《电路与信号分析》课件第9章

9.1离散时间信号的概念9.2离散时间信号的基本运算9.3离散时间系统及其数学模型9.4离散时间系统的响应9.5离散系统的单位函数响应9.6离散卷积和习题9第9章离散信号与系统的时域分析9.1离散时间信号的概念

9.1.1离散时间信号的定义

如果信号只在某些离散时刻上有定义，其幅值可取连续区域内的任何值，这种信号就称为离散时间信号。如图9-1所示，离散时间信号f(tk)只在一些离散时刻tk(k=0，±1，±2，±3，…)上取值，而在任意两个时刻之间的时间间隔上无定义。通常设时刻tk和tk+1之间的时间间隔为Tk=tk+1－tk，若Tk随k的不同而变化，则称为非均匀离散时间信号，若Tk=T为常数，则称为均匀离散时间信号。记f(tk)=f(kT)，为了方便通常简写为f(k)。本书只讨论均匀离散时间信号，简称离散信号。图9-1离散时间信号根据离散变量k取非零值的范围，序列可分为以下三种情况：

若序列f(k)对所有的整数k都存在确定的非零值，则称这类序列为双边序列。

若f(k)=0，k≤k1，则f(k)称为有始序列或右边序列；反之若f(k)=0，k≥k2，则f(k)称为有终序列或左边序列。其中k1≥0的有始序列称为因果序列，k2≤0的有终序列称为反因果序列。上述序列通称为单边序列。

若f(k)仅在k1≤k≤k2(k2≥k1)区间有非零确定值，则称这类序列为有限序列。

若序列满足性质f(k)=f(k+)mN，其中N为正整数，m为任意整数，则称该序列是周期为N的离散时间周期信号或周期序列，如图9-2所示。图9-2

N=3的周期序列9.1.2离散时间信号的表示

离散时间信号可以用三种形式表示。第一种是用解析式表示，即用数学函数表达式的形式表示出离散时间信号与时间变量之间的关系，例如

f(k)=(－1)k，k=0，±1，±2，…

第二种是用序列形式表示，序列中的每一个数字称为离散信号的样值。例如上式的序列形式为

f(k)={…，1，－1，1，－1，1，－1…}

式中“1”的下划线表示序号k＝0时的数值。第三种是用图形形式表示，即将离散时间信号用一条条不同高度的带圆点的垂线表示，每条垂线的端点即是实际的函数值。例如上式的f(k)又可以用图9-3表示。

上述三种表示方法可互相转换，各有特点，序列形式和图形形式的优点是直观，常用表示有限序列，但缺点是不易得出解析表达式。图9-3序列f(k)的图形表示9.1.3典型的离散时间信号

1.单位函数信号(UnitFunctionSignal)

单位函数信号表示为(9-1)该信号也称为单位样值序列或单位脉冲信号，如图9-4(a)所示。它在离散信号与系统分析中所起的作用类似于单位冲激信号δ(t)在连续信号与系统分析中所起的作用，不同之处在于δ(t)是一个广义函数，在t=0时，幅度为无限大；而δ(k)是一般函数，即在k=0时函数值为1。δ(k－n)是移位或移序单位函数信号，其函数表示为

图9-4(b)所示为n＝2时的移位单位函数信号。(9-2)图9-4单位函数信号及移位单位函数信号(a)单位函数信号；(b)n=2时的移位单位函数信号

2.单位阶跃序列(UnitStepSequence)

单位阶跃序列表示为

(9-3)单位阶跃序列的图形如图9-5(a)所示。离散信号ε(k)类似于连续信号ε(t)，但应注意ε(k)在k=0时取确定值1。ε(k－n)是移位或移序单位阶跃序列，其函数表示为

(9-4)

图9-5(b)为n＝3时的移位阶跃序列。图9-5单位阶跃序列及移位单位阶跃序列(a)单位阶跃序列；(b)n=3时的移位单位阶跃序列

3.单边指数序列

单边指数序列表示为

(9-5)

当|a|>1时，该序列是增长的；|a|<1时，该序列是衰减的；|a|=1时，该序列是等幅振荡或恒定的。图9-6分别给出了在a>1和0<a<1两种情况下单边指数序列的图形。图9-6单边指数序列akε(k)(a)a>1；(b)0<a<1

4.单边正弦序列

单边正弦序列表示为

(9-6)

其中，常数A和ω0分别称为正弦序列的最大样值和角频率。正弦序列的图形与A和ω0有关。图9-7所示是当A=1，时的单边正弦序列图形。图9-7单边正弦序列除以上四种典型的离散信号外，常用的离散信号还有斜变序列、单边余弦序列，虚指数序列和矩形序列，其解析式分别如下：

斜变序列：f(k)=Akε(k)

单边余弦序列：f(k)=Acosω0kε(k)

虚指数序列：

矩形序列：(9-7)

9.2离散时间信号的基本运算

9.2.1相加与相乘

1.序列的相加

序列f1(k)与f2(k)相加，是指两个序列同序号的数值逐项相应地相加，而构成一个新的序列f(k)，即

f(k)=f1(k)+f2(k)

(9-8)

2.序列的相乘

序列f1(k)与f2(k)相乘，是指两个序列同序号的数值逐项相应地相乘，而构成一个新的序列f(k)，即

f(k)=f1(k)·f2(k)(9-9)

例9-1已知序列f1(k)={2，1，0}，f2(k)={0，1，2}。试求f1(k)+f2(k)和f1(k)·f2(k)。

解两个序列同序号的数值逐项相应的相加、相乘，则可得

f1(k)+f2(k)={2，2，2}

f1(k)·f2(k)={0，1，0}

其图形如图9-8所示。图9-8离散时间信号的相加、相乘(a)f1(k)；(b)f2(k)；(c)f1(k)+f2(k)；(d)f1(k)·f2(k)9.2.2折叠与位移

1.序列的折叠

序列f(k)的自变量k如果用－k代替，即得到一个新的序列

f(－k)，表示f(k)以纵轴为中心进行翻转，称为序列的折叠。

2.序列的位移

序列向后(右)移位是指序列f(k)逐项依次后移(或右移)m位，而得到一个新的序列f(k－m)；序列向前(左)移位是指序列f(k)逐项依次前移(或左移)m位，而得到一个新的序列f(k+m)。

例9-2已知序列f1(k)={0，1，2，3，6}。试求f1(－k)和f1(k－2)。

解依据序列折叠可得f1(－k)={6，3，2，1，0}；k→

k－2，序列向后移2位f1(k－2)={0，1，2，3，6}。

其图形分别如图9-9所示。图9-9离散时间信号的折叠、位移(a)f1(k)；(b)f1(－k)；(c)f1(k－2)9.2.3尺度变换

尺度变换是指将原离散序列样本个数减少或增加的运算，有抽取和内插两种。

序列f(k)的M倍抽取定义为f(Mk)，其中M为正整数，表示在序列f(k)中每隔M－1点抽取一点；序列f(k)的L倍内插定义为f(k/L)，其中L为正整数，表示在序列f(k)中每两点之间插入

L－1个零值点。

例9-3已知序列f1(k)={1，2，3，3，2}，f2(k)={1，2，3}，如图9-10(a)、(b)所示。试求f1(2k)和。图9-10离散时间信号的尺度变换

(a)f1(k)；(b)f2(k)；(c)f1(2k)；(d)

解依据定义可知f1(2k)是f1(k)的抽取，即每隔2－1=1点抽取一点，则f1(2k)={1，3，2}，如图9-10(c)所示。

是f2(k)的内插，表示在序列f2(k)中每两点之间插入2－1=1个零值点，则={1，0，2，0，3}，如图9-10(d)所示。9.2.4求和

离散信号的求和与连续信号的积分相对应，是对其在

(－∞，k)区间上求和，可表示为

(9-10)

单位阶跃序列也可用单位函数信号的序列求和表示：

(9-11)

例9-4已知序列f(k)={1，1，1}。试求。

解依据定义可知y(k)是f(k)的序列求和，则y(k)={1,2，3，3，3，…}，如图9-11(b)所示。图9-11离散时间信号的序列求和(a)f(k)；(b)y(k)9.2.5序列的差分

序列f(k)的一阶前向差分Δf(k)定义为

Δf(k)=f(k+1)－f(k)

(9-12)

一阶后向差分f(k)定义为

f(k)=f(k)－f(k－1)

(9-13)

同理可以定义二阶前向差分为

(9-14)

定义二阶后向差分为

(9-15)

9.3离散时间系统及其数学模型

9.3.1线性时不变离散时间系统及其特性

输入和输出都是离散信号的系统称为离散系统。设输入信号为f(k)，输出信号为y(k)，则离散时间系统可用图9-12表示。

与连续时间系统类似，离散时间系统同样可以分为线性和非线性系统、时变和时不变系统。本书只讨论线性时不变离散系统。

线性时不变离散时间系统是指同时满足线性和时不变性的离散时间系统。图9-12离散时间系统

1.线性

设某离散时间系统在激励f1(k)作用下产生响应y1(k)，在激励f2(k)作用下产生响应y2(k)，若当激励变为c1f1(k)+c2f2(k)时

(c1、c2为任意常数)，相应的响应成为c1y1(k)+c2y2(k)，则称该系统为线性离散系统。

2.时不变性

设某离散时间系统在激励f(k)作用下产生响应y(k)，若当激励f(k)延迟为f(k－m)时(m为任意常数)，响应y(k)同样延时为

y(k－m)，则称该系统为时不变离散系统。

判断一个系统是否为线性时不变离散系统，只要依据定义判断该系统是否满足线性和时不变性即可。

例9-5判断离散系统y(k)=F［f(k)］=3f(k)+5f(k－1)是否为线性时不变离散系统。

解设y1(k)=F［f1(k)］=3f1(k)+5f1(k－1)，y2(k)=F［f2(k)］=3f2(k)+5f2(k－1)，若f(k)=c1f1(k)+c2f2(k)，则有

y(k)=F［f(k)］=c1y1(k)+c2y2(k)

故该系统为线性系统。

若f(k)→f(k－m)，则

F［f(k－m)］=3f(k－m)+5f(k－m－1)=y(k－m)

故该系统又为时不变系统。9.3.2离散时间系统的数学模型

在连续时间系统中描述输入和输出关系的数学模型是微分方程。对于离散时间系统，由于变量k是离散的，所以采用差分方程来描述其输入和输出关系。

线性时不变连续系统的微分方程由连续自变量t的函数f(t)、y(t)及各阶导数等项线性组合构成常系数线性微分方程。构成线性时不变离散系统的描述方程则由离散自变量k的函数f(k)、y(k)及其位移函数

f(k+1)，f(k+2)，…，f(k－1)，f(k－2)，…；

y(k+1)，y(k+2)，…，y(k－1)，y(k－2)，…

项线性组合构成常系数线性差分方程。差分方程具有两种形式：右移序列形式和左移序列形式。

(1)右移序列差分方程也称后向差分方程

a0y(k)+a1y(k－1)+a2y(k－2)+…+any(k－n)

=b0f(k)+b1f(k－1)+b2f(k－2)+…+bmf(k－m)

(9-16)

(2)左移序列差分方程也称前向差分方程

any(k+n)+an-1y(k+n－1)+an－2y(k+n－2)+…+a0y(k)

=b0f(k)+b1f(k+1)+b2f(k+2)+…+bmf(k+m)

(9-17)在式(9-16)和式(9-17)中，f(k)是激励(输入)，y(k)是响应(输出)，ai、bi为常系数。差分方程的阶数为响应(输出)序列中自变量的最高序号与最低序号之差。在描述因果离散系统的差分方程中，激励的最高序号不能大于响应的最高序号，即m≤n。9.3.3离散时间系统的模拟

与连续系统的模拟图类似，离散系统的模拟图是数学意义的差分方程模拟，一般是由几个基本运算单元组成。基本运算器及其运算关系如图9-13所示。图9-13基本运算器及其运算关系离散系统模拟的基本单元中的加法器和标量乘法器与连续系统模拟所用的相同，不同的单元是延时器(Delayer)。延时器是用来在时间上向后移序的器件，它能将输入信号延迟一个时间间隔。模拟离散系统的延时器相当于模拟连续系统的积分器。在实际系统中，延时器可以用电荷耦合器或数字寄存器实现。正如积分器中的积分符号可以用复变量s－1来替代一样，模拟离散系统的延时器中的延时符号也可以用Z变换中的复变量z－1来替代。关于Z变换将在第10章详细讨论。

成离散系统的模拟图和信号流图的方法与连续系统一样，用相应的运算器连接起来加以模拟。

例9-6已知离散系统的差分方程为y(k+2)+a1y(k+1)+a0y(k)

=b1f(k+1)+b0f(k)。请画出该离散系统的直接模拟图及信号流图。

解引入一个辅助函数q(k)，由差分方程得

q(k+2)+a1q(k+1)+a0q(k)=f(k)

y(k)=b1q(k+1)+b0q(k)

由此做出直接模拟图如图9-14(a)所示，信号流图如图

9-14(b)所示。图9-14例9-6差分方程的直接模拟图及信号流图(a)直接模拟图；(b)信号流图

9.4离散时间系统的响应

从时域求解离散时间系统一般可以采用迭代法、经典法、分别求零输入响应和零状态响应法。

9.4.1迭代法

描述离散时间系统的差分方程是具有递推关系的代数方程，若已知初始状态和输入激励，利用迭代法可求得差分方程的数值解。

例9-7一阶线性常系数差分方程y(k)－0.5y(k－1)=ε(k)，k≥0；已知初始状态y(－1)=1。试用迭代法求解差分方程。

解将差分方程可写成y(k)=0.5y(k－1)+ε(k)

代入初始状态，可得

y(0)=0.5y(－1)+ε(0)=0.5×1+1=1.5

依此迭代可得

y(1)=0.5y(0)+ε(1)=0.5×1.5+1=1.75

y(2)=0.5y(1)+ε(2)=0.5×1.75+1=1.875

…

y(k)={1.5，1.75，1.875，…}对于如式(9-16)后向差分方程描述的n阶离散时间，当已知n个状态{y(－1)，y(－2)，y(－3)，…，y(－n)}和输入时，就可由下式迭代计算出系统的响应。

(9-18)

用迭代法求解差分方程思路清晰，便于编写计算程序，能得到方程的数值解，缺点是不易得到闭式解。9.4.2经典法

与连续时间系统微分方程的时域经典法类似，该方法首先分别求齐次解与特解，然后代入初始条件求待定系数。这种方法便于从物理概念表明各响应分量之间的相互关系。

1.齐次解

当式(9-16)中右边激励项f(k)及各移位项均为0时，便得到齐次方程。根据齐次方程相应的特征方程特征根的情况，确定齐次解的形式。

(1)在特征根为λ1，λ2，…，λN且没有重根的情况下，齐次解便为

(9-19)

式中，c1，c2，…，cN是由初始条件确定的系数。

(2)在特征根存在重根且λ1是r重根的情况下，其余N－r个根是单根，齐次解便为

(9-20)

式中，ci，cj是由初始条件确定的系数。

例9-8已知齐次差分方程为y(k)+y(k－1)－6y(k－2)=0，初始状态y(0)=3，y(1)=1。试求解该差分方程的齐次解。

解首先求特征根。该差分方程的特征方程为

λ2+λ－6=0

解方程可得特征根为λ1=2，λ2=－3，均为单根。故差分方程的齐次解为

λh(k)=c1(2)k+c2(－3)k,

k≥0

然后根据初始条件确定待定系数的值。将y(0)=3，y(1)=1代入齐次解，则得

解得c1=2，c2=1。从而，该差分方程的齐次解为

yh(k)=2(2)k+(－3)k,

k≥0

2.特解

离散时间系统差分方程特解的形式也与输入激励函数的形式有关。表9-1列出几种典型的输入激励函数所对应的特解。选定特解形式后，代入到原差分方程，求出待定系数，便可得出差分方程的特解。表9-1特解的函数形式

例9-9已知某离散时间系统的差分方程为y(k)－2y(k－1)

=2x(k)－3x(k－1)，激励x(k)=k2。试求解该差分方程的特解。

解根据激励的形式，查表9-1，可知该差分方程的特解形式为

yc(k)=p2k2+p1k+p0

将yc(k)、yc(k－1)、x(k)和x(k－1)代入差分方程，得

［p2k2+p1k+p0］－2［p2(k－1)2+p1(k－1)+p0］=2k2－3(k－1)2

整理后得

－p2k2+(4p2－p1)k+(－2p2+2p1－p0)=－k2+6k－3上式对任意k值均应相等，因此等号两端k的同次幂系数应相等，可得

解得p2=1，p1=－2，p0=－3。从而得该离散系统差分方程的特解为

yc(k)=k2－2k－3

3.完全解

离散时间系统差分方程完全解是齐次解与特解的和，即

y(k)=yh(k)+yc(k)

(1)如果特征方程的根均为单根，则差分方程的完全解为

(9-21)

式中，c1，c2，…，cN是由初始条件确定的系数。

(2)在特征根存在重根且λ1是r重根的情况下，其余N－r个根是单根，则差分方程的完全解为

(9-22)

式中，ci、cj是由初始条件确定的系数。

离散时间系统差分方程的齐次解也称为系统的自由响应，特解也称为系统的强制响应。9.4.3分别求零输入响应和零状态响应法

在离散系统中用时域分析法对差分方程求解时，也可以求解相应的齐次差分方程。这时可先求出仅由初始储能引起的零输入响应yzi(k)，然后再对非齐次差分方程求出仅由激励引起的零状态响应yzs(k)，最后将两者叠加求出全响应，即全响应

y(k)=yzi(k)+yzs(k)。必须注意，离散系统初始条件的描述与连续系统初始条件的描述略有不同，在计算差分方程的零输入响应时，必须判别已知初始条件中哪些是仅由初始储能引起的，并递推出所需的零输入初始条件。全响应的初始条件可分解为零输入初始条件和零状态初始条件两部分。零输入响应的初始条件表明了系统的初始储能情况，与输入激励无关；零状态响应的初始条件仅由输入信号作用而产生，而与系统初始储能状态无关。

1.零输入响应

输入激励为零时，仅由系统初始储能状态引起的响应为零输入响应。

例9-10已知某离散时间系统的差分方程为y(k+3)+6y(k+2)+12y(k+1)+8y(k)=x(k)，激励x(k)=ε(k)，初始条件是y(1)=1，y(2)=2，y(3)=－23。试求零输入响应。

解该差分方程的特征方程为

λ3+6λ2+12λ+8=0

解得特征根为λ=－2，是三重根，则零输入响应表达式为

yzi(k)=(c2k2+c1k+c0)(－2)k

(1)

求零输入响应初始条件。

在差分方程中，令k=－1，得

y(2)+6y(1)+12y(0)+8y(－1)=x(－1)

(2)

在差分方程中，令k=0，得

y(3)+6y(2)+12y(－1)+8y(0)=x(0)(3)

由(2)式可知，y(2)、y(1)、y(0)、y(－1)与输入激励无关，仅由初始储能引起，即yzi(1)=y(1)=1，yzi(2)=y(2)=2，yzi(0)=y(0)。

由(3)式可知，y(3)与激励有关，将已知初始条件代入(3)式，得

y(0)=0=yzi(0)将零输入响应初始条件代入(1)式，可得

解得c0=0，c1=，c2=，代入(1)式得

2.零状态响应

离散系统求解零状态响应，可直接求解非齐次差分方程。求解方法和经典计算连续时间系统零状态响应相似。先求齐次解和特解，然后代入仅由输入激励引起的初始条件确定待定系数。若激励在k=0时接入系统，根据因果性，零状态条件为

y(－1)=y(－2)=y(－n)=0。但当激励信号较复杂，且差分方程阶数较高时，上述求解非齐次差分方程的过程也很复杂。所以，与连续时间系统时域分析相同，离散时间系统求解零状态响应时，也常采用卷积分析法，又称为“卷积和”法。回顾连续系统求零状态响应的过程，通过平行相似可以得到求取离散系统零状态响应的方法，具体步骤如下：

(1)将激励分解。连续系统激励

离散系统激励

(9-23)

(2)求出每一个激励分量加于系统引起的响应。连续系统的单位冲激响应为h(t)，离散系统的单位函数响应为h(k)。

(3)将所有分量响应叠加。连续系统零状态响应为

即卷积积分。离散系统零状态响应为

(9-24)

式(9-24)即称为卷积和，表示离散系统零状态响应为激励序列x(k)与单位函数响应序列h(k)的卷积和。可见，获得零状态响应的关键是求出单位函数响应序列h(k)。

9.5离散系统的单位函数响应

9.5.1单位函数响应的定义

离散系统在单位函数信号δ(k)作用下产生的零状态响应称为单位函数响应，记作h(k)，也可表示为δ(k)→h(k)。

依据单位函数信号的定义可知，单位函数响应是具有零输入响应形式的特殊零状态响应。9.5.2

n阶离散系统单位函数响应的求取

(1)前向差分方程为

y(k+n)+an－1y(k+n－1)+…+a0y(k)=x(k)

(9-25)

单位函数激励δ(k)对应单位函数响应的差分方程表示为

h(k+n)+an－1h(k+n－1)+…+a0h(k)=δ(k)

(9-26)

此时，系统初始状态为h(－1)=h(－2)=…=h(－n)=0，由此可得系统初值为

(9-27)当k>0时，由于δ(k)=0，故差分方程可写为

h(k+n)+an－1h(k+n－1)+…+a0h(k)=0

(9-28)

由式(9-28)可知，求单位函数响应实际是求式(9-28)齐次差分方程的解，待定系数由式(9-27)确定。

(2)后向差分方程为

y(k)+a1y(k－1)+…+any(k－n)=x(k)

(9-29)

单位函数激励δ(k)对应单位函数响应的差分方程表示为

h(k)+a1h(k－1)+…+anh(k－n)=δ(k)

(9-30)

此时，系统初始状态为h(－1)=h(－2)=…=h(－n)=0，由此可得系统初值为当k>0时，由于δ(k)=0，故差分方程可写为

h(k)+a1h(k－1)+…+anh(k－n)=0

(9-32)

由式(9-32)可知，求单位函数响应实际是求式(9-32)齐次差分方程的解，待定系数由式(9-31)确定。

例9-11已知某离散时间系统的差分方程为y(k+2)+3y(k+1)

+2y(k)=x(k+2)，试求该系统单位函数响应h(k)。

解解法一(间接法)：当激励x(k)=δ(k)时，系统的响应y(k)=h(k)，则有

h(k+2)+3h(k+1)+2h(k)=δ(k+2)

设h1(k)满足方程

h1(k+2)+3h1(k+1)+2h1(k)=δ(k)

单位函数响应形式为

h1(k)=c1(－1)k+c2(－2)k

根据式(9-27)，有h1(0)=h1(1)=0，h1(2)=1，代入上式得

注意：由于初始值h1(0)=h1(1)=0，所以h1(k)的表达式应当从k≥2的范围成立，故根据线性时不变性，对h(k+2)+3h(k+1)+2h(k)=δ(k+2)，有

解法二(直接法)：当激励x(k)=δ(k)时，系统的响应y(k)=h(k)，则有

h(k+2)+3h(k+1)+2h(k)=δ(k+2)

(1)

设单位函数响应形式为

h(k)=［B1(－1)k+B2(－2)k］ε(k)

(2)令k=－2并代入(１)式，则有

h(0)+3h(－1)+2h(－2)=δ(0)=1

又系统为因果系统，有h(－2)=h(－1)=0，故可推出h(0)=1；再令k=－1，代入(1)式，则有

h(1)+3h(0)+2h(－1)=δ(1)=0

又系统为因果系统，有h(－1)=0，故可推出h(1)=－3。将h(0)=1，h(1)=－3代入(2)式得

系统单位函数响应为

h(k)=［－(－1)k+2(－2)k］ε(k)

9.6离散卷积和

在线性时不变连续系统时域分析中，可以利用卷积积分求系统零状态响应；相应地，在线性时不变离散系统时域分析中，可以利用卷积和求系统零状态响应，即

(9-33)

式中，e(k)表示激励；h(k)表示系统单位函数响应；yzs(k)表示系统零状态响应。

下面介绍几种常用的求解卷积和的方法。9.6.1公式法求卷积和

1.卷积和的定义

已知离散信号f1(k)、f2(k)，离散卷积和为

(9-34)

卷积和实质上是一种求和运算。在求和过程中n为求和变量，k为参变量，卷积和的结果是k的函数。运算中上下限的选取与两个信号的取值范围有关，应以具体情况确定。

2.公式法求卷积和

离散卷积的公式法也称解析法，是直接应用卷积和公式求离散卷积和的方法。表9-2给出了几种卷积求和常用的公式。表9-2卷积求和常用公式

例9-12已知离散信号

试求f1(k)和f2(k)的离散卷积和。

解根据卷积和定义，可得

例9-13已知离散信号x(k)=akε(k－1)，h(k)=bkε(k－2)。试求x(k)和h(k)的离散卷积和。

解根据卷积和定义，可得由表9-2可得9.6.2图解法求卷积和

图解法求卷积和的运算过程与卷积积分的过程相似。设两个离散函数序列分别为f(k)、h(k)，图解法计算卷积和的步骤如下：

(1)换元：将f(k)、h(k)的变量k换成n；

(2)折叠：作出h(n)相对于纵轴的镜像h(－n)；

(3)位移：将折叠后的h(－n)沿n轴平移一个k值，得

h(k－n)；

(4)相乘：将移位后的序列h(k－n)乘以f(n)；

(5)求和：把h(k－n)乘以f(n)所得的序列相加，即为k值下卷积值。

例9-14已知离散信号f(k)={1，2，1，2，1，…}，h(k)={1，2，1}。试利用图解法求y(k)=f(k)*h(k)。

解

(1)将f(k)、h(k)的变量k换成n，分别如图9-15(a)、(b)所示。

(2)作出h(n)相对于纵轴的镜像h(－n)，如图9-15(c)所示。

(3)计算不同给定k值下的y(k)。由于f(k)、h(k)在k<0时取值均为0，根据卷积和定义可知，当k<0时，f(k)＝0；当k≥0时，有图9-15例9-14卷积和的图解说明将h(－n)沿n轴平移1个单位，得h(1－n)如图9-15(d)所示。将f(n)和h(1－n)相乘得到如图9-15(e)所示序列，求序列之和，得将h(－n)沿n轴平移2个单位，得h(2－n)。将f(n)和h(2－n)相乘得到如图9-15(f)所示序列，求序列之和，得

依此类推，可得

y(k)={1，4，6，6，…}

如图9-15(g)所示。9.6.3不进位乘法求卷积和

对于有限长序列求卷积和，不进位乘法是一种简便实用的方法：首先把两个序列排成行，然后进行普通乘法，将同一列数值相加，不进位。

例9-15已知离散信号f(k)={2，1，5}，h(k)={3，1，4，2}。试利用不进位乘法求y(k)=f(k)*h(k)。

解不进位乘法的特点。设fc(k)=fa(k)*fb(k)，fa(k)和fb(k)的非零项数分别为na和nb项，且其相应的序号分别为［a1，a2］和［b1，b2］，则有：

(1)fc(k)的非零项数为nc=na+nb－1项；

(2)fc(k)相应的序号为［a1+b1，a2+b2］；

(3)序列fa(k)所有项之和与序列fb(k)所有项之和的乘积恰好等于序列fc(k)所有项的和。9.6.4序列卷积的性质

(1)交换律:

f(k)*h(k)=h(k)*f(k)

(9-35)

说明两信号的卷积和与次序无关。

(2)结合律:

f(k)*［h1(k)*h2(k)］=［f(k)*h1(k)］*h2(k)

(9-36)

(3)分配律:

f(k)*［h1(k)+h2(k)］=f(k)*h1(k)+f(k)*h2(k)

(9-37)

(4)位移特性：

f(k)*δ(k－n)=f(k－n)(9-38)

说明任意信号与位移单位函数信号的离散卷积结果等于信号本身的位移。

(5)差分与求和特性:若y(k)=f(k)*h(k)，则

(9-39)

(9-40)

(9-41)

习题