等边三角形的性质和判定

等边三角形的性质及判定…2021/6/271

学习目标

1．探索等边三角形的性质和判定．

2．能运用等边三角形的性质和判定进行计算和证明．

2021/6/272ABC等边对等角三线合一等角对等边两边相等两腰相等轴对称图形知识回顾2021/6/273等边三角形:(正三角形)三条边都相等的三角形.等边三角形是特殊的等腰三角形.2021/6/274

联系：等边三角形是特殊的等腰三角形；

区别：等边三角形有三条相等的边，而等腰三角形只有两条.创设情境，导入新知请分别画出一个等腰三角形和等边三角形，结合你画的图形说出它们有什么区别和联系？ABCABC2021/6/2751、等边三角形的内角都相等吗?为什么?∵AB=AC=BC∴∠A=∠B=∠C(在同一个三角形中等边对等角)∵∠A+∠B+∠C=180°∴∠A=∠B=∠C=60°探索星空：探究性质一2021/6/276证明：∵△ABC是等边三角形，∴

BC=AC，BC=AB．∴∠A=∠B，∠A=∠C．∴∠A=∠B=∠C．∵∠A+∠B+∠C=180°，

∴∠A=60°．∴∠A=∠B=∠C=60°．细心观察，探索性质已知：△ABC是等边三角形求证：∠A=∠B=∠C

=60°．ABC2021/6/277

符号语言：∵△ABC是等边三角形，∴∠A=∠B=∠C=60°．细心观察，探索性质等边三角形的性质：

等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°.ABC2021/6/2782、等边三角形有“三线合一”的性质吗?为什么?结论:等边三角形每条边上的中线,高和所对角的平分线都三线合一。（所有的高线，角平分线，中线的长度相等。）探索星空：探究性质二2021/6/2793、等边三角形是轴对称图形吗?有几条对称轴?探索星空：探究性质三2021/6/2710等边三角形的性质2.等边三角形的内角都相等,且等于60°3.等边三角形各边上中线,高和所对角的平分线都三线合一.4.等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴.1.三条边相等2021/6/2711细心观察，探索性质结合等腰三角形的性质，你能填出等边三角形对应的结论吗？2021/6/2712细心观察，探索性质结合等腰三角形的性质，你能填出等边三角形对应的结论吗？

相等每个角都等于60°2021/6/2713相等每个角都等于60°细心观察，探索性质结合等腰三角形的性质，你能填出等边三角形对应的结论吗？是（三线合一）三条对称轴2021/6/2714思考1一个三角形的三个内角满足什么条件是等边三角形？

三个角都相等的三角形或者一个角为60°的等腰三角形．思考2一个等腰三角形满足什么条件是等边三角形？细心观察，探索性质问题等边三角形除了用定义（即用边）来判定以外，能否利用角来判定呢？2021/6/2715∵∠A=∠B=∠C=60°∴AB=AC=BC(在同一个三角形中等角对等边)探索星空：探究判定一1、三个内角都等于60°的三角形是等边三角形?∴△ABC是等边三角形2021/6/2716符号语言：在△ABC中，∵∠A=∠B=∠C，

∴△ABC是等边三角形．细心观察，探索性质等边三角形的判定定理1：

三个角都相等的三角形是等边三角形．

CAB2021/6/2717

证明：∵∠A=∠B，∠B=∠C，∴BC=AC，AC=AB．∴AB=BC=AC．∴△ABC是等边三角形．已知：在△ABC中，∠A=∠B=∠C．求证：△ABC是等边三角形．细心观察，探索性质CAB2021/6/27182、有一个内角等于60°的等腰三角形是等边三角形?探索星空：探究判定二当顶角为60°时，两个底角各为60°.当底角为60°时，顶角为60°.2021/6/2719细心观察，探索性质等边三角形的判定定理2：

有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形．CAB符号语言：在△ABC中，∵BC=AC，∠A=60°，∴△ABC是等边三角形．2021/6/2720等边三角形的判定定理1：

三个角都相等的三角形是等边三角形．等边三角形的判定定理2：

有一个角为60°的等腰三角形．细心观察，概括归纳判定等边三角形的方法：

从边的角度：等边三角形的定义；

从角的角度：等边三角形的两条判定定理．2021/6/2721等边三角形的判定方法:1.三边相等的三角形是等边三角形.2.三个内角都等于60°（或三个内角都相等）的三角形是等边三角形.3.有一个内角等于60°的等腰三角形是等边三角形.2021/6/2722尝试舞台例4等边三角形ABC的周长等于21㎝，求：（1）各边的长；（2）各角的度数。解：（1）∵AB＝BC＝CA，又∵AB＋BC＋CA＝21㎝（已知）∴AB＝BC＝CA＝21/3＝7（㎝）（2）∵AB＝BC＝CA，（已知）∴∠A＝∠B＝∠C＝60°（等边三角形的每个内角都等于60°）

ABC2021/6/2723试一试你能行

１、下列四个说法中，不正确的有（）（A）0个（B）1个（C）2个（D）3个三个角都相等的三角形是等边三角形。有两个角等于60°的三角形是等边三角形。有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。有两个角相等的等腰三角形是等边三角形。２、等边三角形的对称轴有（）（A）1条（B）2条（C）3条（D）4条

３、等边三角形中，高、中线、角平分线共有（）（A）3条（B）6条（C）9条（D）7条

（选择）ＢＣＡ2021/6/2724探究：如图,等边三角形ABC,以下三种方法分别得到的三角形ADE都是等边三角形吗？为什么？（1）在边AB，AC，分别截取AD=AE（2）∠ADE=60°，D，E分别在边AB，AC上（3）过边AB上D点，作DE∥BC，交

AC于E点ABCDE2021/6/2725证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠A=∠B=∠C=60°．∵DE∥BC，

∴∠B=∠ADE，∠C=∠AED．∴∠A=∠ADE=∠AED．∴△ADE是等边三角形．动脑思考，例题解析例1如图，△ABC是等边三角形，DE∥BC,分别交AB，AC于点D，E．求证：△ADE是等边三角形.追问本题还有其他证法吗？ABCDE2021/6/2726证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠A=∠ABC=∠ACB=60°．∵DE∥BC，

∴∠ABC=∠ADE，∠ACB=∠AED.∴∠A=∠ADE=∠AED.∴△ADE是等边三角形.动脑思考，变式训练变式1若点D、E在边AB、AC的延长线上，且DE∥BC，结论还成立吗？ADEBC2021/6/2727动脑思考，变式训练变式2若点D、E在边AB、AC的反向延长线上，且DE∥BC，结论依然成立吗？证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC=∠B=∠C=60°．∵DE∥BC，

∴∠B=∠D，∠C=∠E．∴∠EAD=∠D=∠E．∴△ADE是等边三角形．ADEBC2021/6/2728这是两个等边三角形,那么请移动三根火柴,将此图变成四个等边三角形.提示:此题并不难,如果外部不能解决,那么想想里面吧.考考你2021/6/2729等边三角形的性质:三个角都相等，且都为60°三线合一三条边都相等轴对称图形，有三条对称轴2021/6/2730等边三角形的判定:三个角都等于60°的三角形三条边都相等的三角形有一个角等于60°的等腰三角形2021/6/2731BACD将两个含有30°的直角三角板如图摆放在一起你能借助这个图形,找到Rt△ABC的直角边BC与斜边AB之间的数量关系吗?探究2021/6/2732∵△ABC与△ADC关于AC轴对称∴AB＝AD△ABD是等边三角形又∵AC⊥BD∴BC＝DC＝1/2AB你还能用其他方法证明吗?BACD2021/6/2733在直角三角形中,如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半.A┓）30°BC在直角△ABC中∵∠A＝30°∴AC＝2BC2021/6/2734下图是屋架设计图的一部分,点D是斜梁AB的中点,立柱BC、DE垂直于横梁AC,AB＝7.4m,∠A＝30°立柱BC、DE要多长?ABDEC2021/6/2735解:∵DE⊥AC,BC⊥AC,∠A＝30°可得2BC＝AB,2DE＝AD∴BC＝1/2×7.4＝3.7m又AD＝1/2AB

∴DE＝1/2AD＝1/2×3.7＝1.85m答:立柱BC的长是3.7m,DE的长是1.85m.2021/6/2736

1如图,在△ABC中∠C=90°,∠B=15°,AB的垂直平分线交BC于D,交AB于M,且BD=8㎝,求AC之长.作业题:MCBDA2021/6/2737

2如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=120°,AB的垂直平分线

MN交BC于M,交AB于N,

求证:CM=2BMNMCBA2021/6/27382、在Rt△ABC中，如果∠BＣＡ＝９0°

，∠A＝30°，CD是高，（1）BD=1，则BC、AB各等于多少；（2）求证：BD=1/2BC=1/4AB解（1）由已知可求得∠BＣD=30°

于是在Rt△ADC与Rt△BDC中用本定理得BC=2，AB=4

（2）在Rt△ADC与Rt△BDC运