工程力学 课件 第13章 圆轴的扭转

工程力学

EngineeringMechanics第13章圆轴的扭转工程力学

EngineeringMechanics13.1传动轴的外力偶矩、扭矩和扭矩图13.2薄壁圆筒的扭转、切应力互等定理与剪切胡克定律轴的扭转扭转实例汽车传动轴搅拌器主轴螺丝刀十字套筒扳手等轴的扭转以扭转变形为主的杆件称为轴。最常用的是圆截面轴。特点：外力偶作用在垂直于杆件轴线的平面内，杆件的任意两个横截面之间发生绕轴线的相对转动。主要讨论圆轴扭转：外力、内力、应力、强度和刚度问题。扭转变形是杆件变形的一种基本形式。M0M013.1.1传动轴上外力偶矩的计算轴的扭转13.1传动轴的外力偶矩、扭矩和扭矩图在扭转变形中，受到的外载荷为外力偶矩。在工程计算中，外力偶矩往往不是直接给出的，通常已知：轴的传递功率P(单位：kW)和转速n(单位：r/min)，求：外力偶矩MtBnDACd2d11m0.3m0.5mPAPDPB13.1.1传动轴上外力偶矩的计算轴的扭转13.1传动轴的外力偶矩、扭矩和扭矩图已知：轴的传递功率P(单位：kW)和转速n(单位：r/min)，求：外力偶矩Mt外力偶所做的功轴传递的功单位：1kW=1000N·m/s每分钟内=13.1.2杆件扭转时的内力——扭矩和扭矩图轴的扭转13.1传动轴的外力偶矩、扭矩和扭矩图

内力偶矩，称为扭矩，用T

表示。按右手螺旋法则，矢量方向离开截面时， 扭矩为“+”，

反之为“-”。扭矩的符号规定：MtMt(a)TmmMt(b)MtmmT(c)mm13.1.2杆件扭转时的内力——扭矩和扭矩图轴的扭转13.1传动轴的外力偶矩、扭矩和扭矩图以沿杆轴线方向的坐标表示横截面的位置，以垂直于杆轴线的另一坐标表示相应截面上的扭矩。——扭矩图。扭矩图的作用：(1)形象地表示了扭矩沿轴线的变化情况；(2)容易确定最大扭矩的数值及其所在的截面。轴的扭转13.2薄壁圆筒的扭转、切应力互等定理与剪切胡克定律薄壁圆筒是指筒壁的厚度远小于圆筒直径的圆筒，当其受扭转时，其变形易于观察和分析，以及实验研究。Mt轴的扭转13.2薄壁圆筒的扭转、切应力互等定理与剪切胡克定律13.2.1薄壁圆筒在扭转时的变形特点(1)各圆周线大小、形状和间距不变。圆周线间距不变→长度不变，

→横截面上无正应力(2)圆周线只是绕轴线作相对转动，各纵向线倾斜同一角度，所有矩形变成平行四边形。在相邻两横截面间发生了相对错动，即产生剪切变形，在横截面上存在与上述变形相对应的应力，即垂直半径的切应力。圆周线形状和大小不变，

→在包含轴线在内的纵向截面上无正应力。Mt轴的扭转13.2薄壁圆筒的扭转、切应力互等定理与剪切胡克定律13.2.2薄壁圆筒在扭转时的切应力特点Mtrt由于t<<r

→沿壁厚切应力不变；又沿圆周方向各点的变形相同

→沿圆周各点应力相同。即：

薄壁圆筒扭转时横截面上的切应力均匀分布，方向垂直于半径。MtMt轴的扭转13.2薄壁圆筒的扭转、切应力互等定理与剪切胡克定律13.2.2薄壁圆筒在扭转时的切应力特点OTtr则微面积微剪力微力矩扭矩dA又Mtrt轴的扭转13.2薄壁圆筒的扭转、切应力互等定理与剪切胡克定律13.2.3纯剪切、切应力互等定理用相距dx的两个横截面，

和相距dy

的两个纵向平面，

在薄壁圆筒上切下一个微小六面体。微小单元体abcd

的边长分别为dx，dy

和t。微小单元体的力偶矩平衡：adcbxyzdxdytMtrt轴的扭转13.2薄壁圆筒的扭转、切应力互等定理与剪切胡克定律13.2.3纯剪切、切应力互等定理adcbxyzdxdyt切应力互等定理：在相互垂直的两个截面上，切应力必然成对存在，且数值相等，两者都垂直于两截面的交线，

方向则共同指向、或共同背离这一交线。dxdy单元体四个侧面上，

只有切应力而无正应力，

这种情况称为纯剪切应力状态。Mtrt13.2薄壁圆筒的扭转、切应力互等定理与剪切胡克定律13.2.4切应变、剪切胡克定律切应变微体在切应力作用下产生剪切变形，互相垂直的侧边所夹直角发生微小变化，该直角的改变量称为切应变，用表示单位：rad(弧度)发现当切应力不超过材料的剪切比例极限时，切应力与切应变成正比。G——切变模量，单位GPa。1GPa=109Pa剪切胡克定律dxdy利用薄壁圆筒的扭转实现纯剪切试验。13.2薄壁圆筒的扭转、切应力互等定理与剪切胡克定律13.2.4切应变、剪切胡克定律各向同性材料的三个材料常数的关系理论和试验都可以证明，对于各向同性材料，在比例极限内弹性常数、、三者之间的关系为：各向同性材料只有两个独立的材料常数。这节课就讲到这里。同学们根据这次课学习到的内容和阅读教材，完成教材上的习题。工程力学

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EngineeringMechanics13.3圆轴扭转时的横截面上的应力与强度条件轴的扭转13.3圆轴扭转时的横截面上的应力与强度条件薄壁圆筒扭转：均匀分布的垂直于半径方向的切应力。实心或空心圆轴扭转：横截面上切应力不是均匀分布。从变形几何关系、物理关系和静力学关系三方面进行综合分析。Mt轴的扭转13.3圆轴扭转时的横截面上的应力与强度条件13.3.1圆轴扭转时横截面上的应力1.变形几何关系圆轴扭转变形实验表明：扭转时圆轴表面的变形情况与薄壁圆筒相似(2)圆周线只是绕轴线作相对转动，各纵向线倾斜同一角度，所有矩形变成平行四边形。(1)各圆周线大小、形状和间距不变。Mt轴的扭转13.3圆轴扭转时的横截面上的应力与强度条件13.3.1圆轴扭转时横截面上的应力1.变形几何关系圆轴扭转的假设圆轴扭转，变形后横截面仍保持为平面，

其形状、大小不变，半径仍保持为直线，

相邻两截面的间距不变。

——圆轴扭转的平面假设。由此，圆轴的横截面就像刚性平面一样，绕轴线旋转了一个角度。MtMt轴的扭转13.3圆轴扭转时的横截面上的应力与强度条件13.3.1圆轴扭转时横截面上的应力1.变形几何关系mmnnd

x轴的扭转13.3圆轴扭转时的横截面上的应力与强度条件13.3.1圆轴扭转时横截面上的应力1.变形几何关系对于某一给定的横截面同一横截面上，任一点的切应变与该点距圆心的半径成正比。

式(d)为圆轴扭转时的变形几何关系。扭转角沿轴的变化率轴的扭转13.3圆轴扭转时的横截面上的应力与强度条件13.3.1圆轴扭转时横截面上的应力2.物理关系对于同一截面为常数横截面上任意点处的切应力与该点到圆心的距离成正比， 即沿半径成线性变化。上式表明：(2)因为切应变发生在垂直于半径的平面内， 故切应力与半径垂直。(3)由切应力互等定理知，径向纵截面上也必然存在着相应的切应力。轴的扭转13.3圆轴扭转时的横截面上的应力与强度条件13.3.1圆轴扭转时横截面上的应力3.静力学关系无法计算该截面内的分布内力系可简化为一个合力偶，即该截面上的内力——扭矩。仍然未知，轴的扭转13.3圆轴扭转时的横截面上的应力与强度条件13.3.1圆轴扭转时横截面上的应力3.静力学关系对某一横截面（极惯性矩）圆轴扭转变形的基本关系式圆轴扭转时横截面上任一点处切应力的公式引入轴的扭转13.3圆轴扭转时的横截面上的应力与强度条件13.3.1圆轴扭转时横截面上的应力圆轴扭转时横截面上任一点处切应力的公式圆截面的边缘上，达到最大值R，该处切应力最大，其值为扭转截面系数，m3或cm3极惯性矩，m4或cm4圆轴扭转时横截面最大切应力与截面扭矩成正比，与扭转截面系数成反比。轴的扭转13.3圆轴扭转时的横截面上的应力与强度条件13.3.1圆轴扭转时横截面上的应力圆轴扭转时横截面上任一点处切应力的公式圆轴扭转应力公式的适用范围(1)上述公式都是以平面假设为基础推导出的，已被试验所证实，说明平面假设是正确的。(2)只适用于等直圆轴，平面假设只对等直圆轴才是正确的。(3)推导过程中，由于使用了胡克定律，所以上述公式只适用于不超过材料的剪切比例极限的情况。轴的扭转13.3圆轴扭转时的横截面上的应力与强度条件13.3.2极惯性矩和扭转截面系数的计算1.

实心圆轴Od轴的扭转13.3圆轴扭转时的横截面上的应力与强度条件13.3.2极惯性矩和扭转截面系数的计算2.

空心圆轴OdD这节课就讲到这里。同学们根据这次课学习到的内容和阅读教材，完成教材上的习题。工程力学

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EngineeringMechanics13.3圆轴扭转时的横截面上的应力与强度条件13.4圆轴扭转时的变形与刚度条件13.5圆轴扭转时的静不定问题轴的扭转13.3圆轴扭转时的横截面上的应力与强度条件13.3.3圆轴扭转的强度条件为了保证圆轴扭转时不因强度不够而破坏，轴内最大扭转切应力不得超过材料的许用切应力，故强度条件为变截面阶梯轴：等截面圆轴：研究发现塑性材料脆性材料静载荷情况轴的扭转13.3圆轴扭转时的横截面上的应力与强度条件13.3.3圆轴扭转的强度条件为了保证圆轴扭转时不因强度不够而破坏，轴内最大扭转切应力不得超过材料的许用切应力，故强度条件为变截面阶梯轴：等截面圆轴：实心轴空心轴的比较轴的扭转13.4圆轴扭转时的变形与刚度条件13.4.1圆轴扭转的变形圆轴扭转变形基本关系式则相距l

的两个横截面之间的扭转角为若两截面间扭矩T

不变的等直圆轴，T、G、Ip

为常数，则单位：radGIp——圆轴的截面抗扭刚度。扭转角的正负号规定与扭矩T

相同。轴的扭转13.4圆轴扭转时的变形与刚度条件13.4.2圆轴扭转时的刚度条件轴的刚度条件：限制轴的最大的单位长度的扭转角，使其不超过规定的单位长度的许用扭转角。单位：rad/m单位：º/m许用扭转角的数值：

可按对机器的要求、轴的工作条件，从有关手册中查出。轴的扭转13.4圆轴扭转时的变形与刚度条件轴的扭转13.5圆轴扭转时的静不定问题圆轴扭转时也存在静不定问题，求解思路与轴向拉伸或压缩静不定问题相同，列写静力学平衡方程，判断静不定次数。分析变形几何关系，得到变形协调条件。根据变形的物理关系，代入变形协调条件，得到补充方程。联立静力学平衡方程和补充方程，求解。请感兴趣的同学自行阅读教材上的例子。轴的扭转13.5圆轴扭转时的静不定问题这节课就讲到这里。同学们根据这次课学习到的内容和阅读教材，完成教材上的习题。轴的扭转例某传动圆轴受外力偶作用所示，轴直径d=50mm，a=0.5m，材料切变模量G=80GPa。试计算该轴右端面D

相对于左端面A

之间的扭转角。解：1.绘制扭矩图2.计算变形2kN·mdDaaa1kN·m1kN·m2kN·mCBAABC(T)2kN·m1kN·m2kN·mD轴的扭转例如图所示变截面圆轴（阶梯圆轴），D1=100mm，D2=60mm。已知外力偶矩MtA=10kN·m，MtB=7kN·m，MtC=3kN·m，材料的切变模量G=80Gpa，许用切应力[τ]=60MPa，许用单位长度扭转角。试按强度条件和刚度条件的要求设计该轴BC段的直径。解：1.绘制扭矩图。AMtAMtBMtCD1D2BCABC(T)10kN·m3kN·m2.分段校核强度（前面例子已完成）AB

段强度符合要求且超过5%，BC

段强度不合要求轴的扭转例如图所示变截面圆轴（阶梯圆轴），D1=100mm，D2=60mm。已知外力偶矩MtA=10kN·m，MtB=7kN·m，MtC=3kN·m，材料的切变模量G=80Gpa，许用切应力[τ]=60MPa，许用单位长度扭转角。试按强度条件和刚度条件的要求设计该轴BC段的直径。AMtAMtBMtCD1D2BCABC(T)10kN·m3kN·m3.按强度条件设计BC

段的直径轴的扭转例如图所示变截面圆轴（阶梯圆轴），D1=100mm，D2=60mm。已知外力偶矩MtA=10kN·m，MtB=7kN·m，MtC=3kN·m，材料的切变模量G=80Gpa，许用切应力[τ]=60MPa，许用单位长度扭转角。试按强度条件和刚度条件的要求设计该轴BC段的直径。AMtAMtBMtCD1D2BCABC(T)10kN·m3kN·m4.按刚度条件设计BC

段的直径轴的扭转例如图所示变截面圆轴（阶梯圆轴），D1=100mm，D2=60mm。已知外力偶矩MtA=10kN·m，MtB=7kN·m，MtC=3kN·m，材料的切变模量G=80Gpa，许用切应力[τ]=60MPa，许用单位长度扭转角。试按强度条件和刚度条件的要求设计该轴BC段的直径。AMtAMtBMtCD1D2BCABC(T)10kN·m3kN·m4.按刚度条件设计BC

段的直径3.按强度条件设计BC

段的直径5.综合强度和刚度条件确定该轴BC

段的直径设计时可选取整为D2=66mm。轴的扭转例如图所示，两端A、B固定端的圆截面轴，在其C

截面处受到外力偶矩M0

的作用，AC

段的扭转刚度为G1Ip1，BC

段的扭转刚度为G2Ip2，试求A、B

两处约束力偶矩。1.取圆轴为研究对象，受力分析，列写平衡方程解CM0ABG1Ip1G2Ip2abCABGIp1GIp2M0MAMB一个方程，两个未知量，故为一次静不定问题2.变形协调条件3.物理方程(a)(b)4.补充方程轴的扭转例如图所示，两端A、B固定端的圆截面轴，在其C

截面处受到外力偶矩M0

的作用，AC

段的扭转刚度为G1Ip1，BC

段的扭转刚度为G2Ip2，试求A、B

两处约束力偶矩。CM0ABG1Ip1G2Ip2abCABGIp1GIp2M0MAMB(a)(b)平衡方程补充方程联立式(a)和(b)，求解轴的扭转解

1.计算外力偶矩例如图所示传动轴，其转速为n=300r/min，主动轮A输入功率PA=50kW，从动轮B、C、D的输出功率分别是PB=PC=15kW，PD=20kW。试作轴的扭矩图，并确定最大扭矩值（绝对值）

。DBCn112233

2.截面法计算各段扭矩

3.画扭矩图(T)636N·m954N·m477N·m+-A轴的扭转例某传动轴，轴内最大扭矩T=1.6kN·m

，若许用切应力[τ]=50MPa，试按如下两种方案确定轴的横截面尺寸，并比较其重量。（1）实心圆截面轴；（2）空心圆截面轴，其内、外径的比值α=0.9。解：1.确定实心圆截面轴直径d12.确定空心轴的外径D轴的扭转解：1.确定实心圆截面轴直径d12.确定空心轴的外径D