中考数学二轮复习压轴题培优专练专题14 函数中的最值问题（原卷版）

专题14函数中的最值问题函数中的最值问题在中考中的考查频率较高，主要包括求线段之和的最小值（将军饮马型）、求线段之和的最小值（修桥模型）、胡不归求最值问题等。一、求线段之和的最小值（将军饮马型）1.在一条直线m上，求一点P，使PA+PB最小；（1）点A、B在直线m两侧：（2）点A、B在直线同侧：A、A'是关于直线m的对称点。2.在直线m、n上分别找两点P、Q，使PA+PQ+QB最小。（1）两个点都在直线外侧：（2）一个点在内侧，一个点在外侧：（3）两个点都在内侧：（4）台球两次碰壁模型变式一：已知点A、B位于直线m，n的内侧，在直线n、m分别上求点D、E点，使得围成的四边形ADEB周长最短.变式二：已知点A位于直线m，n的内侧，在直线m、n分别上求点P、Q点PA+PQ+QA周长最短.二、求线段之和的最小值（修桥模型）已知A、B是两个定点，P、Q是直线m上的两个动点，P在Q的左侧，且PQ间长度恒定，在直线m上要求P、Q两点，使得PA+PQ+QB的值最小。(原理用平移知识解)（1）点A、B在直线m两侧：过A点作AC//m，且AC长等于PQ长，连接BC，交直线m于Q，Q向左平移PQ长，即为P点，此时P、Q即为所求的点。（2）点A、B在直线m同侧：过A点作AE//m，且AE长等于PQ长，作B关于m的对称点B'，连接B'E，交直线m于Q，Q向左平移PQ长，即为P点，此时P、Q即为所求的点。三、胡不归求最值（胡不归模型）一动点P在直线MN外的运动速度为V1，在直线MN上运动的速度为V2，且V1<V2，A、B为定点，点C在直线MN上，确定点C的位置使SKIPIF1<0的值最小．SKIPIF1<0，记SKIPIF1<0，即求BC+kAC的最小值．构造射线AD使得sin∠DAN=k，CH/AC=k，CH=kAC．将问题转化为求BC+CH最小值，过B点作BH⊥AD交MN于点C，交AD于H点，此时BC+CH取到最小值，即BC+kAC最小．在求形如“PA+kPB”的式子的最值问题中，关键是构造与kPB相等的线段，将“PA+kPB”型问题转化为“PA+PC”型． （2022·西藏·统考中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣SKIPIF1<0SKIPIF1<0＋（m﹣1）x＋2m与x轴交于A，B（4，0）两点，与y轴交于点C，点P是抛物线在第一象限内的一个动点．(1)求抛物线的解析式，并直接写出点A，C的坐标；(2)如图甲，点M是直线BC上的一个动点，连接AM，OM，是否存在点M使AM＋OM最小，若存在，请求出点M的坐标，若不存在，请说明理由；(3)如图乙，过点P作PF⊥BC，垂足为F，过点C作CD⊥BC，交x轴于点D，连接DP交BC于点E，连接CP．设△PEF的面积为S1，△PEC的面积为S2，是否存在点P，使得SKIPIF1<0最大，若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．（1）将B（4，0）代入SKIPIF1<0，求出函数解析式即可求解；（2）作O点关于BC的对称点SKIPIF1<0，连接ASKIPIF1<0交BC于点M，连接BSKIPIF1<0，当A、M、SKIPIF1<0三点共线时，AM＋OM有最小值，分别求出直线ASKIPIF1<0的解析式和直线BC的解析式，两直线的交点即为M点；（3）连接PB，过P点作PGSKIPIF1<0y轴交CB于点G，设SKIPIF1<0，则G（t，－t＋4），由SKIPIF1<0求出SKIPIF1<0，再由PFSKIPIF1<0CD，可得SKIPIF1<0则SKIPIF1<0当t＝2时，SKIPIF1<0有最大值，同时可求P的坐标．SKIPIF1<0【答案】(1)SKIPIF1<0，A（﹣2，0）；C（0，4）(2)存在点M使AM＋OM最小，M（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0）(3)存在，P（2，4）【详解】（1）将B（4，0）代入y＝﹣SKIPIF1<0SKIPIF1<0＋（m﹣1）x＋2m，∴﹣8＋4（m﹣1）＋2m＝0，解得m＝2，∴y＝﹣SKIPIF1<0SKIPIF1<0＋x＋4，令x＝0，则y＝4，∴C（0，4），令y＝0，则﹣SKIPIF1<0SKIPIF1<0＋x＋4＝0，解得x＝4或x＝﹣2，∴A（﹣2，0）；（2）存在点M使AM＋OM最小，理由如下：作O点关于BC的对称点SKIPIF1<0，连接ASKIPIF1<0交BC于点M，连接BSKIPIF1<0，由对称性可知，OM＝SKIPIF1<0M，∴AM＋OM＝AM＋SKIPIF1<0MSKIPIF1<0ASKIPIF1<0，当A、M、SKIPIF1<0三点共线时，AM＋OM有最小值，∵B（4，0），C（0，4），∴OB＝OC，∴∠CBO＝45°，由对称性可知∠SKIPIF1<0BM＝45°，∴BSKIPIF1<0⊥BO，∴SKIPIF1<0（4，4），设直线ASKIPIF1<0的解析式为y＝kx＋b，∴SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，∴y＝SKIPIF1<0x＋SKIPIF1<0，设直线BC的解析式为SKIPIF1<0，∴4SKIPIF1<0＋4＝0，∴SKIPIF1<0＝﹣1，∴y＝﹣x＋4，联立方程组SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，∴M（SKIPIF1<0）；（3）在点P，使得SKIPIF1<0最大，理由如下：连接PB，过P点作PGSKIPIF1<0y轴交CB于点G，设P（t，﹣SKIPIF1<0SKIPIF1<0＋t＋4），则G（t，﹣t＋4），∴PG＝﹣SKIPIF1<0SKIPIF1<0＋2t，∵OB＝OC＝4，∴BC＝4SKIPIF1<0，∴S△BCP＝SKIPIF1<0×4×（﹣SKIPIF1<0SKIPIF1<0＋2t）＝﹣SKIPIF1<0＋4t＝SKIPIF1<0×4SKIPIF1<0×PF，∴PF＝﹣SKIPIF1<0SKIPIF1<0＋SKIPIF1<0t，∵CD⊥BC，PF⊥BC，∴PFSKIPIF1<0CD，∴SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0，∵B、D两点关于y轴对称，∴CD＝4SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0＝﹣SKIPIF1<0（SKIPIF1<0﹣4t）＝﹣SKIPIF1<0SKIPIF1<0＋SKIPIF1<0，∵P点在第一象限内，∴0＜t＜4，∴当t＝2时，SKIPIF1<0有最大值SKIPIF1<0，此时P（2，4）．本题考查二次函数的图像及性质，熟练掌握二次函数的图像及性质，轴对称求最短距离的方法，平行线的性质是解题的关键．（2022·四川广元·统考中考真题）在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x﹣2与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）经过A，B两点，并与x轴的正半轴交于点C．(1)求a，b满足的关系式及c的值；(2)当a＝SKIPIF1<0时，若点P是抛物线对称轴上的一个动点，求△PAB周长的最小值；(3)当a＝1时，若点Q是直线AB下方抛物线上的一个动点，过点Q作QD⊥AB于点D，当QD的值最大时，求此时点Q的坐标及QD的最大值．（1）先求得点A、点B的坐标，再利用待定系数法求解即可；（2）先利用对称性找出△PAB周长最小时点P的位置，此时AP=CP，△PAB的周长最小值为：PB+PA+AB=BC+AB，根据勾股定理求出AB、BC的长即可求出△PAB最小值；（3）过点Q作QF⊥x轴交于F点，交直线AB于点E，得到∠QED=∠EQD=45°，推出QD=ED=SKIPIF1<0EQ，设Q（t，t2+t-2），E（t，-t-2），求得QE=-t2-2t，再利用二次函数的性质即可求解．【答案】(1)2a=b+1，c=-2；(2)△PAB的周长最小值是2SKIPIF1<0+2SKIPIF1<0；(3)此时Q（-1，-2），DQ最大值为SKIPIF1<0．【详解】（1）解：∵直线y＝﹣x﹣2与x轴交于点A，与y轴交于点B，∴点A的坐标为(-2，0)，点B的坐标为(0，-2)，∵抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）经过A，B两点，∴SKIPIF1<0，∴2a=b+1，c=-2；（2）解：当a=SKIPIF1<0时，则b=-SKIPIF1<0，∴抛物线的解析式为y=SKIPIF1<0x2-SKIPIF1<0x-2，抛物线的对称轴为直线x=1，∵点A的坐标为(-2，0)，∴点C的坐标为(4，0)，△PAB的周长为：PB+PA+AB，且AB是定值，∴当PB+PA最小时，△PAB的周长最小，∵点A、C关于直线x=1对称，∴连接BC交直线x=1于点P，此时PB+PA值最小，∵AP=CP，∴△PAB的周长最小值为：PB+PA+AB=BC+AB，∵A（-2，0），B（0，-2），C（4，0），∴OA=2，OB=2，OC=4，由勾股定理得BC=2SKIPIF1<0，AB=2SKIPIF1<0，∴△PAB的周长最小值是：2SKIPIF1<0+2SKIPIF1<0．（3）解：当a=1时，b=1，∴抛物线的解析式为y=x2+x-2，过点Q作QF⊥x轴交于F点，交直线AB于点E，∵A（-2，0），B（0，-2），∴OA=OB，∴∠OAB=45°，∵QD⊥AB，∴∠AEF=∠QED=∠EQD=45°，∴QD=ED=SKIPIF1<0EQ，设Q（t，t2+t-2），E（t，-t-2），∴QE=-t-2-(t2+t-2)=-t2-2t，∴DQ=SKIPIF1<0QE=-SKIPIF1<0(t2+2t)=-SKIPIF1<0(t+1)2+SKIPIF1<0，当t=-1时，DQ有最大值SKIPIF1<0，此时Q（-1，-2）．本题是二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图象及性质，等腰直角三角形的性质是解题的关键．（2022·天津·统考中考真题）已知抛物线SKIPIF1<0（a，b，c是常数，SKIPIF1<0）的顶点为P，与x轴相交于点SKIPIF1<0和点B．(1)若SKIPIF1<0，①求点P的坐标；②直线SKIPIF1<0（m是常数，SKIPIF1<0）与抛物线相交于点M，与SKIPIF1<0相交于点G，当SKIPIF1<0取得最大值时，求点M，G的坐标；(2)若SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0与抛物线相交于点N，E是x轴的正半轴上的动点，F是y轴的负半轴上的动点，当SKIPIF1<0的最小值为5时，求点E，F的坐标．（1）①将b、c的值代入解析式，再将A点坐标代入解析式即可求出a的值，再用配方法求出顶点坐标即可；②先令y=0得到B点坐标，再求出直线BP的解析式，设点M的坐标为SKIPIF1<0，则点G的坐标为SKIPIF1<0，再表示出MG的长，配方求出最值得到M、G的坐标；（2）根据SKIPIF1<0，解析式经过A点，可得到解析式：SKIPIF1<0，再表示出P点坐标，N点坐标，接着作点P关于y轴的对称点SKIPIF1<0，作点N关于x轴的对称点SKIPIF1<0，再把SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的坐标表示出来，由题意可知，当SKIPIF1<0取得最小值，此时SKIPIF1<0，将字母代入可得：SKIPIF1<0，求出a的值，即可得到E、F的坐标；【答案】(1)①SKIPIF1<0；②点M的坐标为SKIPIF1<0，点G的坐标为SKIPIF1<0；(2)点SKIPIF1<0和点SKIPIF1<0；【详解】（1）①∵抛物线SKIPIF1<0与x轴相交于点SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．又SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0．∴抛物线的解析式为SKIPIF1<0．∵SKIPIF1<0，∴点P的坐标为SKIPIF1<0．②当SKIPIF1<0时，由SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0．∴点B的坐标为SKIPIF1<0．设经过B，P两点的直线的解析式为SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0∴直线SKIPIF1<0的解析式为SKIPIF1<0．∵直线SKIPIF1<0（m是常数，SKIPIF1<0）与抛物线SKIPIF1<0相交于点M，与SKIPIF1<0相交于点G，如图所示：∴点M的坐标为SKIPIF1<0，点G的坐标为SKIPIF1<0．∴SKIPIF1<0．∴当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0有最大值1．此时，点M的坐标为SKIPIF1<0，点G的坐标为SKIPIF1<0．（2）由（1）知SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．SKIPIF1<0∴抛物线的解析式为SKIPIF1<0．∵SKIPIF1<0，∴顶点P的坐标为SKIPIF1<0．∵直线SKIPIF1<0与抛物线SKIPIF1<0相交于点N，∴点N的坐标为SKIPIF1<0．作点P关于y轴的对称点SKIPIF1<0，作点N关于x轴的对称点SKIPIF1<0，如图所示：得点SKIPIF1<0的坐标为SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0的坐标为SKIPIF1<0．当满足条件的点E，F落在直线SKIPIF1<0上时，SKIPIF1<0取得最小值，此时，SKIPIF1<0．延长SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0相交于点H，则SKIPIF1<0．在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0．∴SKIPIF1<0．解得SKIPIF1<0（舍）．∴点SKIPIF1<0的坐标为SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0的坐标为SKIPIF1<0．则直线SKIPIF1<0的解析式为SKIPIF1<0．∴点SKIPIF1<0和点SKIPIF1<0．本题考查二次函数的几何综合运用，熟练掌握待定系数法求函数解析式、配方法求函数顶点坐标、勾股定理解直角三角形等是解决此类问题的关键．1．（2022·山东济南·校考一模）如图，直线SKIPIF1<0与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线SKIPIF1<0过点A．(1)求出抛物线解析式的一般式；(2)抛物线上的动点D在一次函数的图象下方，求SKIPIF1<0面积的最大值，并求出此时点D的坐标；(3)若点P为x轴上任意一点，在（2）的结论下，求SKIPIF1<0的最小值．2．（2022·重庆铜梁·统考一模）如图1，二次函数SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）的图象与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0．(1)求二次函数的解析式；(2)如图2，点P是直线SKIPIF1<0上方抛物线上一点，SKIPIF1<0SKIPIF1<0轴交SKIPIF1<0于点D，SKIPIF1<0SKIPIF1<0交x轴于点E，求SKIPIF1<0的最大值；(3)在（2）的条件下，当SKIPIF1<0取最大值时，点M在该抛物线的对称轴上，满足SKIPIF1<0的周长最小，点N为该坐标平面内一点，是否存在以点A，B，M，N为顶点的平行四边形，若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．3．（2022·广东中山·统考三模）如图，抛物线SKIPIF1<0与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴为直线SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0，过B的直线交y轴于点D，交抛物线于E，且SKIPIF1<0．(1)求抛物线的解析式；(2)在抛物线第四象限的图象上找一点P，使得SKIPIF1<0的面积最大，求出点P的坐标；(3)点M是线段BE上的一点，求SKIPIF1<0的最小值，并求出此时点M的坐标．4．（2022·贵州黔东南·统考二模）如图，抛物线SKIPIF1<0与x轴交于点SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，与y轴交于点C．(1)求抛物线的解析式；(2)点M是抛物线对称轴上的动点，求SKIPIF1<0的最小值；(3)若点P是直线AC下方抛物线上的动点，过点P作SKIPIF1<0于点Q，线段PQ是否存在最大值？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．5．（2022·辽宁沈阳·沈阳市第七中学校考模拟预测）如图，抛物线SKIPIF1<0经过点SKIPIF1<0SKIPIF1<0和点SKIPIF1<0SKIPIF1<0，且与SKIPIF1<0轴交于点SKIPIF1<0．(1)分别求抛物线和直线SKIPIF1<0的解析式；(2)在SKIPIF1<0轴上有一动点SKIPIF1<0，抛物线上有一动点SKIPIF1<0，是否存在以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点SKIPIF1<0的坐标；若不存在，请说明理由；(3)点SKIPIF1<0为抛物线上位于直线SKIPIF1<0上方的一点，过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0轴交直线SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0为对称轴上一动点，当线段SKIPIF1<0的长度最大时，求SKIPIF1<0的最小值．6．（2022·黑龙江大庆·统考一模）如图，已知抛物线SKIPIF1<0与x轴相交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点，与y轴相交于点SKIPIF1<0，抛物线的顶点为D．(1)求抛物线的解析式；(2)若P是直线BC下方抛物线上任意一点，过点P作SKIPIF1<0轴于点H，与BC交于点M．①求线段PM长度的最大值．②在①的条件下，若F为y轴上一动点，求SKIPIF1<0的最小值．7．（2022·山东临沂·统考一模）如图，抛物线SKIPIF1<0与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，直线SKIPIF1<0过B、C两点，连接AC．(1)求抛物线的解析式．(2)点M(3，1)是抛物线上的一点，点D为抛物线上位于直线BC上方的一点，过点D作DE⊥x轴交直线BC于点E，点P为抛物线对称轴上一动点，当线段DE的长度最大时，求PD+PM的最小值．8．（2021·贵州遵义·校考二模）在平面直角坐标系中，有一抛物线SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，顶点为SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的坐标分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0轴的垂线交抛物线于点SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0得SKIPIF1<0．把SKIPIF1<0向右平移，当点SKIPIF1<0刚好落在抛物线上时得SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的对应点分别是点SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，如图（1）．(1)线段SKIPIF1<0的长为__________，直角三角形平移的距离是__________，抛物线的对称轴是直线SKIPIF1<0__________；(2)将SKIPIF1<0绕着点SKIPIF1<0沿逆时针方向旋转，点SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的对应点分别记为点SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，当点SKIPIF1<0落在抛物线的对称轴上时，在直线SKIPIF1<0的下方的抛物线上有一点SKIPIF1<0，过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0轴的平行线交直线SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0．线段SKIPIF1<0的长是否存在最大值，若存在，求出点SKIPIF1<0的坐标，若不存在，说明理由；(3)在（2）的条件下，SKIPIF1<0继续旋转，当点SKIPIF1<0