《电子设备可靠性工程》课件第2章

第2章可靠性的主要数量特征2.1可靠性特征量2.2产品可靠性指标之间的关系2.3电子设备产品失效率曲线和失效规律2.4电子设备常见的失效分布2.5可靠性计算中常用的概率分布2.1可靠性特征量

2.1.1可靠度与不可靠度

可靠度（reliability）是产品在规定的条件下和规定的时间内，完成规定功能的概率。一般将可靠度记为R，它是时间t的函数，故也记为R(t)，R(t)称为可靠度函数。就概率分布而言，它又叫可靠度分布函数，且是累积分布函数。它表示在规定的使用条件下和规定的时间内，无故障地发挥规定功能而工作的产品占全部工作产品（累积起来）的百分率。因此可靠度R或R(t)的取值范围为：

0

R(t)

1(2-1)

若“产品在规定的条件下和规定的时间内，完成规定功能”的这一事件（E）的概率以P(E)表示，则可靠度作为描述产品正常工作时间（寿命）T这一随机变量的概率分布可写成：R(t)=P{E}=P{T

t} 0

t

(2-2)

对于不可修复的产品，可靠度的观测值是指直到规定的时间，能完成规定功能的产品数与在该区间开始时刻投入工作的产品数之比，即(2-3)式中：

N

开始时刻投入工作产品数；

到t时刻完成规定功能产品数，即残存数；

到t时刻未完成规定功能产品数，即失效数。

与可靠度相对应的有不可靠度，表示产品在规定的条件下和规定的时间内不能完成规定功能的概率，因此又称为累积失效概率，记为F，累积失效概率F也是时间t的函数，故又称为累积失效概率函数或不可靠度函数，记为F(t)。

与可靠度相对应的有不可靠度，表示产品在规定的条件下和规定的时间内不能完成规定功能的概率，因此又称为累积失效概率，记为F，累积失效概率F也是时间t的函数，故又称为累积失效概率函数或不可靠度函数，记为F(t)。

因为完成规定功能与未完成规定功能是对立事件，按概率互补定理可得：R(t)+F(t)=1F(t)=1-R(t)=P{T

t} (2-4)(2-5)对于不可修复产品累积失效概率F(t)为：(2-6)2.1.3失效率

失效率（failurerate）又称为故障率，其定义为：工作到某时刻t时尚未失效（故障）的产品，在该时刻t以后的下一个单位时间内发生失效（故障）的概率”。失效率的观测值即为“在某时刻t以后的下一个单位时间内失效的产品数与工作到该时刻尚未失效的产品数之比”。

设有N个产品，从t=0开始工作，到时刻t时产品的失效数为n(t)，而到时刻(t+

t)时产品的失效数为n(t+

t)，即在[t,t+

t]时间区间内有

N(t)=n(t+

t)-n(t)个产品失效，当N足够大，

t足够小时，产品在时间区间[t,t+

t]内的失效率为：(2-11)

因失效率

(t)是时间t的函数，故又称

(t)为失效率函数。

在可靠性实践中，对于使用者来说，有时更关心的是正常工作的产品到t时刻后的单位时间内有多少百分比的产品会失效。正如大家习惯用出生率、死亡率、发病率等统计指标分别表示人类的生长、死亡及发病程度一样。在可靠性工作中，经常用“失效率”这个概念来表征产品发生故障的程度。

由(2-11)式得出：(2-12)这是失效率与失效概率密度及可靠度函数之间的关系。

我们从(2-10)式求导数得：即：将上式代入(2-12)式得：(2-13)将上式积分：得：(2-14)将(2-14)代入式(2-12)得：(2-15)上式给出了故障密度与故障强度，即失效密度与失效率之间的关系。当给出失效率函数

(t)之后，便可由(2-14)式求得可靠度R(t)，再由(2-12)式求得f(t)，而累积失效分布函数F(t)也可由可靠度函数求得。

例2-2有5000只晶体管，工作到1000h时累积失效50只，工作到1200h时测得晶体管累积失效为61只，试求该产品在t=1000h时的失效率。

解

由于(1200)=61(1000)=50

由(2-12)式得：(2-15)

失效率是产品可靠性常用的数量特征之一，失效率越高，则可靠性越低。通常可以采用每小时或每千小时的百分比来作为产品失效率的单位，但对目前具有高可靠要求的产品来说，就需要采用更小的失效率单位来作为产品失效率的基准单位。

如某地缆通讯工程要求其无人增音机的失效率不超过1142菲特；某海缆通讯工程要求其无人增音机的失效率不超过132菲特。菲特（failureunit）这一单位的数量概念是：

1菲特=

它表示

元件小时只有1个失效，或1000h内元件失效数为

。

例如电阻失效率为

，即在

（1000万个）元件小时内，只有2个电阻失效。或在1000h内失效数为0.02%。

又如某机年损耗率为1%，其

=1%/8760h==1142Fit（菲特）。

为了区别各种产品的失效率水平，当产品的失效率为常数时，常常把产品的失效率分为若干等级。按目前标准化的规定，可以将电子元器件的失效率分成七个等级（还可参看美军标准）：

2.1.4平均寿命

在产品的寿命指标中，最常用的是平均寿命。平均寿命（meanlife）是产品寿命的平均值，而产品的寿命则是它的无故障工作时间。

平均寿命这个词对于不可修复（失效后无法修复或不修复，仅进行更换）的产品和可修复（发生故障后经修理或更换零件即恢复功能）的产品，含义有别。

对于不可修复的产品，其寿命是指它失效前的工作时间。因此，平均寿命就是指该产品从开始使用到失效前的工作时间（或工作次数）的平均值，或称为失效前平均时间，记为MTTF（meantimetofailure）。(2-16)

对于可修复的产品，其寿命是指相邻两次故障间的工作时间。因此，它的平均寿命即为平均无故障工作时间或称为平均故障间隔，记为MTBF（meantimebetweenfailures）。(2-17)MTTF与MTBF的理论意义和数学表达式的实际内容都是一样的，故通称为平均寿命。这样，如果从一批产品中任取N个产品进行寿命试验，得到第i个产品的寿命数据为

，则该产品的平均寿命

为：(2-18)或表达为：(2-19)2.1.5寿命方差和寿命均方差（标准差）

平均寿命是一批产品中各个产品的寿命的算术平均值，它只能反映这批产品寿命分布的中心位置，而不能反映各产品寿命

与此中心位置的偏离程度。寿命方差和均方差（或称标准差、标准偏差、标准离差）就是用来反映产品寿命离散程度的特征值。

当N为不大的数或对于子样（即对于某一数组），其寿命方差和均方差（标准差）则分别为：(2-24)(2-25)连续型变量的总体寿命方差可由失效概率密度函数f(t)直接求得：(2-26)式中：

(t)

寿命均方差或标准差。

例2-5求例2-4中18台电子设备的初次失效时间的寿命方差和寿命的标准偏差。2.1.6可靠寿命、中位寿命和特征寿命

如前所述，产品的可靠度与它的使用期限有关。换句话说，可靠度是工作寿命的函数，可以用可靠度函数R(t)表示。因此，当R(t)为已知时，就可以求得任意时间t的可靠度。反之，若确定了可靠度，也可以求出相应的工作寿命（时间）。

可靠寿命（可靠度寿命）就是指可靠度为给定值R时的工作寿命，并以

表示。

可靠度R=50%的可靠寿命，称为中位寿命，用

表示。当产品工作到中位寿命

时，产品中将有半数失效，即可靠度与累积失效概率均等于0.5。

可靠度R=

的可靠寿命称为特征寿命，用

表示。2.2产品可靠性指标之间的关系

衡量产品可靠性的指标很多，它们可以分为两大类：一类是强度指标，即R(t)、F(t)、f(t)和

(t)。它们是以时间t为随机变量的分布函数来表达的，在材料强度和断裂韧性研究中，就可用强度或断裂韧性为随机变量的分布函数来表达。另一类是寿命指标，它们是用产品的寿命数值来表达的。在不同的场合，需要知道不同的指标，我们可以根据具体要求，设计一定的试验来测定所需要的指标。

但是，这两类指标之间是密切联系的，可以相互换算。现在，把它们之间的相互关系及计算公式归纳成一个方框图，如图2-1所示。由图可知：图2-1可靠性基本概念相互关系图

(1)可靠性指标间有密切的关系，其相互之间的推导公式已在图中各方块连线上示出；

(2)在这些指标中，关键的有四个，即R(t)，F(t)，f(t)和

(t)。知道了这四个中的任一个，即可推导出其它所有的可靠性指标来。在图中这四个指标用双框示出；

(3)由图可知，研究可靠性，主要是通过试验或实际运行积累的资料，掌握产品的失效分布（或分布密度）及分布参数，这样便可掌握产品的可靠度。

以上指标是对不可修复系统而言的，在维修系统中，还需讨论维修度、有效度等可靠性指标，其定义见第5章。

2.3电子设备产品失效率曲线和失效规律

2.3.1典型的失效率曲线

对常用的电子元器件和为数众多的零件构成的设备来说，其失效率与时间的关系如图2-2所示。该失效率（或故障率）曲线反映产品总体在整个寿命期失效率的情况，此曲线有时形象地称为“浴盆曲线”（bath-tubcurves）。失效率随

图2-2典型失效曲线

时间变化可分为三个阶段：

(1)第一段是早期失效期，失效率曲线为递减型。产品投入使用的早期，失效率较高而下降很快。这主要是由于设计、制造、储存、运输等造成的，以及调试、加电、起动等人为因素所造成的失效。当这些所谓先天不良因素造成失效发生后，运转也逐渐正常，则失效率就趋于稳定，到t0时失效率曲线已经开始变平。t0以前称为早期失效期。早期失效发生应该尽量设法避免，争取失效率低且t0短。

(2)第二段是偶然失效期，失效率曲线为恒定型，即t0到t1间的失效率近似为常数，失效主要是由于不预期的过载、误操作、意外的天灾以及一些尚不清楚的偶然因素所造成。由于失效原因多属偶然，故称为偶然失效期。偶然失效期也是产品有效工作的时期，这段时间称为有效寿命。

(3)第三段是耗损失效期，失效率是递增型。在

以后，失效率上升较快，这是因为产品（设备）上的某些零件已经老化，寿命衰竭，因而失效率上升。针对耗损失效的原因，应该注意检查、监控，预测耗损开始的时间，提前维修，使失效率仍不上升，以延长有效寿命。2.3.2机械产品常见的失效率曲线

在规定的使用寿命期内，失效率曲线全部变化过程往往并不全部出现。同样的产品，在不同条件下工作，失效率曲线形状也不同，图2-3所示为不同载荷时的失效率曲线。有些产品在正式使用前经过严格的检查、调试、筛选，因此早期失效期几乎不出现，如图2-4(a)所示，

；有些产品达到耗损期的时间

很长，因此在使用寿命内不出现耗损期，如图2-4(b)所示；有些产品在整个使用期内失效率一直递增，如图2-4(c)所示；有些

，

也很大，故在全寿命期内失效率几乎不变，如图2-4(d)所示；也有些产品由于设计、制造不良，或由于目前技术水平尚无法避免其早期失效，使用不久失效率又急剧上升，如图2-4(e)所示。图2-3不同载荷水平的失效率曲线图2-4在规定寿命期内不同失效率

不同的机械产品失效率曲线虽然很不一样，但对于由许多单元组成的机器、设备，其失效率曲线基本上仍为浴盆状，如图2-5中虚线所示。应该指出，每经过一次较大的拆修，常会重现早期失效，实际失效率曲线常如图2-5中实线所示。因此，不适当的预防维修对恒定型故障率的改善不仅没有补益，反而会使故障率有所增高。图2-5复杂机械设备的故障率曲线2.4电子设备常见的失效分布

2.4.1正态型失效分布

正态分布又称为高斯（Gauss）分布，是一切随机现象的概率分布中最常见和应用最广泛的一种分布，可用来描述许多自然现象和各种物理性能。如工艺误差、测量误差、射击误差、同一批晶体管放大倍数的波动或寿命的波动等。在机械设计中，零件的应力和材料强度的分布规律也可以用正态分布表示，从手册上查出的材料强度极限及屈服极限，如无特别声明就看成是强度极限和屈服极限的均值，而其标准偏差可按有关手册给出。同样，它在零部件的寿命分析中也起着重要的作用。1.正态分布的定义

若随机变量X的概率密度函数为：(2-27)当X为产品的寿命时，就为正态失效概率密度函数：(2-28)2.正态分布概率密度曲线的性质

图2-6(a)所示正态分布，具有以下特点：图2-6正态分布概率密度曲线(6)当给定

值而改变

值时，曲线y=f(x)仅沿着x轴平移，但图形不变（见图2-7）；

(7)当给定

值而改变

值时，图形的对称轴不变，但图形本身改变。

越小时图形越高而“瘦”，

越大时图形越矮而“胖”，而整个分布的位置不变，只改变其分散程度（见图2-8）。

为了计算方便，可将任意的正态分布经过规一化，变换成标准正态分布。图2-7当μ值不同而σ值相同时，正态分布曲线沿x轴平移图2-8当

值相同而改变

时正态分布曲线的变化情况

正态分布函数的图形如图2-9所示。用式(2-29)求累积概率时，积分相当麻烦，一般进行标准化处理，然后直接用标准正态分布表查得结果。图2-9正态分布函数方程式(2-32)为标准正态分布，它的数学期望

=0，标准偏差

=1，也就是将均值移到纵坐标处。

从式(2-32)可得出z值和

(z)值之间的对应关系表。当随机变量z的取值z已知时，可由附表直接查得

(z)，反之，当

(z)=F(x)已知时，也可查得z值。

3.标准正态分布

为了计算方便，可将任意的正态分布经过归一化，变换成标准正态分布。

4.正态概率纸的构造和用法

前面，在讨论可靠度的计算时，曾假定产品的失效概率分布及其特性参数均为已知，但通常它们都是未知的，因此就有一个怎样去检验假定的概率分布及其特性参数是否符合实际的问题。

从母体（又称总体）中随机地抽出一子样（又称为样本），并根据试验或观测所得的子样性质推测母体的性质这一过程，称为可靠性数据的统计与分析、推断，简称为统计推断。

在可靠性数据的统计推断中，有图分析法（又称为图估法）和数值分析法，图分析法是在概率纸上进行的，故又称为概率分布的概率纸检验。

概率纸是一种有专门标度的坐标纸。若假定的分布类型正确，则按试验或测量、观测所得到的数据值在该种分布用的概率纸上绘出的点，基本上是在一条直线上。也就是说，该数据是否服从某种分布，可根据该数据点在该种概率纸上是否可联成一条直线来加以检验。至于分布参数的不同则反映在直线位置和斜率的不同上。采用这种图分析法，不仅可以检验分布类型和进行参数估计，而且也可以从中得到有关的可靠性指标。图分析法直观易懂，简便易行，但分析精度不高，最好与数值分析法结合起来使用。

1）正态概率纸构造原理

若某产品的寿命t服从正态分布，则其分布函数如式(2-29)所示，该分布在t-F(t)坐标系中为一连续上升曲线而不是直线，对该式进行变换可写成标准的正态分布：(2-33)上式中：(2-34)

从式(2-34)可以看出，随机变量t与标准正态分布的随机变量z之间是线性关系。而每给定一个z值，就有相应的函数值

(z)与之对应，标准正态分布表（见附表1）就是一个z与

(z)一一对应的关系表。设有一个t-z坐标系，横轴为t轴，纵轴为z轴，两条轴上的刻度都是等距的，并在纵轴上把和z对应的

(z)列在z的旁边，如图2-10所示。于是除了原来的t-z坐标系外，又有一个新的坐标系：横轴是原来的横轴，刻度不变；纵轴还是原来的纵轴，所用的刻度是按上述z和Φ(z)的对应关系表示的Φ(z)刻度，这个新坐标系叫做t-Φ(z)坐标系，由于F(t)=Φ(z)，所以也可叫做t-F(t)坐标系。现把正态分布的分布函数F(t)的图形在t-F(t)坐标系中画出。图形上任意一点，用t-F(t)坐标系表示时，它的坐标为（t，F(t)）=（t，Φ(z)）。由于上述z和Φ(z)的对应关系，用t-z坐标系时，这一点的坐标则为（t，z)，并且t、z满足图2-10正态概率纸的构成原理

正态概率纸就是根据t与z的线性关系、z与

(z)=F(t)的对应关系构成的一种特殊的坐标纸，其形式如图2-11所示。

如果t是正态分布，则F(t)在正态概率纸上所画出的点的连线应该是一条直线，如果F(t)是其它分布的分布函数就不一定是直线。正态概率分布的图分析法就是利用这一性质来检验某一产品的失效概率分布是否属于正态分布，并估计出该正态分布的均值和标准偏差等数字特征。图2-11正态概率纸

2）正态概率纸的用法

(1)整理数据，作数据表。把实测的失效时间（寿命）t按照由小到大的顺序排列，并和相应的累积失效概率

依次列入表中（见表2-2）。表2-2正态概率纸原始数据表

①当试样个数n

20时，由于子样（样本）的试验结果只能反映一个局部，不能完全代表母体的实际情况，因此可以采用平均秩或中位秩来作为母体失效概率的估计值。

②当试样个数n

21时，可按

=i/n

计算。表2-3中位秩表图2-12描点、配置直线和点估计

(4)绘分布直线

如图2-12，过所描点配置一条回归直线，凭目力或误差理论定出此线的位置，

使其与各点的差平方和为最小，且F(t)为30%～70%的范围内偏差应尽量小。

例2-7由某批零件中随机抽取10个样品，然后在同一条件下进行寿命试验，得寿命数据为：6.21，7.50，5.00，6.80，9.61，8.54，8.04，9.09，11.45，10.31kh，试检验该零件的失效概率分布是否服从正态分布，并估计其平均寿命、标准差和可靠度为80%的可靠寿命。

解

(1)检验失效概率分布是否为正态分布

将观察数据由小到大排列入表2-4，查表2-3的中位秩表，将子样容量为10的一列中位秩数据列入表2-4中，按表2-4中的

和F()的数据在正态概率纸上画数据点，如图2-12所示。由于这些点的连线是一条直线，因此该零件的失效概率分布是正态分布得以验证。

图2-13例2-7的图分析2.4.2对数正态失效分布

1.对数正态分布的定义

若X是一个随机变量，且随机变量Y=lnX服从正态分布N(

,

)，我们把它叫做对数正态分布。

对数正态失效分布的描述函数和特征量分别为：图2-14对数正态分布密度曲线2.4.3韦布尔型失效分布

1.韦布尔失效分布的定义

若设失效时间t是一个随机变量，则三参数韦布尔失效分布的描述函数和特征量为：(2-45)(2-44)(2-43)(2-49)(2-48)(2-47)图2-14韦布尔分布的密度函数曲线(

=1,

=1)

上述公式中，常数m为形状参数，其值的大小决定了韦布尔分布曲线的形状，如图2-15所示，当m>1时，其相应的密度函数曲线均呈单峰性，且随m值的减小峰高逐渐降低，当m=3～4时，与正态分布的形状很近似；当m=1时，相应曲线则是指数分布的密度曲线，该曲线与在t=

处的垂线相交，交点处的纵坐标为

，此时

就是指数分布的失效率；当m<1时，密度函数曲线与在t=

处的垂线不相交，而是与它渐近。

位置参数

的大小反映了密度函数曲线的起始点的位置在横坐标轴上的变化，因此

又称为起始参数或转移参数，在可靠性分析中，

具有极限值（例如疲劳极限、寿命极限等）的含义，表示产品在t=

以前不会失效，在其以后才会失效。因此

也称为最小保证寿命，也就是保证t=

以前不会失效。

为尺度参数，它的数值决定曲线在横轴上放大和纵轴上缩小的倍数，或在横轴上缩小和纵轴上放大的倍数。

称为真尺度参数。图2-15韦布尔分布的可靠度函数(

=1，

=1)图2-16韦布尔分布的可靠度函数曲线(

=1，

=1)图2-17韦布尔分布的失效率函数(γ=0)2.韦布尔分布概率纸的构造和用法

由（2-43）式可得到：取自然对数得到：再取一次对数就有：(2-50)当

=0时，则有：(2-51)令：(2-52)则（2-51）式可写成：Y=mX-B(2-53)

此式在X-Y的直角坐标系中的图形是一条直线，斜率为m，纵截距为-B，由（2-52）得：(2-54)X-Y坐标系的X、Y都是等距的刻度，在旁边标出与之相对应的t、F(t)值，此时，新坐标系t-F(t)刻度是不等距的。

考虑

=0时的情况，韦布尔分布函数曲线上的一点（t，F(t)），即满足（2-51）式的点，按t-F(t)坐标系在上述坐标纸上描点，这一点在X-Y坐标系的坐标（X，Y）应满足方程式（2-53）。因此

=0时的韦布尔分布函数在这种特殊的坐标纸上的图形是一条直线，以m为斜率，－B为纵截距。

为了便于使用，刻度没有标在X、Y轴上，而是标在坐标纸四边，如图2-18所示，称上边的刻度尺为X尺，下边为t尺，左边的F(t)尺，右边的为Y尺，它们之间的关系式由（2-52）式和（2-54）式表示。图2-18韦布尔概率纸

若已知一个样本观察值ti，便可算出(i=1，2，…)，以数据

在概率纸上描点，如果寿命t服从韦布尔分布并且γ=0，那么这些点就会大致排列在一条直线的附近，因而可根据这些数据点配置一条直线，如图2-18所示。

当γ≠0时，则韦布尔分布函数在坐标纸上后段基本上为直线，但前段则为曲线（见图2-19）。由于t接近γ时，F(t)接近于零，所以前段曲线与坐标纸上t轴交点的坐标基本上为γ。图2-19m=2，t0=1，γ取不同值时韦布尔分布的分布函数曲线3.韦布尔分布参数的点估计（图估计法）

1）

=0的情况

韦布尔概率纸的图估计法与正态概率纸用法相似，可参见2.4.1节。

(1)形状参数m的点估计

在韦布尔概率纸上有一个X=1,Y=0的点，图上画一小圈，此点称为m的估计点，简称M点，过M点作回归直线的平行线，则该平行线的方程为：Y=m(X-1)。

当x=0时，则y=-m。因此平行线与Y坐标轴的交点的读数绝对值就是形状参数m的估计值。

具体做法是：过M(1,0)点作回归直线的平行线与Y轴相交，过交点右引水平线和Y尺相交，交点刻度的绝对值就是形状参数m的估计值

。

例2-8某机械组装件100个，出厂后得到现场故障数据，以一个月为一个区段进行了累计，到第10个月得到了表2-5的统计故障数据报告。问该组装件为何种失效分布？并对参数作点估计。表2-5某机械组装件的现场故障数据

解

把上述数据描点在韦布尔概率纸上得一直线，如图2-20所示，说明该组装件服从韦布尔失效分布，并由此可知

=0。

按上述m和

的估计方法，从图上得到：图2-20作图法求

和

2）γ>0的情况

如果在韦布尔概率纸上描出的图不能配置为一条直线，而是一条曲线，则不应当立即断定它不能用韦布尔分布拟合。这是因为韦布尔概率纸是在γ=0的情况下构造出来的，当试验数据服从γ=0的韦布尔分布时，则回归线为直线，但当γ≠0时，回归线并不是直线。当γ>0时，回归线向下弯，呈凸形；当γ<0时，回归线向上弯，呈凹形，如图2-21所示。试按照下面所讲的方法，改变位置参数的γ值，重新配点，看能不能在重新所描各点间配置一条直线，这种方法叫做直线化。图2-21不为零时参数估计示意图3）

<0的情况

当

<0时，如图2-21(b)所示，它意味着分布曲线是在t=0以前就开始了，因此需要将t尺变换为：

例2-9对15个某灯泡进行了寿命试验，其结果见表2-6，问该组装件为何种失效分布？并对参数作点估计。图2-22例2-9作图法求解2.4.4指数型失效分布

在可靠性设计和进行数据分析时，指数分布占有相当重要的地位，当失效率λ(t)=λ=常数时，便可得到(2-55)(2-56)(2-57)这便是指数分布，F(t)，f(t)，R(t)，λ(t)图形见图2-23。由于失效率为常数，所以指数分布具有“无记忆性”。所谓“无记忆性”，是指所研究的产品被使用一段时间后，仍然同新产品一样，即产品工作一段时间后的寿命分布与原来未工作的寿命分布相同。指数分布不但在电子元器件可靠性研究方面得到广泛应用，而且在繁杂的机械系统或整机可靠性计算方面也得到应用。图2-23指数分布

指数分布是韦布尔分布的一个特例，因为式(2-43)至式(2-46)中，当m=1，1/t0=λ，γ=0时正好得出式(2-55)至式(2-57)。

指数分布在可靠性分析中具有特殊重要地位，这是因为：

(1)它描述λ(t)=λ=常数的失效过程，这一过程又称为随机（偶然）失效过程（阶段）。在这一阶段，没有一种失效机构对失效起主导作用，零件的失效纯属偶然，这一阶段是产品工作的最佳阶段。很多电子元器件和电子设备的寿命服从指数分布。

(2)指数分布各项可靠性指标具有严格的统计计算方法，而且用数学处理也很方便。在不少的场合，用指数分布的各种公式作为统一的对比方法还是比较方便的。指数分布的均值为(2-58)指数分布的方差为：(2-59)

例2-10某机械设备寿命服从指数分布，其平均寿命为10000h，求该机工作到t（单位：h）为10，100，1000，10000时的失效概率。

解

已知μ=10000h，故由式（2-55）得：

由本例计算结果可看出，当寿命服从指数分布时，将平均寿命

作为规定的工作寿命，则失效概率将达到0.632。

指数分布的分布函数曲线，可以用韦布尔概率纸画出，也可用单对数坐标纸画出，都是一条直线，并可进行参数估计（图估计法）。2.5可靠性计算中常用的概率分布

2.5.1二项分布

二项分布又称为伯努利(Beroulli)分布。设试验只有两种可能的结果，例如“失败”或“成功”；“抽到不合格品”或“抽到合格品”等等。这两种相反的结果如用A与

表示，且记P{A}=p，P{}=1－p=q(0<p<1)，若将试验独立地重复进行n次，则称这样的独立试验序列为n重伯努利试验，简称为伯努利试验。(2-60)式中：且0!=1。其中右边第一项是表示n次试验全部发生A的概率，第二项表示A出现n-1次而

出现一次的概率，其余类推。在n次试验中，A发生x次，

发生n-x次的概率P{x}是

二项分布的用途很广泛。例如：在产品的质量检验或可靠性抽样检验中用来设计抽样检验方案，在可靠性试验和可靠性设计中用于对材料、器件、部件以及一次使用设备或系统的可靠度估计，在可靠性设计中，用来解决冗余（即贮备或备用，是为了提高部件或系统的可靠性所采取的技术措施—冗余技术）部件的可靠度分配问题等等。

例2-11次品率为10%的产品，每15个装一箱，求一箱中有次品0个、1个、2个、…4个的概率。2.5.2泊松分布

泊松分布是二项分布的一种特殊情况。二项分布中，当n非常大（50以上），计算