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文档简介

6-8

隐函数存在定理y=f(x)形式的函数称为显函数.由方程F(x,y)=0所确定的函数y=f(x)称为隐函数.由方程F(x,y,z)=0所确定的二元函数z=f(x,y)称为隐函数由方程组本节讨论:1)方程在什么条件下才能确定隐函数.例如,方程当C<0时,能确定隐函数;当C>0时,不能确定隐函数;2)在方程能确定隐函数时,研究其连续性、可微性及求导方法问题.1.一个方程的情况定理1设在一点的邻域内有定义.且满足下列条件:则在的某个邻域内存在一个函数y=f(x),使得且

并且内有连续的导函数定理证明从略，仅就求导公式推导如下：两边对x求导在的某邻域内则定理2设在点的某邻域内有连续的偏导数,且且有连续偏导数:则在点的某个邻域内,方程唯一确定一个隐函数满足定理证明从略,仅就求导公式推导如下:两边对x求偏导同样可得则例2解法1利用公式.令则解法2利用隐函数求导方程两端关于x求偏导，得方程两端关于y求偏导，得说明：利用公式法求偏导时，将方程F(x,y,z)=0中x,y,z视作独立变量；利用隐函数求偏导时，将z视作x,y的函数：z=z(x,y).例3求由方程解设u=x-y,v=y-z.为了方便起见,引入记号2.方程组的情况可确定隐函数u=u(x),v=v(x)?先介绍线性代数中的克莱姆法则二元一次方程组克莱姆法则告诉我们：二元一次方程组有惟一解u=u(x),v=v(x)

我们的问题相当于解方程组方程组有惟一解当F及G是一般函数时，需要下列条件行列式称作F,G的雅可比行列式.方程组有惟一解定理3在点的一个邻域内存在唯一的一对可微函数使得且满足方程组的导函数由下列方程组求出证明略定理3的推广考虑方程组：有隐函数组则两边对x求导得设方程组在点P的某邻域内故得系数行列式同样可得例4由方程组能否确定u,v为x与y的函数，在能确定隐函数的条件下，求解方程组两边对x求导，并移项得方程组两边对x求导，并移项得用克莱姆法则解方程组方程组两边对y求导，并移项得解得解以为未知数的方程组，得补例解

注意：明确哪些是自变量，哪些是因变量，是几元的.内容小结1.隐函数(组)存在定理2.隐函数(组)求导方法方法1.利用复合函数求导法则直接计算;方法2.利用微分形式不变性;方法3.代公式思考与练习设求提示:

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