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等差数列的判定和性质

2021/6/271一、等差数列的判定方法1、定义法：an－an－1=d(常数）2、数列｛an｝是等差数列的充要条件是：①｛pan+q｝成等差数列（p、q是常数）②2an+1=an+an+2(n∈N*）③前n项和Sn=An2+Bn(A、B是常数）2021/6/272证明：必要性若｛an｝是等差数列，则｛an｝前n项和2021/6/273二、等差数列的性质（1）an=am+(n－m)d,（2）m+n=p+q,am+an=ap+aq(m,n,p,q∈N*)(特别是：m+n=2pam+an=2ap)（3）前n项和为n的二项式（d≠0时），且常数为0，即Sn=an2+bn;且a=d2021/6/2742021/6/275（5）当n为偶数时2021/6/276（6）前n项和Sn最大（最小）2021/6/277三、等差数列｛an｝记A=a1+a2+…+an,,B=an+1+an+2+…+…+a2n,,C=a2n+1+a2n+2+…+a3n则A、B、C成等差数列，公差为n2d(其中d为｛an｝的公差）四、等比数列｛an｝记A=a1+a2+…+an,,B=an+1+an+2+…+…+a2n,,C=a2n+1+a2n+2+…+a3n则A、B、C成等比数列，公比为qn(其中q为｛an｝的公比）2021/6/278例题1已知项数为奇数的等差数列｛an｝,奇数项之和为44，偶数项之和为33，求项数n2021/6/279例2数列｛an｝中，a1=－60,且an+1=an+3,则这个数列前多少项之和最小？

2021/6/2710例3已知数列｛an｝的前n项和Sn=10n－n2(n∈N*),又bn=│an│(n∈N*),求｛bn｝的前n项和Tn解：易得an=Sn－Sn－1=11－2n,(n≥2)，又a1=S1=9,∴an=11－2n,（n∈N*）∵a5>0,a6<0,∴当n≤5时，bn=an,Tn=Sn=10n－n2,当n>5时，bn=－an,,Tn=2S5－Sn=50－(10n－n2)=n2－10n+50

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