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北京市朝阳区2021-2022学年度第一学期期末质量检测高三数学试卷答案2022.1一、选择题：（本题满分40分）题号12345678910答案DADBCBCDAA二、填空题：（本题满分25分）题号1112131415答案（结果不唯一）垂直①②④三、解答题：（本题满分85分）16.(本小题满分13分)解：（Ⅰ）时，此时为直角三角形，所以.6分（Ⅱ）由题意可得，即所以.则此时三边为所以所以所以13分17.（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由题意知，样本中仅参加学业辅导的学生有人，仅参加体育锻炼的学生有人，仅参加实践能力创新培养的学生有人，未参加任何课后服务的学生有14人.故样本中至少参加了两类课后服务的学生有人.所以从全校学生中随机抽取1人，该学生上个月至少参加了两类课后服务的概率估计值为.4分（Ⅱ）的所有可能值为.从样本中随机抽取1人，该学生上个月仅参加学业辅导的概率为，由此估计从全校学生中随机抽取1人，该学生上个月仅参加学业辅导的概率为.，，，.所以X的分布列为X0123P故X的数学期望为.10分（Ⅲ）.13分18.（本小题满分14分）解：（Ⅰ）证明：正方形中，，平面，平面，所以平面．5分（Ⅱ）条件②符合题意． 过点作于点，过点作且交于点，连接．因为平面平面，且平面平面，，所以平面．所以．以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系．因为平面,平面，平面平面，所以．在四边形中，，，，所以，.在正方形中，，所以．因为，且，所以．所以，，,,．所以，，，．设平面的一个法向量为．由得令，所以．设平面的一个法向量为．由得令，所以．设平面与平面夹角为，则.所以平面和平面夹角的余弦值为．14分19.（本小题满分15分）解：（Ⅰ）由题意可知解得，所以的取值范围为.4分（Ⅱ）当时，曲线为椭圆由题意，设直线的方程为.整理得设直线交椭圆于点，则，.由直线的方程，令解得，所以，.所以直线的方程为，.令解得，所以.直线的方程为，.令解得，所以..由于，.则==2.所以线段的中点的坐标为.15分20.（本小题满分15分）解：（Ⅰ）定义域为，，所以曲线在处切线的斜率为1.4分（Ⅱ），则.令得.当时，，单调递增；当时，，单调递减.所以函数的极大值为.10分（Ⅲ），当时，，所以函数在时单调递增.而，.所以方程在时有且只有一个根，即方程在时有且只有一个根.当时，讨论函数的零点个数即讨论方程根的个数，即研究方程的根的个数，即研究函数的零点个数.当时，，，则函数在上无零点.综上,当时，函数有且仅有一个零点.15分21.（本小题满分15分）解：（Ⅰ），．4分（Ⅱ）对任意，设，则均为非负整数，且．令，则所以，且．9分（Ⅲ）对任意，，记，则均为非负整数，且所以，且．设集合中的元素个数为

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