2023北京八中高一（上）期末数学（教师版）

第1页/共1页2023北京八中高一（上）期末数学一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1．已知a＞b，c∈R，则下列不等式中恒成立的是（）A． B．a2＞b2 C．ac＞bc D．a+c＞b+c2．已知a＝log20.2，b＝20.2，c＝0.20.3，则（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜a＜b D．b＜c＜a3．已知x＞0，则的最小值为（）A． B．2 C． D．44．下列函数在其定义域内是增函数的是（）A．y＝2x B．y＝﹣log2x C． D．y＝tanx5．已知、是不共线的向量，＝λ+，＝+μ（λ，μ∈R），那么A、B、C三点共线的充要条件为（）A．λ+μ＝1 B．λ﹣μ＝1 C．λμ＝﹣1 D．λμ＝16．设f（x）为R上的奇函数，且在（0，+∞）上单调递增，f（1）＝0，则不等式f（x+1）＜0的解集是（）A．（﹣1，0） B．（0，1） C．（1，2） D．（﹣∞，﹣2）∪（﹣1，0）7．甲、乙二人参加某体育项目训练，近期的八次测试得分情况如图，则下列结论正确的是（）A．甲得分的极差大于乙得分的极差 B．甲得分的75%分位数大于乙得分的75%分位数 C．甲得分的平均数小于乙得分的平均数 D．甲得分的标准差小于乙得分的标准差8．为保障食品安全，某监管部门对辖区内一家食品企业进行检查，现从其生产的某种产品中随机抽取100件作为样本，并以产品的一项关键质量指标值为检测依据，整理得到如下的样本频率分布直方图．若质量指标值在[25，35）内的产品为一等品，则该企业生产的产品为一等品的概率约为（）A．0.38 B．0.61 C．0.122 D．0.759．若函数f（x）＝ax﹣1的图象经过点（4，2），则函数的图象是（）A． B． C． D．10．已知函数，f2（x）＝2x+1，g1（x）＝logax（a＞1），g2（x）＝kx（k＞0），则下列结论正确的是（）A．函数f1（x）和f2（x）的图象有且只有一个公共点 B．∃x0∈R，当x＞x0时，恒有g1（x）＞g2（x） C．当a＝2时，∃x0∈（0，+∞），f1（x0）＜g1（x0） D．当时，方程g1（x）＝g2（x）有解二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）11．（5分）函数f（x）＝log0.5（x﹣1）的定义域是．12．（5分）命题“∃x＞0，3x﹣1≤0”的否定是．13．（5分）0.25×24+lg8+3lg5＝．14．（5分）已知函数f（x）＝，若方程f（x）＝a有三个不同的实数根，则实数a的取值范围是．15．（5分）已知函数f（x）＝（a＞0且a≠1），给出下列四个结论：①存在实数a，使得f（x）有最小值；②对任意实数a（a＞0且a≠1），f（x）都不是R上的减函数；③存在实数a，使得f（x）的值域为R；④若a＞3，则存在x0∈（0，+∞），使得f（x0）＝f（﹣x0）．其中所有正确结论的序号是．三、解答题（共6题，满分85分）16．（14分）如图所示平行四边形AOBD中，设向量＝，＝，又＝，＝，用，表示、、．17．（16分）已知函数f（x）＝x﹣2，g（x）＝x2﹣mx+4（m∈R）．（Ⅰ）当m＝4时，求不等式g（x）＞f（x）的解集；（Ⅱ）若对任意x∈R，不等式g（x）＞f（x）恒成立，求m的取值范围；（Ⅲ）若对任意x1∈[1，2]，存在x2∈[4，5]，使得g（x1）＝f（x2），求m的取值范围．18．（14分）已知函数．（Ⅰ）若f（a）＝1，求a的值；（Ⅱ）判断函数f（x）的奇偶性，并证明你的结论；（Ⅲ）若f（x）≥m对于x∈[3，+∞）恒成立，求实数m的范围．19．（12分）为抗击新冠肺炎，某单位组织中、老年员工分别进行疫苗注射，共分为三针接种，只有三针均接种且每针接种后经检测合格，才能说明疫苗接种成功（每针接种后是否合格相互之间没有影响．根据大数据比对，中年员工甲在每针接种合格的概率分别为，，；老年员工乙在每针接种合格的概率分别为，，．（Ⅰ）甲、乙两位员工中，谁接种成功的概率更大？（Ⅱ）若甲和乙均参加疫苗接种，求两人中至少有一人接种成功的概率．20．（14分）某工厂有甲、乙两条相互独立的产品生产线，单位时间内甲、乙两条生产线的产量之比为4：1，现采用分层抽样的方法从甲、乙两条生产线得到一个容量为100的样本，其部分统计数据如下表所示（单位：件）．一等品二等品甲生产线76b乙生产线a2（Ⅰ）写出a，b的值；（Ⅱ）从上述样本的所有二等品中任取2件，求至少有1件为甲生产线产品的概率；（Ⅲ）以抽样结果的频率估计概率，现分别从甲、乙两条产品生产线随机抽取10件产品，记P1表示从甲生产线随机抽取的10件产品中恰好有5件一等品的概率，P2表示从乙生产线随机抽取的10件产品中恰好有5件一等品的概率，试比较P1和P2的大小．（只需写出结论）21．（15分）设函数f（x）的定义域为R．若存在常数m（m≠0），对于任意x∈R，f（x+m）＝mf（x）成立，则称函数f（x）具有性质Γ．记P为满足性质厂的所有函数的集合．（Ⅰ）判断函数y＝x和y＝2是否属于集合P？（结论不要求证明）（Ⅱ）若函数，证明：g（x）∈P；（Ⅲ）记二次函数的全体为集合Q，证明：P∩Q＝∅．

参考答案一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1．【分析】根据已知条件，结合不等式的性质，以及特殊值法，即可求解．【解答】解：对于A，令a＝2，b＝﹣1，满足a＞b，但，故A错误，对于B，令a＝2，b＝﹣3，满足a＞b，但a2＜b2，故B错误，对于C，令c＝0，ac＝bc，故C错误，对于D，∵a＞b，c＝c，∴由不等式的可加性可得，a+c＝b+c，故D正确．故选：D．【点评】本题主要考查了不等式的性质，掌握特殊值法是解本题的关键，属于基础题．2．【分析】利用对数函数和指数函数的性质，即可求解．【解答】解：∵，b＝20.2＞20＝1，0＜c＝0.20.3＜0.20＝1，∴a＜c＜b．故选：B．【点评】本题考查三个数的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数和指数函数的性质的合理运用．3．【分析】利用基本不等式的性质即可求得答案．【解答】解：由x＞0，≥2＝2，当且仅当x＝，即x＝时，取得等号，故的最小值为2，故选：C．【点评】本题主要考查了基本不等式的性质，属于基础题．4．【分析】根据题意，依次分析选项中函数的单调性，综合可得答案．【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A，y＝2x，是指数函数，在其定义域内是增函数，符合题意，对于B，y＝﹣log2x＝，是对数函数，在其定义域内是减函数，不符合题意，对于C，y＝﹣，是反比例函数，在其定义域中不具有单调性，不符合题意，对于D，y＝tanx，是正切函数，在其定义域中不具有单调性，不符合题意，故选：A．【点评】本题考查函数的单调性，注意常见函数的定义域，属于基础题．5．【分析】将点共线问题与向量共线问题联系起来是解决本题的关键．【解答】解：A、B、C三点共线⇔与共线⇔∃x，λ+＝x（+μ），∵、是不共线的向量，∴A、B、C三点共线．故选：D．【点评】本题考查了向量共线的等价条件，属于基本题型．6．【分析】根据函数奇偶性和单调性的关系，作出函数f（x）的图象，利用数形结合进行求解即可．【解答】解：∵f（x）为R上的奇函数，且在（0，+∞）上单调递增，f（1）＝0，∴f（x）在（﹣∞，0）上单调递增且f（﹣1）＝0，则f（x）的图象如图：则f（x）＜0的解为0＜x＜1或x＜﹣1，由0＜x+1＜1或x+1＜﹣1，得﹣1＜x＜0或x＜﹣2，即f（x+1）＜0的解集（﹣∞，﹣2）∪（﹣1，0），故选：D．【点评】本题主要考查不等式的求解，利用函数奇偶性和单调性的关系作出函数f（x）的图象是解决本题的关键，是中档题．7．【分析】根据图表数据特征进行判断即可得解．【解答】解：对于A，乙组数据最大值为29，最小值为5，极差为24，甲组数据最大值小于29，最小值大于5，故A错误；对于B，甲得分的75%分位数是＝22.5，乙得分的75%分位数是16，故B正确；对于C，甲组具体数据不易看出，不能判断甲得分的平均数与乙得分的平均数的大小关系，故C错误；对于D，乙组数据更集中，标准差更小，故D错误．故选：B．【点评】本题考查命题真假的判断，考查折线图、茎叶图等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．8．【分析】根据已知条件，直接读取频率分布直方图，即可求解．【解答】解：∵质量指标值在[25，35）内的产品为一等品，∴该企业生产的产品为一等品的概率约为（0.08+0.042）×5＝0.61．故选：B．【点评】本题主要考查频率分布直方图的应用，属于基础题．9．【分析】由已知求得a，可得a＞1，再由函数的图象平移得答案．【解答】解：∵函数f（x）＝ax﹣1的图象经过点（4，2），∴2＝a4﹣1＝a3，∴a＝＞1．又＝，其图象是把y＝﹣logax向左平移1个单位得到的，∴函数的图象是：．故选：D．【点评】本题考查函数的图象及图象平移，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．10．【分析】根据函数的单调性，以及函数零点的存在性定理进行逐一判定即可．【解答】解：选项A：∵，f2（x）＝2x+1，∴f1（0）＝1，f2（0）＝1，f1（2）＝4＜f2（2）＝5，f1（3）＝8＞f2（3）＝7，则函数f1（x）和f2（x）的图象有一个交点（0，1），还有一个交点横坐标在（2，3）上，故选项A不正确；选项B：当a＝2，k＝1时，g1（x）＝log2x＜g2（x）＝x恒成立，故不∃x0∈R，当x＞x0时，恒有g1（x）＞g2（x），故选项B不正确；选项C：当a＝2时，f1（x）与g1（x）的图象关于y＝x对称，f1（x）的图象恒在直线y＝x上方，g1（x）的图象恒在直线y＝x下方，故不存在x0∈（0，+∞），f1（x0）＜g1（x0），故选项C不正确；选项D：时，g2（x）＝x，故g1（x）＝logax（a＞1）和g2（x）＝kx（k＞0）均过点（a，1），所以方程g1（x）＝g2（x）有解，故选项D正确．故选：D．【点评】本题主要考查了命题真假的判断的应用，以及函数零点的存在性定理，同时考查了学生分析问题的能力．二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）11．【分析】根据对数函数成立的条件建立不等式进行求解即可．【解答】解：要使函数有意义，则x﹣1＞0，即x＞1，即函数的定义域为（1，+∞），故答案为：（1，+∞）．【点评】本题主要考查函数定义域的求解，根据对数函数成立的条件是解决本题的关键，是基础题．12．【分析】根据题意，由特称命题的否定方法，分析可得答案．【解答】解：根据题意，命题“∃x＞0，3x﹣1≤0”是特称命题，其否定为：∀x＞0，3x﹣1＞0．故答案为：∀x＞0，3x﹣1＞0．【点评】本题考查命题的否定，注意特称命题和全称命题的关系，属于基础题．13．【分析】由已知结合对数的运算性质可求．【解答】解：0.25×24+lg8+3lg5＝4+lg（8×125）＝4+lg1000＝4+3＝7．故答案为：7．【点评】本题主要考查了对数的运算性质，属于基础题．14．【分析】依题意，函数y＝f（x）与函数y＝a的图象有三个交点，作图观察即可得解．【解答】解：方程f（x）＝a有三个不同的实数根，即函数y＝f（x）与函数y＝a的图象有三个交点，作函数y＝f（x）的图象如下图所示，由图可知，0＜a＜1．故答案为：（0，1）．【点评】本题考查函数与方程的综合运用，旨在考查数形结合思想，属于基础题．15．【分析】举例说明①正确；由f（x）是R上的减函数列式求解a的范围判断②；由f（x）的值域为R列关于a的不等式组，求解a的范围判断③；画出图形，数形结合判断④．【解答】解：对于①，当a＝3时，函数f（x）＝，函数有最小值﹣1，故①正确；对于②，若f（x）是R上的减函数，则，解得a∈∅，∴对任意实数a（a＞0且a≠1），f（x）都不是R上的减函数，故②正确；对于③，若f（x）的值域为R，需，得a∈∅，故③错误；对于④，若a＞3，函数f（x）＝的图象如图所示：直线y＝（a﹣2）x与曲线y＝ax﹣1一定有交点，即存在x0∈（0，+∞），使得f（x0）＝f（﹣x0），故④正确．∴正确结论的序号是①②④．故答案为：①②④．【点评】本题考查分段函数的应用，考查数形结合思想，考查运算求解能力，是中档题．三、解答题（共6题，满分85分）16．【分析】根据向量加法、减法，及数乘的几何意义，及其运算，以及向量加法的平行四边形法则，即可表示出．【解答】解：＝﹣＝；∴＝+＝+＝+＝；又＝，＝+＝+＝＝+；∴＝﹣＝+﹣﹣＝﹣．【点评】考查向量加法、减法，以及数乘的几何意义和运算，向量加法的平行四边形法则．17．【分析】（Ⅰ）当m＝4时，化简不等式x2﹣5x+6＞0，然后求解即可．（Ⅱ）由g（x）＞f（x），得到不等式x2﹣（m+1）x+6＞0的解集是R．利用判别式转化求解即可．（Ⅲ）．通过m的取值，转化求解即可．【解答】解：（Ⅰ）当m＝4时，由x2﹣4x+4＞x﹣2得x2﹣5x+6＞0，即（x﹣3）（x﹣2）＞0，解得x＜2或x＞3．所以不等式g（x）＞f（x）的解集为{x|x＜2或x＞3}．（5分）（Ⅱ）由g（x）＞f（x）得x2﹣mx+4＞x﹣2，即不等式x2﹣（m+1）x+6＞0的解集是R．所以（m+1）2﹣24＜0，解得．所以m的取值范围是．（10分）（Ⅲ）当x2∈[4，5]时，f（x2）＝x2﹣2∈[2，3]．又．①当，即m≤2时，对任意x1∈[1，2]，g（x1）∈[5﹣m，8﹣2m]⊆[2，3]．所以此时不等式组无解．②当，即2＜m≤3时，对任意x1∈[1，2]，．所以解得．③当，即3＜m＜4时，对任意x1∈[1，2]，．所以此时不等式组无解．④当，即m≥4时，对任意x1∈[1，2]，g（x1）∈[8﹣2m，5﹣m]⊆[2，3]．所以此时不等式组无解．综上，实数m的取值范围是．（15分）【点评】本题考查函数恒成立条件的转化，考查分类讨论思想的应用，二次函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能力，是中档题．18．【分析】（Ⅰ）根据条件建立方程直接进行求解即可，（Ⅱ）根据函数奇偶性的定义进行证明即可，（Ⅲ）利用参数分离法转化求最值问题进行求解即可．【解答】解：（Ⅰ）若f（a）＝1，得log2＝1，即＝2，得a﹣1＝2a+2，得a＝﹣3；（Ⅱ）由＞0，得x＞1或x＜﹣1，定义域关于原点对称，则f（﹣x）+f（x）＝log2+log2＝log2（•）＝log21＝0，即f（﹣x）＝﹣f（x），则f（x）是奇函数．（Ⅲ）＝＝1﹣，设t＝，则y＝log2t为增函数，t＝1﹣在[3，+∞）为增函数，∴f（x）在x∈[3，+∞）为增函数，要使f（x）≥m对于x∈[3，+∞）恒成立，则使f（x）min≥m，∵f（x）min＝f（3）＝log2＝log2＝﹣1，∴m≤﹣1，则求实数m的范围是（﹣∞，﹣1]．【点评】本题主要考查函数奇偶性的判断以及函数最值的求解，利用奇函数的定义以及参数分离法转化为求最值是解决本题的关键，是中档题．19．【分析】分别记“中年员工甲、老年员工乙接种成功”为事件A、B，且A、B相互独立，（Ⅰ）甲、乙接种成功，即两人每针接种均合格，由独立事件概率的乘法公式，计算P（A）、P（B），再比较大小即可；（Ⅱ）记“甲和乙两人中至少有一人接种成功”为事件C，利用间接法，确定对立事件＝，计算P（），求出事件C的概率．【解答】解：（Ⅰ）记中年员工甲接种成功的事件为A，老年员工乙接种成功的事件为B，则P（A）＝＝，P（B）＝＝，P（A）＞P（B），故中年员工甲接种成功的概率更大；（Ⅱ）记甲和乙两人中至少有一人接种成功的事件为C，则＝，P（）＝P（）＝P（）P（）＝（1﹣）×（1﹣）＝，所以P（C）＝1﹣P（）＝，故两人中至少有一人接种成功的概率为．【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意相互独立事件乘法公式和对立事件概率计算公式的合理运用．20．【分析】（Ⅰ）根据题意列出方程组，由此能求出a，b的值．（Ⅱ）C为“至少有1件为甲生产线产品”这一事件，首先列出从6件二等品中任取2件的所有结果，然后再找出事件C所包含是基本事件，从而利用古典概型的概率公式即可求出答案．（Ⅲ）根据样本中甲、乙产品中一等品的概率，同时结合二项分布即可比较大小．【解答】解：（Ⅰ）由题意知，解得a＝18，b＝4．（Ⅱ）记样本中甲生产线的4件二等品为A1，A2，A3，A4，乙生产线的2件二等品为B1，B2，从6件二等品中任取2件，所有可能的结果有15个