分类31 点直线与圆的位置关系(含解析)

31点直线与圆的位置关系（含解析）

一、选择题

1.（2020•内蒙古通辽，T7,3分）如图，PA,P8分别与O相切于4,8两点，NP=72。,

则NC=（）

A.108°B.72°C.54°D.36°

【考点】MC：切线的性质；M5：圆周角定理

【专题】67：推理能力：55A：与圆有关的位置关系

【分析】连接OA、OB,根据切线的性质得到NPAO=90。，/尸8。=90。，求出NAOB,

根据圆周角定理解答即可.

【解答】解：连接。4、OB,

PA.P8分别为。的切线，

..OALPA,OBLPB,

・•.ZPAO=90°,NPBO=90°,

ZAOB=360°-ZPAO-Z.PBO-ZP=360°-90°-90°-72°=108°,

由圆周角定理得，ZC=-ZAO«=54°,

2

故选：C.

【点评】本题考查的是切线的性质、圆周角定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解

题的关键.

2.（2020•山东济宁，T10,3分）如图，在AABC中，点。为AABC的内心，2A=60°,CD=2,

BD=4.则ADBC的面积是（）

D

B

A.46B.26C.2D.4

【考点】KF：角平分线的性质；MI：三角形的内切圆与内心

【专题】67：推理能力；559：圆的有关概念及性质；66：运算能力

【分析】过点8作3H_LCO于点H.由点。为AABC的内心，NA=60。，得N30C=120。,

则/5。〃=60。，由%>=4,求得BH,根据三角形的面积公式即可得到结论.

【解答】解：过点8作B〃_LCO于点

点。为A45C的内心.NA=60>.

.,./OBC+N/)CB='(ZABC+4CB)=L(1800-ZA),

22

.•.ZfiDC=90°+-ZA=90o+-x60o=120°»

22

则4BDH=60°,

BD=4,

:.DH=2,BH=26

CD=2t

AOBC的面积BH=-x2x2>j3=2yl3,

22

故选：B.

【点评】本题考查了三角形内心的相关计算，熟练运用含30。角的直角三角形的性质是解题

的关键.

1.(2020哈尔滨，T5,3分)如图，AB为。的切线，点A为切点，OB交。于点C,

点。在。上，连接4)、CD,OA,若NAOC=35。，则NA8O的度数为()

A.25°B.20°C.30°D,35°

【考点】MC：切线的性质；M5：圆周角定理

【专题】554：与圆有关的位置关系；67：推理能力

【分析】根据切线的性质和圆周角定理即可得到结论.

【解答】解：回为圆。的切线，

AB1OA,即N04B=90°,

ZADC=35°,

/.Z.AOB=2ZADC=70°,

NA3O=90。-70。=20°.

故选：B.

【点评】此题考查了切线的性质，以及圆周角定理，熟练掌握切线的性质是解本题的关键.

1.（2020湖南湘西州，T8,4分）如图，PA./曲为圆。的切线，切点分别为A、B,PO

交于点C,PO的延长线交圆O于点£>.下列结论不一定成立的是（）

A.MP4为等腰三角形

B.A3与产力相互垂直平分

C.点A、8都在以产。为直径的圆上

D.PC为MQA的边上的中线

【考点】KI：等腰三角形的判定；KG：线段垂直平分线的性质；MC：切线的性质

【专题】55C：与圆有关的计算；67：推理能力

【分析】根据切线的性质即可求出答案.

【解答】解：（A）PA.PB为圆。的切线，

:.PA=PB,

.•.MP4是等腰三角形，故4正确.

(B)由圆的对称性可知：科_1_也＞,但不一定平分,

故3不一定正确.

(C)连接。8、0A,

PA.为圆。的切线，

/OBP=ZOAP=90°,

.•.点A、B、尸在以OP为直径的圆上，故C正确.

(D)是等腰三角形，PD±AB,

・•.PC为MP4的边力5上的中线，故。正确.

故选：B.

【点评】本题考查切线的性质，解题的关键是熟练运用切线的性质，本题属于中等题型.

1.(2020宁夏，T6,3分)如图，等腰直角三角形ABC中，ZC=90\AC=应,以点C

为圆心画弧与斜边A8相切于点。，交AC于点E,交3C于点尸，则图中阴影部分的面积

是()

A.1--B.-C.2--D.1+-

4444

【考点】MC：切线的性质；KW：等腰直角三角形；MO：扇形面积的计算

【专题】55C：与圆有关的计算；64：几何直观

【分析】连接CO,利用切线的性质和等腰直角三角形的性质求出CO的值，再分别计算出

扇形EC/的面积和等腰三角形4cB的面积，用三角形的面积减去扇形的面积即可得到阴影

部分的面积.

【解答】解：连接C。，如图,

是圆C的切线,

CD1AB,

M5C是等腰直角三角形,

・•.AB=®AC=0乂屈=2,

:.CD=-AB=1,

2

图中阴影部分的面积=S”8c-S班形圻

故选：A.

【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径.若出现圆的切线，必连

过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系.也考查了扇形的面积和等腰直角三角形的性质.

2.1.（3分）（2020•通辽）如图，PA,PB分别与。相切于4,8两点，/尸=72。，贝ijNC=（

C.54°D.36°

【考点】MC：切线的性质；M5：圆周角定理

【专题】67：推理能力；55A：与圆有关的位置关系

【分析】连接OA、OB,根据切线的性质得到NPAO=90。，NP8O=90。，求出NAOB,

根据圆周角定理解答即可.

【解答】解：连接。A、0B,

PA,/归分别为。的切线，

..OALPA,OBLPB,

Z.PAO=90°,/PBO=90°,

/.ZAOB=360°-/PAO-NPBO-ZP=360°-90°-90°-72°=108°,

由圆周角定理得，ZC=-ZAOB=54°,

2

故选：C.

【点评】本题考查的是切线的性质、圆周角定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解

题的关键.

3.1.（2020湖南永州，T7,4分）如图，已知R4,PB是O的两条切线，A,B为切点,

线段。尸交。于点M.给出下列四种说法:

@OPl.ABx

③四边形O4P8有外接圆；

④“是AAOP外接圆的圆心.

其中正确说法的个数是（）

D.4

【考点】MC：切线的性质；M4：三角形的外接圆与外心

【专题】30：圆的有关概念及性质31：点直线与圆的位置关系；

【分析】利用切线长定理对①进行判断；利用级段的垂直平分线定理的逆定理对②进行判断：

利用切线的性质和圆周角定理可对③进行判断；由于只有当NAPO=30。时，。。=2。4,此

时PM=OM,则可对④进行判断.

【解答】解：PA,PB是。的两条切线，A,B为切点,

:.PA=PB,所以①正确；

OA=OB,PA=PB，

・•.O尸垂直平分A8,所以②正确；

PA,PB是。的两条切线，A,3为切点，

OAJ.PA,OBLPB,

ZOAP=Z.OBP=90°,

.•.点A、8在以OP为直径的圆上，

二.四边形0Ap区有外接圆，所以③正确；

只有当N4PO=30。时，OP=2OA,此时PM=OW,

.•.M是不一定为AAOP外接圆的圆心，所以④错误.

故选：C.

【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径.若出现圆的切线，必连

过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系.也考查了切线长定理

4.1.（2020•甘肃天水T,5,4分）如图所示，PA.尸8分别与「。相切于A、B两点，

点C为。上一点，连接AC、BC,若NP=70。，则乙4CB的度数为（）

B

A.50°B.55°C.60。D.65°

【考点】MC,切线的性质；A/5：圆周角定理

【专题】64：几何直观；55A：与圆有关的位置关系

【分析】连接OA、0B,如图，根据切线的性质得OA_LPA,OB1PB,则利用四边形内

角和计算出NA08=110%然后根据圆周角定理得到ZACB的度数.

【解答】解：连接。4、OB,如图，

PA.P8分别与O相切于A、B两点,

OALPA,OB工PB,

NOAP=NO3P=90°,

N4OB+NP=180°,

ZP=70°,

NAO8=U0°,

/.^ACB=-ZAOB=55°.

2

【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径；若出现圆的切线，必连

过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系.也考查了圆心角定理.

1.（2020南京,T6,2分）如图，在平面直角坐标系中，点尸在第一象限，P与x轴、y轴

都相切，且经过矩形AO8C的顶点C,与BC相交于点O.若P的半径为5,点4的坐标

是（0,8）.则点。的坐标是（）

【考点】LB：矩形的性质；MC：切线的性质；D5：坐标与图形性质

【专题】67：推理能力；556：矩形菱形正方形；55A：与圆有关的位置关系；55C：与

圆有关的计算；531：平面直角坐标系

【分析】设。与“、y轴相切的切点分别是尸、E点,连接尸E、PF、PD,延长律与

CD交于点G,证明四边形尸尸为正方形，求得CG,再根据垂径定理求得CO,进而得

PG、DB,便可得。点坐标.

【解答】解：设。与x、y轴相切的切点分别是尸、E点,连接PE、PF、PD,延长EP

与CD交于点G,

则轴，尸产_Lx轴，

Z£OF=90°,

二.四边形PEOF是矩形，

PE=PF,PEHOF,

二.四边形PEO厂为正方形,

;.OE=PF=PE=OF=5,

A(0,8),

/.04=8,

AE=8-5=3,

四边形0AC8为矩形，

..BC=OA=S,BC//OA,ACHOB,

:.EGMAC,

：.四边形AEGC为平行四边形，四边形OEGB为平行四边形，

CG=AE=3,EG=OB,

PELAO,AO//CB,

..PG±CD,

:.CD=2CG=6,

DB=BC—CD=8-6=2,

PD=5,DG=CG=3,

..PG=4,

:.OB=EG=5+4=9,

/.D(9,2).

故选：A.

【点评】本题主要考查了正方形的性质，矩形的性质与判定，圆的切线的性质，垂径定理,

勾股定理，关键是求出CG的长度.

5.1.（2020重庆AT5,4分）如图，A3是。的切线，A为切点，连接OA,。8,若N6=20。,

则N4O8的度数为（）

A.40°B.50°C.60°D.70°

【考点】MC：切线的性质

【专题】67：推理能力；55A：与圆有关的位置关系

【分析】根据切线的性质和三角形的内角和即可得到结论.

【解答】解：是0的切线，A为切点，

ZA=90°,

4B=20°,

.•.ZAOB=90°-20°=70°,

故选：D.

【点评】本题考查了切线的性质，三角形的内角和，熟练掌握切线的性质是解题的关键.

6.11.（3分）（2020•雅安）如图，A4BC内接于圆，乙4。8=90。，过点。的切线交A8的

延长线于点P，NP=28。.则NC4B=（）

c

A.62°B.31。C.28°D.56°

【考点】A/C：切线的性质；MA：三角形的外接圆与外心

【专题】554：与圆有关的位置关系；64：几何直观

【分析】连接0C，如图，根据切线的性质得到ZPCO=90°,则利用互余计算出ZPOC=62°,

然后根据等腰三角形的性质和三角形外角性质计算NA的度数.

【解答】解：连接OC,如图，

PC为切线，

0cPC,

...ZPCO=90°,

/.ZPOC=90°-ZP=90°-28°=62°,

OA=OC,

N4=ZOCA,

而ZPOC=NA+Z.OCA,

/.ZA=-x62°=31°.

【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径.若出现圆的切线，必连

过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系.

7.1.(2020•泰安12.4分)如图，点A,8的坐标分别为A(2,0),5(0,2),点C为坐标平

面内一点，5C=1,点M为线段AC的中点，连接OM,则OM的最大值为()

A.&+1B.>/2+-C.2&+1D.2V2--

22

【考点】M8：点与圆的位置关系；KX：三角形中位线定理；D5：坐标与图形性质

【专题】552：三角形；69：应用意识

【分析】根据同圆的半径相等可知：点C在半径为1的B上，通过画图可知，C在8D与

圆A的交点时,OM最小，在QA的延长线卜时,OM最大，根据二角形的中位线定理可得

结论.

【解答】解：如图，

点C为坐标平面内一点，8c=1,

在B的圆上，且半径为1,

取00=04=2,连接CO,

AM=CM,OD=OAf

：.OM是A4CO的中位线,

:.OM=-CD,

2

当。”最大时，即CO最大，而。，B,。三点共线时，当。在。8的延长线上时，0M最

大，

OB=OD=2tN8OO=90°,

:.BD=2&，

:.CD=2五+

:.OM=-CD=yf2+-,即OM的最大值为应+,；

222

故选：B.

【点评】本题考查了坐标和图形的性质，三角形的中位线定理等知识，确定OM为最大值

是点C的位置是关键，也是难点.

8.L（2020浙江湖州，T9,3分）如图，已知07是RtAABO斜边A8上的高线，40=80.以

。为圆心，。丁为半径的圆交0A于点C,过点C作。的切线C。，交AB于点、D.则下

列结论中错误的是（）

A.DC=DTB.AD=41DTC.BD=BOD.2OC=5AC

【考点】KD：全等三角形的判定与性质；MCz切线的性质；KW：等腰直角三角形

【专题】69：应用意识；559：圆的有关概念及性质

【分析】如图，连接OO.想办法证明选项A,B,C正确即可解决问题.

DC是O的切线，

DC=DT,故选项A正确,

OA=OB,408=90°,

/.ZA=ZB=45°,

QC是切线，

CDJ.OC,

ZACD=90°,

.\ZA=ZADC=45O,

;.AC=CD=DT,

AD=42CD=41DT,故选项B正确，

00=00,OC=OTfDC=DT,

bDOC"DOT(SSS),

/DOC=/DOT,

OA=OB.OTLAB,NAOB=900・

ZAOT=^BOT=45°,

..4DOT=ZDOC=22.5°,

/BOD=NODB=675。,

.BO=BD,故选项C正确，

故选：D.

【点评】本题考查切线的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和

性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型.

2.（2020浙江金华，T8,3分）如图，。是等边凶8c的内切圆，分别切AB,BC,AC

于点E,F,D,P是。尸上一点，则NEPF的度数是（)

【考点】KK：等边三角形的性质；MC：切线的性质；Ml：三角形的内切圆与内心；M5：

圆周角定理

【专题】69：应用意识；55C：与圆有关的计算

【分析】如图，连接。“，OF.求出/E。"的度数即可解决问题.

【解答】解：如图，连接。E,OF.

。是A48C的内切圆，E,尸是切点，

..OE1AB,OFIBCf

NOEB=NOFB=90°,

△ABC是等边三角形，

NB=60°,

二./EO尸=120°,

/.NEPF=L/EOF=60。,

2

故选：B.

【点评】本题考查三角形的内切圆与内心，切线的性质，圆周角定理等知识，解题的关键是

熟练掌握基本知识，属于中考常考题型.

3.（2020浙江嘉兴，T9,3分）如图，在等腰&48C中，AB=AC=2x/5,BC=8,按下列

步骤作图：

①以点A为圆心，适当的长度为半径作弧，分别交AB,AC于点E,F,再分别以点E,

尸为圆心，大于尸的长为半径作弧相交于点”，作射线A"；

2

②分别以点A,8为圆心，大于的长为半径作弧相交于点M,N,作直线MN,交

2

射线A”于点O；

③以点。为圆心，线段04长为半径作圆.

则。的半径为（）

A.2x/5B.10C.4D.5

【考点】N3：作图-复杂作图；M2：垂径定理；KH：等腰三角形的性质

【专题】13：作图题；69：应用意识

【分析】如图，设04交BC于7\解直角三角形求出47，再在RiAOCT中，利用勾股定理

构建方程即可解决问题.

【解答】解：如图，设。A交8c于T.

AB=AC=254。平分N8AC,

:.AO±BC,BT=TC=4,

:.AT=y/AC2-CT2=7(2X/5)2-42=2,

在RtAOCT中,则有/=(-2)2+42,

解得，=5,

故选：£>.

【点评】本题考查作图-复杂作图，等腰三角形的性质，垂径定理等知识，解题的关键是理

解题意，灵活运用所学知识解决问题.

4

9.1.（2020广州，T7,3分）如图,RtAABC中,ZC=90°,48=5,cosA=-,以点B

5

为圆心，r为半径作8,当r=3时，6与4C的位置关系是（）

A.相离B.相切C.相交D.无法确定

【考点】MB：直线与圆的位置关系；T7：解直角三角形

【专题】67：推理能力；66：运算能力；55/1：与圆有关的位置关系

【分析】根据三角函数的定义得到AC，根据勾股定理求得8C,和8的半径比较即可.

4

【解答】解：RtAABC中，ZC=90°,AB=5,cosA=-,

5

ACAC4

--------------»

AB5----5

1.AC=4,

:.BC=>jAB2-AC2=3,

r=3,

.­.B与AC的位置关系是相切，

故选：B.

【点评】本题考查了直线与圆的位置关系的应用，注意：直线和圆有三种位置关系：相切、

相交、相离.

1.（2020呼和浩特，T16,3分）已知A8为O的直径且长为2r,C为O上异于A,B

的点，若与过点C的。的切线互相垂直，垂足为①若等腰二角形AOC的顶角为

120度，贝!）CO='r,②若&4OC为正三角形，贝iJCO=^r,③若等腰三角形AOC的对称

22

轴经过点。，则CD=r,④无论点。在何处，将AAOC沿4c折叠，点。一定落在直径AB

上，其中正确结论的序号为②③④.

【考点】M2：垂径定理：KH：等腰三角形的性质；MC,切线的性质；KK：等边三角

形的性质；KO：含30度角的直角三角形；P2：轴对称的性质；PB：翻折变换（折叠问

题）；M5：圆周角定理

【专题】67：推理能力；14：证明题；17：推理填空题

【分析】①过点。作OE_LAC,垂足为E,求出NC4D=3O。，得到CO=」AC,再说明

2

OE=-r,利用NOCAwNCOE,得到CEwOE,即可判断；②过点A作AE_LOC,垂足

2

为E,证明四边形AECO为矩形，即可判断；③画出图形，证明四边形AOCO为矩形，即

可判断；④过点C作CE_LAO,垂足为E,证明AADC=AAEC,从而说明AC垂直平分DE,

得到点。和点E关于AC对称，也可判断.

【解答】解：①Z4OC=120°,

ZCAO=ZACO=300,

和圆。相切，ADLCDt

ZOCD=90°,AD//CO,

.-.ZACD=60°,NOW=30°,

:.CD=-AC,过点。作OE_LAC,垂足为E,

2

则CE=AE,AC=CO,

2

^OE=-OC=-r,乙OCA手乙COE,CE^OE,

②若A4OC为正三角形，

ZAOC=ZOAC=60°,AC=OC=OA=rt

Z.OAE=30°,

:.OE=-AO,AE=—AO=—r,

222

过点A作A£_LOC,垂足为E,

四边形AEC。为矩形，

:.CD=AE=—r故②正确；

2t

D

③若等腰三角形AO。的对称轴经过点O,如图,

..AD=CD,而NA。。=90°,

ZDAC=ZDCA=45°,又NOCD=90。，

:.ZACO=ZCAO=45°

ZDAO=90°,

四边形AOCO为矩形，

.CD=AO=rt故③正确：

④过点C作CE_LAO，垂足为E，

OCLCDyAD±CD,

・•.OC//AD，

ZCAD=ZACO，

OC=OAt

Z.AOC=ZCAO,

/.ZCAD=ZCAO，

CD=CE，

在AAOC和zUEC中,

ZD=ZAEC,CD=CE,AC=AC,

AAOC=AAEC(HL),

:.AD=AE,

二.AC垂直平分OE,则点0和点E关于AC对称,

故正确的序号为：②③

故答案为：②③④.

【点评】本题考查了折叠的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，

切线的性质，垂径定理，知识点较多，多为一些性质定理，解题时要逐一分析，利用性质定

理进行推导.

二、填空题

1.（2020•枣庄，T15,4分）如图，是O的直径，P4切。于点4,线段产。交O

于点C.连接BC,若NP=36。，贝1］々=_27。_.

【考点】M5：圆周角定理；MC：切线的性质

【专题】554：与圆有关的位置关系；67：推理能力

【分析】直接利用切线的性质得出NOAP=90。,再利用三角形内角和定理得出乙40尸=54。,

结合圆周角定理得出答案.

【解答】解：E4切。于点A,

ZOAP=90°，

ZP=36°,

・•.ZAOP=54°,

/.ZB=-ZAOP=27°.

2

故答案为：27。.

【点评】此题主要考查了切线的性质以及圆周角定理，正确得出NAOP的度数是解题关键.

2.（2020•眉山，T18,4分）如图，点尸为。外一点，过点P作0的切线BA、PB,点

A、B为切点，连接AO并延长交尸8的延长线于点C,过点。作CO_LPO,交PO的延长

线于点£>.已知尸A=6,AC=8,则CD的长为_2石

【考点】MC：切线的性质

【专题】554：与圆有关的位置关系；64：几何直观

（分析］连接08,如图，利用切线长定理得到P8=PA=6,利用切线的性质得到OBA.PC,

OA_LPA,再利用勾股定理计算出PC=10,则BC=4,设。的半径为r,则。0,

OC=8-r,在RlABCO中利用勾股定理可求出r=3,所以04=3,OC=5,然后证明

△CODsbPOA,再利用相似比求出CO.

【解答】解：连接。8,如图，

PA.PB为。的切线，

：.PB=PA=6,OBA.PC,O41PA,

/./CAP=Z.CBO=90°,

在RtAAPC中，PC=d6+G=10,

BC=PC-PB=4,

设。的半径为r,贝ljQA=OB=r,OC=8-r,

在RtABCO中，42+r=（8-r）2,解得r=3,

OA—3，OC—5,

在RtAOPA中，OP==3x[5f

CD上PO,

ZCDO=90°,

ZCOD=ZPOA,ZCDO=NPAO,

..ACODsbPOA,

:.CD:PA=OC:OP,即CO:6=5:3^,

:.CD=2后.

故答案为2&.

【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径.若出现圆的切线，必连

过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系.也考查了相似三角形的判定与性质.

3.（2020湖北荆州，T13,3分）已知：△ABC,求作：△ABC的外接圆.作法：①分别作

线段8C,AC的垂直平分线Er和MM它们相交于点O；②以点。为圆心，08的长为

半径画圆.如图，。。即为所求，以上作图用到的数学依据有：线段的垂直平分线的

性质.（只需写一条）

【考点】KG：线段垂直平分线的性质；MA：三角形的外接圆与外心；N3：作图一复杂

作图.

【专题】55A：与圆有关的位置关系；64：几何直观.

【分析】利用线段垂直平分线的性质得到04=。。=。8,然后根据点与圆的位置关系可

判断点A、。在。。上.

【解答】解：•・•点O为AC和BC的垂直平分线的交点，

：.OA=OC=OB,

.二。。为△ABC的外接圆.

故答案为：线段的垂直平分线的性质.

【点评】本题考查了作图■复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，

一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法.解决此类题目的关键是熟悉基本几何图

形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作.

1.1.（4分）（2020山东东营，T17,4分）如图，在R3AOB中，08=26，ZA=30°,

。的半径为1,点尸是48边上的动点，过点尸作。的一条切线尸2（其中点。为切点）,

则线段P。长度的最小值为20.

【考点】KO：含30度角的直角三角形；MC：切线的性质

【专题】23：直角三角形与勾股定理：31：点直线与圆的位置关系；67：推理能力

【分析】连接0尸、OQ,作于P,根据切线的性质得到OQ_LPQ,根据勾股定

理得到=产-1,根据垂线段最短得到当OP_L48时，OP最小，根据直角三角形的

性质、勾股定理计算即可.

【解答】解：连接OP、OQ,作于P,

PQ是。的切线，

..OQLPQ,

PQ=ylOF^-OQ1=S产-1,

当OP最小时，线段P。的长度最小，

当OP_L4B时，OP最小，

在R3AOB中，Z4=30°,

OB

:,OA=6，

tanA

在RtAAOP中，NA=30。，

:.OP,=-OA=3,

2

二.线段PQ长度的最小值=也-1=2&,

故答案为：2友.

【点评】本题考查的是切线的性质、勾股定理、直角三角形的性质，掌握圆的切线垂直于经

过切点的半径是解题的关键.

2.1.(2020黑龙江龙东地区，T16,3分如图，AO是&48c的外接圆。的直径，若

ZBAD=40°,则NACB=50°.

【考点】MA：三角形的外接圆与外心

【专题】67：推理能力；559：圆的有关概念及性质

【分析】连接8。，如图，根据圆周角定理即可得到结论.

【解答】解：连接如图，

4)为的外接圆。的直径，

/.ZABD=90°,

/.ND=90°-/BAD=90°-40°=50°,

二.Z.ACB=NO=50°.

故答案为50.

c

D

【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所

对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半.

2.（2020湖北鄂州,T15,3分）如图，半径为2cm的O与边长为2c机的正方形ABCD的边AB

相切于E,点尸为正方形的中心，直线OE过尸点.当正方形ABCO沿直线O尸以每秒

（2-出）cm的速度向左运动1或（11+63）秒时,O与正方形重叠部分的面积为

【考点】MC：切线的性质；MO：扇形面积的计算；LEx正方形的性质

【专题】69：应用意识；25：动点型；55C：与圆有关的计算

【分析】分两种情形：如图1中，当点4,8落在。上时，如图2中，当点C,。落在O

上时，分别求解即可解决问题.

【解答】解：如图1中，当点A,8落在0上时，。与正方形重叠部分的面积为

此时,运动时间f=（2-扬+（2-扬=1（秒）

如图2中，当点C,。落在O二时，。与正方形重叠部分的面积为（2万-6）0〃2

3

图2

此时，运动时间/=[4+2_（2_6）]+（2_百）=（1]+6若）（秒）,

综上所述，满足条件的，的值为1秒或（11+班）秒.

故答案为1或（11+班）.

【点评】本题考查切线的性质，正方形的性质，扇形的面积，三角形的面积等知识，解题的

关键是理解题意学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型.

3.（2020湖北鄂州,T16,3分）如图，已知直线y=々5%+4与x、y轴交于4、8两点，。

的半径为1,0为A3上一动点，PQ切。于。点.当线段尸。长取最小值时，直线PQ交

y轴于M点，。为过点M的一条直线，则点尸到直线。的距离的最大值为_2石_.

【考点】b5：一次函数的性质；MC：切线的性质；A8：一次函数图象上点的坐标特征

【专题】66：运算能力；64：几何直观；67：推理能力；55A：与圆有关的位置关系；55C：

与圆有关的计算：17：推理填空题

[分析】在直线y=-\^x+4上，x=0时，y=4,y=0时，x=,可得OB=4,OA=,

得角。刖=30。，根据P。切。于Q点可得OQ_LP。，由。。=1,因此当OP最小时PQ长

取最小值，此时若使点P到直线。的距离最大，则最大值为且M位于x轴

下方，过点P作尸E_Ly轴于点E,根据勾股定理和特殊角30度即可求出PM的长.

【解答】解：如图,

yt

病

次X

在直线y=-々%+4上，x=0时，y=4,

当y=0时，x=^^-,

3

八4石

.-.OB=4OA=—^~,

t3

OAG

OB3

AOBA=30°,

由P。切。于。点可知：OQ_LPQ,

22

..PQ=y/0P-0Q,

由于OQ=1,

因此当OP最小时PQ长取最小值，此时O尸_LA8,

：.OP=LOB=2,

2

此时PQ=>/22—I2—\/3,

BP=V42-22=2x/3,

:.OQ=^OP,即NOPQ=30。，

若使点尸到直线a的距离最大，

则最大值为PM，且M位于4轴下方，

过点P作PE_Ly轴于点E,

:.EP=-BP=43,

2

：.BE=«2/y_#y=3,

OE=4-3=1,

OE=-OP,

2

/.ZOPE=30°，

ZEPM=30°+30°=60°,

即ZEA/P=30°,

:.PM=2EP=26

故答案为：26.

【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径.若出现圆的切线，必连

过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系.也考查了一次函数的性

3.1.（2020山东枣庄，T15,4分）如图，A8是圆。的直径，P4切圆。于点4,线段PO

交圆O于点C.连接8C,若NP=36。，则4=_27。_.

【考点】M5：圆周角定理：MC：切线的性质

【专题】55A：与圆有关的位置关系；67：推理能力

【分析】直接利用切线的性质得出/。4尸=90。，再利用三角形内角和定理得出NAOP=54。,

结合圆周角定理得出答案.

【解答】解：附切。于点A：

/。4尸=90。,

々=36。，

/.NAO尸=54。，

/.ZB=-ZAOP=27°.

2

故答案为：27°.

【点评】此题主要考查了切线的性质以及圆周角定理，正确得出乙40尸的度数是解题关键.

4.1.（2020江苏泰州,T14,3分）如图，直线a_LA,垂足为〃，点P在直线b上，PH=4cm,

O为直线6上一动点，若以1cm为半径的O与直线°相切，则OP的长为_3cm^5cm_.

【考点】A/C：切线的性质

【专题】67：推理能力；559：圆的有关概念及性质

【分析】当点。在点H的左侧0与直线。相切时，0。=尸"-。"；当点。在点〃的右侧

。与直线〃相切时，OP=PH+OH,即可得出结果.

【解答】解：直线〃JLb,0为直线6上一动点，

O与直线a相切时，切点为“，

OH=\cm>

当点。在点〃的左侧，O与直线。相切时，如图1所示：

当点。在点”的右侧，0与直线〃相切时，如图2所示:

。与直线a相切，OP的长为3cm或5cm,

故答案为：3c6或5cm.

【点评】本题考查了切线的性质以及分类讨论；熟练掌握切线的性质是解题的关键.

2.（2020苏州,T14,3分）如图，已知48是。的直径，AC是O的切线，连接。。交O

于点。，连接BO.若NC=40。，则的度数是25

B

【考点】M5：圆周角定理；MC：切线的性质

【专题】55A：与圆有关的位置关系；67：推理能力

【分析】先根据切线的性质得NQAC=90。，再利用互余计算出乙40c=90。-NC=50。，由

于/OBD=NODB,利用三角形的外角性质得NO8O=LN4OC=25。.

2

【解答】解：AC是。的切线，

OA1AC,

:.ZOAC=90°,

ZAOC=90°-ZC=90°-40°=50°,

OB=OD,

Z.OBD=Z.ODB,

而ZAOC=Z.OBD+Z.ODB,

^OBD=-ZAOC=25°,

2

即/钻£＞的度数为25。，

故答案为：25.

【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径.也考查了等腰三角形的

性质.

5.1.（2020•广东*T17・4分）有一架竖直靠在直角墙面的梯子正在下滑，一只猫紧紧盯

住位于梯子正中间的老鼠，等待与老鼠距离最小时扑捉.把墙面、梯子、猫和老鼠都理

想化为同一平面内的线或点，模型如图，N48C=90°,点M,N分别在射线BA,BC

上，MN长度始终保持不变，MN=4,E为MN的中点，点。到84,BC的距离分别为4

和2.在此滑动过程中，猫与老鼠的距离OE的最小值为，卮山.

【考点】KP：直角三角形斜边上的中线；M8：点与圆的位置关系.

【专题】25：动点型；552：三角形；69：应用意识.

【分析】如图，连接BE,BD.求出BE,BD,根据OE2B。-BE求解即可.

【解答】解：如图，连接BE,BD.

由题意BD=722+42:2邓,

♦；NMBN=90°,MN=4,EM=NE,

:,BE=；MN=2,

・••点E的运动轨迹是以B为圆心，2为半径的圆，

工当点E落在线段BD上时，DE的值最小，

JOE的最小值为2小-2.

故答案为2、后-2.

【点评】本题考查点与圆的位置关系，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键

是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型.

6.1.（2020浙江杭州，T14,4分）如图，已知是。的直径，BC与O相切于点3,

连接AC,OC.若sin/8AC=1,则tanN8OC=—.

3—2—

【考点】77：解直角三角形；MC：切线的性质；M5：圆周角定理

【专题】55A：与圆有关的位置关系；67：推理能力

【分析】根据切线的性质得到AB，8C,设8C=x,AC=3x,根据勾股定理得到

AB=ylAC2-BC2=V(3x)2-x2=25/2x,于是得到结论.

【解答】解：是。的直径，BC与。相切于点3,

ABA.BC,

.-.Z/4BC=90°,

/n…BC1

sinZ.BAC=---=-，

AC3

.•.设8C=x,AC=3xf

:.AB=qAd-BC2=7（3X）2-x2=2缶,

；.OB=LAB=OX,

2

..tanZfiOC=—=-^-=—,

OB0x2

故答案为：

2

【点评】本题考查了切线的性质，解直角三角形，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键.

三、解答题

1.(2020•辽宁辽阳，T24,12分)如图，在平行四边形A8CO中，AC是对角线，

NCA8=9O。，以点A为圆心，以A8的长为半径作A,交8c边于点E,交AC于点尸,

连接0E.

(1)求证：DE与4相切；

(2)若NA5C=60。，AB=4,求阴影部分的面积.

【考点】MO：扇形面积的计算；M5：圆周角定理；ME：切线的判定与性质；L5：平

行四边形的性质；K0：含30度角的直角三角形

【专题】66：运算能力；67：推理能力：554：与圆有关的位置关系

【分析】(1)证明：连接AE,根据平行四边形的性质得到月C,AD//BC,求得

ZDAE=ZAEB,根据全等三角形的性质得到NOE4=NCA8,得到。于是得到结

论；

(2)根据已知条件得到AABE是等边三角形，求得NEA5=60。，得到

ZCAE=ZAC,得到CE=BE,根据三角形和扇形的面积公式即可得到结论.

【解答】(1)证明：连接AE,

四边形48CD是平行四边形，

..AD=BCtADIIBC,

:.ZDAE=ZAEB,

AE=AB,

NAEB=ZABC,

ZDAE=NA3C,

/.AAED^ABAC(AAS),

ZDEA=Z.CAB,

ZC4£?=90°,

/.ZDEA=90°,

:.DEYAE,

AE是A的半径，

.•.OE与4相切；

⑵解：ZABC=60°,AB=AE=4,

.•.△ABE是等边三角形,

...AE=BE,NEA8=600,

NC4B=90°,

Z.CAE=900-NEAB=90°-60°=30°,Z.ACB=90°-ZB=90°-60c=30。,

Z.CAE=ZACB,

AE=CE,

/.CE=BE,

S3=—ABAC=—X4X4-V3=8\/3,

MKc22、

'''SUCE=SMUC=5x8x/3=45/3,

ZCAE=30°,AE=4,

【点评】本题考查了切线的判定和性质，平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，等

边三角形的判定和性质，扇形的面积的计算，熟练掌握切线的判定定理是解题的关键.

2.(2020•辽宁营口，T23,12分)如图，&48C中，ZACB=90°,80为AA8c的角

平分线，以点O为圆心，OC为半径作O与线段AC交于点O.

(1)求证：A8为。的切线；

(2)若tanA=2,AD=2,求5。的长.

4

【考点】M