2024年北师大版高一数学上册阶段测试试卷

…………○…………内…………○…………装…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第=page22页，总=sectionpages22页第=page11页，总=sectionpages11页2024年北师大版高一数学上册阶段测试试卷765考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______姓名：______班级：______考号：______总分栏题号一二三四五六总分得分评卷人得分一、选择题(共7题，共14分)1、如图，是两个各自分割均匀的转盘，同时转动两个转盘，转盘停止时（若指针恰好停在分割线上，那么重转一次，直到指针指向某一区域为止），两个指针所指区域的数字和为偶数的概率是（）A.B.C.D.2、已知集合A={-1；0，1}，则如下关系式正确的是（）

A.A∈A

B.0⊊A

C.{0}∈A

D.∅⊊A

3、已知函数下面四个结论中正确的是()A.函数的最小正周期为B.函数的图象关于直线对称.C.函数的图象是由的图象向左平移个单位得到.D.函数是奇函数.4、．已知且则的值是（）A．B．C．5D．75、【题文】函数的定义域为（）.A.B.C.或D.6、已知|2x-1|=a有两个不等实根，则实数a的范围是（）A.（0，1）B.（1，2）C.（2，3）D.（3，4）7、若x、y满足x2+y2-2x+4y-20=0，则x2+y2的最小值是（）A.-5B.5-C.30-10D.无法确定评卷人得分二、填空题(共6题，共12分)8、如图所示，已知正方体（图1）对角线长为a，沿对角面将其切割成两块，拼成图2所示的几何体，那么拼成后的几何体的全面积为____9、设集合A={1，2，3}，B={2，4，5}，则A∪B=____．10、【题文】如果函数的图象过点那么的值为____11、【题文】已知一正四棱台的上底边长为4，下底边长为8，高为3，则此正四棱台的侧面积是．12、已知角α的终边经过点P（1，2），则tanα=______．13、不等式（x+y）（+）≥25对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为______．评卷人得分三、解答题(共8题，共16分)14、已知A={1，2，3，4}，f（x）=log2x；x∈A

（1）设集合B={y|y=f（x）}；请用列举法表示集合B；

（2）求A∩B和A∪B．

15、已知（1）化简（2）若是第三象限角，且求的值.16、（15分）在函数的图象有A、B、C三点，横坐标分别为（1）若△ABC面积为S，求（2）求的值域；（3）确定并证明的单调性.17、（本题满分12分）围建一个面积为360㎡的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用的旧墙需维修），其它三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为2m的进出口，如图所示。已知旧墙的维修费用为45元/m，新墙的造价为180元/m，设利用的旧墙的长度为（单位：m）,修建此矩形场地围墙的总费用为（单位：元）。（1）将表示为的函数；（2）试确定使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用。18、【题文】已知圆交于A；B两点；

（1）求过A；B两点的直线方程；

（2）求过A、B两点，且圆心在直线上的圆的方程.19、【题文】如图，直四棱柱ABCD—A1B1C1D1的高为3，底面是边长为4且∠DAB=60°的菱形，AC∩BD=0，A1C1∩B1D1=O1，E是O1A的中点.

（1）求证：平面O1AC平面O1BD

（2）求二面角O1－BC－D的大小；

（3）求点E到平面O1BC的距离.20、有小于180°的正角，这个角的9倍角的终边与这个角的终边重合，求这个角的度数．21、(1)

化简f(x)=tan(娄脨+娄脕)cos(2娄脨+娄脕)sin(娄脕鈭�娄脨2)cos(鈭�伪鈭�3蟺)sin(鈭�3蟺鈭�伪)

(2)tan娄脕=12

求2sin2娄脕鈭�sin娄脕cos娄脕+cos2娄脕

的值．评卷人得分四、计算题(共3题，共15分)22、在梯形ABCD中，AB∥CD，AC、BD相交于点O，若AC=5，BD=12，中位线长为，△AOB的面积为S1，△COD的面积为S2，则=____．23、（2005•兰州校级自主招生）已知四边形ABCD是正方形，且边长为2，延长BC到E，使CE=-，并作正方形CEFG，（如图），则△BDF的面积等于____．24、（2002•宁波校级自主招生）如图，E、F分别在AD、BC上，EFCD是正方形，且矩形ABCD∽矩形AEFB，则BC：AB的值是____．评卷人得分五、证明题(共1题，共2分)25、已知ABCD四点共圆，AB与DC相交于点E，AD与BC交于F，∠E的平分线EX与∠F的平分线FX交于X，M、N分别是AC与BD的中点，求证：（1）FX⊥EX；（2）FX、EX分别平分∠MFN与∠MEN．评卷人得分六、作图题(共3题，共9分)26、如图A、B两个村子在河CD的同侧，A、B两村到河的距离分别为AC=1千米，BD=3千米，且知道CD=3千米，现在要在河边CD上建一水厂，向A、B两村送自来水，铺设管道费用为每千米2000元，请你在CD上选择水厂位置O，使铺设管道的费用最省，并求出其费用．27、作出下列函数图象：y=28、作出函数y=的图象．参考答案一、选择题(共7题，共14分)1、B【分析】【分析】列举出所有情况，看两个指针所指区域的数字和为偶数的情况数占总情况数的多少即可．【解析】【解答】解：共15种情况，和为偶数的情况数有7种，所以和为偶数的概率为．

故选B．2、D【分析】

∈用来表示元素与集合之间的关系；故A，C错误；

⊊用来表示集合与集合之间的关系；故B错误。

而∅是任一集合的子集是任一非空集合的真子集；故D正确。

故选D

【解析】【答案】∈用来表示元素与集合之间的关系；根据已知可分析A，C答案的正误；⊊用来表示集合与集合之间的关系，根据已知可分析B答案的正误；∅是任一集合的子集是任一非空集合的真子集，根据已知可分析D答案的正误。

3、D【分析】【解析】试题分析：因为所以由所以直线不是函数的对称轴；把函数的图象是由的图象向左平移个单位应得到的图像。因此选D。考点：函数的性质。三角函数图像的平移变换。【解析】【答案】D4、A【分析】试题分析：因为5与﹣5互为相反数，可借助于函数奇偶性求解．f（x）+f（﹣x）=2．考点：函数奇偶性的性质；函数的值．【解析】【答案】A5、D【分析】【解析】略【解析】【答案】D6、A【分析】解：若关于x的方程|2x-1|=a有两个不等实数根；

则y=|2x-1|的图象与y=a有两个交点；

函数y=|2x-1|的图象如下图所示：

由图可得，当a∈（0，1）时，函数y=|2x-1|的图象与y=a有两个交点；

故实数a的取值范围是（0；1）；

故选：A

若关于x的方程|2x-1|=a有两个不等实数根，则函数y=|2x-1|的图象与y=a有两个交点，画出函数y=|2x-1|的图象；数形结合可得实数a的取值范围．

本题主要考查方程个数的判断，将方程转化为函数，利用函数图象的交点个数，即可判断方程根的个数，利用数形结合是解决此类问题的基本方法．【解析】【答案】A7、C【分析】解：把圆的方程化为标准方程得：

（x-1）2+（y+2）2=25，则圆心A坐标为（1，-2），圆的半径r=5；

设圆上一点的坐标为（x；y），原点O坐标为（0，0）；

则|AO|=|AB|=r=5；

所以|BO|=|AB|-|OA|=5-．

则x2+y2的最小值为（5-）2=30-10．

故选C．

把圆的方程化为标准方程后，找出圆心坐标和圆的半径r，设圆上一点的坐标为（x，y），原点坐标为（0，0），则x2+y2表示圆上一点和原点之间的距离的平方，根据图象可知此距离的最小值为圆的半径r减去圆心到原点的距离，利用两点间的距离公式求出圆心到原点的距离，利用半径减去求出的距离，然后平方即为x2+y2的最小值．

此题考查学生会把圆的一般方程化为圆的标准方程并会由圆的标准方程找出圆心坐标与半径，考查了数形结合的数学思想，是一道中档题．【解析】【答案】C二、填空题(共6题，共12分)8、略

【分析】【解析】试题分析：原正方体边长为拼成的几何体为棱柱，上下两底面面积为左右两侧面为前后两面为平行四边形，一内角为所以面积为全面积为考点：棱柱的表面积【解析】【答案】9、略

【分析】

∵集合A={1；2，3}，B={2，4，5}；

∴A∪B={1；2，3，4，5}．

故答案为：{1；2，3，4，5}．

【解析】【答案】集合A与集合B的所有元素合并到一起；构成集合A∪B，由此利用集合A={1，2，3}，B={2，4，5}，能求出A∪B．

10、略

【分析】【解析】此题考查求幂函数的解析式，利用待定系数法可求；因为的图象过点所以【解析】【答案】11、略

【分析】【解析】答案为24

利用高；斜高、两个对应的边心距构成一个直角梯形；构造直角三角形利用勾股定理求出斜高，代入侧面积公式运算．

解答：解：∵上底的边心距为2；

下底的边心距为4；

高是3；

∴斜高为

故侧面积等于4×=24．

故答案为24．【解析】【答案】12、略

【分析】解：∵角α的终边经过点P（1，2），则x=1，y=2，tanα==2；

故答案为：2．

利用任意角的三角函数的定义；求得tanα的值．

本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．【解析】213、略

【分析】解：（x+y）（+）=1+a++≥1+a+2=1+a+2=（+1）2；

即（x+y）（+）的最小值为（+1）2；

若不等式（x+y）（+）≥25对任意正实数x；y恒成立；

∴（+1）2≥25，即+1≥5；

则≥4；

则a≥16；

即正实数a的最小值为16；

故答案为：16．

利用基本不等式进行求解，先求出（x+y）（+）的最小值为（+1）2；然后解不等式即可．

本题主要考查基本不等式的应用，利用基本不等式先求出（x+y）（+）的最小值为（+1）2是解决本题的关键．【解析】16三、解答题(共8题，共16分)14、略

【分析】

（1）∵A={1，2，3，4}，f（x）=log2x；x∈A

∴f（1）=log21=0；

f（2）=log22=1；

f（3）=log23；

f（4）=log24=2；

∵集合B={y|y=f（x）}；

∴B={0，1，log23；2}，..（6分）

（2）∵A={1，2，3，4}，B={0，1，log23；2}；

∴A∪B={0，1，log23；2，3，4}，..（9分）

A∩B={1；2}．..（12分）

【解析】【答案】（1）由A={1，2，3，4}，f（x）=log2x；x∈A，分别求出f（1），f（2），f（3），f（4）的值，再由集合B={y|y=f（x）}，能求出集合B．

（2）由A={1，2，3，4}，B={0，1，log23；2}，能求出A∩B和A∪B．

15、略

【分析】试题分析：（1）此题比较全面地考查了诱导公式，首先要熟记公式，深刻理解“奇变偶不变，符号看象限”的含义，应用公式时，一般遵循”负角化正角，大角化小角，小角化锐角”的基本顺序；（2）按照处理（1）的方法，首先化简条件，然后运用平方关系，切记开方时，正负号的确定必须结合角所在的象限来确定，必要时需讨论.试题解析：（1）（6分）（2）由得即（8分）因为是第三象限角，所以所以（14分）考点：1.诱导公式；2.同角三角函数基本关系式；3.角所在象限与其三角函数值符号的关系.【解析】【答案】（1）（2）的值为16、略

【分析】（1）（2）3）即：在为减函数。【解析】【答案】（1）（2）（3）在为减函数。17、略

【分析】

（1）（4分）（2）∴（8分）当且仅当即时，等号成立.（10分）∴当时，修建此矩形场地围墙的总费用最小，为10440元.（12分）【解析】【解析】【答案】18、略

【分析】【解析】

试题分析：（1）过圆与圆交点的直线；即为两圆公共弦的直线.

所以过A、B两点的直线方程5分。

（2）设所求圆的方程为6分。

则圆心坐标为8分。

∵圆心在直线上。

∴将圆心坐标代入直线方程，得9分。

解得11分。

∴所求圆的方程为12分。

考点：圆与圆的位置关系与圆的方程。

点评：两圆相交时，其公共弦所在直线方程只需将两圆方程相减即可，求解圆的方程的题目常采用待定系数法：设出圆的方程，根据条件列出关于参数的方程组，解方程组得到参数值最后写出方程【解析】【答案】（1）（2）19、略

【分析】【解析】

试题分析：（1）证明：∵ABCD-A1B1C1D1是直四棱柱，∴AA1⊥面AC，又BD⊂面AC，所以AA1⊥BD．又∵ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∵AA1∩AC=A

所以BD⊥面AA1C。

即BD⊥面O1AC，又BD⊂面O1BD；

所以平面O1AC⊥平面O1BD．

（2）解：过O作OH⊥BC于H，连接O1H，则∠O1HO为二面角O1-BC-D的平面角．

在Rt△BHO中，OB=2，∠OBH=60°，∴OH=

又O1O∥A1A，∴O1O⊥OH．∴tan∠O1OH=故二面角O1-BC-D的大小为

（3）因为E为AO1的中点，所以OE//O1C，所以E到面O1BC的距离等于O到面O1BC的距离，根据等积法即可求出点E到平面O1BC的距离为

考点：面面垂直的判定定理；二面角；点到面的距离。

点评：本题以直四棱柱为载体，考查面面垂直，考查面面角，解题的关键是利用面面垂直的判定，正确作出面面角．【解析】【答案】(1)只需证BD⊥面O1AC即可；(2)(3)20、解：设这个角为α；则9α=k•360°+α，k∈Z；

∴α=k•45°；

又∵0°＜α＜180°，∴α=45°或90°．【分析】【分析】利用终边相同的角，通过k的取值求出角的大小。21、略

【分析】

(1)

由已知利用诱导公式；同角三角函数基本关系式即可化简求值得解；

(2)

利用同角三角函数基本关系式化简所求；结合已知即可计算得解．

本题主要考查了诱导公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．【解析】解：(1)f(x)=tan(娄脨+娄脕)cos(2娄脨+娄脕)sin(娄脕鈭�娄脨2)cos(鈭�伪鈭�3蟺)sin(鈭�3蟺鈭�伪)=tan娄脕鈰�cos娄脕鈰�(鈭�cos娄脕)(鈭�cos伪)鈰�sin伪=1

(2)隆脽tan娄脕=12

隆脿2sin2娄脕鈭�sin娄脕cos娄脕+cos2娄脕=2sin2娄脕鈭�sin娄脕cos娄脕+cos2娄脕sin2伪+cos2伪=2tan2娄脕鈭�tan娄脕+1tan2伪+1=45

．四、计算题(共3题，共15分)22、略

【分析】【分析】作BE∥AC，从而得到平行四边形ACEB，根据平行四边形的性质及中位线定理可求得DE的长，根据勾股定理的逆定理可得到△DBE为直角三角形，根据面积公式可求得梯形的高，因为△AOB和△COD的面积之和等于梯形的面积从而不难求解．【解析】【解答】解：作BE∥AC；

∵AB∥CE；∴CE=AB；

∵梯形中位线为6.5；

∴AB+CD=13；

∴DE=CE+CD=AB+CD=13；

∵BE=AC=5；BD=12，由勾股定理的逆定理；

得△BDE为直角三角形；即∠EBD=∠COD=90°；

设S△EBD=S

则S2：S=DO2：DB2

S1：S=OB2：BD2

∴=

∵S=12×5×=30

∴=．

故本题答案为：．23、略

【分析】【分析】根据正方形的性质可知三角形BDC为等腰直角三角形，由正方形的边长为2，表示出三角形BDC的面积，四边形CDFE为直角梯形，上底下底分别为小大正方形的边长，高为小正方形的边长，利用梯形的面积公式表示出梯形CDFE的面积，而三角形BEF为直角三角形，直角边为小正方形的边长及大小边长之和，利用三角形的面积公式表示出三角形BEF的面积，发现四边形CDEF的面积与三角形EFB的面积相等，所求△BDF的面积等于三角形BDC的面积加上四边形CDFE的面积减去△EFB的面积即为三角形BDC的面积，进而得到所求的面积．【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形；边长为2；

∴BC=DC=2；且△BCD为等腰直角三角形；

∴△BDC的面积=BC•CD=×2×2=2；

又∵正方形CEFG；及正方形ABCD；

∴EF=CE；BC=CD；

由四边形CDFE的面积是（EF+CD）•EC，△EFB的面积是（BC+CE）•EF；

∴四边形CDFE的面积=△EFB的面积；

∴△BDF的面积=△BDC的面积+四边形CDFE的面积-△EFB的面积=△BDC的面积=2．

故答案为：2．24、略

【分析】【分析】根据相似多边形对应边的比相等，设出原来矩形的长与宽，就可得到一个方程，解方程即可求得．【解析】【解答】解：根据条件可知：矩形AEFB∽矩形ABCD．

∴．

设AD=x；AB=y，则AE=x-y．

∴x：y=1：．

即原矩形长与宽的比为1：．

故答案为：1：．五、证明题(共1题，共2分)25、略

【分析】【分析】（1）在△FDC中；由三角形的外角性质知∠FDC=∠FAE+∠AED①，同理可得∠EBC=∠FAE+∠AFB②；由于四边形ABCD内接于圆，则∠FDC=∠ABC，即∠FDC+∠EBC=180°，联立①②，即可证得∠AFB+∠AED+2∠FAE=180°，而FX；EX分别是∠AFB和∠AED的角平分线，等量代换后可证得∠AFX+∠AEX+∠FAE=90°；可连接AX，此时发现∠FXE正好是∠AFX、∠AEX、∠FAE的和，由此可证得∠FXE是直角，即FX⊥EX；

（2）由已知易得∠AFX=∠BFX，欲证∠MFX=∠NFX，必须先证得∠AFM=∠BFN，可通过相似三角形来实现；首先连接FM、FN，易证得△FCA∽△FDB，可得到FA：FB=AC：BD，而AC=2AM，BD=2BN，通过等量代换，可求得FA：FB=AM：BN，再加上由圆周角定理得到的∠FAM=∠FBN，即可证得△FAM∽△FBN，由此可得到∠AFM=∠BFN，进一步可证得∠MFX=∠NFX，即FX平分∠MFN，同理可证得EX是∠MEN的角平分线．【解析】【解答】证明：（1）连接AX；

由图知：∠FDC是△ACD的一个外角；

则有：∠FDC=∠FAE+∠AED；①

同理；得：∠EBC=∠FAE+∠AFB；②

∵四边形ABCD是圆的内接四边形；

∴∠FDC=∠ABC；

又∵∠ABC+∠EBC=180°；即：∠FDC+∠EBC=180°；③

①+②；得：∠FDC+∠