数学-江苏省连云港市两地2024-2025学年高二上学期12月月考试题和答案

2024～2025学年第一学期第二次月考高二数学（学科）试题注意事项：1．考试时间120分钟，试卷总分150分。2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。3．请用2B铅笔和0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上指定区域内作答。一、单选题A.{−2}A.−2−2iB.−2+2iC.−5+2iD.−5−2i3.点P在曲线y=x3−x+上，设曲线在点P处切线的倾斜角为α,则角α的取值范围是()A.0,B.C.,π)D.0,∪,π)4.设递增等比数列{an}满足a4+a6=20，a4a5a6=512，则a1a2+a2a3+…+anan+1=()5.已知函数f(x)=x3+2x−sinx，若f(2a2)+f(a−1)≤0，则实数a的取值范围为()A.B.C.D.6.已知圆C1：x2＋y2－2x＋my＋1＝0(m∈R)关于直线x＋2y＋1＝0对称，圆C2的标准方程是(x＋2)2＋(y－3)2＝16，则圆C1与圆C2的位置关系是()A.外离B.外切C.相交D.内含A.11B.12C.−8D.−78.已知双曲线c:−=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线c:−=则双曲线c的离心率为()A.B.C.2D.3二、多选题9.已知直线l:(2m+1)x+(m+1)y−7m−4=0，则下列结论正确的是()A.直线l过定点(3,1)B.原点O到直线l距离的最大值为10C.若点A(−1,0)，B(1,0)到直线l的距离相等，则m=−D.若直线l经过一、二、三象限，则−<m<−10.已知函数{an}的前n项和为Sn，且满足a1=1，an+1=则()A.{a2n}为等比数列B.a2024−a2023>2C.S2024<−2015D.S2024−S2025<211．已知斜率为的直线l经过抛物线C:y2=4x的焦点F，与抛物线C交于A，B两点（点A在第一象限O为坐标原点，则下列结论正确的是三、填空题12.已知平面向量=(2,m)，b=(1,−1)，且|13.已知圆C：x2＋(y－1)2＝5，直线l：mx－y＋1－m＝0.若定点P(1，1)分弦AB为AP∶PB14．如图，在边长为a的等边三角形ABC中，圆D1与△ABC相切，圆D2与圆D1相切且与AB，AC相切，…，圆Dn+1与圆Dn相切且与AB，AC相切，依次得到圆D3，D4，…，Dn．设圆D1，D2，…，*则Xn=四、解答题15.(本小题13分)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，C，已知cosA+(1)若a=4，b+C=8，求△ABC的面积;(2)若角C为钝角，求的取值范围.16.(本小题15分)已知数列{an}的前n项和为sn，且n、an、sn成等差数列，bn=2log2(1+an)−1.(1)求数列{an}的通项公式；(2)若数列{bn}中去掉数列{an}的项后余下的项按原顺序组成数列{Cn}，求C1+C2+⋅⋅⋅+C100的值.17.(本小题15分)设函数f(x)=x2+ax−lnx，a∈R.(1)当a=1时，求f(x)的单调区间.(2)令g(x)=f(x)−x2，是否存在实数a，当x∈(0,e]时，函数g(x)的最小值是3？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由.18.(本小题17分)已知数列{an}的前n项和为sn，且sn=2an+n−3.(1)证明：数列{an−1}为等比数列，并求{an}的通项公式； dn1(2)在an和an+1之间插入n个数，使这n+2个数组成一个公差为dn的等差数列，求数列的前n项和Tn dn1(3)若对于任意n∈N+，数列的前n项和Tn>m恒成立，求实数m的取值范围.19.(本小题17分)已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为F1、F2，P是椭圆上任一点，▵PF1F2的面积的最大值为3.(1)求椭圆的标准方程；(2)四边形ABCD的顶点在椭圆上，且对角线AC、BD过原点O，设A(X1,y1)，B(X2,y2)，①若3X1X2=4y1y2，求证：直线AB和直线BC的斜率之和为定值；一单选二多选9、ABD10、ACD三填空四解答题15、【答案】解：(1)根据题意得(c−2b)cosA+acosC=0，由正弦定理得(sinC−2sinB)cosA+sinAcosC=0，因为sinCcosA+sinAcosC=sin(A+C)=sin(π−B)=sinB，所以sinB=0，因为0<B<π,，所以sinB>0，所以cosA=故△ABC的面积为bcsinA=×16×(2)由正弦定理可得因为所以【答案】解：(1)因为n，an，sn成等差数列，所以sn+n=2an，①所以sn−1+n−1=2an−1(n≥2)②由①−②,得an+1=2an−2an−1，故数列{an+1}是首项为2，公比为2的等比数列，所以an+1=2⋅2n−1=2n，(2)据(1)求解知，bn=2log2(1+2n−1)−1=2n−1，b1=1，所以bn+1−bn=2，所以数列{bn}是以1为首项，2为公差的等差数列，又因为a1=1，a2=3，a3=7，a4−7)+717、【答案】解：(1)当a=1时，f(x)=x2+x−lnx，x>0，得故f(x)的单调递增区间为,+∞)，单调递减区间为0,.(2)存在实数a=e2，使得当x∈(0,e]时，g(x)的最小值是3.理由如下：因为f(x)=x2+ax−lnx，a∈R，所以g(x)=f(x)−x2=ax−lnx，所以g'(x)=a−=,①当a≤0时，易知g(x)在(0,e]上单调递减，所以g(x)在(0,e]上的最小值为g(e)=ae−1=3，解得a=，不合题意，舍去；g(x)在,e)上单调递增，所以g(x)在(0,e]上的最小值为g()=1+lna=3，解得a=e2，满足题意；③当≥e时，x∈(0,e)时，g'(x)<0，g(x)在(0,e]上单调递减，所以g(x)在(0,e]上的最小值为g(e)=ae−1=3，解得a=，不合题意，舍去.综上，存在实数a=e2，使得当x∈(0,e]时，g(x)的最小值是3.18、【答案】解：(1)因为sn=2an+n−3，①当n=1时，a1=2a1−2，所以a1=2.当n≥2时，sn−1=2an−1+n−4，②由①−②得an=2an−2an−1+1，即an=2a所以an−1=2(an−1−1)，又a1−1=1，所以数列{an−1}是首项为1，公比为2的等比数列，所以an−1=2n−1，当n=1时，a1=2也适合an−1=2n−1，故{an}的通项公式为an=2n−1+1；(2)因为an+1=an+(n+1)dn，所以2n+1=2n+1+1+(n+1)dn，解得所以所以两式相减得Tn=2+2(3)由于对于任意n∈N+，Tn>m恒成立，即6−>m恒成立，等价于的最小值大于m．令bn=，则bn+1−bn=所以数列{bn}是递减数列，故数列{bn}中的最大值为所以Tn的最小值为2，所以当Tn>m对于任意n∈N+恒成立时，m<2.又a2=b2+C2，解得a=2，b=3，所以椭圆的标准方程为(2)①如图所示，显然直线AB斜率存在，设AB方程为y=kx+m，点A(x1,y1)，B(x2,y2)，联立，消去y整理得：(3+4k2)x2+8kmx+4m2−12=0，则Δ=64k2m2−4(3+4k2)(4m2−12)=48(4k2−m2+3)，由根与系数的关系，得22−12k2+3m2∴y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=kx1x2+km(x1+x2)+22−12k2+3m2∵3x1x2=4y1y2，所以直线AB和直线BC的斜率之和为定值0；所以四边形ABCD为菱形，所以四边形ABCD的周长为：4|AB|，所以所以|y0|=所以|AB|