《电路与信号分析》课件第10章

10.1

Z变换10.2

Z反变换10.3

Z变换的性质10.4离散系统的Z域分析10.5离散系统函数及系统特性分析习题10第10章离散信号与系统的Z域分析10.1

Z变换

10.1.1

Z变换定义

离散信号f(k)的Z变换定义为

(10-1)

式(10-1)称为双边Z变换。

信号F(z)的Z反变换定义为

(10-2)

F(z)称为f(k)的Z变换，f(k)称为F(z)的反变换，也可记为f(k)

F(z)。

(1)如果离散信号f(k)为因果序列，即当k<0时，f(k)＝0的序列又称单边右序列，可表示成f(k)·ε(k)。单边右序列的Z变换为

(10-3)

(2)当k≥0时，f(k)＝0的序列又称单边左序列，可表示成f(k)·ε(-k-1)。单边左序列的Z变换为

(10-4)

由于实际离散信号一般均为因果序列，因此我们下面主要讨论单边右序列的Z变换，简称单边Z变换。10.1.2单边Z变换的收敛域

无论上述双边Z变换，还是单边Z变换，都表现为一个幂级数。显然，仅当该级数收敛时，Z变换才有意义。例如因果序列a为正实数的双边或单边Z变换为(10-5)显然，只有当|az－1|<1，即|z|>a时，该无穷级数绝对收敛。即级数收敛的充要条件为

(10-6)

根据等比级数求和公式，式(10-5)才能以闭合式表示为

(10-7)上述例子中z的取值|z|>0，称为F(z)的收敛条件。在Z平面中，F(z)的收敛条件所对应的区域称为F(z)的收敛域。收敛条件|z|>a，在Z平面所对应的收敛域是圆心在原点，半径为a的圆外区域，半径a称为收敛半径，见图10-1的阴影部分。可见，对于单边Z变换，收敛域总是Z平面内以原点为圆心的一个圆的圆外区域，半径由序列f(k)决定。由于单边Ｚ变换收敛条件比较简单，故一般情况不再加注其收敛域。图10-1单边Ｚ变换的收敛域10.1.3

Z变换与拉普拉斯变换的关系

Ｚ变换可以由拉普拉斯变换推演得出。如图10-2所示，设f(t)为连续信号，若以冲激序列对它进行抽样，则抽样信号对fs(t)取拉普拉斯变换为将z=esT代入上式，得

将f(kT)换成f(k)，则得式(10-1)

可见，离散信号的Ｚ变换是在采样信号的拉普拉斯变换中将变量s换为z的结果。图10-2连续信号f(t)的抽样10.1.4常用序列的Ｚ变换

1.单位函数信号δ(k)

根据定义

，代入式(10-1)，得

故δ(k)

1。

2.阶跃序列ε(k)

根据定义，代入式(10-1)，得

当|z－1|<1，即|z|>1时，该式收敛，并且

，故。

3.指数序列akε(k)

根据Ｚ变换定义可得

当|az－1|<1，即|z|>a时，该式收敛，并且

，故，收敛域为Ｚ平面上半径|z|=R=|a|的圆外区域。

常见序列的单边Ｚ变换见表10-1。表10-1常见序列的单边Z变换

10.2

Z反变换

Z反变换是由Z域函数F(z)求相应的原序列函数f(k)的过程。从原理上讲，只要给定函数F(z)，均可利用式(10-2)进行反变换，但这是一个复变函数积分，直接进行积分运算比较困难。本节将介绍几种无须进行积分运算就能求出原序列函数f(k)的方法。10.2.1幂级数展开法

一般F(z)是复变量z的有理函数，即

(10-8)

幂级数展开法也称直接展开法，就是根据Z变换定义

利用代数中的长除法把F(z)展开为z－1的幂级数形式，求出相应的f(k)。这种方法的优点是直观方便，缺点是不易得到闭式解。

例10-1设，求f(k)。

解利用长除法得

故

例10-2设，求f(k)。

解

利用长除法得10.2.2部分分式展开法

一般F(z)是复变量z的有理函数，即

当F(z)是有理分式时，可用部分分式展开法求其Ｚ反变换。设m<n，且设p1，p2，…，pn为F(z)的n个极点，则F(z)可表示为类似于拉普拉斯变换中的部分分式展开法，由于Ｚ变换的最基本形式是１和，因此，通常不是直接展开F(z)，而是先展开，然后再将每个部分分式乘以z。

(1)极点p1，p2，…，pn都是单极点。

(10-9)

其中常数

(10-10)故

所以

(2)极点p1是m重极点。

(10-11)其中常数

(10-12)故若m>n，即当分子多项式阶数高于分母多项式时，F(z)可表示为

(10-13)

式中，C(z)是z的多项式；F1(z)是有理分式；n>1。

例10-3已知，求f(k)。

解

故

例10-4已知，求f(k)。

解(1)取z=－1代入(1)式，得故

则10.2.3围线积分法

Z反变换也可用围线积分法来进行计算。由

在F(z)的收敛域内任选一条包围原点的闭合围线C，将上式两边分别乘以zn－1，然后沿围线C的逆时针方向进行积分，即变换上式右边积分与求和的次序，得

(10-14)

根据复变函数中的柯西定理可知，式(10-14)右边只有n＝k这一项为2πj，其余各项均为0，即

故

(10-15)式(10-15)是Z反变换的积分公式，是Z反变换的一般表达式。由于围线C包围了F(z)zk－1的所有孤立奇异点(极点)，故此积分式可应用留数定理来进行计算，所以又称为留数法，其Z反变换表达式为

(10-16)

式中，pm是围线C内F(z)zk－1的所有极点；Res［·］z=pm为对应于该极点pm的留数。式(10-16)表示f(k)等于F(z)zk－1在围线C内所有极点的留数之和。

例10-5应用围线积分法计算

所对应的离散函数f(k)。

解由式(10-16)，得被积函数的极点p1=0.5，p2=1。在这两个极点处的留数分别为

故

10.3

Z变换的性质

离散时间信号在时域中进行相加、平移、相乘、卷积等运算时，其Z变换将具有相应的运算。将这些对应关系统称为Z变换的性质。

1.线性

设，则

(10-17)

其中，a1、a2为任意常数。

例10-6求离散时间信号coskω0所对应的Z变换。

解根据欧拉公式

由表10-1可知

利用线性性质，得

2.时移

1)序列左移

设，则

(10-18)

证明

令n=k+1，上式变为推广上式，有

(10-19)

(10-20)

当f(0)=f(1)=…=f(m－1)=0时

(10-21)

2)序列右移

设，则

(10-22)

证明

令n=k－1，上式变为推广上式，有

(10-23)

(10-24)当f(－1)=f(－2)=…=f(－m)=0时

(10-25)

即

(10-26)

Z变换的移序性质能将关于f(k)的差分方程转化为关于F(z)的代数方程，这对简化分析离散时间系统起着重要的作用。

例10-7求离散时间信号f(k)=ε(k)－ε(k－4)所对应的Z变换。

解解法一：根据典型信号的Z变换可知

利用右移性质(10-22)，可得

再根据线性性质得解法二：原信号也可以表示成

根据典型信号的Z变换可知

利用右移性质(10-22)及线性性质可得

例10-8已知，试求其Z反变换。

解这类题目用一般求Z反变换的方法求解是困难的，改用公式(10-25)则非常方便。利用典型信号Z变换可知

再利用公式(10-25)，可得

3.尺度变换

设

，则

(10-27)

式中，a为非零实常数。

证明由Z变换的定义

这个性质又称为序列的指数加权性质，它表明时域中乘以指数序列ak，相当于Z域中变量z除以a。

例10-9试利用尺度变换性质求离散时间信号f(k)=kakε(k)的Z变换。

解利用典型信号Z变换可知

再利用尺度变换性质公式(10-27)，可得

4.Z域微分

设，则

(10-28)

将上式推广，有

(10-29)

符号表示m层的运算，即

。

证明由Z变换的定义将上式两边对z求导数，得故

Z域微分性质也称序列的线性加权性质，它表明，时域乘以k，相应于Z域中对Z变换取导数并乘以(-z)。

例10-10试利用Z域微分性质求离散时间信号f(k)=kε(k)的Z变换。

解利用典型信号Z变换可知

利用Z域微分性质公式(10-28)，可得

5.时域卷积定理

设，则

(10-30)

证明在单边Z变换中，序列均为因果序列，故根据Z变换的定义改变求和次序，可得时域卷积定理表明，两个离散时间信号在时域中卷积的Z变换，等于这两个离散时间函数的Z变换的乘积。

6.序列求和

利用时域卷积定理，可得序列求和的Z变换公式。

设，则

(10-31)

证明根据时域卷积定义可知

而，故根据时域卷积定理，有

7.初值定理

设，且存在，则f(k)的初值

(10-32)

证明根据Z变换定义可知

(1)当z→∞时，上式右边除第一项，其余均趋于0，所以

利用(1)式，又可得

故

(10-33)依此类推，可得

(10-34)

8.终值定理

设，f(k)的终值存在，则

(10-35)

证明根据Z变换的线性和移序性可知等式两边取极限

故注意，应用终值定理的条件是，f(k)的终值存在，即

(z－1)F(z)除了在z=1处允许有一个单极点外，其余极点必须处在单位圆内部，否则终值定理不成立。上述条件也可描述为

(z－1)F(z)的所有极点必须处在单位圆内部。

例10-11试利用初值定理和终值定理求离散时间信号

|a|<1的初值与终值。

解

f(k)的Z变换为利用初值定理，可得

因为|a|<1，(z－1)F(z)的极点在单位圆内，故可利用终值定理，得

单边Ｚ变换常用性质见表10-2。表10-2单边Z变换常用性质

续表

10.4离散系统的Z域分析

在离散时间系统分析中，利用Z变换也能够把描述激励、响应关系的线性常系数差分方程转换为Z域的描述激励、响应关系的代数方程来求解，并通过反Z变换求出系统响应的时域解。由于Z变换能将系统响应的初始状态自动地引入Z域像函数的代数方程中，因而可以方便地获得零输入响应、零状态响应及全响应。因为激励、响应均为有始信号，所以Z变换及Z反变换仅考虑单边情况即可。10.4.1零输入响应

设描述离散时间系统的是一个二阶前向差分方程

a2y(k+2)+a1y(k+1)+a0y(k)=b2x(k+2)+b1x(k+1)+b0x(k)

当输入x(k)=0时，可得相应的齐次差分方程为

a2y(k+2)+a1y(k+1)+a0y(k)=0对上式进行Z变换，并应用移序性质，可得

(10-36)

上式中零输入响应，yzi(0)，yzi(1)是零输入初始条件。对Yzi(z)进行Z反变换，即可得零输入响应yzi(k)。对于n阶系统，相应的齐次方程为

对上式进行Z变换，整理后可得一般公式为

(10-37)

后向差分方程的零输入响应也可以用相同的方法进行计算。

例10-12已知描述系统的差分方程为y(k+2)－5y(k+1)

+6y(k)=x(k)，初始条件为yzi(0)=0，yzi(1)=3。求系统零输入响应yzi(k)。

解当x(k)＝0时，相应的齐次方程为将方程Z变换并整理得

Z反变换得

例10-13例10-12中若差分方程的序号都减去2，则得后向齐次方程为y(k)－5y(k－1)+6y(k－2)=x(k－2)，初始条件为

。求系统零输入响应yzi(k)。

解当x(k)＝0时，相应的齐次方程为

y(k)－5y(k－1)+6y(k－2)=0将方程Z变换并整理得

Z反变换得10.4.2零状态响应

在第9章离散系统时域分析法中，已经导出零状态响应等于激励函数与单位函数响应的卷积和，即

yzs(k)=x(k)*h(k)

对上式进行Z变换，并应用时域卷积定理，得

Yzs(z)=X(z)·H(z)

(10-38)

式中，。式(10-38)中H(z)称为离散时间系统的系统函数，定义为系统零状态响应的Z变换与激励的Z变换之比，即

(10-39)

若描述系统的差分方程为

即，对上式取Z变换，得

由定义可以直接求得系统函数利用Z变换分析法求解零状态响应的步骤为：

(1)求出激励函数的Z变换X(z)；

(2)求出离散系统函数H(z)；

(3)求出零状态响应Z变换Yzs(z)=X(z)·H(z)；

(4)Z反变换求出零状态响应。

例10-14已知描述系统的差分方程为y(k+2)－5y(k+1)

+6y(k)=x(k+2)－3x(k)，激励为x(k)=ε(k)。求离散系统函数H(z)、单位函数响应h(k)及零状态响应yzs(k)。

解

(1)求H(z)。

对差分方程两边进行Z变换，则可得

(2)求h(k)

(3)求零状态响应yzs(k)。

因为，代入下式，有

故10.4.3全响应

离散系统的全响应为零输入响应与零状态响应的叠加，即

y(k)=yzl(k)+yzs(k)

类似于拉普拉斯变换，也可以利用Z变换直接求出离散系统全响应。因此求全响应的方法有如下两种：

(1)当已知零输入初始条件时，最直观的方法是分别求系统零输入、零状态响应，而后将两者叠加求出全响应。

(2)当已知全响应初始条件，且无需单独求出零输入响应及零状态响应时，可以通过对差分方程的Z变换，直接求得全响应。

例10-15已知描述离散系统的差分方程为y(k)－by(k－1)

=x(k)，激励为x(k)=akε(k)，且y(－1)=2。求系统全响应y(k)。

解对差分方程两边进行Z变换，可得

Y(z)－bz－1Y(z)－by(－1)=X(z)

即将，y(－1)=2代入上式，则则

10.5离散系统函数及系统特性分析

与连续系统函数H(s)一样，离散系统函数H(z)不仅反映了离散系统的传输特性，还反映了离散系统本身的结构和参数特性。因此，离散系统函数在离散系统分析中起着十分重要的作用。由式(10-39)可知，离散系统函数H(z)是由系统零状态响应的Z变换和激励的Z变换的比来定义的，但H(z)与激励和零状态响应无关，它是由系统本身的结构与参数决定的，是离散系统的Z域描述。10.5.1系统函数的零、极点

由式(10-39)可知离散系统函数通常为有理分式。其分母多项式等于零所构成的方程式就是离散系统的特征方程，方程的根就是特征根，也就是H(z)的极点。系统函数分子多项式等于零的根为H(z)的零点，故离散系统函数又可写成

(10-41)

式中，zr(r=1，2，…，m)是离散系统的零点；pi(i=1，2，…，n)是离散系统的极点；m≤n，H0是标量系数。零点和极点可以是实数，也可以是虚数或复数。

Z平面是以z的实部为横轴，z的虚部为纵轴构成的坐标平面。把系统函数的零、极点画到Z平面上的示意图称为系统函数的零、极点图，图中极点以“×”表示，零点以“”表示；若为n阶零点或极点，则在零点或极点旁注以“(n)”。

例如，离散时间系统函数为表明该系统在单位圆外有一对共轭零点z=1±j，在z=0处有一个三重零点；在z=－0.5处有一个一阶极点；在z=－1处有一个二重极点，在z=0.5±0.5j处有一对共轭极点。图10-3为该系统函数的零、极点图。图10-3离散系统函数的零、极点图10.5.2系统函数的零、极点在Z平面的分布与系统的时域响应特性

因为，即单位函数响应与离散系统函数是一个Z变换对，设H(z)有n个一级极点，可将H(z)展开为部分分式

(10-42)

则每一个极点对应一个时间函数，即

(10-43)如果p0=0，则

(10-44)

这里极点pi可以是实数，也可以是共轭复数。由式(10-44)可知，单位函数响应h(k)的时间特性取决于H(z)的极点pi，幅度由系数Ai决定，Ai与H(z)的零点分布有关。即H(z)的极点决定h(k)的函数形式，零点只影响h(k)的幅度。

系统函数H(z)的一级极点处于Z平面的不同位置将对应h(k)的不同函数形式，如图10-4所示。图10-4

H(z)一级极点分布与h(k)的关系由图10-4可见：

(1)若H(z)的实极点位于单位圆内，则h(k)为衰减的指数序列；

(2)若H(z)的实极点位于单位圆上，则h(k)为阶跃序列；

(3)若H(z)的实极点位于单位圆外，则h(k)为增长的指数序列；

(4)若H(z)的共轭极点位于单位圆内，则h(k)为减幅正弦振荡序列；

(5)若H(z)的共轭极点位于单位圆上，则h(k)为等幅正弦振荡序列；

(6)若H(z)的共轭极点位于单位圆外，则h(k)为增幅正弦振荡序列。10.5.3离散系统稳定性判断

离散系统的稳定性定义为：若对任意有界输入序列，其输出序列的值总是有界的，这样的离散系统就称为稳定系统。

可以证明，对于因果线性时不变离散时间系统，当且仅当单位响应绝对可和时，即

(10-45)

则系统是稳定的。从时域上来讲，因为任意有界的输入序列均可以表示为单位序列δ(k)的线性组合，因此单位响应h(k)绝对可和，那么输出序列也必定有界。根据h(k)的变化模式，可以直观地说明稳定性：

(1)稳定：如果在足够长的时间之后h(k)趋于零，则系统是稳定的。

(2)临界稳定：如果在足够长的时间之后h(k)趋于一个非零常数或有界的等幅振荡，则系统是临界稳定。

(3)不稳定：如果在足够长的时间之后h(k)无限制的增长，则系统是不稳定的。由于h(k)的变化性质完全取决于H(z)的极点分布，因此由10.5.2节的讨论结果可得出如下结论：

(1)若H(z)的所有极点全部位于单位圆内，则系统稳定；

(2)若H(z)的一级极点(实极点或共轭复极点)位于单位圆上，单位圆外无极点，则系统为临界稳定；

(3)若H(z)只要有一个极点位于单位圆外，或在单位圆上有重极点，则系统不稳定。

例10-16已知描述某数字滤波器的差分方程为

y(k+2)－y(k+1)－0.5y(k)=x(k+2)－x(k+1)+x(k)

试判断系统的稳定性。

解由差分方程可得系统函数为

其中在z=0.5±j0.5处有一对共轭极点，均在单位圆内，故系统是稳定的。习题10

10-1求下列序列的Z变换。

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

10-2根据定义求下列序列的Z变换。

(1)

(2)

10-3根据性质求下列序列的Z变换。

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

10-4利用Z变换证明下列关系成立。

(1)

(2)

10-5求下列F(z)的Z反变换。

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

10-6试分别利用三种方法求的原函数f(k)。

10-7已知。试根据F(z)求原序列初值f(0)和终值f(∞)。

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

10-8已知f1(k)*f2(k)=f(k)，且f1(k)=ε(k)，f(k)=

k(k+1)

ε(k)。试求