e2)x,其中a∈R.(1)若a=e2-2,求函数f(x)在[0,2]上的最值;(2)当a<0时,证明:F(x)=f(x)-ax2在(0,2)内存在唯一零点.1234(1)解

当a=e2-2时,f(x)=ex-2x,所以f'(x)=ex-2.令f'(x)>0,得x>ln

2;令f'(x)<0,得x<ln

2,所以f(x)在[0,ln

2]上单调递减,在[ln

2,2]上单调递增,又f(0)=1,f(ln

2)=2-2ln

2,f(2)=e2-4>1,所以f(x)在[0,2]上的最小值为2-2ln

2,最大值为e2-4.令g(x)=ex-ax+a-e2,则g'(x)=ex-a>0.所以g(x)在(0,2)内单调递增,又因为g(0)=1+a-e2<0,g(2)=-a>0,所以存在x0∈(0,2),使得g(x0)=0,即当x∈(0,x0)时,g(x)<0,当x∈(x0,2)时,g(x)>0,所以F(x)在(0,x0)内单调递减,在(x0,2)内单调递增,又F(0)=1>0,F(x0)<F(2)=-e2<0,所以F(x)在(0,x0)内存在一个零点,在(x0,2)内没有零点,故F(x)=f(x)-ax2在(0,2)内存在唯一零点.12342.(17分)(2024四川成都模拟)已知函数f(x)=xe-x+asinx,e是自然对数的底数,若x=0恰为f(x)的极值点.(1)求实数a的值;1234123412343.(17分)(2024北京陈经纶中学模拟)已知函数f(x)=xex-(x+1)2(m≥0).(1)当m=0时,求函数f(x)的极小值;(2)若函数f(x)在区间(-∞,1)上有且只有一个零点,求m的取值范围.1234解

(1)当m=0时,f(x)=xex,可得f'(x)=(x+1)ex,令f'(x)=0,解得x=-1.当x∈(-∞,-1)时,f'(x)<0,f(x)单调递减;当x∈(-1,+∞)时,f'(x)>0,f(x)单调递增,所以函数f(x)的极小值为f(-1)=-.(2)若m=0,f(x)=xex,令f(x)=0,解得x=0,当x<0时,f(x)<0;当x>0时,f(x)>0,所以函数f(x)在区间(-∞,1)上有且只有一个零点,符合题意.若m>0,由f'(x)=(x+1)(ex-m),令f'(x)=0,解得x=-1或x=ln

m.123412344.(17分)(2024河南郑州模拟)已知函数f(x)=-x3+3x2+a(x>0),g(x)=xlnx+ax2-2x.(1)若f(x),g(x)的导数分别为f'(x),g'(x),且{x|f'(x)<0}⊆{x|g'(x)<0},求a的取值范围;(2)用min{a,b}表示a,b中的最小值,设h(x)=min{f(x),g(x)},若|a|>1,判断h(x)的零点个数.1234解

(1)因为f(x)=-x3+3x2+a(x>0),所以f'(x)=-3x2+6x,由f'(x)<0,得x>2,因为g(x)=xln

x+ax2-2x,所以g'(x)=ln

x+2ax-1,12341234存在唯一x1∈(0,2)使得m(x1)=0,则g(x1)=0,h(x1)=0,当x∈[2,+∞)时,m(x)=ln

x+ax-2>ln

2+2a-2>0,g(x)>0,当x∈[2,+∞)时,f'(x)<0,f(x)在[2,+∞)上单调递减,且f(2)=a+4>0,f(4a)=-64a3+48a2+a<-64a3+48a3+a3=-