《电路与信号分析》课件第7章

7.1周期信号的傅里叶级数展开7.2周期信号的频谱7.3非周期信号的傅里叶变换7.4一些常用信号的频谱分析7.5傅里叶变换的性质7.6线性电路的频域分析7.7电路无失真传输信号的条件习题7第7章电路与信号的频域分析7.1周期信号的傅里叶级数展开

将信号表示为不同频率正弦分量的线性组合，称为信号的频谱分析。本节阐述周期信号傅里叶级数的三角形式与指数形式展开法，指出这两种展开式中系数之间的关系。

一个连续信号若在(－∞，∞)区间，每隔一定时间T按相同的变换规律重复变化，则此信号称为周期信号，其表达式为

f(t)=f(t－nT)

(7-1)

式中n为整数。满足该式最小的非零正值T称为该信号的周期，

称为该信号的(重复)角频率。7.1.1三角型傅里叶级数

由高等数学可知，任意周期信号f(t)若满足狄里赫利条

件，①在一个周期T内绝对可积，即，

②在一个周期T内只有有限个不连续点，③在一个周期T内只有有限个极大与极小值时，则它可展开成为下列三角型傅里叶级数：

(7-2)式中

(7-3)

(7-4)

(7-5)

上述积分式中，t0为任选时刻，一般常取t0=0或；

称为基本角频率(以弧/秒计)或基波角频率；an和bn称为傅里叶系数。利用信号波形的对称性，可以方便地求得傅里叶级数的系数。常见的信号有偶函数、奇函数、偶谐函数以及奇谐函数，它们的定义以及其傅里叶级数的特有规律如表7-1中所示。表7-1周期信号的对称性与傅里叶系数

由于有

ancosnω0t+bnsinnω0t=Ancos(nω0t+jn)

因此，式(7-2)的傅里叶级数又可写成另一种紧凑的三角型傅里叶级数

(7-6)

式中

A0=a0(7-7)

(7-8)

(7-9)

A0为信号在一个周期内的平均值，称为信号的直流分量(其频率为零)。Ancos(nω0t+jn)称为信号的n次谐波分量。当n=1时，为A1cos(ω0t+j1)，称为信号的一次谐波分量或基波；当n=2时，为A2cos(2ω0t+j2)，称为信号的二次谐波分量；以此类推。式(7-6)说明任意一个满足狄里赫利条件的周期信号可以分解成直流分量和一系列的谐波分量之和，各谐波分量的频率是基频f0=1/T的n倍(n为正整数)，各谐波分量的振幅和相位分别由式(7-8)与式(7-9)给定。7.1.2指数型傅里叶级数

因为正弦量可用指数函数来表示，所以三角型傅里叶级数可以表示成指数型级数。根据欧拉公式

(7-10)

(7-11)将上两式代入式(7-2)得

令

(n=1，2，3，…)(7-12)由式(7-4)和式(7-5)可知，an是n的偶函数，bn是n的奇函

数，于是，因此

(7-13)而由式(7-12)和式(7-3)可知

于是，将式(7-13)合并为一个和式

(7-14)

式(7-14)就称为指数型傅里叶级数。其中n为从-∞到∞的整数。可以看出指数型傅里叶级数比三角型傅里叶级数的公式更为紧凑，并能推广出非周期信号的频谱——傅里叶变换。将式(7-4)和式(7-5)中的an和bn的计算公式代入，即可得到傅里叶复系数Fn为

(7-15)式(7-6)表明任意周期信号可以分解成为频率在0~∞范围内的一系列谐波信号的叠加，而式(7-14)说明它又可以分解成为频率在-∞~∞范围内的一系列复指数信号的叠加，两者实际上是完全一致的。

表7-2综合了三角型和指数型傅里叶级数、傅里叶系数以及各系数之间的关系。表7-2周期信号展开为傅里叶级数

负频率实际上是不存在的，只是数学演算的结果。正、负频率的复指数分量总是共轭成对出现的，一对共轭的正负频率的复指数分量恰好合成一个实有的正频率的谐波分量，即

例7-1试求图7-1中所示的周期锯齿波信号的三角型及指数型傅里叶级数。

解图7-1所示周期锯齿波在周期内的表达式为

图7-1周期锯齿波

(1)将f(t)展开成三角型的傅里叶级数。由式(7-3)~式(7-5)可得由于f(t)是奇函数，f(t)cosω0t也是t的奇函数，因此它们在对称区间上的积分值为零，使a0=an=0；而f(t)sinω0t是t的偶函数，因此它在对称区间上积分值等于半区间积分值的两倍。因此，f(t)为奇函数时，傅里叶展开式中只有bn的正弦项。

(2)将f(t)展开成指数型的傅里叶级数。根据指数型与三角型傅里叶系数之间的关系可得

F0=a0=0

Fn也可根据式(7-15)直接积分得到。因而

7.2周期信号的频谱

如上所述，一个周期信号，只要满足狄里赫利条件，就可展开成一系列频率分量之和。各种周期信号之间的区别，就在于它们各自所包含的频率分量的成分不同，即角频率(ω=nω0)、幅度|Fn|(或An)、相位θn(或jn)不相同。为了把周期信号具有的频率分量以及各分量的特征形象地表示出来，就采用频谱图的表示方法，即将周期信号的各个频率分量的振幅及相位沿频率轴的分布用图形画出来。其中，幅度|Fn|或An随角频率nω0的变化图形称为幅度频谱；相位θn或jn随角频率nω0的变化图形称为相位频谱。二者合在一起简称为f(t)的频谱图。

本节阐述周期信号单边频谱和双边频谱的概念，介绍周期矩形脉冲的频谱，以此说明周期信号频谱的特点。7.2.1单边频谱

周期信号的三角型傅里叶级数中，分量的形式为Ancos(nω0t+jn)，振幅An及初相位jn均是频率ω=nω0的函数。各频率分量的频率为正值或零(n≥0)，频谱图只在频率轴的零频率和正频率一边，所以称为单边频谱。其中，幅度An随角频率nω0的变化图形称为单边幅度频谱；相位jn随角频率nω0的变化图形称为单边相位频谱。二者合在一起简称为f(t)的单边频谱图。

例7-2一个周期信号f(t)用三角型傅里叶级数表示为f(t)=2+3cos2t+4sin2t+2sin(3t+30°)-cos(4t+150°)。试画出该信号的单边频谱图。

解将所有含有相同频率的正弦项和余弦项合并为一个余弦项，且使所有的项表示为带正振幅的余弦项，有

3cos2t+4sin2t=5cos(2t－53.1°)

sin(3t+30°)=cos(3t+30°－90°)=cos(3t－60°)

－cos(4t+150°)=cos(4t+150°－180°)=cos(4t－30°)因此

f(t)=2+5cos(2t－53.1°)+2cos(3t－60°)+cos(4t－30°)

根据上式，可绘出其相应的单边振幅频谱和单边相位频谱图分别如图7-2(a)和(b)所示。图7-2例7-2信号的单边频谱(a)单边振幅频谱；(b)单边相位频谱7.2.2双边频谱

周期信号的指数型傅里叶级数中，分量的形式为，且与成对出现，n为－∞~∞范围内的整数。所以频谱图在频率轴的正、负两边均有谱线，因此称为双边频谱。其中，幅度|Fn|随角频率nω0的变化图形称为双边幅度频谱；相位θn随角频率nω0的变化图形称为双边相位频谱。二者合在一起简称为f(t)的双边频谱图。

例7-3试画出例7-2中函数f(t)的双边频谱图。

解

即

由此可画出双边幅度频谱和双边相位频谱分别如图7-3(a)和

7-3(b)所示。图7-3例7-3中函数f(t)的双边频谱图(a)双边幅度频谱；(b)双边相位频谱

例7-4已知单位冲激序列δT(t)如图7-4(a)所示。试求其指数型傅里叶级数并画出其频谱图，然后再画出其单边频谱并写出其三角型傅里叶级数。

解指数型傅里叶级数式中

在选取积分区间内，δT(t)=δ(t)，因此

因此

上式表明，指数型傅里叶系数是常数，且为正值。因此幅度频谱在所有的nω0处(n为任意整数)是完全一样的，相位处处为零，这时可以简单地将幅度频谱和相位频谱合成一张图，如图7-4(b)所示。图7-4单位冲激序列及其频谱为了画出三角型傅里叶级数的频谱，由表7-2中的系数关系可知由此可画出δT(t)的三角型傅里叶级数对应的频谱图，如图7-4(c)所示。从该频谱图可将δT(t)表示为7.2.3典型周期矩形脉冲的频谱

周期矩形脉冲信号在电信技术中应用广泛，下面专门研究它的频谱。设周期矩形脉冲信号f(t)的脉宽为τ，脉冲幅度为A，重复周期为T，波形如图7-5所示。

此信号在一个周期内的表达式为图7-5周期矩形脉冲信号其傅里叶复系数为(7-16)根据上式，可以作出相应的双边频谱图。f(t)可表示为

(7-17)

式中，函数称为抽样函数，其波形如图7-6中所示。图7-6抽样函数Sa(x)的波形从图7-6中可看出：

(1)Sa(x)是关于x的偶函数；

(2)除x=0外，Sa(x)与sinx具有相同的取零值(常称为过零点)，即在x=±π，±2π，±3π，…等处，Sa(x)=0;

(3)利用洛比塔法则，在x=0时，；

(4)Sa(x)是一个振荡信号(周期为2π)，随着x的增大其幅度按1/x的规律单调衰减并趋于零。

例7-5已知周期矩形脉冲信号的脉冲宽度τ=0.1s，脉冲幅度A=1，重复周期T=0.5s。试画出其双边频谱和单边频谱。

解，将A、τ、T代入式(7-16)得

傅里叶复系数

由于=±π，±2π，±3π，…时，Fn取零值，因

此频谱过零点的谐波角频率为所以第一条谱线高度为1/5，以后每隔ω0=4πrad/s有一条谱线，谱线高度按抽样函数规律变化，每隔5条谱线出一个零点(第五条谱线高度为零而消失)。由于Fn为负数时，其相位为±π(ej±π=－1)，因此可得双边频谱图如图7-7(a)、(b)所示。由于Fn为实偶函数，故这时可以简单地将幅度频谱和相位频谱合成一张图，如图7-7(c)所示，相应的单边频谱如图7-8(a)、(b)所示，同样可简化成一张图，如图7-8(c)所示。图7-7周期脉冲信号的双边频谱(a)双边振幅频谱；(b)双边相位频谱；(c)双边频谱简单画法图7-8周期脉冲信号的单边频谱(a)单边振幅频谱；(b)单边相位频谱；(c)单边频谱简单画法从上述周期矩形脉冲的频谱中，可以得出一般周期信号频谱的普遍特性：

(1)离散性：由于n只能是整数，|Fn|与θn都是频率为nω0的不连续函数，因此频谱是由一根根在离散频率上的谱线组成的离散频谱；

(2)谐波性：各谱线呈等距分布，相邻谱线间的距离等于基波频率ω0，各谱线在频率轴上的位置是基波频率ω0的整数倍。

(3)收敛性：当谐波次数n→∞时，谱线高度|Fn|或An趋于零。图7-7所示周期矩形脉冲信号的频谱好像一个个延绵起伏的山峰和山谷，其中最高峰为主峰。主峰高度为，主峰宽度即主峰两侧第一个过零点之间的频率范围为，主峰内的频率分量具有较大的振幅，是周期矩形脉冲信号的主要谐波分量。因此，这段频率范围称为周期矩形脉冲信号的有效频率宽度。下面讨论周期矩形脉冲信号脉冲宽度τ及周期T变化对频谱的影响。

图7-9画出了A和T不变，τ减小时的情况。由图可见，谱线间隔不变；由于τ减小，主峰高度减小；第一个零交点角频率增加，也就是信号的频带宽度增加。可见，信号的频带宽度与脉冲宽度成反比。图7-9脉冲宽度与频谱的关系图7-10画出了A和τ不变，T增大时的情况。由图可见，第

一个零交点角频率不变，即信号的频带宽度不变；

由于T增大，主峰高度减小，谱线间隔变小，谱

线变密。可以想象，当周期T→∞时，周期信号转化为非周期信号，各谱线的间隔将趋于零，谱线将无限密集，周期信号的离散谱将转化为非周期信号的连续谱，各谱线的高度也将趋于零，但频谱包络线的形状没有改变。图7-10周期与频谱的关系

7.3非周期信号的傅里叶变换

如前所述，一个周期信号在一定条件下，可展开成一系列谐波频率分量之和，信号各次谐波的组成可以用频谱图形象地表示出来。那么对一个非周期的信号又如何处理呢？本节讨论这个问题。7.3.1从傅里叶级数到傅里叶变换

设非周期信号f(t)的波形如图7-11(a)所示，它可看成图

7-11(b)中以T为周期的周期信号fT(t)当T→∞时的极限情况，即

(7-18)

因此，非周期信号f(t)的频谱可由周期信号fT(t)的频谱取T→∞的极限导出。图7-11周期信号和非周期信号周期信号fT(t)的傅里叶级数为

(7-19)

式中

(7-20)由上节讨论可知，当周期T变大时，基本角频率ω0=2π/T变小，谱线间隔变密，复振幅Fn变小，但频谱包络线的形状没有改变。当周期T变得很大时，ω0变得更小，可以用Δω来表

示，这时。由式(7-20)得

(7-21)显然TFn是jnΔω的函数，记为

(7-22)

由式(7-19)和式(7-22)得

(7-23)则非周期信号f(t)可表示为当T→∞时，Δω→0，用dω来表示，且离散变量nΔω变成连续变量ω，从而离散求和变成连续区间(－∞，∞)的积分，即

(7-24)

式(7-24)把非周期信号f(t)表示为无穷多个指数信号的积分，称为傅里叶积分，简称傅氏积分。它表明一个非周期信号f(t)可以看成无穷多个频率从－∞到∞连续变化的、复振幅为

的复指数信号ejωt的积分。由式(7-22)可得

即

(7-25)

F(jω)一般是ω的复函数，但为了书写方便，可以把F(jω)写成F(ω)。通常把式(7-24)和式(7-25)称为傅里叶变换对，其中式(7-25)称为傅里叶正变换，简称傅氏变换；式(7-24)称为傅里叶反变换，简称傅氏反变换。采用下列记号方法：

F(ω)=F［f(t)］(7-26)

f(t)=F－1［F(ω)］(7-27)

F(ω)与f(t)组成的一一对应关系还可以简单地记为

f(t)F(ω)(7-28)

这个符号表示F(ω)是f(t)的傅氏正变换，f(t)是F(ω)的傅氏反变换。7.3.2频谱密度

周期信号的指数型傅里叶级数表明，一个周期信号可将其分解为无穷多个频率为nω0、复振幅为Fn的虚指数分量

的离散和；而非周期信号的傅里叶积分则表明，一个非周期信号可以分解为无穷多个频率为ω、复振幅为的指数分量ejωt的连续和(积分)。周期信号的频谱是离散的，各频率分量的复振幅Fn为有限值；而非周期信号的频谱是连续的，各频率分量的复振幅为，如果F(ω)是有限值，则

为无穷小量，所以其频谱不能直接用复振幅表示。由于各频率分量的复振幅均与F(ω)成正比，因此为了比较各频率分量的相对大小，用F(ω)来描述非周期信号的频谱特性。

由式(7-22)可得

(7-29)

式(7-29)表明，F(ω)是非周期信号f(t)在单位频带上的复振幅，具有密度的概念，因此称F(ω)为频谱密度函数，简称为频谱函数或频谱密度，在与周期信号频谱不发生混淆的情况下也简称频谱。由于F(ω)是ω的复函数，因此可以写成

(7-30)

式中，|F(ω)|是F(ω)的模(振幅)，代表信号中各频率分量幅度的相对大小；θ(ω)是F(ω)的幅角(相位)，表示信号中各频率分量之间的相位关系。习惯上把|F(ω)|－ω和θ(ω)－ω的曲线分别称为幅度频谱和相位频谱。由式(7-25)，得

(7-31)

因此，若f(t)是t的实函数时，F(ω)和F(－ω)是ω的一对共扼复数，即

F(ω)=F(－ω)(7-32)

所以，若记F(－ω)=|F(－ω)|ejθ(-ω)，则

|F(－ω)|=|F(ω)|(7-33)

θ(－ω)=－θ(ω)(7-34)式(7-33)和式(7-34)表明|F(ω)|是ω的偶函数，而θ(ω)是ω的奇函数。

非周期信号的频谱密度F(ω)与相应的周期信号的傅里叶复系数Fn之间的关系为

(7-35)

实际上就是

(7-36)应用式(7-36)可以较方便地从周期信号的Fn求取相应非周期信号的F(ω)；反之，则

(7-37)

应用式(7-37)可由非周期信号的F(ω)得到周期信号的Fn。式(7-36)和式(7-37)表明，F(ω)在形状上与相应周期信号的频谱包络线相同。7.3.3傅里叶变换的存在条件

周期信号展开成傅里叶级数时需要满足狄里赫利条件，非周期信号进行傅里叶变换时仍需满足类似的条件，不同之处仅仅在于时间范围从一个周期扩展到无限区间，即要求信号f(t)在无限区间内绝对可积，有

(7-38)

此时，利用傅里叶变换的定义式(7-25)及|e－jωt|=1，有上式表明，若f(t)满足条件式(7-38)，则F(ω)必然有界。但这个条件仅仅是充分条件，而不是必要条件，也就是说，满足此条件的信号f(t)一定存在傅里叶变换F(ω)，但一些不满足此条件的信号，其傅里叶变换也可能存在，只不过此时不便直接用定义式来求取，而需要借助于奇异函数或傅里叶变换的性质等方法确定。一般来说，工程实际中遇到的信号大多数满足狄里赫利条件且具有傅里叶变换，因此在今后的信号分析中，不再强调傅里叶变换存在条件的问题。

7.4一些常用信号的频谱分析

常用信号是组成复杂信号的基础，掌握了这些信号的频谱，再利用下一节讨论的傅里叶变换的性质，几乎可以分析工程中遇到的所有信号的频谱。

1.矩形脉冲信号

矩形脉冲信号也称门函数。若其高度为A，宽度为τ，波形如图7-12(a)所示，则可表示为

(7-39)图7-12矩形脉冲信号及其振幅频谱和相位频谱(a)矩形脉冲信号；(b)振幅频谱；(c)相位频谱根据傅里叶变换的定义，有因此

(7-40)

显然，式(7-40)与前面周期矩形脉冲的傅里叶复系数式(7-16)是完全类似的。实际上只要利用式(7-36)，将式(7-16)中的Fn乘T，并将nω0换成ω即得式(7-40)。图7-12(a)所示信号的振幅频谱为

(7-41)

其相位频谱为

(7-42)它们的频谱图如图7-12(b)、(c)所示。可见单个矩形脉冲信号的频谱包络线形状与周期矩形脉冲信号的频谱包络线形状相同，只是后者的频谱为线状的离散谱，前者的频谱是连续谱。

2.单边指数脉冲信号

单边指数脉冲信号如图7-13(a)所示，可表示为

f(t)=Ae－αtε(t)

(α>0)

(7-43)

根据傅里叶变换定义，有

(7-44)其振幅频谱为

(7-45)

其相位频谱为

(7-46)

振幅频谱|F(ω)|－ω和相位频谱θ(ω)－ω分别如图7-13(b)、(c)所示。图7-13单边指数信号及其振幅频谱和相位频谱(a)单边指数信号；(b)振幅频谱；(c)相位频谱

3.单位冲激信号δ(t)

根据傅里叶变换的定义，并利用冲激函数的抽样性质，可以得到

(7-47)

单位冲激函数的频谱是常数1，如图7-14所示。在时域中变化异常剧烈的冲激信号包含振幅相同的所有频率分量，即其频谱密度在整个频率范围内是均匀分布的。这样的频谱常称为“均匀频谱”或“白色频谱”。图7-14单位冲激信号及其振幅频谱(a)单位冲激信号；(b)振幅频谱

4.单位符号函数sgn(t)

单位符号函数也称正负号函数，记为sgn(t)，如图7-15(a)所示，其表达式为

(7-48)

sgn(t)不满足绝对可积条件，不能用式(7-25)直接求得其傅里叶变换。可以把sgn(t)看成是两个单边指数函数的和且令α趋于零的极限，即则

(7-49)

其频谱图形如图7-15(b)、(c)所示。图7-15单位符号函数及其频谱(a)单位符号函数；(b)振幅频谱；(c)相位频谱

5.单位直流信号

单位直流信号也不满足绝对可积条件，这时可用反变换的定义式来求得其傅里叶变换。

由δ(ω)的反变换定义，再利用冲激函数的抽样性质，可得

这说明恒定的信号的频谱是δ(ω)，因而

(7-50)

单位直流信号及其振幅频谱如图7-16所示。图7-16单位直流信号及其振幅频谱(a)单位直流信号；(b)振幅频谱

6.单位阶跃信号ε(t)

单位阶跃信号也不满足绝对可积条件，现将ε(t)写为

因而

(7-51)即

(7-52)注意，单位阶跃信号ε(t)并不是一个“真正”的直流信号，它与直流信号f(t)=1有区别。一个直流信号的傅里叶变换是在ω=0处的一个冲激。单位阶跃信号ε(t)由于在t=0处有一个不连续的跃变，因此，其傅里叶变换在ω=0处出现冲激的基础上加上项。

单位阶跃信号及其频谱如图7-17所示。图7-17单位阶跃信号及其频谱(a)单位阶跃信号；(b)振幅频谱；(c)相位频谱

7.虚指数信号

虚指数信号的傅里叶变换为

对照单位直流信号的傅里叶变换有

(7-53a)

这一结果表明，虚指数信号的频谱是在ω=ω0处出现的强度为2π的冲激，如图7-18所示。同理可得

(7-53b)图7-18虚指数信号的频谱

8.正弦信号sinω0t和余弦信号cosω0t

根据虚指数信号的傅里叶变换式(7-53)和欧拉公式，可方便地得到它们的频谱为

(7-54)

(7-55)

它们的频谱如图7-19所示，由ω0及－ω0处两个冲激所组成。图7-19余弦与正弦信号及其振幅频谱(a)余弦信号；(b)余弦信号振幅频谱；(c)正弦信号；(d)正弦信号振幅频谱

9.周期信号的频谱密度

利用式(7-53)可以得到周期信号fT(t)的频谱密度的表达式。

因为周期信号fT(t)的傅里叶级数为

则其频谱密度函数为

(7-56)式(7-56)表明，周期信号的频谱密度是一系列相距为ω0的冲激函数，每个冲激函数的强度等于相应傅里叶级数的复系数乘以2π。例如，单位冲激系列，在例7-4中已经得到其傅里叶复系数Fn=1/T，则由式(7-56)得其傅里叶变换为该结果表明，在时域中以T为周期的单位冲激系列，其傅里叶变换(频谱密度)也是一个冲激系列，其频谱间隔，冲激强度为ω0。图7-20给出了单位冲激系列及其傅里叶变换的图形。

除了上述典型信号外，还有一些常用信号，它们的傅里叶变换都列于表7-3中，以供查阅。图7-20单位冲激系列及其傅里叶变换的图形表7-3典型信号的傅里叶变换

续表一

续表二7.5傅里叶变换的性质

信号可以有时域和频域两种描述方法，当信号在一个域里有所变化时，在另一个域里必然要发生相应的变化，这种相应变化的规律称为变换性质。傅里叶变换建立了信号的时域和频域之间的对应关系，傅里叶变换的性质揭示了信号的时域特性与频域特性之间的内在联系。当在某一个域中分析发生困难时，利用傅里叶变换性质可以将它转换到另一个域中进行。利用傅里叶变换性质可方便地求取傅里叶正、反变换，避免直接用傅里叶变换定义公式求解时所要遇到的繁杂的积分运算。

1.线性

若f1(t)F1(ω)，f2(t)F2(ω)，则对于任意常数a1和a2，有

a1f1(t)+a2f2(t)a1F1(ω)+a2F2(ω)(7-57)

因为傅里叶变换是一种线性的变换，所以从其定义便可直接得出。

2.对称性

若f(t)F(ω)，

则F(t)2πf(－ω)(7-58)

当f(t)为偶函数时，F(t)2πf(ω)。

证明由傅里叶反变换式将变量t更换为－t，得

将t换为ω，x换为t，得到

根据傅里叶正变换的定义式，即得式(7-58)。

傅里叶变换的对称性已经在前面求得的变换对式(7-47)和式(7-50)中得到了验证，即δ(t)1；12πδ(ω)。

例7-6试求取样函数的傅里叶变换。

解直接利用傅里叶变换的定义式求Sa(t)的频谱函数是十分繁琐的，但利用对称性质可以方便地求得。由于门函数的频谱为

令上式中，得由对称性，利用式(7-58)，考虑到门函数是偶函数，有

图7-21画出了这一对称性变换的图形。

可见，若时间信号是矩形脉冲，则频谱为取样函数；若频谱是矩形脉冲，则时间信号为取样函数。除了幅度相差2π倍外，它们具有明显的对称性。图7-21傅里叶变换的对称性

3.尺度变换

尺度变换特性也称比例性。若f(t)F(ω)，则对于非零的实常数a，有

(7-59)

证明若a>0，则令x=at，则dx=adt，代入上式可得

类似地，若a<0，则

把这两种情况合起来，便得式(7-59)。

对于a=－1这种特殊情况，式(7-59)变为

f(－t)F(－ω)(7-60)信号f(at)表示f(t)在时间上压缩了a倍，而信号

则表示F(ω)在频域中扩展了a倍。例如，信号f(t)=sint在0≤t≤2π之间有一个周期的正弦波，如图7-22(a)所示；当

a=3时，则f(3t)=sin3t是把f(t)沿t轴压缩了3倍，在0≤t≤2π之

间有三个周期的正弦波，如图7-22(b)所示；当时，

则是把f(t)沿t轴扩展了2倍，使得在0≤t≤4π之间才有一个周期的正弦波，如图7-22(c)所示。图7-22函数沿t轴的压缩与扩展图7-23表示了两个矩形脉冲及其频谱。从图中可见，f(t)沿时间轴扩展了2倍而成为，表现为脉冲宽度由τ增大为2τ；对应的频谱F(ω)则沿频率轴压缩2倍而成为2F(2ω)，表现为第一个零交点由减小到。图7-23矩形脉冲时域扩展对应于频域压缩因此，比例性说明了信号在时域中的压缩将导致频域中频谱的扩展，反之在时域中的扩展将相应地导致频域中频谱的压缩。这意味着f(t)在时域中越宽，则其频谱愈窄，反之亦然。在通信技术中，为了提高通信速度(每秒钟内所传输的脉冲数)，需要压缩信号的持续时间，从而不得不以展宽信号及通信设备的带宽为代价。因而通信速度与占有频带是一对矛盾，必须统筹考虑。

例7-7试求取双边指数脉冲信号f(t)=Ae－α|t|(α>0)的频谱函数，并画出频谱图。

解双边指数脉冲信号的波形如图7-24(a)所示，可看成为左右两个指数信号的合成，即其中已知因此，利用线性特性及尺度变换的特殊情况公式(7-60)就可得到f(t)的傅里叶变换。

频谱如图7-24(b)所示。图7-24双边指数脉冲信号及其频谱(a)双边指数脉冲信号；(b)频谱

4.时移性

时移性也称延时特性，可表述为：若f(t)F(ω)，且t0为常数，则

(7-61)

证明根据傅里叶变换定义，有

令x=t－t0，则dx=dt，因此该性质表明，信号f(t)在时域延时t0秒，对应于频域乘以因子，即信号时域平移后，并不会改变其频谱的幅度，但是使其相位变化了－ωt0。

如果信号既有时移又有尺度变换，则有：若f(t)F(ω)，且a≠0和t0为常数，则

(7-62)

例7-8试求图7-25(a)所示三个矩形脉冲信号f(t)的频谱函数F(ω)。

解令f0(t)表示单个矩形脉冲信号，则

f(t)=f0(t+T)+f0(t)+f0(t－T)

由式(7-40)可知，矩形脉冲f0(t)的频谱F0(ω)为根据时移性可得f(t)的频谱F(ω)为

频谱如图7-25(b)所示。图7-25三个矩形脉冲信号及其频谱(a)三个矩形脉冲信号；(b)频谱

5.频移性

频移性也称调制定理，可表述为：若f(t)F(ω)，则

(7-63)

证明根据傅里叶变换的定义，有

即上述性质表明，信号f(t)在时域中乘以，对应于F(ω)在频域中移动ω0。

在通信技术中，经常需要搬移频谱来达到频分多路复用的目的，通常将信号f(t)乘以正弦或余弦信号来实现。这里信号f(t)称为调制信号，正弦或余弦信号称为载波，f(t)与载波信号的乘积称为已调制信号。已调制信号的幅度随调制信号作线性变化，这一过程称为幅度调制或振幅调制。例如，信号f(t)与余弦信号cosω0t相乘，得到已调信号f(t)cosω0t，应用频移性可以得到其频谱。因为

由式(7-63)可得

(7-64)类似地可得

(7-65)

由式(7-64)和式(7-65)可以看出，时域信号f(t)乘以cosω0t或sinω0t，对应于把频谱一分为二(其幅度均匀缩小一半)后，沿频率轴向左、向右各平移ω0。

例7-9已知矩形调幅信号f(t)=Agτ(t)cosω0t。试求其频谱函数F(ω)，并画出频谱图。

解调制信号Agτ(t)即为如图7-26(a)所示的矩形脉冲，载波cosω0t是高频等幅波，如图7-26(b)所示，两者相乘得到矩形调幅信号f(t)如图7-26(c)所示。由方波的频谱公式(7-40)，即再利用频移公式(7-64)，得到f(t)的频谱F(ω)为

调制信号Agτ(t)和已调信号f(t)的频谱分别如图7-26(d)和(f)所示。图7-26调制信号及其频谱

6.卷积定理

卷积定理可分为时域卷积定理和频域卷积定理。若f1(t)F1(ω)，f2(t)F2(ω)，则时域卷积为

f1(t)*f2(t)F1(ω)·F2(ω)(7-66)

而频域卷积为

(7-67)

卷积定理表明，时域中两函数的卷积对应于频域中两频谱的乘积，而时域中两函数的乘积对应于频域中两频谱的卷积。

证明根据定义

由时移性可得将它代入上式，可得

在电路分析中，时域卷积定理常用于简化求解零状态响应，即

yzs(t)=x(t)*h(t)Yzs(ω)=X(ω)·H(ω)(7-68)

频域卷积可用相似的方法得到证明，此处从略。利用频域卷积定理可以方便地获得频移特性，即

例7-10已知f1(t)=ε(t+0.5)-ε(t－0.5)。试求f(t)=f1(t)*f1(t)的频谱函数F(ω)。

解由两个完全相同的门函数的卷积得到三角脉冲。这里的门函数的宽度和幅度均为1，则g1(t)*g1(t)=Δ2(t)，如图7-27(a)所示。

由矩形脉冲的频谱公式(7-40)可知，当A=1，τ=1时，得到图7-27时域卷积定理利用时域卷积定理，可以得到三角形脉冲的频谱函数，为

其频谱如图7-27(b)所示。

7.时域微分和积分

若f(t)F(ω)，则f(t)时域微分后的傅里叶变换为

(7-69)

f(t)时域积分后的傅里叶变换为

(7-70)

证明由傅里叶反变换定义，有

两边对t求导数，得即得时域微分性质

重复这一性质可得

(7-71)时域积分性质可如下证明：

因为

由此得到再利用时域卷积性质

式中如果f(t)的积分为零(直流分量为0)，则F(0)=0，此时

(7-72)

从上述时域微分和积分性质可以看出，当已知f(t)的频谱为F(ω)时，若要求得或的频谱，只需将F(ω)乘上相应的jω或除以jω即可。

例7-11利用时域微分性质，求图7-28(a)所示三角脉冲信号Δτ(t)的傅里叶变换。

解为了求得三角脉冲信号的傅里叶变换，可以先将其求两次导数，如图7-28(b)和(c)所示。图7-28三角脉冲信号及其频谱(a)三角脉冲信号；(b)一次求导；(c)两次求导；(d)频谱在第一次求导数时，为两个门函数，左边的正跃变量为，右边的跃变量为；在求第二次导数时，在

处得到两个冲激函数，其强度均为，而在t=0处，得到的冲激函数的强度为，即由于

又由时域微分性质可知因此

F(ω)的频谱图如图7-28(d)所示。

8.频域微分和积分

若f(t)F(ω)，则频域微分性质为

(7-73)

而频域积分性质为

(7-74)

证明因为

两边对ω求导数，得即得频域微分性质

写成实用形式为

(7-75)同理可得

(7-76)

写成实用形式为

(7-77)

频域积分性可用频域卷积定理证明，其方法与时域积分性类似，这里从略。

例7-12试求指数脉冲信号f(t)=Ate－αtε(t)的频谱函数。

解因为

利用频域微分性，可得

例7-13已知f(t)F(ω)。试求(t－t0)f(t－t0)的频谱函数。

解方法一：先应用频域微分性，得到

再由时移性可得

方法二：先应用时移性质，得到再应用线性性质和频域微分性质，可得

表7-4中列出了傅里叶变换的一些重要性质，以供参阅。表7-4傅里叶变换的一些重要性质

续表7.6线性电路的频域分析

以信号的频谱分析为基础，在频域中求取任意信号作用于线性电路的零状态响应的方法，称为线性电路的频域分析法或傅里叶变换分析法。这一方法实际上是正弦稳态相量分析法的推广。

7.6.1傅里叶变换分析法

在4.9节中已经知道，线性电路的零状态响应y(t)等于电路的冲激响应h(t)与输入信号x(t)的卷积，即

y(t)=h(t)*x(t)对上式两边取傅里叶变换，令x(t)X(ω)，h(t)H(ω)，y(t)Y(ω)，并利用时域卷积性质，可得

Y(ω)=H(ω)·X(ω)(7-78)

所以

(7-79)

H(ω)定义为电路零状态响应与激励的频谱之比，称为该电路的网络函数(系统函数)或频响函数。冲激响应h(t)和网络函数H(ω)分别从时域和频域两个侧面描述了同一个网络的特性。

卷积分析(时域分析)与傅里叶分析(频域分析)的关系如图7-29所示。图7-29时域和频域分析示意图由式(7-78)可以将频域分析法归纳为下列几个步骤：

(1)将输入激励x(t)进行傅里叶变换，得到频域函数X(ω)；

(2)确定网络函数H(ω)；

(3)求出响应的傅里叶变换Y(ω)=H(ω)·X(ω)；

(4)再将Y(ω)从频域反变换到时域，从而求得零状态响应的时间函数y(t)。在频域分析法中，网络函数H(ω)起重要作用，它与电路本身的特性有关，而与激励无关。在已知冲激响应h(t)时，通过傅里叶变换即可得到H(ω)；在给定电路时，先将激励或响应电压、电流分别用频域函数U(ω)、I(ω)表示，电阻、电感、电容用阻抗R、jωL、表示，作出电路的频域模型，然后求出H(ω)。

例7-14

RLC串联电路如图7-30(a)所示，已知R=6Ω，L=0.2H，C=25mF，激励为uS(t)，响应为i(t)。

(1)试求网络函数。

(2)当uS(t)=2ε(t)时，试求响应i(t)。图7-30例7-14图(a)电路的时域模型；(b)电路的频域模型

解

(1)作出图7-30(a)所示电路的频域模型如图7-30(b)所示。其中电感的阻抗为jωL=0.2jω，电容的阻抗为。则

所以，系统函数为

(2)

输出信号的傅里叶变换为由冲激函数的加权性f(t)δ(t)=f(0)δ(t)，得

因此反变换得到零状态响应为

y(t)=［e－10t－e－20t］ε(t)

从本例可以看出，用频域等效电路进行计算与第5章中的相量分析计算类似，所不同的仅仅是ω是一个变量，电源应取其傅里叶变换而已。当然，所求得的响应也是电压或电流的傅里叶变换。7.6.2网络的频率特性

网络函数H(ω)反映了网络本身的特性，它仅由网络的结构和参数决定，而与外激励无关。

H(ω)一般是ω的复函数，可以写成

(7-80)

其中，|H(ω)|随ω的变化特性称为网络的幅频特性；θ(ω)随ω的变化特性称为相频特性。幅频特性和相频特性合称为网络的频率特性。

例7-15试画出图7-31(a)所示RC电路的频率特性。已知激励为uS(t)，响应为uC(t)。

解作出图7-31(a)所示电路的频域模型如图7-31(b)所示，则

(7-81)幅频特性为

相频特性为

特性曲线分别如图7-31(c)和(d)所示。图7-31

RC电路及其频率特性(a)时域模型；(b)频域模型；(c)幅频特性；(d)相频特性从图中可以看出，此RC电路的幅频特性随ω增大而单调地减小到零。该电路对直流和低频信号容易通过，所以该RC电路被称为低通网络，又称低通滤波器。当ω=ωC=1/τ时，|H(ω)|等于其最大值的，通常把ωC称为截止角频率，0~ωC的频率范围称为低通滤波器的通频带。

根据网络的滤波特性的不同，除了低通滤波器外，还有高通、带通、带阻和全通滤波器。

7.7电路无失真传输信号的条件

对于一个具有网络函数为H(ω)的电路，如果X(ω)和Y(ω)分别表示输入信号和输出信号的频谱，则

Y(ω)=H(ω)·X(ω)(7-82)

式(7-82)清楚地说明，从信号分析的角度看，电路是一个信号的处理器或加工装置。在时域上，它将输入信号x(t)加工成输出信号y(t)；在频域上，它将输入信号的频谱X(ω)处理成输出频谱Y(ω)。这种处理功能直接取决于电路本身的特点，即取决于网络函数H(ω)。因此，一般说来，输入信号经过一个电路(信道或某种滤波器)后，输出信号与输入信号的波形并不相同，使输出信号产生失真。在某些情况下，并不希望信号通过电路后产生失真，例如放大器对信号的放大或衰减。那么，电路对信号无失真传输时，应该具有怎样的时域和频域特性呢？

从时域来看，无失真传输是指输出信号和输入信号相比，只有幅度大小和出现时间先后的不同，而波形形状保持不变。于是要达到无失真传输，输入信号x(t)和输出信号y(t)必须满足下列条件：

y(t)=kx(t－td)(7-83)

式中，k是一个常数；td是信号通过电路后的延迟时间。电路无失真传输的时域特性如图7-32所示。图7-32电路无失真传输的时域特性对式(7-83)两边进行傅里叶变换，根据时移性，有

(7-84)

故有

(7-85)

由此得到

(7-86)

(7-87)

这说明，对于信号的无失真传输，电路应满足两个条件：①网络函数的幅频特性|H(ω)|在整个频率范围内应为常数k，即网络的通频带应为无穷大；②网络的相频特性θ(ω)在整个频率范围内应与角频率ω成正比。电路无失真传输的频域特性如图7-33所示。图7-33电路无失真传输的频域特性由于电路的冲激响应h(t)与网络函数H(ω)是一对傅里叶变换对，故对式(7-85)取傅里叶反变换，得

h(t)=kδ(t－td)

(7-88)

式(7-88)表明，无失真传输电路的冲激响应是延时了td时刻的冲激函数，其强度为k。

实际电路的幅频特性不可能为常数，相频特性也不可能是ω的线性函数。式(7-86)和式(7-87)只是不失真传输