北京19中考数学试卷

北京19中考数学试卷一、选择题

1.下列各数中，无理数是：

A.3

B.-√16

C.2.5

D.√2

2.在直角坐标系中，点A（3，4）关于y轴的对称点坐标为：

A.（-3，4）

B.（3，-4）

C.（-3，-4）

D.（3，4）

3.若等差数列{an}的前n项和为Sn，且S10=55，S15=120，则第10项a10等于：

A.3

B.5

C.7

D.9

4.已知函数f(x)=ax²+bx+c（a≠0），若f(x)在x=1处有极值点，则：

A.a+b+c=0

B.a-b+c=0

C.a+b-c=0

D.a-b-c=0

5.在三角形ABC中，∠A=45°，∠B=60°，则∠C的度数是：

A.30°

B.45°

C.60°

D.90°

6.若等比数列{an}的前n项和为Sn，且a1=1，q=2，则S4等于：

A.4

B.8

C.16

D.32

7.已知二次函数f(x)=ax²+bx+c（a≠0）的图像开口向上，且顶点坐标为（1，-2），则a、b、c的关系是：

A.a>0，b>0，c<0

B.a>0，b<0，c>0

C.a<0，b<0，c>0

D.a<0，b>0，c<0

8.在三角形ABC中，∠A=30°，∠B=45°，∠C的度数是：

A.75°

B.105°

C.135°

D.165°

9.已知函数f(x)=ax³+bx²+cx+d（a≠0），若f(x)在x=1处有极值点，则：

A.a+b+c+d=0

B.a+b+c+d=1

C.a+b+c+d=-1

D.a+b+c+d=2

10.在直角坐标系中，点P（-2，3）关于直线x+y=0的对称点坐标为：

A.（-3，-2）

B.（3，2）

C.（-3，2）

D.（3，-2）

二、判断题

1.在平面直角坐标系中，任意一条直线都至少与x轴和y轴相交一次。（）

2.函数y=x²在定义域内是增函数。（）

3.等差数列的通项公式可以表示为an=a1+(n-1)d。（）

4.等比数列的求和公式适用于任何实数q（q≠0）。（）

5.在平面直角坐标系中，点到直线的距离等于点到直线的垂线段的长度。（）

三、填空题

1.若等差数列{an}的第一项为a1，公差为d，则第n项an的表达式为______。

2.函数y=2x+3的图像是一条______直线，其斜率为______，截距为______。

3.在三角形ABC中，若∠A=90°，a=5，b=12，则三角形ABC的面积S=______。

4.若等比数列{an}的第一项为a1，公比为q（q≠1），则前n项和Sn的表达式为______。

5.在直角坐标系中，点P（-3，2）到直线x-2y+5=0的距离是______。

四、简答题

1.简述一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的解法，并举例说明。

2.给定函数f(x)=x³-3x²+4x，求f(x)的单调区间。

3.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S5=20，S10=70，求第8项a8的值。

4.在直角坐标系中，点A（2，3）关于直线y=x的对称点坐标是什么？

5.已知函数f(x)=√(x+2)，求f(x)的值域。

五、计算题

1.计算下列函数的极值点：

f(x)=x³-6x²+9x+1

2.求解下列方程的实数解：

x²+4x+3=0

3.计算等差数列{an}的前10项和，其中a1=3，d=2。

4.已知等比数列{an}的第一项a1=4，公比q=1/2，求前5项的和S5。

5.在直角坐标系中，已知点A（1，2）和点B（4，-3），求线段AB的长度。

六、案例分析题

1.案例背景：某中学在组织一次数学竞赛后，发现参赛学生的成绩分布呈现正态分布，平均分为70分，标准差为10分。请分析以下情况：

（1）估计至少有多少比例的学生得分在60分以下？

（2）如果学校希望至少80%的学生得分在某个区间内，这个区间的得分范围是多少？

2.案例背景：某班级有学生30人，期中考试数学成绩的分布近似正态分布，平均分为75分，标准差为15分。以下是该班级的成绩分布情况：

-得分在60分以下的有5人

-得分在60分到75分之间的有10人

-得分在75分到90分之间的有12人

-得分在90分以上的有3人

请根据以上信息回答以下问题：

（1）计算该班级数学成绩的中位数是多少？

（2）如果学校要求该班级的平均分至少达到80分，那么需要采取哪些措施来提高学生的整体成绩？

七、应用题

1.小明去书店购买书籍，他购买了5本书，总价为150元。书店老板为了促销，给小明打了8折。请问小明实际支付了多少钱？

2.一个长方形的长是6米，宽是4米。如果将其面积扩大到原来的2倍，那么新的长方形的长和宽各是多少米？

3.小红骑自行车从A地到B地，速度为20公里/小时，共用时3小时。如果小红骑自行车的速度提高到25公里/小时，她到达B地的时间将缩短多少？

4.一个等差数列的前三项分别是3，7，11。请问这个等差数列的第10项是多少？

5.一个等比数列的前三项分别是2，4，8。请问这个等比数列的公比是多少？

本专业课理论基础试卷答案及知识点总结如下：

一、选择题答案

1.D

2.A

3.B

4.A

5.A

6.C

7.B

8.A

9.A

10.A

二、判断题答案

1.×

2.×

3.√

4.×

5.√

三、填空题答案

1.an=a1+(n-1)d

2.斜率，2，截距，3

3.30

4.Sn=a1(1-q^n)/(1-q)

5.√(13)

四、简答题答案

1.一元二次方程的解法有配方法、公式法和因式分解法。例如，对于方程x²-5x+6=0，可以通过因式分解得到(x-2)(x-3)=0，从而解得x=2或x=3。

2.对于函数f(x)=x³-3x²+4x，首先求导得到f'(x)=3x²-6x+4。令f'(x)=0，解得x=2/3，x=2。因此，f(x)在x=2/3和x=2处有极值点。

3.由等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d，可得a8=a1+7d。根据S10=55和S5=20，可以列出方程组：

a1+4d=11

a1+9d=22

解得a1=3，d=2。因此，a8=3+7*2=17。

4.点A（2，3）关于直线y=x的对称点坐标可以通过交换x和y的值得到，即坐标为（3，2）。

5.函数f(x)=√(x+2)的值域为[0,+∞)，因为根号内的值必须非负。

五、计算题答案

1.函数f(x)=x³-6x²+9x+1的导数为f'(x)=3x²-12x+9。令f'(x)=0，解得x=1。由于f''(x)=6x-12，当x=1时，f''(1)=6-12=-6<0，因此x=1是f(x)的极大值点。

2.方程x²+4x+3=0可以通过因式分解得到(x+1)(x+3)=0，解得x=-1或x=-3。

3.等差数列{an}的前10项和为S10=(a1+a10)*10/2=5(a1+a10)。由S10=55，可得a1+a10=11。由于d=2，可得a10=a1+9d=3+9*2=21。因此，S10=5*21=105。

4.等比数列{an}的前5项和为S5=a1(1-q^n)/(1-q)。由a1=4，q=1/2，可得S5=4*(1-(1/2)^5)/(1-1/2)=4*(1-1/32)/(1/2)=4*(31/32)*(2/1)=4*31/16=31/4。

5.点A（1，2）到点B（4，-3）的距离可以通过勾股定理计算得到：AB=√((4-1)²+(-3-2)²)=√(3²+(-5)²)=√(9+25)=√34。

六、案例分析题答案

1.（1）根据正态分布的性质，60分以下的比例大约为15.87%。

（2）要使至少80%的学生得分在某个区间内，可以查找正态分布表或使用标准正态分布的z值来找到相应的区间。

2.（1）中位数是指将所有数值按大小顺序排列后位于中间的数值。由于有30个学生，中位数是第15个和第16个数值的平均值，即(60+75)/2=67.5分。

（2）为了使平均分达到80分，可能需要提高分数较低的学生成绩，或者通过额外的辅导和练习来提升整体水平。

知识点总结：

本试卷涵盖了中学数学的主要知识点，包括：

-代数基础：一元二次方程、等差数列、等比数列

-函数与图像：二次函数、指数函数、根号函数

-三角学：特殊角度的三角函数值、三角形的面积和周长

-直线与平面几何：直角坐标系、点到直线的距离、直线与平面的关系

-统计与概率：正态分布、概率分布、样本统计量

各题型知识点详解及示例：

-选择题：考察学生对基本概念和定理的