期末提优之幂指对函数的综合问题-2024-2025学年高一上学期数学苏教版（2019）必修第一册

高一数学提优专题训练8幂指对函数的综合问题【专题综述】幂函数、指数函数、对数函数是高中三类重要的基本初等函数，与其相关的试题主要是以函数的性质为依托，结合指数与对数的运算性质、幂指对函数的图象与性质进行综合考查，常见的题型有：幂指对比较大小，与幂指对函数有关的复合函数的单调性、零点、解不等式、不等式恒成立或有解等问题．【专题训练】本专题精选近几年的典型试题，包括10道单选题，2道多选题，5道填空题，5道解答题，注重考点、题型、方法的全面考查．一、单选题：1．（23-24高一上·山东临沂·期末）已知，设，，，则（

）A． B． C． D．2．已知，则下列判断正确的是（

）A． B． C． D．3．已知，，，则a，b，c的大小关系为（

）A． B．C． D．4．（23-24高一上·浙江丽水·期末）已知，，则（

）A． B． C． D．5．已知函数，记，，，则（

）A． B．C． D．6．已知函数，若，则实数a的取值范围为（

）A． B．C． D．7．已知正实数满足则（

）A． B． C． D．8．（23-24高一上·湖北·期末）已知正实数满足：，，则的值是（

）A． B．2 C． D．39．（24-25高一上·浙江温州·期中）已知函数，在上单调递增，则的取值范围是（

）A． B． C． D．10．（24-25高一上·浙江杭州·期中）已知函数，若函数在区间上的值域为，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．二、多选题：11．（24-25高一上·广东深圳·期中）已知函数，，且，则下列说法正确的是（

）A． B．C． D．的取值范围为12．（22-23高一下·河南漯河·期末）已知函数，，，，下列选项中正确的有（

）A．函数、、都是偶函数B．若且，则C．若且，则+=1D．若，则三、填空题：13．函数是偶函数，则的值为．14．（24-25高一上·上海·期中）已知，．函数的图像是一个中心对称图形．若函数与函数的图像交点分别为，，…，（为正整数），则．注：．15．（24-25高一上·江苏淮安·期中）已知函数分别为上的偶函数和奇函数，且，若对于任意，任意，使得成立，则的取值范围为．16．（24-25高一上·浙江杭州·期中）已知函数，当时恒成立，则的最小值为.17．（24-25高一上·河南郑州·期中）已知，若对任意，不等式恒成立，则实数a的取值范围是．四、解答题：18．（24-25高一上·浙江·期中）已知函数为幂函数，且在区间上单调递增，令.(1)求函数的解析式；(2)当时，求函数在区间上的值域；(3)若对任意恒成立，求实数的取值范围.19．（24-25高一上·福建福州·期中）已知是定义在上的奇函数．(1)求的值；(2)解关于的方程；(3)若存在区间（），使得函数在上的值域为，求的取值范围．20．（24-25高一上·河北邢台·期中）已知奇函数与偶函数满足(1)求的解析式；(2)若，求的值；(3)若函数在上的最小值为，求的值．21．（24-25高一上·上海松江·期中）已知函数(1)当时，解不等式：；(2)当时，不等式在上恒成立，求实数的取值范围；(3)是否存在实数，使得函数在上的最大值为，若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．22．（24-25高一上·上海·期中）设常数，，.(1)已知y=fx的图象过点，求实数(2)当时，对任意，都有恒成立，求实数的取值范围；(3)若方程有两个实数根，，且，求实数的取值范围.高一数学提优专题训练8幂指对函数的综合问题【专题综述】幂函数、指数函数、对数函数是高中三类重要的基本初等函数，与其相关的试题主要是以函数的性质为依托，结合指数与对数的运算性质、幂指对函数的图象与性质进行综合考查，常见的题型有：幂指对比较大小，与幂指对函数有关的复合函数的单调性、零点、解不等式、不等式恒成立或有解等问题．【专题训练】本专题精选近几年的典型试题，包括10道单选题，2道多选题，5道填空题，5道解答题，注重考点、题型、方法的全面考查．一、单选题：1．（23-24高一上·山东临沂·期末）已知，设，，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据同时取对数可判定关系，利用换底公式结合糖水不等式可判定关系.【详解】由，可知，所以，易知，先证糖水不等式：若，则，证明如下：作差得，得证.所以有，即，所以.故选：A【点睛】比较大小问题，常用到结论：为定义域上增函数；糖水不等式：，则；还有作差法，作商法，基本不等式，函数单调性等等.2．已知，则下列判断正确的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】取中间值，利用对数函数单调性比较可得.【详解】因为，，且，，所以.故选：A.3．已知，，，则a，b，c的大小关系为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】对已知等式两边分别取对数求出a，b，c，然后通过换底公式并结合基本不等式比较a，b的大小，从而得到a，b，c的大小关系．【详解】分别对，，两边取对数，得，，．．由基本不等式，得:，所以，即，所以．又，所以.故选：D．4．（23-24高一上·浙江丽水·期末）已知，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用函数的单调性即可得到，再利用指数函数、对数函数的单调性得到，，则得到三者大小关系.【详解】令，根据为上的单调减函数，则在上单调递减，且，，所以函数在12,1上存在唯一的零点，故；又因为，所以，所以，即，所以，所以，即，所以;因为，所以，所以，即，所以，综上可得：.故选：A.【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用函数的单调性和零点存在定理得到，最后再结合指数函数、对数函数的性质即可比较大小.5．已知函数，记，，，则（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用作差法比较自变量与1的差的大小，再根据指数函数的单调性及二次函数的性质判断即可.【详解】令，则开口向上，对称轴为，且，又，而，所以，即，所以由二次函数的性质得，因为，又，所以，即，所以由二次函数的性质得，综上，，因为在上单调递增，所以，所以，即.故选：B.6．已知函数，若，则实数a的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】构造并研究其奇偶性和单调性，由等价于，结合对数的性质即可确定参数范围.【详解】令，易知其定义域为R，，所以为奇函数，且在上、、均递增，所以在上单调递增，且函数在R上连续，故在定义域上递增，由，所以，显然该式在上恒成立，所以.故选：D7．已知正实数满足则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】将题设条件等价变形为进行放缩移项得到构造函数，利用其单调性即可得到.【详解】由可得因，则有即（*）设，则（*）即，因在上为增函数，故可得：.故选：B.【点睛】关键点点睛：本题解题的关键在于发现条件中指对数的结构特征，通过凑项、放缩，使之出现相同的数学结构，进行构造函数，利用函数的单调性得到大小关系.8．（23-24高一上·湖北·期末）已知正实数满足：，，则的值是（

）A． B．2 C． D．3【答案】C【分析】将两边取对数化为，将两边加1化为，构造函数，可知，研究的单调性即可得到答案.【详解】由两边取对数可得：，即，由可得：，即，构造函数，由和等价于和，即，由于在上单调递增，在上单调递增，则在上单调递增，所以等价于，故.故选：C9．（24-25高一上·浙江温州·期中）已知函数，在上单调递增，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先分析每一段函数的单调性，并且在分段点处也要满足单调性要求，即可求出结果.【详解】当，，令，则，根据复合函数的单调性得到在1,+∞上单调递增，所以对称轴，即，此时最小值点，解得，所以；当，，因为在上单调递增，令，则，根据复合函数的单调性得到在1,+∞上单调递减，所以对称轴，即，此时最大值点，解得，所以；综上，的取值范围是，故选：A.10．（24-25高一上·浙江杭州·期中）已知函数，若函数在区间上的值域为，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据函数单调性求函数值域，利用对应关系可得有两个不相等的正实数根，结合判别式和韦达定理可得结果.【详解】∵在上为增函数，在上为减函数，∴在为增函数，∴函数在区间上的值域为，∴，整理得，∴为方程的两根，即有两个不相等的正实数根，∴，解得且，∴实数的取值范围是.故选：C.【点睛】思路点睛：本题考查函数与方程综合问题，具体思路如下：（1）分析函数的单调性，可得在为增函数，函数在区间上的值域为.（2）根据值域的对应关系可得为方程的两根，即一元二次方程有两个不相等的正实数根，利用判别式和韦达定理可求得实数的取值范围.二、多选题：11．（24-25高一上·广东深圳·期中）已知函数，，且，则下列说法正确的是（

）A． B．C． D．的取值范围为【答案】ACD【分析】作出函数图象，结合图象可得，，的范围，再由，，即可求得和的范围.【详解】作出函数的图象：由图象可知，，，，由得不出，则正确，错误；因为，所以，所以，则，因为，所以在上单调递增，所以，则正确；因为，所以，所以函数在上单调递增，所以，则正确；故选：.【点睛】作出y=fx的图象，将图象位于轴下方的部分翻折到轴上方的部分，其余不变，即可得到的图象.12．（22-23高一下·河南漯河·期末）已知函数，，，，下列选项中正确的有（

）A．函数、、都是偶函数B．若且，则C．若且，则+=1D．若，则【答案】CD【分析】首先求出、、的解析式，再对各选项一一计算即可判断；【详解】因为，，，，所以，，，所以的定义域为1,+∞，不关于原点对称，故不具有奇偶性，故A错误；当时，，即，即，同理可得，所以，当时，，故B错误；当，即，所以或，解得，（且），，故C正确；设，因为，所以，当时，则，，，，所以，，，则当时，同理可知，，故D正确.故选：CD.【点睛】关键点点睛：解决本题D选项的关键在于，解出、、、的值进行求解.三、填空题：13．函数是偶函数，则的值为．【答案】【分析】根据偶函数的性质，结合对数的运算性质即可由求解.【详解】因为，且是偶函数，所以，所以，即，解得．经检验，符合要求．故答案为：14．（24-25高一上·上海·期中）已知，．函数的图像是一个中心对称图形．若函数与函数的图像交点分别为，，…，（为正整数），则．注：．【答案】【分析】由已知可得，即可证，即函数与都关于点2,1对称，进而可得解.【详解】由已知，则，则，即函数关于点2,1对称，且，函数在上单调递增，又，则，，即函数关于点2,1，且在，0,2，，上分别单调递减，作出函数与的图像如图所示，可知函数与有个交点，分别为x1,y1，x2且x1,y1与，x2,即，故答案为：.15．（24-25高一上·江苏淮安·期中）已知函数分别为上的偶函数和奇函数，且，若对于任意，任意，使得成立，则的取值范围为．【答案】【分析】根据题意，由函数的奇偶性可得，的解析式，然后对的范围进行分类讨论，将不等式问题转化为函数最值问题，从而求解.【详解】由①可得，又函数分别为上的偶函数和奇函数，则f-x=f则②，①②可得，则，①②可得，则，当时，，当且仅当时，即时，等号成立，当时，，其中在上单调递增，在上单调递增，所以在上单调递增，则，，即，由任意，使得成立，当时，则，此时满足对于任意，任意，使得成立，当时，可得，即，解得，即，综上，所以的取值范围为.故答案为：【点睛】关键点点睛：本题解答的关键在于将的范围分类讨论，转化为函数最值问题.16．（24-25高一上·浙江杭州·期中）已知函数，当时恒成立，则的最小值为.【答案】【分析】通过分析的零点及在零点两侧函数值的正负，得出在时的零点及在零点两侧函数值的正负，因为，研究二次函数的零点分布情况即可求解.【详解】设，，则，且在单调递增，当时，；当时，；因为当时恒成立，所以有一个零点为1，且当时，；当时，，所以.令，因为，所以有一个零点，且当时，；当时，，所以，且，所以.故答案为：17．（24-25高一上·河南郑州·期中）已知，若对任意，不等式恒成立，则实数a的取值范围是．【答案】【分析】由及题意，可得，然后由单调性及一次函数单调性可得答案.【详解】由题可得，又注意到在上单调递增，在上单调递增，，则在R上单调递增.则得，由，则.则关于x的一次函数在上单调递增，要使恒成立，则，即，解得：.结合，可得.故答案为：.四、解答题：18．（24-25高一上·浙江·期中）已知函数为幂函数，且在区间上单调递增，令.(1)求函数的解析式；(2)当时，求函数在区间上的值域；(3)若对任意恒成立，求实数的取值范围.【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根据幂函数的定义和性质求解，得解；（2）根据二次函数单调性求值域；（3）根据题意问题转化为在上恒成立，法1，分和分类讨论求解；法2，要满足，结合二次函数图象的特点求解；法3，由可得，分离参数求解；法4，由，又时，恒成立，转化为，即在上恒成立，求解.【详解】（1）由解得或，又在区间上单调递增，所以，.（2）当时，，令，由知，令，则在区间上单调递减，，即时，，，即时，.函数在区间上的值域为.（3）由题意得对任意恒成立，令，则在上恒成立，方法一：当时，在上恒成立；当时，令，，函数的图象对称轴为.（i）当，，若，则，，解得，；若，则，，解得此时无解.（ii）当，，，解得，；综上所述，的取值范围为.方法二：当时，在上恒成立；当时，令，，由可得或，（i）当时，要满足，可知，；（ii）当时，要满足，可知，；综上所述，的取值范围为.方法三：由可得，又时，恒成立，在上恒成立，，，时，.的取值范围为.方法四：，又时，恒成立，，即在上恒成立，，，时，，.的取值范围为.19．（24-25高一上·福建福州·期中）已知是定义在上的奇函数．(1)求的值；(2)解关于的方程；(3)若存在区间（），使得函数在上的值域为，求的取值范围．【答案】(1)；(2)；(3).【分析】（1）利用奇函数的性质求出并验证即可.（2）换元解方程，再解指数方程即可.（3）探讨函数的单调性，结合已知构造方程，再利用一元二次方程实根分布求出范围.【详解】（1）由是定义在R上的奇函数，得，解得，所以，，即是奇函数，所以.（2）令，则方程化为，即，解得或，由（1）知，当时，，即，解得，；当时，，即，无解，所以原方程的解为.（3）由（1）知，函数在上单调递增，则函数在上单调递增，所以函数在上单调递增，依题意得，，即，令，因此是方程，即的两个不等的正根，于是，解得，所以的取值范围是.20．（24-25高一上·河北邢台·期中）已知奇函数与偶函数满足(1)求的解析式；(2)若，求的值；(3)若函数在上的最小值为，求的值．【答案】(1)，(2)(3)【分析】（1）根据函数奇偶性得到方程组，解出即可；（2）代入得，两边同平方即可得到答案；（3）利用整体换元设，则，再对进行合理分类讨论即可.【详解】（1）由①，得②，①②得，即．①+②得，即．（2）由（1）得，两边平方可得，即，则，因为，所以．（3）因为在上均单调递增，则在上单调递增，所以．令，则．当，即时，在上单调递减，，得．当，即时，在上单调递增，，不符合题意．当，即时，在上单调递减，在上单调递增，，得，不符合题意．综上，的值为．【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是通过换元法将题目转化为含参二次函数最值问题，最后对对称轴进行合理分类讨论即可.21．（24-25高一上·上海松江·期中）已知函数(1)当时，解不等式：；(2)当时，不等式在上恒成立，求实数的取值范围；(3)是否存在实数，使得函数在上的最大值为，若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)(3)不存在，使得结论成立，理由见解析【分析】（1）变形得到，利用对数函数的单调性、定义域求解出不等式解集；（2）利用换元法，可化为在0,+∞上恒成立，参变分离，结合基本不等式求解；（3）先由定义域得到，研究在上的单调性，得到在上的最大值必在端点处产生，从而得到不等式组，无解，故不存在，使得结论成立．【详解】（1）由已知得，即，因为是增函数，所以，解得，所以原不等式的解集为；（2）由题意令，