中考数学二轮复习压轴题培优专练专题15 函数中的面积问题（解析版）

专题15函数中的面积问题函数中面积问题一般包括面积的最大值和最小值或者等于某个数值的问题。在解决函数中的面积问题时，通常需要过三角形或多边形的一个端点，做坐标轴的平行线，把三角形或多边形进行割补呈三角形，从而用坐标将三角形的底和高表达出来。如图，SKIPIF1<0。 （2022·内蒙古·中考真题）如图，抛物线SKIPIF1<0经过SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点，与x轴的另一个交点为A，与y轴相交于点C．(1)求抛物线的解析式和点C的坐标；(2)若点M在直线SKIPIF1<0上方的抛物线上运动（与点B，C不重合），求使SKIPIF1<0面积最大时M点的坐标，并求最大面积；（请在图1中探索）(3)设点Q在y轴上，点P在抛物线上，要使以点A，B，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，求所有满足条件的点P的坐标．（请在图2中探索）（1）用待定系数法求函数的解析式即可；（2）作直线BC，过M点作MN∥y轴交BC于点N，求出直线BC的解析式，设M（m，-SKIPIF1<0+m+SKIPIF1<0），则N（m，-SKIPIF1<0m+SKIPIF1<0），可得S△MBC=SKIPIF1<0•MN•OB=SKIPIF1<0+SKIPIF1<0，再求解即可；（3）设Q（0，t），P（m，-SKIPIF1<0+m+SKIPIF1<0），分三种情况讨论：①当AB为平行四边形的对角线时；②当AQ为平行四边形的对角线时；③当AP为平行四边形的对角线时；根据平行四边形的对角线互相平分，利用中点坐标公式求解即可．【答案】(1)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，S有最大值为SKIPIF1<0(3)满足条件的点P坐标为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0【详解】（1）解：把点SKIPIF1<0和SKIPIF1<0分别代入SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0∴抛物线的解析式为SKIPIF1<0把SKIPIF1<0代入SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0；（2）解：作直线SKIPIF1<0，作SKIPIF1<0轴交直线SKIPIF1<0于点N设直线SKIPIF1<0的解析式为SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）把点SKIPIF1<0和SKIPIF1<0分别代入SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0∴直线SKIPIF1<0的解析式为SKIPIF1<0设点M的横坐标为m∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）∴当SKIPIF1<0时，S有最大值为SKIPIF1<0把SKIPIF1<0代入SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0；（3）解：当以SKIPIF1<0为边时，只要SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0即可∴点P的横坐标为4或-4把SKIPIF1<0代入SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0把SKIPIF1<0代入SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0∴此时SKIPIF1<0，SKIPIF1<0当以SKIPIF1<0为对角线时，作SKIPIF1<0轴于点H∵四边形SKIPIF1<0是平行四边形∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0中SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∴点P的横坐标为2把SKIPIF1<0代入SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0∴此时SKIPIF1<0综上所述，满足条件的点P坐标为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，平行四边形的性质，分类讨论是解题的关键。（2022·四川绵阳·统考中考真题）如图，一次函数SKIPIF1<0与反比例函数SKIPIF1<0在第一象限交于SKIPIF1<0、SKIPIF1<0两点，SKIPIF1<0垂直x轴于点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为坐标原点，四边形SKIPIF1<0的面积为38．(1)求反比例函数及一次函数的解析式；(2)点P是反比例函数第三象限内的图象上一动点，请简要描述使SKIPIF1<0的面积最小时点P的位置（不需证明），并求出点P的坐标和SKIPIF1<0面积的最小值．（1）利用待定系数法即可求出反比例函数解析式，再利用四边形SKIPIF1<0的面积为38．求出SKIPIF1<0，进一步利用待定系数法即可求出一次函数解析式；（2）平移一次函数与SKIPIF1<0在第三象限有唯一交点P，此时P到MN的距离最短，SKIPIF1<0的面积最小，设平移后的一次函数解析式为：SKIPIF1<0，联立SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，进一步求出：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，连接PM，PN，过点P作SKIPIF1<0的延长线交于点B，作SKIPIF1<0交于点C，根据SKIPIF1<0以及点的坐标即可求出SKIPIF1<0的面积．【答案】(1)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．【详解】（1）解：∵SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上，∴SKIPIF1<0，即反比例函数解析式为：SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，∵四边形SKIPIF1<0的面积为38．∴SKIPIF1<0，整理得：SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0（舍去），SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，将SKIPIF1<0和SKIPIF1<0代入SKIPIF1<0可得：SKIPIF1<0解得：SKIPIF1<0，∴一次函数解析式为：SKIPIF1<0．（2）解：平移一次函数SKIPIF1<0到第三象限，与SKIPIF1<0在第三象限有唯一交点P，此时P到MN的距离最短，SKIPIF1<0的面积最小，设平移后的一次函数解析式为：SKIPIF1<0，联立SKIPIF1<0可得：SKIPIF1<0，整理得：SKIPIF1<0，∵有唯一交点P，∴SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（舍去），将SKIPIF1<0代入SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0经检验：SKIPIF1<0是分式方程SKIPIF1<0的根，∴SKIPIF1<0，连接PM，PN，过点P作SKIPIF1<0的延长线交于点B，作SKIPIF1<0交于点C，则：SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．本题考查一次函数和反比例函数的综合，难度较大，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式，掌握平行线之间的距离，解分式方程，解一元二次方程知识点。（2022·辽宁大连·统考中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线SKIPIF1<0与x轴相交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，连接SKIPIF1<0．(1)求点B，点C的坐标；(2)如图1，点SKIPIF1<0在线段SKIPIF1<0上（点E不与点B重合），点F在y轴负半轴上，SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0的面积为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的面积为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，当S取最大值时，求m的值；(3)如图2，抛物线的顶点为D，连接SKIPIF1<0，点P在第一象限的抛物线上，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0相交于点Q，是否存在点P，使SKIPIF1<0，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．（1）利用抛物线的解析式，令x=0，可得C的坐标，令y=0，可得A，C的坐标；（2）由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0再分别表示SKIPIF1<0SKIPIF1<0再建立二次函数关系式，再利用二次函数的性质可得答案；（3）如图，延长DC与x轴交于点N，过A作SKIPIF1<0于H，过SKIPIF1<0作SKIPIF1<0轴于K，连接BD，证明SKIPIF1<0证明SKIPIF1<0求解SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0再求解SKIPIF1<0及SKIPIF1<0为SKIPIF1<0再联立：SKIPIF1<0从而可得答案．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)当SKIPIF1<0最大时，SKIPIF1<0(3)SKIPIF1<0【详解】（1）解：∵SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0则SKIPIF1<0SKIPIF1<0令SKIPIF1<0则SKIPIF1<0解得：SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0（2）∵SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0SKIPIF1<0而SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0∴当SKIPIF1<0最大时，则SKIPIF1<0（3）如图，延长DC与x轴交于点N，过A作SKIPIF1<0于H，过SKIPIF1<0作SKIPIF1<0轴于K，连接BD，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0∵抛物线SKIPIF1<0∴顶点SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0轴，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0设SKIPIF1<0为SKIPIF1<0SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0为SKIPIF1<0联立：SKIPIF1<0解得：SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0本题考查的是二次函数与坐标轴的交点问题，二次函数的性质，等腰直角三角形的性质，锐角三角函数的应用，利用待定系数法求解一次函数的解析式，函数的交点坐标问题，求解Q的坐标是解本题的关键．1．（2023·广东佛山·校考一模）如图，在平面直角坐标系中，SKIPIF1<0为坐标原点，一次函数SKIPIF1<0与SKIPIF1<0轴交于点SKIPIF1<0，若点SKIPIF1<0关于SKIPIF1<0轴的对称点SKIPIF1<0在一次函数SKIPIF1<0的图象上．(1)求SKIPIF1<0的值；(2)若一次函数SKIPIF1<0与一次函数SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0，且点SKIPIF1<0关于原点的对称点为点SKIPIF1<0．求过SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0三点对应的二次函数表达式；(3)SKIPIF1<0为抛物线上一点，它关于原点的对称点为点SKIPIF1<0．①当四边形SKIPIF1<0为菱形时，求点SKIPIF1<0的坐标；②若点SKIPIF1<0的横坐标为SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0为何值时，四边形SKIPIF1<0的面积最大？请说明理由．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0(3)①SKIPIF1<0或SKIPIF1<0；②当SKIPIF1<0时，四边形SKIPIF1<0的面积最大．理由见解析【详解】（1）解：SKIPIF1<0一次函数SKIPIF1<0与SKIPIF1<0轴交于点SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0关于SKIPIF1<0轴的对称点SKIPIF1<0在一次函数SKIPIF1<0的图象上，SKIPIF1<0点SKIPIF1<0坐标为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0点SKIPIF1<0坐标为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0点SKIPIF1<0在一次函数SKIPIF1<0的图象上，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；（2）解：由方程组SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0点坐标为SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0点为SKIPIF1<0点关于原点的对称点，SKIPIF1<0点坐标为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0一次函数SKIPIF1<0与SKIPIF1<0轴交于点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0点坐标为SKIPIF1<0，设二次函数对应的函数表达式为SKIPIF1<0，把SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0三点的坐标分别代入，得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0二次函数对应的函数表达式为SKIPIF1<0；（3）①当四边形SKIPIF1<0为菱形时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0直线SKIPIF1<0对应的函数表达式为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0直线SKIPIF1<0对应的函数表达式为SKIPIF1<0．联立方程组SKIPIF1<0．解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，SKIPIF1<0点坐标为SKIPIF1<0或SKIPIF1<0；②当SKIPIF1<0时，四边形SKIPIF1<0的面积最大．理由如下：如图，过SKIPIF1<0作SKIPIF1<0，垂足为SKIPIF1<0，过SKIPIF1<0作SKIPIF1<0轴的垂线，交直线SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，易知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0线段SKIPIF1<0的长固定不变，SKIPIF1<0当SKIPIF1<0最大时，四边形SKIPIF1<0的面积最大，易知SKIPIF1<0（固定不变），SKIPIF1<0当SKIPIF1<0最大时，SKIPIF1<0也最大，SKIPIF1<0点在二次函数图象上，SKIPIF1<0点在一次函数SKIPIF1<0的图象上，SKIPIF1<0点坐标为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0点坐标为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0有最大值1，此时SKIPIF1<0有最大值，即四边形SKIPIF1<0的面积最大．2．（2022·辽宁盘锦·校考一模）如图：直线SKIPIF1<0交y轴丁点D，交x轴于点SKIPIF1<0，交抛物线SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，点E．点SKIPIF1<0在抛物线上，连接SKIPIF1<0．(1)求抛物线的解析式；(2)点Q从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线A-B-C做匀速运动，当点Q与点C重合时停止运动，设运动的时间为t秒，SKIPIF1<0的面积为S，求S与t的函数关系式；(3)在（2）的条件下，若SKIPIF1<0，请直接写出此时t的值．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0(3)SKIPIF1<0或SKIPIF1<0【思路分析】（1）利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；（2）求出直线SKIPIF1<0的解析式，得到SKIPIF1<0，SKIPIF1<0交y轴于点H，分两种情况：①当SKIPIF1<0时，Q点线段SKIPIF1<0上，②当SKIPIF1<0时，Q点在线段SKIPIF1<0上，分别求出解析式即可；（3）连接SKIPIF1<0，则得到菱形SKIPIF1<0，得到SKIPIF1<0，推出SKIPIF1<0，再分两种情况：①当点Q运动到SKIPIF1<0边上时，②当点Q运动到SKIPIF1<0上时，分别求出t的值．【详解】（1）解：将点A、B坐标代入SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，∴抛物线的解析式为SKIPIF1<0；（2）将SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分别代入SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，∴直线SKIPIF1<0的解析式为SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0如图，SKIPIF1<0交y轴于点H，则SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，由A,B,C坐标知SKIPIF1<0，①当SKIPIF1<0时，Q点线段SKIPIF1<0上，∴SKIPIF1<0，②当SKIPIF1<0时，Q点在线段SKIPIF1<0上，由SKIPIF1<0、SKIPIF1<0求得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，综上，SKIPIF1<0（3）连接SKIPIF1<0，则得到菱形SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0；①当点Q运动到SKIPIF1<0边上时，如答图2，则SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0；②当点Q运动到SKIPIF1<0上时，如答图3，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，综上，若SKIPIF1<0，此时t的值为SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．3．（2022·重庆璧山·统考一模）如图，在平面直角坐标系SKIPIF1<0中，抛物线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0轴交于点SKIPIF1<0，与SKIPIF1<0轴交于点SKIPIF1<0．(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，连接SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0为线段SKIPIF1<0下方抛物线上一动点，过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0轴交线段SKIPIF1<0于SKIPIF1<0点，连接SKIPIF1<0，记SKIPIF1<0的面积为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的面积为SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的最大值及此时点SKIPIF1<0的坐标；(3)如图2，在（2）问的条件下，将抛物线沿射线SKIPIF1<0方向平移SKIPIF1<0个单位长度得到新抛物线，动点SKIPIF1<0在原抛物线的对称轴上，点SKIPIF1<0为新抛物线上一点，直接写出所有使得以点SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0为顶点的四边形是平行四边形的点SKIPIF1<0的坐标，并把求其中一个点SKIPIF1<0的坐标的过程写出来．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0取得最大值，最大值为1，此时点SKIPIF1<0的坐标为SKIPIF1<0(3)点SKIPIF1<0的坐标为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0【思路分析】（1）将SKIPIF1<0，SKIPIF1<0代入抛物线SKIPIF1<0，列方程组求解即可得到答案；（2）延长SKIPIF1<0交SKIPIF1<0轴于点SKIPIF1<0，设直线SKIPIF1<0的函数表达式为SKIPIF1<0，将SKIPIF1<0，SKIPIF1<0代入列方程组求解得出解析式，设SKIPIF1<0，根据SKIPIF1<0轴得到SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，根据三角形面积公式用t表示出SKIPIF1<0，利用函数性质即可得到最值；（3）根据SKIPIF1<0，SKIPIF1<0得到SKIPIF1<0，结合抛物线沿射线SKIPIF1<0方向平移SKIPIF1<0个单位长度，得到抛物线向右平移SKIPIF1<0个单位长度，向上平移3个单位长度，得到新抛物线解析式，设点SKIPIF1<0，根据平行四边形对角线互相平分分类讨论根据中点坐标公式即可得到答案．【详解】（1）解：将SKIPIF1<0，SKIPIF1<0代入抛物线SKIPIF1<0得，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，∴抛物线的解析式为：SKIPIF1<0；（2）解：如图，延长SKIPIF1<0交SKIPIF1<0轴于点SKIPIF1<0，设直线SKIPIF1<0的函数表达式为SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，∴直线SKIPIF1<0的函数表达式为SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0取得最大值，最大值为1，此时点SKIPIF1<0的坐标为SKIPIF1<0；（3）解：∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵抛物线沿射线SKIPIF1<0方向平移SKIPIF1<0个单位长度，∴抛物线向右平移SKIPIF1<0个单位长度，向上平移3个单位长度，∴平移后的抛物线解析式为SKIPIF1<0，∵点SKIPIF1<0在原抛物线对称轴上，∴设点SKIPIF1<0，①当以SKIPIF1<0为对角线时，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵点SKIPIF1<0为新抛物线上一点，∴SKIPIF1<0，②当以SKIPIF1<0为对角线时，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∵点SKIPIF1<0为新抛物线上一点，∴SKIPIF1<0，③当以SKIPIF1<0为对角线时，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∵点SKIPIF1<0为新抛物线上一点，∴SKIPIF1<0，综上所述，点SKIPIF1<0的坐标为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．4．（2022·浙江宁波·校考模拟预测）如图，直线SKIPIF1<0与双曲线SKIPIF1<0交于A、B两点，M是第一象限内的双曲线上任意一点．(1)若点A坐标为SKIPIF1<0，求M点坐标．(2)若SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0的面积是34，求k值．(3)设直线SKIPIF1<0分别与x轴相交于P、Q两点，且SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值．【答案】(1)SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<0；(3)2【思路分析】（1）把点SKIPIF1<0代入SKIPIF1<0可求得反比例函数解析式，进而可得点B的坐标，设SKIPIF1<0，运用勾股定理即可求得答案；（2）设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，代入代入SKIPIF1<0可求得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，过点O作SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于点D，过点B作SKIPIF1<0轴于点E，过点D作SKIPIF1<0轴于点F，可证得SKIPIF1<0，进而求得点D的坐标，利用待定系数法求得直线SKIPIF1<0的解析式，联立方程组可求得点M的坐标，再由SKIPIF1<0的面积是34，建立方程求解即可得出答案；（3）设SKIPIF1<0，代入SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，联立方程组求出A、B两点的坐标，过点A、B、M分别作x轴的垂线SKIPIF1<0，垂足分别为G、K、H，过点M作x轴的平行线交SKIPIF1<0于R，交SKIPIF1<0于L，利用相似三角形性质即可得出：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，再由SKIPIF1<0，得出：SKIPIF1<0，从而得出SKIPIF1<0的值．【详解】（1）解：把点SKIPIF1<0代入SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，∴反比例函数解析式为SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴由反比例函数与正比例函数图象的对称性可得点B坐标为SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，整理化简得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0（与A重合，舍去）或SKIPIF1<0（舍去）或SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（舍去），∴SKIPIF1<0；（2）设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，将SKIPIF1<0代入SKIPIF1<0，得：SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，如图2，过点O作SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于点D，过点B作SKIPIF1<0轴于点E，过点D作SKIPIF1<0轴于点F，则SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0是等腰直角三角形，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，设直线SKIPIF1<0的解析式为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，∴直线SKIPIF1<0的解析式为SKIPIF1<0，联立方程组，得：SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，，∵M是第一象限内的双曲线上任意一点，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，过点A作SKIPIF1<0于点H，则SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0的面积是34，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0；（3）设SKIPIF1<0代入SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，过点A、B、M分别作x轴的垂线SKIPIF1<0，垂足分别为G、K、H，过点M作x轴的平行线交SKIPIF1<0于R，交SKIPIF1<0于L，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0的值为2．5．（2022·山东济南·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线l与抛物线SKIPIF1<0相交于SKIPIF1<0两点．(1)求出抛物线的解析式；(2)在坐标轴上是否存在点D，使得SKIPIF1<0是以线段SKIPIF1<0为斜边的直角三角形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，说明理由；(3)点P是线段SKIPIF1<0上一动点，（点P不与点A、B重合），过点P作SKIPIF1<0，交第一象限内的抛物线于点M，过点M作SKIPIF1<0轴于点C，交SKIPIF1<0于点N，若SKIPIF1<0的面积SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，求出SKIPIF1<0的值，并求出此时点M的坐标．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)存在，D点坐标为SKIPIF1<0或SKIPIF1<0或SKIPIF1<0(3)SKIPIF1<0，M点坐标为SKIPIF1<0【思路分析】（1）利用待定系数法来求解；（2）分两种情况来求解：点D在x轴上和点D在y轴上．当点D在x轴上时，过点A作SKIPIF1<0轴于点D，易求D点的坐标；当点D在y轴上时，设SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中利用勾股定理可求得d的值，可的答案；（3）过P作SKIPIF1<0于点F，易证SKIPIF1<0，从而得到SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中和在SKIPIF1<0中利用三角函数得出SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，利用SKIPIF1<0和SKIPIF1<0之间的面积关系，进而表示出M的坐标，再根据M点在抛物线上求出a的值，进而得到答案．【详解】（1）解：∵SKIPIF1<0两点在抛物线SKIPIF1<0的图像上，∴SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，∴抛物线解析式为SKIPIF1<0；（2）解：存在三个点满足题意，理由如下：当点D在x轴上时，如图1，过点A作AD⊥x轴于点D，∵SKIPIF1<0，∴D坐标为SKIPIF1<0；当点D在y轴上时，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0为斜边的直角三角形，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，或SKIPIF1<0∴D点坐标为SKIPIF1<0或SKIPIF1<0；综上可知存在满足条件的D点，其坐标为SKIPIF1<0或SKIPIF1<0或SKIPIF1<0；（3）解：如图2，过P作SKIPIF1<0于点F，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴M点坐标为SKIPIF1<0，又M点在抛物线上，代入可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（舍去），SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴点M的坐标为SKIPIF1<0．6．（2022·甘肃嘉峪关·校考一模）如图，已知抛物线SKIPIF1<0与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)求抛物线的表达式；(2)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由；(3)点E是线段SKIPIF1<0上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形SKIPIF1<0的面积最大？求出四边形SKIPIF1<0的最大面积及此时E点的坐标．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)存在；SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0(3)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0【思路分析】（1）将点A、C的坐标分别代入可得二元一次方程组，解方程组即可得出m、n的值；（2）根据二次函数的解析式可得对称轴方程，由勾股定理求出SKIPIF1<0的值，以点C为圆心，SKIPIF1<0为半径作弧，交对称轴于SKIPIF1<0；以点D为圆心SKIPIF1<0为半径作圆交对称轴于点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，作SKIPIF1<0垂直于对称轴于点H，由等腰三角形的性质就可以求出结论；（3）由二次函数的解析式可求出B点的坐标，从而可求出直线SKIPIF1<0的解析式，从而可设E点的坐标SKIPIF1<0，进而可表示出F的坐标，由四边形SKIPIF1<0的面积SKIPIF1<0可求出S与SKIPIF1<0的关系式，由二次函数的性质就可以求出结论．【详解】（1）解：已知抛物线SKIPIF1<0经过点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0抛物线表达式为：SKIPIF1<0；（2）解：由（1）可知抛物线对称轴为直线SKIPIF1<0，则点SKIPIF1<0坐标为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的长为SKIPIF1<0,如图1所示，使SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0为腰的等腰三角形的点SKIPIF1<0有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0三种情况，其中SKIPIF1<0，过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0,

垂足为点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，综上可得，在抛物线的对称轴上存在点P，使SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0为腰的等腰三角形，P点的坐标为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，；（3）解：根据题意作图2，过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0,垂足为点SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故点SKIPIF1<0坐标为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设直线SKIPIF1<0解析式为SKIPIF1<0，过点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，则直线SKIPIF1<0解析式为SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0时，四边形SKIPIF1<0的面积取得最大值为SKIPIF1<0，此时点SKIPIF1<0坐标为SKIPIF1<0，．7．（2022·山东济南·统考一模）如图，抛物线SKIPIF1<0与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，已知A，B两点坐标分别是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0．(1)求抛物线的表达式；(2)将SKIPIF1<0沿SKIPIF1<0所在直线折叠，得到SKIPIF1<0，点A的对应点D是否落在抛物线的对称轴上？若点D在对称轴上，请求出点D的坐标；若点D不在对称轴上，请说明理由；(3)若点P是抛物线位于第二象限图象上的一动点，连接SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于点Q，连接BP，SKIPIF1<0的面积记为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的面积记为SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值最大时点P的坐标．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)点SKIPIF1<0不在抛物线的对称轴上，理由见解析(3)SKIPIF1<0【思路分析】（1）利用待定系数法可求得函数的表达式；（2）抛物线的表达式为SKIPIF1<0，可证明SKIPIF1<0，继而可证SKIPIF1<0，则将SKIPIF1<0沿SKIPIF1<0所在直线折叠，点D一定落在直线SKIPIF1<0上，延长SKIPIF1<0至D，使SKIPIF1<0，过点D作SKIPIF1<0轴交y轴于点E，可证SKIPIF1<0，可得点D横坐标．则可判断D点是否在抛物线对称轴上；（3）先求出过点SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的直线解析式，分别过A、P作x轴的垂线，利用解析式，用同一个字母m表示出P，N的坐标，再证明SKIPIF1<0，进而用m表示出SKIPIF1<0的值，根据二次函数的性质可以确定出SKIPIF1<0的最大值，进而可确定出此时的P点坐标．【详解】（1）解：∵抛物线SKIPIF1<0过点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，∴抛物线的表达式为SKIPIF1<0．（2）解：点SKIPIF1<0不在抛物线的对称轴上，理由是：∵抛物线的表达式为SKIPIF1<0，∴点SKIPIF1<0坐标为SKIPIF1<0．∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．又∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．∴将SKIPIF1<0沿SKIPIF1<0所在直线折叠，点SKIPIF1<0一定落在直线SKIPIF1<0上，延长SKIPIF1<0至SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0，过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0轴交SKIPIF1<0轴于点SKIPIF1<0．又∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0