端点效应和何谓极点效应

什么是端点效应？如果函数f(x)在某一点x0处的函数值f(x0)恰好为零，则当x>x0时，f(x)>0成立的一个必要条件为端点x0处的导数值f'(x0)>0，如图所示：x0因为如果f'(x0)<0，那么函数会在x0右侧的一个小区间内先递减，会出现如下情况：x0此时函数f(x)不恒正，不满足要求。这个方法把某个区间上函数的恒成立问题转化为判断端点处的导数值符号，这就是端点效应。类似的，如果函数f(x)在某一点x0处的函数值f(x0)恰好为零，当x>x0时，f(x)<0成立的一个必要条件为x0处的导数值f'(x0)<0但是，需要注意的是，f'(x0)>0（或f'(x0)<0）只是f(x)>0（或f(x)<0）成立的一个必要条件，如果此时二阶导不变号，那么这种方法没有问题；但如果二阶导变号，那么计算出的结果极有可能不是正确答案。端点效应在解决求参数范围问题时能够帮助我们得出分类的依据，简化问题的处理。综上所述，端点效应可总结如下，什么是极点效应？如果函数f(x)在某一点x0处的函数值f(x0)恰好为零，则当x>a时（其中a<x0f(x)>0成立的一个必要条件为x0处的导数值f'(x0)=0，如图所示：x0因为如果f'(x0)<0或f'(x0)<0，那么函数会在x0右侧的一个小区间内先递减，会出现如下两种情况：而这两种种情况都不能保证函数值非负。x0x0x0这个方法把某个区间上函数的恒成立问题转化为区间中某一点处的导数值为零，这就是极点效应。 都有f'(x)<0成立，所以f(x)在x∈(1,x0)时单调递减，所以f(x0)<f(1)=0；并且f''(x)=>0，因此通过f'(1)≥0得出的参数范围就是正确答案，这便是端点效应。这种方法可以帮我们得出分类的依据，f'(x)单调递增，所以x>1时，f'(x)>0恒成立，所以f(x)在(1,+∞)上单调递增，则x>1时，f(x)>f(1)=0；f'(ea)=1>0，且f''(x)=>0，f'(x)单调递增，所a)，使得f'(x0)=0成立，所以f(x)在(1,x0)上单调递减，所以f(x0)<f(1)=0；不【分析】注意到ff'(x)单调递增，所以x>0时，f'(x)>0恒成立，所以f(x)在(0,+∞)上单调递增，则x>0时，f(x)>f(0)=0；f'(lna)=alna>0，f'(x0)=0成立，所以f(x)在(0,x0)上单调递减，所以f(x0)<f(0)=0；不成立，舍去。【分析】令f(x)=ex一ax2一x1，f'(x)=ex2ax1，x>0，注意到虽然f(0)=0，但同时【详解】令f(x)=ex一ax2x1，f'(x)=ex2ax1，x>0；f''(x)单调递增；又f''(0)=12a≥0，所以f''(x)≥0恒成立，f'(x)单调递增；又f'(0)=0，所以x>0时，f'(x)>0恒成立，所以f(x)使得f''(x0)=0成立，所以当x∈(0,x0)时，f''(x)<0，f'(x)在(0,x0)上单调递减，且f'(0)=0，f(x)在(0,x0)上单调递减，f(x0)<f(0)=0；不成立，舍去。【分析】不妨令f(x)=exx3+ax2x1，则f(0)=0，此时看似能够使用端点效应，其实不f'(x)=exx2+2ax1，且f'(0)=0；则f''(x)=ex3x+2a，f'''(x)=ex322f''(x)在(0,ln3)上递减，在(0,ln3)上f''(x)仍然可能为负，也即f'(x)可能会先递减，此时f'(x)也有可能为负，所以f(x)在[0,+∞)上的函数值也可能比端点处小，即这种情况下f(x)有可能为负值。事实上，当a=—时，f(1)=e3<0，就不满足要求。所以，当高阶导变号时，我们应该慎重，此时，端点效应很有可能就会失灵。事实上，本题可考虑分参处理。【分析】注意到ff'(x)单调递增，所以x>1时，f'(x)>0恒成立，所以f(x)在(1,+∞)上单调递增，则x>1时，f(x)>f(1)=0；f'(ea)>0，且f''(x)=ex(lnx+)>0，则f'(x)a)，使得f'(x0)=0成立，所以f(x)在(1,x0)上单调递减，所以f(x0)<f(1)=0；不成立，舍去。【解析】f'(x)=aex—11；注意到ff(x)取得最小值，同时取得极小值，而当a=1时，f(x)=ex—1x，f'(x)=ex当x<1时，f'(x)<0，f(x)单调递减，此时f(x)>f(1)=0；当x>1时，f'(x)>0，f(x)单调递增，此时f(x)>f(1)=0；f(x)≥0在R上恒成立，所以a=1。【解析】f(x)的定义域为(0,+∞)。设g(x)=axalnx，则f(x)=xg(x)，f(x)≥0等价于g(x)≥0。因为g(x)≥0，g(1)=0，所以x=1时，函数g(x)取得最小值，同时也是函数g(x)的极小值，所以(x)单调递增；所以x=1是g(x)的极小值点，故g(x)≥g(1)=0， 例：ex1alnx1≥0在[1,+∞)上恒成立，求a的取值范围。例：f(x)=exlnx—a(x—1)，若f(x)>0在(1,+∞)上恒成立，求a的取值范例：exax2≥2x+1sinx在[0,+∞)