信号与系统（第五版）课件第3章 连续时间信号和系统的频域表示与分析

第3章

连续时间信号和系统的频域表示与分析3.1周期信号的傅里叶级数分析3.2周期信号的对称性3.3非周期信号的频谱——傅里叶变换3.4傅里叶变换性质及定理3.5LTI系统的频域分析3.6无失真传输系统3.7理想低通滤波器与物理可实现系统3.8时域采样与恢复(插值)3.9基于MATLAB的频域分析

3.1周期信号的傅里叶级数分析

若两个函数f1(t)、f2(t)在区间(t1，t2)内满足则说这两个函数在区间(t1，t2)正交，或它们是区间(t1，t2)上的正交函数。

若函数集{fi(t)}在区间(t1，t2)内且函数f1(t)，…，fn(t)满足

则这个函数集就是正交函数集，当ki=1时为归一化正交函数集。

满足一定条件的信号可以被分解为正交函数的线性组合。即任意信号f(t)在区间(t1，t2)内可由组成信号空间的n

个正交函数的线性组合近似表示为

若正交函数集是完备的，则

完备是指对于一个在区间(t1，t2)内的正交函数集中的所有函数，不可能另外再得到一个非零的函数在同一区间内和它们正交。即不存在这样一个函数x(t)，使之能满足

如果x(t)在这个区间能与它们正交，则x(t)本身必属于这个正交函数集。若不包括x(t)，那么这个正交函数集也就不完备。

包含正、余弦函数的三角函数集是最重要的完备正交函数集。它具有以下优点：

(1)三角函数是基本函数。

(2)用三角函数表示信号，建立了时间与频率两个基本物理量之间的联系。

(3)单频三角函数是简谐信号，简谐信号容易产生、传输、处理。

(4)三角函数信号通过线性时不变系统后，仍为同频三角函数信号，仅幅度和相位有变化，计算更方便。

由于三角函数的上述优点，周期信号通常被表示(分解)为无穷多个正弦信号之和。

3.1.1三角形式的傅里叶级数

周期信号是周而复始、无始无终的信号。其表示式为

式中，f(t)的基波周期T是满足式(3.1-5)的最小的非零正值，其倒数f0=1/T是信号的基波频率。若周期函数f(t)满足狄里赫利条件：

(1)在一周内连续或有有限个第一类间断点。

(2)一周内函数的极值点是有限的。

(3)一周内函数是绝对可积的，即

则f(t)可以展开为三角形式的傅里叶级数

式中，

式中，ω0=2π/T

是基波角频率，有时也简称基波频率。一般取t0=-T/2。

利用三角函数的边角关系，还可以将一般三角形式化为标准的三角形式：

两种三角形式系数的关系为

例3.1-1已知周期信号f(t)如下，画出其频谱图。

解

将f(t)整理为标准形式

振幅谱与相位谱如图3.1-1所示。

图3.1-1例3.1-1的频谱图

3.1.2指数形式的傅里叶级数

利用欧拉公式

可以将三角形式的傅里叶级数表示为复指数形式的傅里叶级数

指数形式与三角形式系数之间的关系为

例3.1-1的指数形式频谱图如图3.1-2所示。图3.1-2例3.1-1的频谱图

3.1.3周期矩形脉冲频谱

例3.1-2周期矩形脉冲f(t)的波形如图3.1-3所示，求周期矩形脉冲频谱。图3.1-3周期矩形脉冲f(t)

解

其三角形式的傅里叶级数，由式(3.1-13)可得

即5ω0、10ω0，…，且有

T=5τ的三角形式与指数形式的振幅、相位谱如图3.1-4所示。

图3.1-4周期矩形信号的频谱

因为周期矩形信号频谱的相位只有0、-π两种情况，对应的幅度只是正、负的变化，所以可将其幅度与相位谱画在一起，即复振幅频谱̇cn(cn≥0，但̇cn包含了相位有0与-π变化的情况)或Fn，如图3.1-5所示。图3.1-5周期矩形信号的复振幅频谱

3.1.4周期T及脉冲宽度τ对频谱的影响

对图3.1-5作如下讨论：

3.1.5周期信号的频谱特点

以上虽然是对周期矩形信号的频谱分析，但其基本特性对所有周期信号适用，由此给出周期信号频谱的一般特性如下：

(1)离散性。谱线沿频率轴离散分布。谱线仅在0、ω0、2ω0、…基波的倍频(离散的)频率点上出现。

(2)谐波性。各谱线等距分布，相邻谱线的距离等于基波频率。周期信号没有基波频率整数倍以外的频率分量。

(3)收敛性。随着n→∞，|Fn|或cn

趋于零。

傅氏级数是傅氏变换的特殊表示形式。从本质上讲，傅氏变换就是一个棱镜，它把一个信号函数分解为众多的频率分量。这些频率分量又可以重构原来的信号函数。这种变换

是可逆的且保持能量不变。傅氏棱镜与自然棱镜的原理是一样的。不过自然棱镜是将自然光分解为多种颜色的光。两种棱镜的比较如图3.1-6所示。

图3.1-6两种不同的棱镜

3.2周期信号的对称性

3.2.1信号对称性与傅里叶级数系数关系波形的对称性有两类：一类是波形对原点或纵轴对称，即我们所熟悉的偶函数、奇函数。由这类对称条件可以判断级数中是否含有正、余弦(an、bn)项的情况;另一类是波形在半周期有对称条件，这类条件决定了级数中含有偶次或奇次谐波的情况。

1.偶函数

偶函数的波形特点是对称纵轴，即满足f(t)=f(-t)，如图3.2-1所示。图3.2-1-偶函数举例

因为f(t)cos(nω0t)是偶函数，f(t)sin(nω0t)是奇函数，所以式(3.1-7)可改为

与标准三角形式及指数形式的系数关系为

因此，偶函数分解后只有余弦分量(直流a0≠0)，没有正弦分量(bn=0)。

利用式(3.2-1)可求出如图3.2-1所示周期三角信号的傅氏系数a0、an，其傅氏级数为

2.奇函数

奇函数的波形特点是对称于原点，即满足f(t)=-f(-t)，如图3.2-2所示。图3.2-2-奇函数举例

因为f(t)cos(nω0t)是奇函数，f(t)sin(nω0t)是偶函数，所以式(3.1-7)可改为

与标准三角形式及指数形式的系数关系为

因此，奇函数分解后只有正弦分量(直流a0=0)，没有余弦分量(an=0)

利用式(3.2-4)可求出如图3.2-2所示周期锯齿波信号的傅氏系数bn，其傅氏级数为

3.奇谐函数

奇谐函数的波形特点是任意半个周期的波形可由它前面半个周期的波形沿横轴反折得到，即如图3.2-3所示。图3.2-3-奇谐函数举例

由式(3.1-7)得

再代入式(3.2-7)计算an

的公式中

同理可得

奇谐函数只含有正、余弦波的奇次项，不含偶次项。

如图3.2-4所示，以奇谐函数为例，图解示意对称性对傅氏系数的影响。如图3.2-4所示，以奇谐函数为例，图解示意对称性对傅氏系数的影响。

4.偶谐函数

图3.2-5偶谐函数举例

5.f(t)有两种对称条件时的系数

当波形同时具备两个对称条件时，下面不加证明给出其傅氏系数计算公式。

(1)奇函数奇谐函数。因为奇函数an=0，只有正弦项，而奇谐函数的b2n=0，所以

(2)奇函数偶谐函数。因为奇函数an=0，只有正弦项，而偶谐函数的b2n+1=0，所以

(3)偶函数奇谐函数。因为偶函数bn=0，只有余弦项，而奇谐函数的a2n=0，所以

如图3.2-6所示

图3.2-6两个对称性对傅氏系数影响的图解示意

由式(3.2-11)可以求出图3.2-6中f(t)的a0、an，其傅氏级数为

(4)偶函数偶谐函数。因为偶函数bn=0，只有余弦项，而偶谐函数的a2n+1=0，所以

如图3.2-5所示的全波整流波形是偶函数偶谐函数，由式(3.2-13)可以求出a0、an。

其傅氏级数为

3.2.2坐标轴的影响

有些波形虽不满足对称条件，但将横轴上、下移动，可使得“隐藏”的对称条件显现。例如图3.2-7(a)所示波形，直接观察不具备任何对称性。但如果将横轴向上移至f(t)的平均值A/2处，如图3.2-7(b)所示，则f(t')显然是奇函数、奇谐函数，同时具备两个对称条件。由图3.2-7不难得到f(t)=f(t')+A/2，两者只相差平均值。所以一般将横轴移至f(t)的平均值处，更便于观察信号的对称性。同样图3.2-1所示的三角信号，将横轴移至f(t)的平均值处，它就是偶函数奇谐函数。除了有直流分量外，它只含有余弦的奇次项。

图3.2-7具有“隐蔽”对称条件的实例

表3-1列出了有对称条件时傅氏系数的计算公式。

3.3非周期信号的频谱——傅里叶变换

3.3.1从傅里叶级数到傅里叶变换若将非周期信号看做是周期信号T→∞的极限情况，非周期信号就可以表示为

3.3.2常用函数的傅里叶变换对

1.单边指数函数

(1)单边因果指数函数

即

单边因果指数函数的波形、振幅谱|F(jω)|、相位谱φ(ω)如图3.3-1所示。

图3.3-1单边因果指数函数的波形、振幅谱、相位谱

(2)单边非因果指数函数

即

单边非因果指数函数的波形、振幅谱|F(jω)|、相位谱φ(ω)如图3.3-2所示。

图3.3-2单边非因果指数函数的波形及其振幅、相位谱

2.双边指数函数

或

利用以上单边指数函数的变换结果有

即

双边指数函数的波形、频谱F(jω)如图3.3-3所示。

图3.3-3-双边指数函数的波形、频谱

3.符号函数

符号函数也称正负函数，记为sgn(t)，表示式为

显然，这个函数不满足绝对可积条件，不能用式(3.3-4)直接来求。我们可用以下极限形式表示sng(t)函数

上式是两个单边指数函数的组合，利用前面的结果，并取极限可得

符号函数的波形、振幅谱|F(jω)|、相位谱φ(ω)如图3.3-4所示。图3.3-4-符号函数的波形及其振幅、相位谱

4.门函数gτ(t)

gτ(t)是宽度为τ，幅度为1的偶函数，也常常称为矩形脉冲信号，表示式为

门函数的频谱函数、振幅谱、相位谱为

门函数的波形、振幅谱|F(jω)|、相位谱φ(ω)如图3.3-5所示。图3.3-5-gτ(t)的波形及振幅、相位谱

图3.3-6-gτ(t)的频谱函数

样的频谱也称白色谱。冲激函数δ(t)、频谱函数如图3.3-7所示。图3.3-7-冲激函数及其频谱

频域冲激δ(ω)的原函数亦可由定义直接得到

由式(3.3-19)可知频域冲激δ(ω)的反变换是常数(直流分量)。

或

频域冲激函数δ(ω)、原函数如图3.3-8所示。

图3.3-8频域冲激函数δ(ω)及其原函数

6.阶跃函数u(t)

阶跃函数虽不满足绝对可积条件，但u(t)可以表示为

对上式两边取傅氏变换

阶跃函数的波形、振幅谱|F(jω)|、相位谱φ(ω)如图3.3-9所示。

图3.3-9阶跃函数的波形以及振幅、相位谱

3.3.3-傅里叶系数Fn与频谱函数F(ω)的关系

例3.3-1求如图3.3-10(a)所示周期矩形脉冲fT(t)的傅氏级数。图3.3-10

3.4傅里叶变换性质及定理

傅氏变换揭示了信号时间特性与频率特性之间的联系。信号可以在时域中用时间函数f(t)表示，亦可以在频域中用频谱密度函数F(ω)表示;只要其中一个确定，另一个随之确定，两者是一一对应的。在实际的信号分析中，往往还需要对信号的时、频特性之间的对应关系、变换规律有更深入、具体的了解。

1.线性

若f1(t)↔F1(ω)，f2(t)↔F2(ω)，则

式中，a、b

为任意常数。

证

2.时延(时移、移位)性

若f(t)↔F(ω)，则

证

时延(移位)性说明波形在时间轴上时延，不改变信号振幅频谱，仅使信号增加一线性相移-ωt0。

例3.4-1求如图3.4-1所示信号f1(t)的频谱函数F1(ω)，并作频谱图。图3.4-1例3.4-1信号图

图3.4-2例3.4-1的振幅、相位频谱

3.频移性

若f(t)↔F(ω)，则

证

频移特性表明信号在时域中与复因子ejω0t

相乘，则在频域中将使整个频谱搬移ω0。

实际调制解调的载波(本振)信号是正、余弦信号，借助欧拉公式正、余弦信号可以分别表示为

这样，若有f(t)↔F(ω)，则

例3.4-2求f(t)=cos(ω0t)u(t)的频谱函数。图3.4-3例3.4-2的波形及振幅、相位频谱

例3.4-3求如图3.4-4所示f(t)的F(ω)并作图。图3.4-4例3.4-3的f(t)

解

令f1(t)=Agτ(t)，则图3.4-5例3.4-3的F1(ω)以及F(ω)

在无线通信中，为使信号能以电磁波的形式有效辐射出去，必须把在ω=0附近的低频信号频谱移至所需的较高频率ω0

附近，这称之为调制。上例是信号调制(频谱搬移)的典型实例。通常f1(t)被称为调制信号，cos(ω0t)为载波信号，f(t)=f1(t)cos(ω0t)为已调信号。调制的原理如图3.4-6所示，若已调信号等于例3.4-3信号f(t)，由图3.4-5可见，调制信号的频谱集中在ω=0的低频端，而已调信号的频谱集中在载频ω0

附近。

图3.4-6调制原理图

在接收端将已调信号f(t)恢复为原信号f1(t)的过程为解调。一种同步解调的原理框图如图3.4-7(a)所示。图中的cos(ω0t)为接收端的本地载波信号(通常称本振信号)，与发送端的载波信号同频同相。其中

利用线性与频移特性，对应的频谱函数为

仍以例3.4-3的f1(t)、f(t)为例，f0(t)的频谱F0(ω)如图3.4-7(b)所示。图3.4-7-一种同步解调的原理框图及频谱图

4.尺度变换

若f(t)↔F(ω)，则

证

综合a>0、a<0两种情况，尺度变换特性表示为

特别地，当a=-1时，得到f(t)的折叠函数f(-t)，其频谱亦为原频谱的折叠，即

尺度特性说明，信号在时域中压缩，在频域中就扩展;反之，信号在时域中扩展，在频域中就一定压缩。即信号的脉宽与频宽成反比。一般时宽有限的信号，其频宽无限，反之亦然。由于信号在时域压缩(扩展)时，其能量成比例地减少(增加)，因此其频谱幅度要相应乘以系数1/|a|。也可以理解为信号波形压缩(扩展)a

倍，信号随时间变化加快(慢)a倍，所以信号所包含的频率分量增加(减少)a倍，频谱展宽(压缩)a

倍。又因能量守恒原理，各频率分量的大小减小(增加)a倍。图3.4-8表示了矩形脉冲及频谱的展缩情况。

图3.4-8-矩形脉冲及频谱的展缩

5.时域微分特性

若f(t)↔

F(ω)，则

证

所以

同理，可推广到高阶导数的傅里叶变换

式中，jω

是微分因子。

6.时域积分特性

若f(t)↔

F(ω)，则

特别地，当F(0)=0时

证

显然，当F(0)=0时，有

例3.4-4求如图3.4-9(a)所示f(t)的频谱函数F(ω)。

解

对f(t)求导，得f1(t)=f'(t)如图3.4-9(b)所示。

再对f1(t)求导，得f2(t)=f″(t)如图3.4-9(c)所示。

因为

最后

图3.4-9例3.4-4

7.频域微分特性

若f(t)↔

F(ω)，则

一般频域微分特性的实用形式为

频域微分特性对频谱函数的高阶导数亦成立

或

例3.4-5求f(t)=te-atu(t)(a>0)的频谱函数F(ω)。

8.对称(偶)性

若f(t)↔

F(ω)，则

或

证

则

将上式中变量t与ω

互换，两边同时乘以2π，得到

所以

特别地，当f(t)是t的偶函数时，那么

即有

由式(3.4-17)看，在此条件下时域与频域是完全对称性关系。

例3.4-6已知F1(ω)及波形如图3.4-10所示，利用对称性求f1(t)。图3.4-10

解

比较图3.4-10的F1(ω)与例3.4-4图3.4-9(a)的f(t)，可见两者变化规律相同，只是自变量及标定值不同，所以f(t)是与F1(ω)相似的对称三角波。由例

例3.4-7已知F1(ω)=E[u(ω+ω0)-u(ω-ω0)]，利用对称性求f1(t)。

解

已知F1(ω)波形如图3.4-11所示。且

则

图3.4-11例3.4-7的F1(ω)

例3.4-8求ejω0t

的傅氏变换。

解

由时延特性，已知δ(t+t0)↔

ejω0t，且δ(t+t0)不是偶函数。

利用对称性，将上式左边的t变换成-ω、右边的ω变换为t，两边的t0

变换成ω0，并乘以系数2π，我们得到另一对变换对

利用这一结果，容易推导正、余弦周期函数的傅氏变换。

cosω0t、sinω0t的波形与频谱如图3.4-12所示。

图3.4-12-正、余弦信号与其频谱

由ejω0t

的傅氏变换，可以推导任意周期函数的频谱函数为

证

例3.4-9求周期冲激序列的傅氏变换。

解

先将周期冲激序列展开成傅氏级数

Fn

如图3.4-13(a)所示。即

再求这个级数的傅氏变换

δT(t)的频谱函数如图3.4-13(b)所示。可见，周期冲激序列的傅氏变换仍为周期冲激序列，其冲激强度为ω0。

图3.4-13-δT(t)的频谱函数

由上例归纳求周期函数的傅氏变换(频谱函数)的一般步骤为：

(1)将周期函数展开为傅氏级数;

(2)对该傅氏级数求傅氏变换(频谱函数)。

9.奇、偶、虚、实性

f(t)为实函数时，F(ω)的模与幅角、实部与虚部表示形式为

同理类推

其中

由式(3.4-24)可知，R(ω)、|F(ω)|是ω

的偶函数;X(ω)、φ(ω)是ω

的奇函数。

(1)特别地，若f(t)为实偶函数，则有

由式(3.4-25)可知，若f(t)是t的实偶函数，则F(ω)必为ω

的实偶函数。

(2)特别地，若f(t)为实奇函数，则有

由式(3.4-26)可知，若f(t)是t的实奇函数，则F(ω)必为ω

的虚奇函数。

10.时域卷积定理

若f1(t)↔

F1(ω)，f2(t)↔

F2(ω)，则

证

11.频域卷积定理

若f1(t)↔

F1(ω)，f2(t)↔

F2(ω)，则

证

例3.4-10若已知f(t)的频谱F(ω)如图3.4-14(a)所示，试粗略画出f2(t)，f3(t)的频谱图(不必精确，只指出频谱的范围，说明展宽情况)。

解

频谱展宽为原来的2倍。

频谱展宽为原来的3倍。

f2(t)，f3(t)的频谱展宽情况如图3.4-14(b)、(c)所示。

图3.4-14例3.4-10的频谱函数

12.帕斯瓦尔定理

为了从频域角度研究信号能量，定义单位频率的信号能量|F(ω)|2-为能量频谱密度函数E(ω)，即

E(ω)也简称能量谱，单位是J·s。E(ω)是ω

的偶函数，只保留了信号的振幅信息，而无相位信息。

例3.4-11求如图3.4-15(a)所示单个矩形脉冲f(t)的能量谱E(ω)并作图。图3.4-15例3.4-11的f(t)、E(ω)

类似能量谱，定义单位频率的信号功率为功率频谱密度函数

P(ω)，即

P(ω)也简称功率谱，单位是W·s。P(ω)是ω

的偶函数，只保留了信号的振幅信息，而无相位信息。

当功率信号为周期信号时，其功率谱为

例3.4-12求余弦信号f(t)=Ecosω0t的功率谱。

解

表3-2给出了傅氏变换的主要性质及定理。

3.5LTI系统的频域分析

3.5.1系统的频响函数设激励是f(t)，系统的单位冲激响应为h(t)，若系统的初始状态为零，则系统的响应为对式(3.5-1)两边取傅里叶变换，由卷积定理可得

其中，H(jω)是系统单位冲激响应h(t)的傅里叶变换。系统单位冲激响应h(t)表征的是系统时域特性，而

H(jω)表征的是系统频域特性。所以

H(jω)称做系统频率响应函数，简称频响函数或系统函数。

式(3.5-2)还可以表示为

式中，|H(ω)|是系统的幅(模)频特性，φ(ω)是系统的相频特性。

1.由微分方程求解

已知n

阶LTI系统的微分方程的一般表示为

对式(3.5-4)两边取傅里叶变换，并利用微分性质

由式(3.5-5)得到系统的频响函数为

式(3.5-6)表明

H(jω)只与系统本身有关，与激励无关。

例3.5-1已知某系统的微分方程为

求系统的函数

H(jω)。

解

对微分方程两边同时取傅氏变换，得到

2.由转移算子求解

已知稳定系统的转移算子，将其中的p

用jω

替代，可以得到系统函数。

例3.5-2已知某稳定系统的转移算子

解

3.由h(t)求解

先求出系统的冲激响应h(t)，然后对冲激响应h(t)求傅里叶变换。

例3.5-3已知系统的单位冲激响应h(t)=5[u(t)-u(t-2)]，求系统函数。

解

例3.5-4求图3.5-1零阶保持电路的系统函数H(jω)。图3.5-1例3.5-4的零阶保持电路

图3.5-2例3.5-3系统的h(t)与H(ω)

4.由频域电路系统求解

此法与2.2节的算子电路法相似，可以利用频域电路简化运算。无初始储能的动态元件时域与频域电压电流关系分别表示为

例3.5-5如图3.5-3(a)所示电路，输入是激励电压f(t)，输出是电容电压y(t)，求系统函数

H(jω)、系统为微分方程。图3.5-3例3.5-5电路

3.5.2系统的频域分析

由卷积定理可以得到稳定系统频域分析法的基本框图表示，如图3.5-4所示。图3.5-4频域分析法基本框图

1.周期正弦信号的响应

设激励信号

当h(t)为实函数

其响应的频谱函数为

响应为

比较输入f(t)与输出y(t)可见，正弦周期信号的响应仍是同频周期正弦信号，仅幅度、相位有所改变。这种响应是稳态响应，可以利用正弦稳态分析法计算。所以若正弦周期激励信号f(t)=Asin(ω0t+φ)，通过系统函数为|H(ω0)|ejφ(ω0)的系统后，其响应可以直接表示为

例3.5-6已知某系统函数为

求激励f(t)=sin(ω0t)的响应。

解

2.周期非正弦信号的响应

稳定系统对周期信号的响应是稳态响应，所以周期非正弦信号响应可以利用周期正弦信号的响应求解方法。不同之处是要先利用傅氏级数将周期非正弦信号分解为许多周期正

弦信号之和，再分别对每个正弦分量求响应，最后叠加得到周期非正弦信号的响应。

即

第n次谐波的响应为

式中，

最后总响应

归纳解决周期非正弦信号通过线性系统响应求解的计算步骤为：

(1)将激励fT(t)分解为无穷多个正弦分量之和——展开为傅氏级数。

(2)求出系统函数

H(jω)={H(0)，H(ω0)，H(2ω0)，…}。

(3)利用正弦稳态分析法计算第n次谐波的响应为

(4)各谐波分量的瞬时值相加

例3.5-7已知某系统频率特性激励信号f(t)=2+cost+cos3t，试求系统的响应y(t)。

解

3.非周期信号的响应

非周期信号通过线性系统的响应可以利用卷积定理，先求输入信号的傅氏变换及系统的频响，再将两者相乘得到输出的傅氏变换，最后经反变换得到时域响应。

例3.5-8已知系统函数

激励f(t)=e-3tu(t)，求响应y(t)。

解

3.6无失真传输系统

信号失真有以下两类。一类是线性失真，它包括两方面。一是振幅失真：系统对信号中各频率分量的幅度产生不同程度的衰减(放大)，使各频率分量之间的相对振幅关系发生了变化。二是相位失真：系统对信号中各频率分量产生的相移与频率不成正比，使各频率分量在时间轴上的相对位置发生了变化。这两种失真都不会使信号产生新的频率分量。另一类是非线性失真，是由信号通过非线性系统产生的，特点是信号通过系统后产生了新的频率分量。

所谓无失真传输是信号通过系统的输出波形与输入相比，只有幅度大小及时延的不同而形状不变，如图3.6-1所示。图3.6-1无失真传输

图3.6-2无失真传输系统的幅频及相频特性

式(3.6-4)是理想传输系统的频域不失真条件。它要求系统具有无限宽的均匀带宽，幅频特性在全频域内为常数;相移与频率成正比，即相频特性是通过

原

点

的

直

线。图3.6-3-是无失真传输与有相位失真波形的比较。

图3.6-3无失真传输与有相位失真的波形

由图3.6-3可见，信号通过无失真传输系统的延迟时间与相位特性的斜率有关。实际应用中相频特性也常用“群时延”表示。群时延定义为

由式(3.6-4)与式(3.6-5)不难推得信号传输不产生相位失真的条件是群时延为常数。

例3.6-1已知某系统的振幅、相位特性如图3.6-4所示，输入为x(t)，输出为y(t)。求：

(1)给定

输

入

x1-(t)=2cos10πt+sin12πt

及x2(t)=2cos10πt+sin26πt

时

的

输

出y1(t)、y2(t);

(2)y1(t)、y2(t)有无失真?若有指出为何种失真。图3.6-4例3.6-1传输系统的幅频及相频特性

解

由图3.6-4可知该系统的振幅、相位函数为

利用周期非正弦信号响应求解方法可得激励为x1(t)、x2(t)时的响应为

输入信号在0≤ω≤20π范围内，输出信号无失真。

输入信号在0≤ω≤30π范围内，输出有振幅失真。

3.7理想低通滤波器与物理可实现系统

有各种各样的滤波器，最典型的有通带振幅为1，阻带振幅为0的理想滤波器。如理想低通、理想高通、理想带通、理想带阻滤波器等，其振幅特性如图3.7-1所示。

图3.7-1理想滤波器的幅频特性

3.7.1理想低通滤波器及其冲激响应理想低通滤波器的频率特性如图3.7-2所示，传递函数为式中，ωc

是通带截止频率，-t0

是相位特性斜率。

图3.7-2理想低通滤波器的频率特性

理想低通的单位冲激响应为

理想低通的输入与单位冲激响应如图3.7-3所示。

图3.7-3理想低通滤波器的输入与单位冲激响应

3.7.2理想低通滤波器的阶跃响应

理想低通的阶跃响应g(t)为

图3.7-5理想低通的阶跃响应

从图3.7-5g(t)波形看，由于理想低通抑制了信号的高频分量以及它在通带内的线性相移，输出波形与输入波形相比发生了畸变。

(1)响应g(t)时间滞后。若以g(t)=1/2作为响应的开始时间，则由以上分析已知此时为t0，即响应延时了t0，这正是线性相移的斜率。

(2)响应g(t)建立需要时间(脉冲上升时间)。若定义g(t)在t=t0

处斜率的倒数为响应建立时间tr，则

若取g(t)从最小值上升到最大值为响应建立时间tr1，由图3.7-4可得

(3)t<0有输出。由图3.7-5再次看到输出波形的起伏振荡延伸到了t<0的时间区域。注意到激励是t=0时刻加入的，t<0时有响应出现说明系统是非因果的。

(4)吉布斯现象。响应中的正弦积分Si(y)，最大峰值点在y=p处，最小峰值点在y=-p处，且

由式(3.7-3)可推得

从频域角度看，理想滤波器就像一个“矩形窗”。“矩形窗”的宽度不同，截取信号频谱的频率分量就不同。利用矩形窗滤取信号频谱时，在时域的不连续点处会出现上冲。增加ωc可以使响应的上升时间减少，但却无法改变近9%的上冲值，这就是吉布斯现象。例如图3.7-6所示，两种不同带宽的理想低通，对同一矩形脉冲的响应，其上冲值相同。这表明理想滤波器带宽增加，可以改善均方误差，减少输出建立时间，但其最大误差不会改变。只有改用其他形式的窗函数提取信号频谱时，有可能消除上冲，改善其最大误差。图3.7-6不同带宽的理想低通对矩形脉冲的响应

例3.7-1电路系统及激励f(t)=u(t)如图3.7-7所示，用频域法求解系统频响函数及系统响应y(t)，并绘出系统的频响特性。图3.7-7例3.7-2电路系统及激励

解

先求解系统函数

如图3.7-8所示。图3.7-8例3.7-1电路系统频率特性

再求系统输出响应y(t)

系统响应如图3.7-9所示。由图3.7-9可见，响应y(t)与激励f(t)不同的是，在t=0时，f(t)没有跳变为1，而是经过一段上升过程，随着时间趋于无穷才达到1。图3.7-9例3.7-1电路系统输出响应

通常响应y(t)上升到幅度的0.9时，误差已满足工程需要。因此可以定义响应y(t)从0上升到0.9-的时间tr为系统响应的上升时间。将此代入到输出y(t)公式中

由式(3.7-5)解出

可见，tr

正比RC，RC

是该系统的时常数。若将tr与3分贝截止频率相乘，有

例3.7-2如图3.7-10所示系统，信号f(t)经零阶保持电路输出为y(t)，求使系统最终输出为f(t)的

H0(jω)。图3.7-10例3.7-2的反滤波系统

解

由例3.5-4已求出系统的零阶保持电路部分的系统函数为

整个系统的系统函数为

所以

3.7.3频带宽度

实际系统(滤波器)或信号的频带宽度(简称带宽)是描述系统(滤波器)或信号的重要指标之一。

另一类是从能量的角度定义频带宽度。若以低通零频的归一化幅度|H(0)|=1为基准，定义能量的对数衰减为

特别地，将ω=ωc处信号振幅是零频的1/2代入式(3.7-8)，得到信号能量减半的对数衰减为

由式(3.7-8)得到的信号能量减半的频率是滤波器的3dB带宽截止角频率，因此称其为该滤波器的3dB带宽。例3.7-1的ωc

是该滤波器的3dB带宽，又因为ωc=1/(RC)=2πfc，所以fc

为该系统的3dB截止频率。这种以能量下降3dB的频率间隔作带宽，适用于有一主峰的滤波器，如图3.7-11所示(设主峰在0频处)。图3.7-11-3dB带宽的系统

3.7.4物理可实现系统

通过对理想低通滤波器的时域特性分析，可知理想低通滤波器是物理不可实现的系统。LTI系统是否为物理可实现，时域与频域都有判断准则。LTI系统是物理可实现的，时域准则是系统的单位冲激响应满足因果性，即

若系统的幅度函数|H(ω)|满足平方可积，即

由佩利-维纳给出的频域准则为：物理可实现系统的必要条件是

幅度函数不满足这个准则的，其系统必为非因果的。这个准则既限制因果系统的幅度函数不能在某一频带内为零，也限制幅度特性衰减不能太快。因为当|H(ω)|在ω1<ω<ω2-为零时，使式(3.7-11)积分不收敛，即

例3.7-3讨论具有钟形幅度特性的系统的物理可实现性。

解

系统的钟形幅度特性为|H(ω)|=e-ω2-，对模平方函数积分有

满足平方可积，代入式(3.7-11)佩利-维纳准则有

3.8时域采样与恢复(插值)

时域采样是用数字技术处理连续信号的重要环节。采样就是利用“采样器”，从连续信号中“抽取”信号的离散样值，如图3.8-1所示。图3.8-1-信号的采样

这种离散的样值函数通常称为“采样”信号。采样信号是离散信号，一般用fs(t)表示。采样信号在时间上离散化了，但它还不是数字信号，还需经量化编码转变为数字信号。所以数字信号是时间离散化、样值量化的信号。本书中若不特别指明，离散信号与数字信号通用。

离散信号是在不连续的点上有确定值的信号。这些不连续的间隔可以是均匀的，也可以是不均匀的，本书所讨论的间隔是均匀的。离散信号可以是实际存在的信号，如医院人口出生统计等，也可以是对连续时间信号的采样。

3.8.1时域采样

最简单的采样器如图3.8-2(a)所示，是一个电子开关。开关接通，信号通过，开关断开，信号被短路。而这个电子开关的作用，可以用一个如图3.8-2(b)所示的乘法器等效，图中的p(t)是周期性开关函数。当p(t)为零时，乘法器输出为零，等效为开关断开，信号通不过去，反之亦然。这样采样信号fs(t)可表示为

式中，p(t)是周期为T的开关函数，相应的采样频率fs=1/T，ωs=2πfs=2π/T。图3.8-2采样器与等效模型

式(3.8-6)表示，理想采样的频谱Fs(ω)是原信号频谱F(ω)的加权周期重复，其中周期为ωs，加权系数是常数1/T。理想采样信号与频谱如图3.8-3所示。如果从调制的角度分析式(3.8-6)，可以认为式中

的

F(ω)是

基

带

频

谱，而

F(ω±ωs)是

一

次

谐

波

调

制

频

谱，F(ω±2ωs)是二次谐波调制频谱，以此类推。这样，理想采样的频谱Fs(ω)就是由基带频谱与各次谐波调制频谱组成的。

周期冲激采样可以认为是周期矩形采样τ→0的极限情况，采样后信号频谱是原频谱的周期重复且幅度一样，所以也称理想采样。实际的采样信号都有一定的脉冲宽度，不过当τ相对采样周期T足够小时，可以近似认为是理想采样。图3.8-3理想采样信号与频谱

3.8.2采样定理

由对理想采样信号频谱Fs(ω)的讨论可以知道，Fs(ω)是原信号频谱F(ω)的周期重复，重复的间隔为ωs。假设F(ω)是带限信号，由图3.8-4可见不同的ωs

对Fs(ω)的影响不同。当ωs≥2ωm

时，基带频谱与各次谐波频谱彼此是不重叠的，Fs(ω)是F(ω)无混叠的周期延拓，基带频谱保留了原信号的全部信息;可用一个理想低通(虚线框)提取出基带频谱，从而恢复f(t);而当ωs<2ωm

时，Fs(ω)的基带频谱与谐波频谱有混叠，无法提取基带频谱，也就不可能不失真恢复原信号f(t)。图3.8-4采样频率不同时的频谱

采样定理表明了在什么条件下，采样信号能够保留原信号的全部信息。这就是

或

例3.8-1确定信号f(t)=Sa(50πt)的奈奎斯特频率。

解

f(t)=Sa(50πt)，利用对称性可得

这是最高角频率为ωm=50πrad/s的矩形频谱，信号的最高频率fm=25Hz，所以f(t)的奈奎斯特频率fs=50Hz。

3.8.3原信号的恢复

由图3.8-4无混叠的Fs(ω)中提取原信号f(t)的频谱F(ω)，可以用一矩形频谱函数(理想低通)与Fs(ω)相乘，如图3.8-5所示。

式中

H(ω)是理想低通滤波器，可以从满足采样定理的fs(t)中恢复原信号，其中低通的截止频率应满足：图3.8-5由理想低通恢复原信号的过程

在理想采样情况下

恢复信号可由卷积定理推得

H(ω)的反变换为

把式(3.8-13)代入式(3.8-12)，得到

式中，Sa[ωc(t-nT)]是抽样函数，也称内插函数。

若将T=1/(2fm)，ωs=2ωm，