2024年北师大版高三数学下册阶段测试试卷

…………○…………内…………○…………装…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第=page22页，总=sectionpages22页第=page11页，总=sectionpages11页2024年北师大版高三数学下册阶段测试试卷501考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______姓名：______班级：______考号：______总分栏题号一二三四五六总分得分评卷人得分一、选择题(共8题，共16分)1、已知等比数列{an}中，若P=a1•a2•a3an，S=a1+a2+a3++an，S1=++++，则P与S，S1的关系为（）A.P=（SS1）B.P=C.P=（SS1）D.P=2、若空间向量=（1，-2，1），=（1，0，2），则下列向量可作为向量，所在平面的一个法向量的是（）A.（4，-1，2）B.（-4，-1，2）C.（-4，1，2）D.（4，-1，-2）3、关于统计数据的分析；有以下几个结论，其中正确的个数为（）

①将一组数据中的每个数据都减去同一个数后；期望与方差均没有变化；

②调查剧院中观众观后感时；从50排（每排人数相同）中任意抽取一排的人进行调查是分层抽样法；

③已知随机变量X服从正态分布N（3；1），且P（2≤X≤4）=0.6826，则P（X＞4）等于0.1587

④某单位有职工750人，其中青年职工350人，中年职工250人，老年职工150人．为了了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本．若样本中的青年职工为7人，则样本容量为15人．A.1B.2C.3D.44、现需编制一个八位的序号，规定如下：序号由4个数字和2个x、1个y、1个z组成；2个x不能连续出现，且y在z的前面；数字在0、1、2、、9之间任选，可重复，且四个数字之积为8．则符合条件的不同的序号种数有（）A.12600B.6300C.5040D.25205、如果奇函数在[a，b]具有最大值，那么该函数在[-b，-a]有（）A.最小值B.最大值C.没有最值D.无法确定6、在的展开式中任取一项，设所取项为有理项的概率为dx=（）

A.1

B.

C.

D.

7、已知抛物线的准线与双曲线两条渐近线分别交于A，B两点，且则双曲线的离心率e为（）A.2B.C.D.8、已知{1an}

是等差数列，且a1=1a4=4

则a10=(

)

A.鈭�45

B.鈭�54

C.413

D.134

评卷人得分二、填空题(共8题，共16分)9、函数y=x2-lgx在x∈[1，100]上的最大值与最小值的和是____．10、已知∠α的终边与直线y=x重合，则tanα=____．11、已知椭圆=1（a＞b＞0）的四个顶点顺次连接构成一个菱形，该菱形的面积为2，又椭圆的离心率为，则椭圆的标准方程是____．12、幂函数f（x）=xα经过点P（2，4），则f（）=____．13、若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”，试问解析式y=x2+1，值域为{5，10}的“孪生函数”共有____个．14、已知点A（4，1，9），B（10，-1，6），C（2，4，3），则△ABC中的∠BAC的大小是____．15、【题文】直线与曲线相切于点则________．16、已知函数g（x）=2x，且有g（a）g（b）=2，若a＞0且b＞0，则ab的最大值是______．评卷人得分三、判断题(共9题，共18分)17、判断集合A是否为集合B的子集；若是打“√”，若不是打“×”．

（1）A={1，3，5}，B={1，2，3，4，5，6}．____；

（2）A={1，3，5}，B={1，3，6，9}．____；

（3）A={0}，B={x|x2+1=0}．____；

（4）A={a，b，c，d}，B={d，b，c，a}．____．18、函数y=sinx，x∈[0，2π]是奇函数．____（判断对错）19、已知函数f（x）=4+ax-1的图象恒过定点p，则点p的坐标是（1，5）____．（判断对错）20、判断集合A是否为集合B的子集；若是打“√”，若不是打“×”．

（1）A={1，3，5}，B={1，2，3，4，5，6}．____；

（2）A={1，3，5}，B={1，3，6，9}．____；

（3）A={0}，B={x|x2+1=0}．____；

（4）A={a，b，c，d}，B={d，b，c，a}．____．21、函数y=sinx，x∈[0，2π]是奇函数．____（判断对错）22、已知函数f（x）=4+ax-1的图象恒过定点p，则点p的坐标是（1，5）____．（判断对错）23、已知A={x|x=3k-2，k∈Z}，则5∈A．____．24、空集没有子集．____．25、若b=0，则函数f（x）=（2k+1）x+b在R上必为奇函数____．评卷人得分四、证明题(共4题，共20分)26、如图，在底面是菱形的四棱锥P-ABCD中∠ABC=60°，PA=AC=1，PB=PD=；若E是侧棱PD的中点。

（Ⅰ）证明：PA⊥平面ABCD

（Ⅱ）求直线CE与底面ABCD所成角的大小．27、求证：=．28、已知数列{an}的通项公式为

设．证明：当．29、已知数列{an}满足a1=5，a2=5，an+1=an+6an-1（n≥2，n∈N*）．

（1）求证：当n≥2时，{an+2an-1}和{an-3an-1}均为等比数列；

（2）求证：当k为奇数时，；

（3）求证：（n∈N*）．评卷人得分五、作图题(共4题，共12分)30、（1）用“五点法”画函数y=4sinx在区间[0；2π]上的简图；

（2）y=4sinx是周期函数，周期T=2π，根据周期函数性质和在区间[0，2π]上的图象，画出在区间[-2π，4π]上的图象；（3）在区间[-2π，4π]上，写出使得y≥0成立的x取值范围，并说明每两个相邻区间端点与周期T之间的关系．31、画出函数y=3sin（2x+）（x∈R）的图象．

。2x+0π2πx-32、数列{an}满足：a1=0，a2=1，an=an-1+2an-2（n≥3）计一个算法，列出数列{an}的前20项，并画出程序框图．33、已知函数f（x）=sin（-）．

（1）请用“五点法”画出函数f（x）在长度为一个周期的闭区间上的简图（先在所给的表格中填上所需的数值；再画图）；

（2）求函数f（x）的单调递增区间．评卷人得分六、其他(共4题，共24分)34、已知函数f（x）=|x-1|+|x+a|，

（1）当a=-2时；求不等式f（x）＜g（x）的解集；

（2）若a＞-1，且当x∈[-a，1]时，不等式f（x）≤g（x）有解，求实数a的取值范围．35、求下列不等式的解集：

（1）x2-3x-10＞0

（2）≥2．36、已知函数f（x）在R上为增函数，且过（-3，-1）和（1，2）两点，集合A={x|f（x）＜-1或f（x）＞2}，关于x的不等式的解集为B，求使A∩B=B的实数a的取值范围．37、解不等式组．参考答案一、选择题(共8题，共16分)1、B【分析】【分析】设等比数列{an}的公比为q，运用等比数列的求和公式，注意公比为1的情况，分别求出P，S，S1，再求，即可比较它们的关系．【解析】【解答】解：设等比数列{an}的公比为q；

则P=a1•a2•a3an=a1•a1q•a1q2••a1qn-1

=a1nq1+2+3++n-1=a1n；

S=a1+a2+a3++an=；

S1=++++=．

若q=1，则P=a1n，==a1n，则有P=；

若q≠1，则P═a1n；

==a12qn-1；

=a1n；

则有P=．

故选B．2、B【分析】【分析】设向量，所在平面的一个法向量为，则，列出方程组求出的一个值即可判断出结果．【解析】【解答】解：设向量，所在平面的一个法向量为=（x；y，z）；

则；

即；

令z=2；则x=-4，y=-1；

∴=（-4；-1，2）．

故选：B．3、B【分析】【分析】根据期望；方差的计算公式判断①错误；

根据分层抽样和系统的特征；可知②错误；

根据正态分布的对称性判断③正确；

利用分层抽样的抽取比例求出样本容量验证④正确．【解析】【解答】解：①期望改变；方差不变；∴①错误；

②根据分层抽样和系统的特征；可知该抽样应为系统抽样，∴②错误；

③根据正态分布的对称性P（ξ＞4）=×（1-0.6826）=0.1587；∴③正确；

④∵样本中的青年职工为7人，∴抽取的比例为=，∴样本容量为750×=15．∴④正确．

故选：B．4、B【分析】【分析】首先积为8的只能是3个1和一个8或者是三个2和一个1或者一个4和一个2和两个1，先把这四个数字排好，然后加上从8个位置选2个位置安排yz，最后插入两个X，利用乘法原理即可得出答案．【解析】【解答】解：首先积为8的只能是3个1和一个8或者是三个2和一个1或者一个4和一个2和两个1；先把这四个数字排好；

有C+C+A=20种；

然后排yz，四个数加上yz共六个位置，yz，占两个，排法有C种；

最后在这六个数（或字母）形成的共7个空中插入X，有C种．

则符合条件的不同的序号种数有20×C×C=6300．

故选B．5、A【分析】【分析】根据奇函数的性质，奇函数关于原点对称，知道函数在[a，b]具有最大值，即可函数在[-b，-a]有最小值．【解析】【解答】解：∵奇函数在[a，b]具有最大值；

∴该函数在[-b；-a]有最小值；

故选A．6、B【分析】

的展开式的通项为=

∴r取3；9时，为有理项。

∴任取一项，设所取项为有理项的概率为=

∴dx=dx==

故选B．

【解析】【答案】先确定展开式的有理项；求出概率，再计算定积分．

7、D【分析】【分析】抛物线的准线为双曲线的渐近线为两者联立，求出交点坐标为即则即选D.8、A【分析】解：根据题意，{1an}

是等差数列；设其公差为d

若a1=1a4=4

有1a1=11a4=14

则3d=1a4鈭�1a1=鈭�34

即d=鈭�14

则1a10=1a1+9d=鈭�54

故a10=鈭�45

故选：A

．

根据题意，设等差数列{1an}

的公差为d

结合题意可得1a1=11a4=14

计算可得公差d

的值，进而由等差数列的通项公式可得1a10

的值；求其倒数可得a10

的值．

本题考查等差数列的通项公式，注意求出{1an}

的公差．【解析】A

二、填空题(共8题，共16分)9、略

【分析】【分析】对函数y=x2-lgx，两边取常用对数，即有lgy=lgx（2-lgx），x∈[1，100]，可得lgx∈[0，2]，由lgx（2-lgx）=-（lgx-1）2+1，再由二次函数的最值求法，可得最值．【解析】【解答】解：函数y=x2-lgx；即有lgy=lgx（2-lgx）；

x∈[1；100]，可得lgx∈[0，2]；

由lgx（2-lgx）=-（lgx-1）2+1；

当lgx=1即x=10时；可得lgy的最大值为1；

当lgx=0或2；即x=1或100时，可得lgy的最小值为0．

即有y的最小值为1；最大值为10；

最小值和最大值的和为11．

故答案为：11．10、略

【分析】【分析】在∠αα的终边上任意取一点（x，y），则y=x，x≠0，由正切函数的定义tanα=运算求得结果．【解析】【解答】解：在角α的终边上任意取一点（x；y），则y=x，x≠0．

由正切函数的定义可得tanα==1；

故答案为：1．11、略

【分析】【分析】由离心率求得a和c的关系，进而根据c2=a2-b2求得a和b的关系，进而根据×2a×2b=求得a和b，则椭圆的方程可得．【解析】【解答】解：由e==，得3a2=5c2．

再由c2=a2-b2，解得a=b．

由题意可知×2a×2b=，即ab=．

解方程得a=，b2=2．

所以椭圆的方程为．

故答案为：．12、略

【分析】【分析】利用幂函数的性质求解．【解析】【解答】解：∵幂函数f（x）=xα经过点P（2；4）；

∴2a=4；解得a=2；

∴f（x）=x2；

∴f（）=（）2=2．

故答案为：2．13、略

【分析】【分析】根据已知中若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”，再由函数解析式为y=x2+1，值域为{5，10}，由y=5时，x=±2；y=10时，x=±3，用列举法，可以得到函数解析式为y=x2+1，值域为{5，10}的所有“孪生函数”，进而得到答案．【解析】【解答】解：由已知中“孪生函数”的定义：

一系列函数的解析式相同；值域相同，但定义域不同；

当函数解析式为y=x2+1；值域为{5，10}时；

由y=5时；x=±2，y=10时，x=±3

用列举法得函数的定义域可能为：{-2；-3}，{-2，3}，{2，-3}，{2，3}，{-2，-3，3}，{2，-3，3}，{2，3，-2}，{2，-3，-2}，{-2，-3，3，2}，共9个。

故答案是9．14、略

【分析】【分析】利用向量的坐标运算和数量积与垂直的关系即可得出．【解析】【解答】解：∵，；

∴=6×（-2）+-2×3+（-3）×（-6）=0；

∴；

∴∠BAC=90°．

故答案为90°．15、略

【分析】【解析】

试题分析：由又由即在直线上，又在曲线上，可得k=1，a=0，b=2，则．

考点：利用导函数处理曲线的切线【解析】【答案】216、略

【分析】解：∵函数g（x）=2x，且有g（a）g（b）=2；

∴2=2a•2b=2a+b，∴a+b=1；

∵a＞0且b＞0，∴ab≤=

当且即当a=b=时，ab取最大值

故答案为：．

由题意和指数的运算易得a+b=1，由基本不等式可得ab≤=注意等号成立的条件即可．

本题考查基本不等式求最值，涉及指数的运算，属基础题．【解析】三、判断题(共9题，共18分)17、√【分析】【分析】根据子集的概念，判断A的所有元素是否为B的元素，是便说明A是B的子集，否则A不是B的子集．【解析】【解答】解：（1）1；3，5∈B，∴集合A是集合B的子集；

（2）5∈A；而5∉B，∴A不是B的子集；

（3）B=∅；∴A不是B的子集；

（4）A；B两集合的元素相同，A=B，∴A是B的子集．

故答案为：√，×，×，√．18、×【分析】【分析】根据奇函数的定义进行判断即可得到答案．【解析】【解答】解：∵x∈[0；2π]，定义域不关于原点对称；

故函数y=sinx不是奇函数；

故答案为：×19、√【分析】【分析】已知函数f（x）=ax-1+4，根据指数函数的性质，求出其过的定点．【解析】【解答】解：∵函数f（x）=ax-1+4；其中a＞0，a≠1；

令x-1=0，可得x=1，ax-1=1；

∴f（x）=1+4=5；

∴点P的坐标为（1；5）；

故答案为：√20、√【分析】【分析】根据子集的概念，判断A的所有元素是否为B的元素，是便说明A是B的子集，否则A不是B的子集．【解析】【解答】解：（1）1；3，5∈B，∴集合A是集合B的子集；

（2）5∈A；而5∉B，∴A不是B的子集；

（3）B=∅；∴A不是B的子集；

（4）A；B两集合的元素相同，A=B，∴A是B的子集．

故答案为：√，×，×，√．21、×【分析】【分析】根据奇函数的定义进行判断即可得到答案．【解析】【解答】解：∵x∈[0；2π]，定义域不关于原点对称；

故函数y=sinx不是奇函数；

故答案为：×22、√【分析】【分析】已知函数f（x）=ax-1+4，根据指数函数的性质，求出其过的定点．【解析】【解答】解：∵函数f（x）=ax-1+4；其中a＞0，a≠1；

令x-1=0，可得x=1，ax-1=1；

∴f（x）=1+4=5；

∴点P的坐标为（1；5）；

故答案为：√23、×【分析】【分析】判断5与集合A的关系即可．【解析】【解答】解：由3k-2=5得，3k=7，解得k=；

所以5∉Z；所以5∈A错误．

故答案为：×24、×【分析】【分析】根据空集的性质，分析可得空集是其本身的子集，即可得答案．【解析】【解答】解：根据题意；空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集；

即空集是其本身的子集；则原命题错误；

故答案为：×．25、√【分析】【分析】根据奇函数的定义即可作出判断．【解析】【解答】解：当b=0时；f（x）=（2k+1）x；

定义域为R关于原点对称；

且f（-x）=-（2k+1）x=-f（x）；

所以函数f（x）为R上的奇函数．

故答案为：√．四、证明题(共4题，共20分)26、略

【分析】【分析】（1）由勾股定理得PA⊥AB；PA⊥AD，由此能证明PA⊥平面ABCD．

（2）过点E作EO⊥平面ABCD，交AD于点O，连结CO，则∠ECO是直线CE与底面ABCD所成角，由此能求出直线CE与底面ABCD所成角的大小．【解析】【解答】证明：（1）∵在底面是菱形的四棱锥P-ABCD中∠ABC=60°，PA=AC=1，PB=PD=；

∴AB2+PA2=PB2，AD2+PA2=PD2；

∴PA⊥AB；PA⊥AD；

∵AB∩AD=A；

∴PA⊥平面ABCD．

解：（2）∵E是侧棱PD的中点。

∴过点E作EO⊥平面ABCD；交AD于点O，连结CO；

则∠ECO是直线CE与底面ABCD所成角，CO=；

∵四棱锥P-ABCD中∠ABC=60°，PA=AC=1，PB=PD=；

∴DO=，CO==；

∴tan==；

∴∠ECO=30°；

∴直线CE与底面ABCD所成角的大小为30°．27、略

【分析】【分析】由平方差公式和sin2θ+cos2θ=1，推导出左边=1，再把右式中的1换为（sin2θ+cos2θ）2，推导出右边=1，由此能证明=．【解析】【解答】证明：

=

=

==1；

=

=

==1．

∴=．28、略

【分析】【分析】由已知得，，故，，由错位相减法知．故，问题转化为证明：当n≥6时，n（n+2）＜2n，再用数学归纳法证明．【解析】【解答】解：由已知得，；

故；（2分）

（3分）

（4分）

两式相减得，（5分）

化简得．故（7分）

因而

问题转化为证明：当n≥6时，n（n+2）＜2n；（9分）

采用数学归纳法．

（1）当n=6时，n（n+2）=6×8=48，2n=26=64；48＜64；

此时不等式成立；（10分）

（2）假设n=k（k≥6）时不等式成立，即k（k+2）＜2k；（11分）

那么当n=k+1时，2k+1=2×2k＞2k（k+2）=2k2+4k=k2+4k+k2＞k2+4k+3=（k+1）（k+3）=（k+1）[（k+1）+2]

这说明；当n=k+1时不等式也成立（13分）

综上可知，当n≥6时，n（n+2）＜2n成立，原命题得证．（14分）29、略

【分析】【分析】（1）整理an+1=an+6an-1得an+1-3an=-2（an-3an-1），an+1+2an=3（an+2an-1），进而判断出当n≥2时，{an+2an-1}是首项为15公比为3的等比数列，{an-3an-1}是首项为-10；公比为-2的等比数列．

（2）利用（1）中求得的an+2an-1和an+1-3an，两式相减求得an，进而求得当k为奇数时，=原式得证．

（3）利用（2）中的结论，进而可知当n为偶数时，求得，n为奇数时，，综合原式可证．【解析】【解答】解：（1）由an+1=an+6an-1（n≥2，n∈N*）得：

an+1+2an=3（an+2an-1），an+1-3an=-2（an-3an-1）

且a2+2a1=15，a2-3a1=-10．

∴当n≥2时，{an+2an-1}是首项为15公比为3的等比数列；

{an-3an-1}是首项为-10；公比为-2的等比数列．

（2）由（1）得an+1+2an=15×3n-1，an+1-3an=-10×（-2）n-1

以上两式相减得an=3n-（-2）n．

当k为奇数时，

=；

∴．

（3）由（2）知，当k为奇数时，；

∴当n为偶数时，

当n为奇数时，五、作图题(共4题，共12分)30、略

【分析】【分析】（1）利用“五点法”即可作出函数y=f（x）在一个周期上的图象．

（2）根据函数在区间[0；2π]上的图象分别向左向右平移一个周期即可得解．

（3）利用函数图象即可得解使得y≥0成立的x取值范围，每两个相邻区间端点之间的距离为周期的一半．【解析】【解答】解：（1）列表：

。x0π2πsinx010-10y=4sinx040-40画图如下：

（2）根据函数在区间[0；2π]上的图象分别向左，向右平移一个周期即可得解图象如下：

（3）利用（2）函数图象即可得解使得y≥0成立的x取值范围为：[-2π；-π]∪[0，π]∪[2π，3π]；

可得：每两个相邻区间端点之间的距离为周期的一半．31、略

【分析】【分析】直接利用五点法列出表格，在给的坐标系中画出图象即可．【解析】【解答】解：列表：。2x+0π2πx-3sin（2x+）030-30作图：

（6分）32、略

【分析】【分析】这是一个累加求和问题，可设计一个计数变量k，一个累加变量C，用循环结构实现这一算法．【解析】【解答】解：程序框图：

33、略

【分析】【分析】（1）分别令-=0，，π，；2π，得到相应的x的值及y的值，再描点即可；