中考数学二轮复习压轴题培优专练专题16 函数的图像变换问题（原卷版）

专题16函数的图像变换问题函数图像的变换问题的考查一般难度较大，但关键是要理清图像变换前后的解析式的关系，图像变换的规律以二次函数为例：1．保持y=ax2的形状不变，将其顶点平移到（h，k）处，具体平移方法如下：2．二次函数平移遵循“上加下减，左加右减”的原则，据此，可以直接由解析式中常数的加或减求出变化后的解析式；二次函数图象的平移可看作顶点间的平移，可根据顶点之间的平移求出变化后的解析式． （2022·湖北恩施·统考中考真题）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线SKIPIF1<0与y轴交于点SKIPIF1<0．(1)直接写出抛物线的解析式．(2)如图，将抛物线SKIPIF1<0向左平移1个单位长度，记平移后的抛物线顶点为Q，平移后的抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），与y轴交于点C．判断以B、C、Q三点为顶点的三角形是否为直角三角形，并说明理由．(3)直线BC与抛物线SKIPIF1<0交于M、N两点（点N在点M的右侧），请探究在x轴上是否存在点T，使得以B、N、T三点为顶点的三角形与SKIPIF1<0相似，若存在，请求出点T的坐标；若不存在，请说明理由．(4)若将抛物线SKIPIF1<0进行适当的平移，当平移后的抛物线与直线BC最多只有一个公共点时，请直接写出拋物线SKIPIF1<0平移的最短距离并求出此时抛物线的顶点坐标．（1）待定系数法求二次函数解析式；（2）分别求得B、C、Q的坐标，勾股定理的逆定理验证即可求解；（3）由SKIPIF1<0，故分两种情况讨论，根据相似三角形的性质与判定即可求解；（4）如图，作SKIPIF1<0且与抛物线只有1个交点，交SKIPIF1<0轴于点SKIPIF1<0，过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0是等腰直角三角形，作SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，进而求得直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的距离，即为所求最短距离，进而求得平移方式，将顶点坐标平移即可求解．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)以B、C、Q三点为顶点的三角形是直角三角形，理由见解析(3)存在，SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，(4)最短距离为SKIPIF1<0，平移后的顶点坐标为SKIPIF1<0【详解】（1）解：∵抛物线SKIPIF1<0与y轴交于点SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0SKIPIF1<0抛物线解析式为SKIPIF1<0（2）以B、C、Q三点为顶点的三角形是直角三角形，理由如下：SKIPIF1<0SKIPIF1<0的顶点坐标为SKIPIF1<0依题意得，SKIPIF1<0SKIPIF1<0平移后的抛物线解析式为SKIPIF1<0令SKIPIF1<0，解SKIPIF1<0得SKIPIF1<0SKIPIF1<0令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0以B、C、Q三点为顶点的三角形是直角三角形（3）存在，SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，理由如下，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0是等腰直角三角形设直线SKIPIF1<0的解析式为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0直线SKIPIF1<0的解析式为SKIPIF1<0，联立SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是等腰直角三角形SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0设直线SKIPIF1<0的解析式为SKIPIF1<0,SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0直线SKIPIF1<0的解析式为SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0设SKIPIF1<0的解析式为SKIPIF1<0，由NT过点SKIPIF1<0则SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0的解析式为SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0②当SKIPIF1<0时，则SKIPIF1<0即SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0综上所述，SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（4）如图，作SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0轴于点SKIPIF1<0，过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0是等腰直角三角形，作SKIPIF1<0于SKIPIF1<0SKIPIF1<0直线SKIPIF1<0的解析式为SKIPIF1<0设与SKIPIF1<0平行的且与SKIPIF1<0只有一个公共点的直线SKIPIF1<0解析式为SKIPIF1<0则SKIPIF1<0整理得：SKIPIF1<0则SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0SKIPIF1<0直线SKIPIF1<0的解析式为SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0即拋物线SKIPIF1<0平移的最短距离为SKIPIF1<0，方向为SKIPIF1<0方向SKIPIF1<0∴把点P先向右平移EF的长度，再向下平移FC的长度即得到平移后的坐标SKIPIF1<0平移后的顶点坐标为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0本题是二次函数综合，考查了相似三角形的性质，求二次函数与一次函数解析式，二次函数图象的平移，勾股定理的逆定理，正确的添加辅助线以及正确的计算是解题的关键．（2022·辽宁沈阳·统考中考真题）如图，平面直角坐标系中，O是坐标原点，抛物线SKIPIF1<0经过点SKIPIF1<0和点SKIPIF1<0与x轴另一个交点A．抛物线与y轴交于点C，作直线AD．(1)①求抛物线的函数表达式②并直接写出直线AD的函数表达式．(2)点E是直线AD下方抛物线上一点，连接BE交AD于点F，连接BD，DE，SKIPIF1<0的面积记为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的面积记为SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，求点E的坐标；(3)点G为抛物线的顶点，将抛物线图象中x轴下方部分沿x轴向上翻折，与抛物线剩下部分组成新的曲线为SKIPIF1<0，点C的对应点SKIPIF1<0，点G的对应点SKIPIF1<0，将曲线SKIPIF1<0，沿y轴向下平移n个单位长度（SKIPIF1<0）．曲线SKIPIF1<0与直线BC的公共点中，选两个公共点作点P和点Q，若四边形SKIPIF1<0是平行四边形，直接写出P的坐标．（1）①利用待定系数解答，即可求解；②利用待定系数解答，即可求解；（2）过点E作EG⊥x轴交AD于点G，过点B作BH⊥x轴交AD于点H，设点SKIPIF1<0，则点SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，然后根据△EFG∽△BFH，即可求解；（3）先求出向上翻折部分的图象解析式为SKIPIF1<0，可得向上翻折部分平移后的函数解析式为SKIPIF1<0，平移后抛物线剩下部分的解析式为SKIPIF1<0，分别求出直线BC和直线SKIPIF1<0的解析式为，可得BC∥C′G′，再根据平行四边形的性质可得点SKIPIF1<0，然后分三种情况讨论：当点P，Q均在向上翻折部分平移后的图象上时；当点P在向上翻折部分平移后的图象上，点Q在平移后抛物线剩下部分的图象上时；当点P在平移后抛物线剩下部分的图象上，点Q在向上翻折部分平移后的图象上时，即可求解．【答案】(1)①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0(2)（2，-4）或（0，-3）(3)（1+SKIPIF1<0，SKIPIF1<0）或SKIPIF1<0【详解】（1）解：①把点SKIPIF1<0和点SKIPIF1<0代入得：SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，∴抛物线解析式为SKIPIF1<0；②令y=0，则SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，∴点A（-2，0），设直线AD的解析式为SKIPIF1<0，∴把点SKIPIF1<0和点A（-2，0）代入得：SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，∴直线AD的解析式为SKIPIF1<0；（2）解：如图，过点E作EG⊥x轴交AD于点G，过点B作BH⊥x轴交AD于点H，当x=6时，SKIPIF1<0，∴点H（6，-4），即BH=4，设点SKIPIF1<0，则点SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0的面积记为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的面积记为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，∴BF=2EF，∵EG⊥x，BH⊥x轴，∴△EFG∽△BFH，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0或0，∴点E的坐标为（2，-4）或（0，-3）；（3）解：SKIPIF1<0，∴点G的坐标为（2，-4），当x=0时，y=-3，即点C（0，-3），∴点SKIPIF1<0，∴向上翻折部分的图象解析式为SKIPIF1<0，∴向上翻折部分平移后的函数解析式为SKIPIF1<0，平移后抛物线剩下部分的解析式为SKIPIF1<0，设直线BC的解析式为SKIPIF1<0，把点B（6，0），C（0，-3）代入得：SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，∴直线BC的解析式为SKIPIF1<0，同理直线SKIPIF1<0的解析式为SKIPIF1<0，∴BC∥C′G′，设点P的坐标为SKIPIF1<0，∵点SKIPIF1<0，∴点C′向右平移2个单位，再向上平移1个单位得到点G′，∵四边形SKIPIF1<0是平行四边形，∴点SKIPIF1<0，当点P，Q均在向上翻折部分平移后的图象上时，SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0（不合题意，舍去），当点P在向上翻折部分平移后的图象上，点Q在平移后抛物线剩下部分的图象上时，SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（不合题意，舍去），当点P在平移后抛物线剩下部分的图象上，点Q在向上翻折部分平移后的图象上时，SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0（舍去，不合题意）或SKIPIF1<0，综上所述，点P的坐标为综上所述，点P的坐标为（1+SKIPIF1<0，SKIPIF1<0）或（1﹣SKIPIF1<0，SKIPIF1<0）．本题主要考查了二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图象和性质，平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，并利用数形结合思想解答是解题的关键．（2021·广西梧州·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c经过点A（﹣1，0），B（0，3），顶点为C．平移此抛物线，得到一条新的抛物线，且新抛物线上的点D（3，﹣1）为原抛物线上点A的对应点，新抛物线顶点为E，它与y轴交于点G，连接CG，EG，CE．（1）求原抛物线对应的函数表达式；（2）在原抛物线或新抛物线上找一点F，使以点C，E，F，G为顶点的四边形是平行四边形，并求出点F的坐标；（3）若点K是y轴上的一个动点，且在点B的上方，过点K作CE的平行线，分别交两条抛物线于点M，N，且点M，N分别在y轴的两侧，当MN＝CE时，请直接写出点K的坐标．（1）根据待定系数法将点A（﹣1，0），B（0，3）代入抛物线y＝x2+bx+c，即可求出原抛物线解析式；（2）根据新抛物线上的点D（3，﹣1）为原抛物线上点A的对应点可知抛物线平移方式为右移4个单位下移1个单位，从而确定新抛物线解析式，进而确定点C、D、G坐标，由以点C，E，F，G为顶点的四边形是平行四边形即可确定点F坐标的可能位置，判断是否在原抛物线或新抛物线上即可解答；（3）由SKIPIF1<0，MN＝CE，可知M点到N点的平移方式和C点到E点平移方式相同，故可设点M坐标为（a，b），可得点N坐标为（a+4，b-1），由图像可知M在新抛物线、N在原抛物线上，据此列方程求出点M、N坐标，由直线MN解析式即可求出与y轴交点坐标即K点坐标．【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）F（-4，3），（3）SKIPIF1<0．【详解】解：（1）由抛物线y＝x2+bx+c经过点A（﹣1，0），B（0，3），得：SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，∴原抛物线对应的函数表达式为：SKIPIF1<0；（2）由（1）得：原抛物线为：SKIPIF1<0，故顶点C坐标为SKIPIF1<0∵新抛物线上的点D（3，﹣1）为原抛物线上点A的对应点，∴原抛物线向右移4个单位，向下移1个单位得到新抛物线，∴新抛物线对应的函数表达式为：SKIPIF1<0，即：SKIPIF1<0故新抛物线顶E点坐标为SKIPIF1<0，与y轴交点G坐标为SKIPIF1<0，以点C，E，F，G为顶点的四边形是平行四边形，点F不可能在CE下方，故如图所示：当平行四边形为SKIPIF1<0时，点F坐标为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，根据平移性质可知：SKIPIF1<0一定在原抛物线；当平行四边形为SKIPIF1<0时，点F坐标为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0；故不在新抛物线上，综上所述：以点C，E，F，G为顶点的四边形是SKIPIF1<0时，F的坐标为SKIPIF1<0；（3）∵SKIPIF1<0，MN＝CE，∴M点到N点的平移方式和C点到E点平移方式相同，设M在左侧，坐标为（a，b），则点N坐标为（a+4，b-1），由图可知，点M在新抛物线，点N在原抛物线，SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，即M点坐标为SKIPIF1<0，∴点N坐标为SKIPIF1<0，设直线MN解析式为SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，即：SKIPIF1<0，故直线MN与y轴交点K坐标为SKIPIF1<0．本题主要考查了函数图像的平移、函数图像与几何图形结合的综合能力的培养，要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，掌握图像平移的性质确定函数解析式和点的坐标是解题关键．1．（2022·重庆开州·校联考模拟）如图1，抛物线SKIPIF1<0与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，过点B作直线SKIPIF1<0直线SKIPIF1<0，交抛物线y于另一点D，点P为直线SKIPIF1<0上方抛物线上一动点．(1)求线段SKIPIF1<0的长．(2)过点P作SKIPIF1<0轴交SKIPIF1<0于点Q，交直线SKIPIF1<0于点F，过点P作SKIPIF1<0于点E，求SKIPIF1<0的最大值及此时点P的坐标．(3)如图2，将抛物线SKIPIF1<0向右平移3个单位得到新抛物线SKIPIF1<0，点M为新抛物线上一点，点N为原抛物线对称轴一点，直接写出所有使得A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形时点N的坐标，并写出其中一个点N的坐标的求解过程．2．（2021·山东滨州·模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线SKIPIF1<0分别交SKIPIF1<0轴，SKIPIF1<0轴于点A，SKIPIF1<0和点SKIPIF1<0，抛物线SKIPIF1<0与抛物线SKIPIF1<0关于直线SKIPIF1<0对称，两条抛物线的交点为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（点SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0的左侧）．(1)求抛物线SKIPIF1<0的表达式；(2)将抛物线SKIPIF1<0沿SKIPIF1<0轴正方向平移，使点SKIPIF1<0与点SKIPIF1<0重合，求平移的距离；(3)在（2）的条件下：规定抛物线SKIPIF1<0和抛物线SKIPIF1<0在直线SKIPIF1<0下方的图象所组成的图象为SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在函数SKIPIF1<0上（点SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0的右侧），在（2）的条件下，若SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，求点SKIPIF1<0坐标．3．（2022·陕西渭南·统考三模）在平面直角坐标系中，已知抛物线SKIPIF1<0（b、c为常数）与x轴交于SKIPIF1<0、SKIPIF1<0两点．(1)求抛物线SKIPIF1<0的函数表达式；(2)将该抛物线SKIPIF1<0向右平移4个单位长度得到新的抛物线SKIPIF1<0，与原抛物线SKIPIF1<0交于点C，点D是点C关于x轴的对称点，点N在平面直角坐标系中，请问在抛物线SKIPIF1<0上是否存在点M，使得以点C、D、M、N为顶点的四边形是以CD为边的矩形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．4．（2022·广东深圳·深圳市宝安第一外国语学校校考三模）已知抛物线SKIPIF1<0：SKIPIF1<0与SKIPIF1<0轴交于点SKIPIF1<0，过点SKIPIF1<0与点SKIPIF1<0的直线与SKIPIF1<0交于点SKIPIF1<0．(1)求直线SKIPIF1<0的函数表达式；(2)如图SKIPIF1<0，若点SKIPIF1<0为直线SKIPIF1<0下方的SKIPIF1<0上一点，求点SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离的最大值；(3)如图SKIPIF1<0，将直线SKIPIF1<0绕点SKIPIF1<0顺时针旋转SKIPIF1<0后恰好经过SKIPIF1<0的顶点SKIPIF1<0，沿射线SKIPIF1<0的方向平移抛物线SKIPIF1<0得到抛物线SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的顶点为SKIPIF1<0，两抛物线相交于点SKIPIF1<0设交点SKIPIF1<0的横坐标为SKIPIF1<0若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值．5．（2022·重庆·西南大学附中校考三模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线SKIPIF1<0与x轴交于SKIPIF1<0，B两点，其对称轴SKIPIF1<0与x轴交于点D．图1

图2(1)求该抛物线的函数表达式；(2)如图1，点P为第四象限内的抛物线上一动点，连接PB，PC，CD，求四边形PBDC面积的最大值和此时点P的坐标；(3)将该抛物线向左平移3个单位长度得到抛物线y'，平移后的抛物线与原抛物线的对称轴相交于点E，点F为抛物线y'对称轴上的一点，M是原抛物线上的动点，直接写出所有使得以点A，E，F，M为顶点的四边形是平行四边形的点M的坐标，并把求其中一个点M的坐标的过程写出来．6．（2022·内蒙古呼和浩特·统考三模）抛物线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0轴交于点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0与抛物线交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点．(1)求抛物线的解析式．(2)在此抛物线的对称轴上是否存在一点SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0的周长最小？若存在，请求出点SKIPIF1<0的坐标；若不存在，请说明理由．(3)若点SKIPIF1<0为直线SKIPIF1<0上方的抛物线上的一个动点（不与点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0重合），将直线SKIPIF1<0上方的抛物线部分关于直线SKIPIF1<0对称形成爱心图案，动点SKIPIF1<0关于直线SKIPIF1<0对称的点为SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的取值范围．7．（2022·陕西宝鸡·统考二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线SKIPIF1<0的图象经过SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点，将抛物线SKIPIF1<0向右平移2个单位得到抛物线SKIPIF1<0，平移后点A的对应点为点B．(1)求抛物线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的函数表达式；(2)若点M是抛物线SKIPIF1<0上一动点，点N是抛物线SKIPIF1<0上一动点，请问是否存在这样的点M、N，使得以A、B、M、N为顶点且以AB为边的四边形是面积为8的平行四边形？若存在，求出点M、N的坐标；若不存在，请说明理由．8．（2022·四川成都·统考二模）如图，抛物线SKIPIF1<0：SKIPIF1<0与SKIPIF1<0轴相交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点（点SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0的左侧），已知点SKIPIF1<0的横坐标是2，抛物线SKIPIF1<0的顶点为SKIPIF1<0．(1)求SKIPIF1<0的值及顶点SKIPIF1<0的坐标；(2)点SKIPIF1<0是SKIPIF1<0轴正半轴上一点，将抛物线SKIPIF1<0绕点SKIPIF1<0旋转SKIPIF1<0后得到的抛物线SKIPIF1<0，记抛物线SKIPIF1<0的顶点为SKIPIF1<0，抛物线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0轴的交点为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（点SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0的右侧）．当点SKIPIF1<0与点SKIPIF1<0重合时（如图1），求抛物线SKIPIF1<0的表达式；(3)如图2，在（2）的条件下，从SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0中任取一点，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0中任取两点，若以取出的三点为顶点能构成直角三角形，我们就称抛物线SKIPIF1<0为抛物线SKIPIF1<0的“勾股伴随同类函数”．当抛物线SKIPIF1<0是抛物线SKIPIF1<0