一特征值与特征向量的概念(2)教学教材

特征值与特征向量一、特征值与特征向量的概念二、特征值和特征向量的性质一、特征值与特征向量的概念定义：设A是n阶矩阵，如果数与n维非零列向量x使得称为A的一个特征值，x

为对应于特征值的特征向量。注：

1.特征值向量x0,特征值问题是对方阵而言的.2.n阶方阵A的特征值，就是使齐次线性方程组有非零解的值，3.

是A的特征值，则

的特征向量的全体加零向量构成Rn

的线性子空间，记V

,其维数为n-r(

E-A)这是一个n次方程，称为矩阵A的特征方程记它是一个n次多项式，称为A的特征多项式。注：在复数域中，特征值有n个（包括重数）在一般数域中不然。求矩阵特征值与特征向量的步骤：1.计算A的特征多项式3.对特征值求齐次线性方程组的非零解，就是对应于的特征向量。2.求A的特征方程的全部根，即A的特征值当时,由例２

解当时,由即解得基础解系：当时,由而解得基础解系：例４

证明：若是矩阵A的特征值，是A的属于的特征向量，则证明再继续施行上述步骤次，就得是特征值的性质

当A可逆时，一定有否则，有非零向量X,满足AX=0,与A可逆矛盾。二、特征值和特征向量的性质1.设n阶方阵A的特征值为：则A与其转置矩阵AT

有相同的特征值，事实上有相同的特征多项式。称为矩阵的迹若

是矩阵A的特征值,x

是A的属于

的特征向量，则(2).

m

是矩阵Am的特征值(1).k

是矩阵kA的特征值(4).当A可逆时，是矩阵

的特征值则g()

是矩阵g(A)的特征值为A的伴随矩阵A*的特征值(3).设

证明则即类推之，有定理设是方阵A的特征值，是与之对应的特征向量，如果各不相等，证明线性无关。把上列各式合写成矩阵形式，得推论线性无关。定理

是n阶方阵A的k

重特征值，V

是其对应的特征子空间，则特征子空间的维数

dim(V

)k,即几何重数不超过代数重数。设是n阶方阵A的不同的特征值，是A对应于的线性无关的特征向量，则向量组证明：设V0的维数为r，一组基为：再补充n-r个线性无关的向量使其成为Rn的一组基，则令因而A的特征多项式：所以即即这说明

0作为A的特征值至少是r重根注意１.属于不同特征值的特征向量是线性无关的．２.属于同一特征值的特征向量的非零线性组合仍是属于这个特征值的特征向量．３.矩阵的特征向量总是相对于矩阵的特征值而言的，一个特征值具有的特征向量不唯一；一个特征向量不能属于不同的特征值．3的说明思考题思考题解答矩阵的对角化相似矩阵的定义相似矩阵的性质定义1易得:若A与B相似，则Am与Bm

相似,

kA与kB相似，

g(A)与g(B)相似.矩阵A,B都是n阶方阵，若有可逆矩阵P，使

P-1AP=B则称B是A的相似矩阵，或说矩阵A与B相似，记A~B若n阶矩阵A与B相似，它们有相同的特征多项式，因而有相同的特征值，相同的行列式，相同的迹。即A的迹B的迹4.若n阶方阵A与对角阵则是A的特征值相似矩阵的性质利用对角矩阵计算矩阵多项式k个利用上述结论可以很方便地计算矩阵A的多项式

.定理证明：二、矩阵相似于对角阵的条件对n阶方阵A，若可找到可逆矩阵P，使得为对角阵，称为把矩阵A对角化。推论若A有n个不同的特征值，则A可对角化。定理n阶方阵A与对角阵相似（即A能对角化）的充要条件是A有n个线性无关的特征向量。命题得证.反之，若A恰好有n个线性无关的特征向量，不妨设为以这n个特征向量为列向量构成的矩阵记为P,显然它是可逆的，并且易证：即如果的特征方程有重根，此时不一定有个线性无关的特征向量，从而矩阵不一定能对角化，如果能找到个线性无关的特征向量，还是能对角化．注:定理

0是n阶方阵A的k

重特征值，V0是其对应的特征子空间，则特征子空间的维数满足：

dim(V

)k,即几何重数不超过代数重数。推论：A相似于对角阵当且仅当几何重数=代数重数。例1

判断下列实矩阵能否化为对角阵？解解之得基础解系由当时，求得基础解系由

当时，显然线性无关即A有3个线性无关的特征向量，所以A可对交化。解之得基础解系故不能化为对角矩阵.由解例判断能否对角化？若能对角化，求出矩阵P，使为对角阵，并求An解之得基础解系由当时，同理当时，可解得其特征向量：所以可对角化.令则注意

即矩阵的列向量和对角矩阵中特征值的位置要相互对应．例设矩阵问a,b,c为何值时A相似于对角阵？并求出它相似的对角阵解显然A的特征值为1，2并且都是2重特征值，因此对应于

=1，与=2都应有两个线性无关的特征向量。

所以E-A

与2E-A的秩都应为2显然显然所以a=c=0，b任意，并且习题ｎ阶矩阵Ａ满足

证明：Ａ能相似于对角矩阵。

实对称矩阵的对角化正交矩阵定义：正交矩阵的性质：(2)正交矩阵的行向量与列向量都是

标准正交向量组(3)若A、B都是正交矩阵，则AT,A-1,AB也是正交矩阵(4)若A是正交矩阵,则证明见下页(5)正交矩阵的特征值只能为把矩阵A按行分块下面给出列向量两两正交的证明例

判别下列矩阵是否为正交阵．解所以它不是正交矩阵．(1)考察矩阵的第一列和第二列，由于所以它是正交矩阵．由于(2)例解定理1

实对称矩阵的特征值为实数.证明说明：本节所提到的对称矩阵，除非特别说明，均指实对称矩阵．1.对称矩阵的性质对称矩阵的对角化于是有两式相减，得定理1的意义证明于是定理3设A为实对称矩阵，则存在正交矩阵Q，使得A对角化，即其中为A的特征值有标准正交化过程知，必能找到ｋ－１个ｋ维向量，为两两正交的单位向量组，则Ｑ１为正交矩阵，且证:对Ａ的阶数用数学归纳法。当ｎ＝１时，结论显然成立。假设当ｎ＝ｋ-1是时，结论成立，设Ａ为看k阶实对称矩阵，因为Ａ的特征根全为实数，所以至少有一个实特征向量，不妨设为

１为Ａ的实特征向量，且为单位向量，１为对应的特征值，其中为ｋ－１阶实对称矩阵，有归纳假设，存在ｋ－１阶正交矩阵Ｐ使得，显然Ｑ为正交阵，且显然Ｑ为正交矩阵，且此定理说明，ｎ阶实对称矩阵一定有ｎ个线性无关的特征向量推论设Ａ为ｎ阶对称矩阵，则其代数重数与几何重数相等。即，设Ａ为ｎ阶对称矩阵，是Ａ的特征方程的ｒ重根，则Ａ恰有ｒ个线性无关的特征向量。即

齐次线性方程组的基础解系含有ｒ个解向量。

根据上述结论，利用正交矩阵将对称矩阵化为对角矩阵，其具体步骤为：将特征向量正交化;3.将特征向量单位化.4.2.1.二、利用正交矩阵将对称矩阵对角化的方法解例对下列各实对称矩阵，分别求出正交矩阵，使为对角阵.(1)第一步求的特征值解之得基础解系解之得基础解系第二步求出Ａ的特征向量当时，当时，解之得基础解系第三步将特征向量正交化