2022北京市房山区高三（上）期末数学真题试卷答案

高三数学参考答案2/4房山区2021-2022学年度第一学期（中学）期末考试参考答案高三数学一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。12345678910BCACDABCDC二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。（11）（12）（13）（14）答案不唯一，如；等比数列中，（15）①③④三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。（16）（本小题14分）（Ⅰ）函数的最小正周期………...………………3（7）（Ⅱ）选择条件①：由的最大值为，可知，所以……………...…………2（9）所以因为，所以……………...………...………………...……………1所以当，即时，……...…...………………2取得最小值……………...………………...………………...………………2（14）选择条件②：由的一个对称中心为，可知，所以……………...………………...…………...…………2所以因为，所以……...………………...………………1所以当，即时，……...…...………………2取得最小值………...………………...………………2（14）（17）（本小题14分）（Ⅰ）证明：因为，所以又，，，所以平面．……...………………...…...………………...………3（Ⅱ）证明：因为平面，所以又所以两两互相垂直.………………...……………...………………...………………1如图以为原点，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系.…...………………...……………...………………...………………1由,可知，，，，，，,，设为平面的一个法向量，则，即，….….….….….1令则，所以，…...………………...…...………………1设为平面的一个法向量，则，即，…...………………...……...………………1令则，所以，…...………………...……...………………1则….………………...…...………………2易知二面角为锐二面角所以二面角的余弦值为.…...………………...………………...………………1（Ⅲ）由，得 因为所以与平面不平行，所以直线与平面相交.………...……………1在四边形中延长交的延长线于点.点就是直线与平面的交点易知，所以.……………...………………...…………1（18）（本小题14分）（Ⅰ）由实验园的频率分布直方图得：所以估计实验园的“大果”率为………………...………………...…………3（Ⅱ）由对照园的频率分布直方图得：这个果实中大果的个数为：个.采用分层抽样的方法从100个果实中抽取10个，其中大果有个………………...………………...…………1从这10个果实中随机抽取3个，记“大果”个数为，则的可能取值为，…………...….………………...…………1……...………………4所以的分布列为：

0

1

2

3

…………...….………………...……………...….………………..………1所以…………...….………………2（Ⅲ）…………...….…………...….………………...…………2（19）（本小题14分）（Ⅰ）由离心率为，可得…...….…...….……………1因为为椭圆的上、下顶点，且，所以即,……………1又解得…...….…...….……………1所以椭圆的标准方程为…...….…...….……………1（4）（Ⅱ）直线经过定点，证明如下：…...….…………...….……………1①当直线的斜率存在时，设，()，由，得，….………….…...….…………...….………1则…...….…………...….…...….…………...….………1设则， ，…...….…………...….…...….…………...….………2则…...….…………...….………2所以…...….…………...….…...….…………...….………1所以直线的方程为，即所以直线经过定点．…...….…………...….…...….…………...….………1②当直线的斜率不存在时，设，，，则解得，此时直线也经过定点…...….…………...….…...….…………...….………1综上直线经过定点．（20）（本小题15分）（Ⅰ）…...….…...….…………...….…………...….…...….…………...….………2由题意，公共切线的斜率，即…...….…...….…………...….………1又因为，所以切线方程为．…...….…...….…………...….………1（4）（Ⅱ）设函数．“曲线与有且仅有一个公共点”等价于“函数有且仅有一个零点”．=1\*GB3①当时，当时，，所以在单调递增．又因为，所以有且仅有一个零点，符合题意．.….…………...….………3=2\*GB3②当时，令，解得与的变化情况如下：0↘↗所以在上单调递减，在上单调递增，所以当时，，故有且仅有一个零点，符合题意．..….…...….…………...….…………...….…...….………3=3\*GB3③当时，令，解得．与的变化情况如下：0↘↗所以在上单调递减，在上单调递增，所以当时，因为，，且在上单调递增，所以又因为存在，使得所以存在使得， 所以函数存在两个零点，与题意不符.…...….…………...….…………...….…...….…4综上，曲线与有且仅有一个公共点时，的范围是或....….…...….…………...….…………...….…...….…………...….1（21）（本小题14分）（Ⅰ）（或）..…...….…………...….…………...….…...….3（Ⅱ）必要性：因为QUOTEE数列QUOTEAn是递减数列，所以，所以是首项为，公差为的等差数列，所以...…...….…………...….…………...….…...….3充分性：由于，，…，所以，即，因为，所以，，所以数列是递减数列.综上，结论得证．..…...….…………...….…………...….…...….3（Ⅲ）令，则．因为，