《电路应用基础》课件第6章

第6章一阶动态电路分析6.1换路定律

6.2一阶电路的零输入响应

6.3直流激励下一阶电路的零状态

6.4一阶电路的全响应及其求法

6.5一阶电路的三要素法应用与训练本章小结习题六

本章将研究RC电路及RL电路在不同激励输入时的时间响应。理解电容器及电感器中的电压和电流的变化特征，是学习本章内容的关键。因此学习本章内容前应复习第3章的内容。

通过本章的学习，要求理解过渡过程的概念，掌握换路定律与初始值的计算，掌握零输入响应、零状态响应的过程及分析方法，掌握三要素法。

学习任务：

(1)过渡过程的概念；

(2)换路定律；

(3)初始值的计算。

获取能力：

(1)理解过渡过程的概念；

(2)掌握换路定律的实质，即换路瞬间电容电压不能跃变，电感电流不能跃变；

(3)能熟练计算换路过程的初始值。6.1换路定律6.1.1过渡过程的概念

过渡过程是自然界各种事物在运动中普遍存在的现象。停在站内的火车速度为零，是一种稳定状态；若其驶出车站后，在某区间内以一定速度匀速直线行驶，则是另一种稳定状态。火车从前一种稳定状态到后一种稳定状态，须经历一个加速行驶的过程，这就是过渡过程。含有电感或电容电路若发生换路——电路的接通或切断、激励或参数的突变等，则电路将从换路前的稳定状态经历一段时间达到另一新的稳定状态。电路从一种稳定状态到另一种稳定状态之间的过程，即为电路的过渡过程。电路的过渡过程一般历时很短，故也称为暂态过程；而电路的稳定状态则简称为稳态。暂态过程虽然短暂，却是不容忽视的。在脉冲数字技术中，电路的工作状态主要是暂态；而在电力系统中，过渡过程产生的瞬间过电压或过电流，则可能危及设备甚至人身安全，必须采取措施加以预防。6.1.2换路定律

含储能元件的电路换路后之所以会发生过渡过程，是由储能元件的能量不能跃变所决定的。从第3章已经知道：电容元件和电感元件都是储能元件。实际电路中电容和电感的储能都只能连续变化，这是因为实际电路所提供的功率只能是有限值。如果它们的储能发生跃变，则意味着功率

即电路须向它们提供无限大的功率，这实际上是办不到的。电容元件储存的能量

(6-1-1)

而电感元件储存的能量

(6-1-2)从式(6-1-1)、式(6-1-2)可以看出，由于储能不能跃变，因此电容电压不能跃变，电感电流也不能跃变。这一规律从储能元件的VCR也可以看出。

电容元件的VCR为

实际电路中电容元件的电流iC为有限值，即电压的变化

率 为有限值，故电压uC的变化是连续的。电感元件的VCR为

实际电路中电感元件的电压uL为有限值，即电流的变化

率 为有限值，故电流iL的变化是连续的。

实际电路中uC、iL的这一规律适合于任一时刻，当然也适合于换路瞬间。即换路瞬间电容电压不能跃变，电感电流不能跃变，这就是换路定律。设瞬间发生换路，则换路定律可用数学式表示为

(6-1-3)

其中，0－表示t从负值趋于零的极限，即换路前的最后瞬间；0＋则表示t从正值趋于零的极限，即换路后的最初瞬间。式(6-1-3)在数学上表示函数uC(t)和iL(t)在t＝0的左极限和右极限相等，即它们在t＝0连续。6.1.3初始值的计算

电路的过渡过程是从换路后的最初瞬间即t＝0＋开始的，电路中各电压、电流在t＝0＋的瞬时值是过渡过程中各电压、电流的初始值。对过渡过程的分析往往首先计算电路中各电压、电流的初始值。下面先看一个计算初始值的例子。

例6-1-1

图6-1-1(a)所示电路中，US＝10V，R1＝15W，R2＝5W，开关S断开前电路处于稳态。求S断开后电路中各电压、电流的初始值。

解设开关S在瞬间断开，即t＝0时发生换路。换路前电路为直流稳态，电容C相当于开路，如图6-1-1(b)所示。根据图(b)所示电路可求得

换路后的电路如图6-1-1(c)所示。根据换路定律，换路后的最初瞬间

UC(0＋)＝UC(0－)＝2.5V

电路R2与电容C并联，故R2的电压

U2(0＋)＝UC(0－)＝2.5V

R2的电流为

由于S已断开，根据KCL得

i1(0＋)＝0

iC(0＋)＝i1(0＋)－i2(0＋)＝0－0.5＝－0.5A

图6-1-1例6-1-1用图从上例可归纳计算初始值的步骤如下：

(1)根据换路前的电路求t＝0－瞬间的电容电压uC(0－)或电感电流iL(0－)。若换路前电路为直流稳态，则电容相当于开路，电感相当于短路。

注意：除uC(0－)、iL(0－)以外，其他电压、电流在t＝0瞬间可能跃变(读者可自行验证)，因而计算它们在t＝0－的瞬时值对分析过渡过程是毫无价值的。

(2)根据换路定律，换路后电容电压和电感电流的初始值分别等于它们在t＝0－的瞬时值，即

uC(0＋)＝uC(0－)

iL(0＋)＝iL(0－)

电容电压、电感电流的初始值反映电路的初始储能状态，简称为(电路的)初始状态。

(3)以初始状态即电容电压、电感交流的初始值为已知条件，根据换路后(t＝0＋)的电路进一步计算其他电压、电流的初始值。

例6-1-2

图6-1-2(a)所示电路中，US＝12V，R1＝4W，R3＝8W，开关S闭合前电路处于稳态。求S闭合(t＝0)后电路中各电压、电流的初始值。

解开关闭合前电路为直流稳态，电感相当于短路，如图6-1-2(b)所示。由图(b)所示电路不难求得

图6-1-2例6-1-2用图换路后的电路如图6-1-2(c)所示。根据换路定律，开关S闭合后电感电流的初始值为

iL(0＋)＝iL(0－)＝1A

由于S闭合将电阻R3短路，所以

u3(0＋)＝0

由KCL得

i2(0＋)＝iL(0＋)－i3(0＋)＝1－0＝1A

由KVL得

uL(0＋)＝US－R1·iL(0＋)＝12－4×1＝8V

6-1-1含储能元件的电路换路后为什么会发生过渡过程？什么是换路定律？它的数学表达式是怎样的？

6-2-2为了确定换路后各电压、电流的初始值，必须先算出所有这些电压、电流在换路前最后瞬间(即瞬时)的值，对吗？为什么？应该怎样做？

思考与练习

学习任务：

(1)RC电路的零输入响应；

(2)RL电路的零输入响应。

获取能力：

(1)掌握RC电路和RL电路的零输入响应过程中电压、电流的变化规律，以及分析方法；

(2)理解时间常数的概念，并会计算RC电路和RL电路的时间常数；6.2一阶电路的零输入响应

(3)理解RC电路和RL电路零输入响应过程中的能量变化。

电容元件的电流与其电压的变化率成正比，电感元件的电压则与其电流的变化率成正比，因而储能元件也称为动态元件。由于动态元件的VCR是微分关系，因此，含动态元件的电路即动态电路的KCL、KVL方程都是微分方程。只含一个动态元件的电路只需用一阶微分方程来描述，故称为一阶电路。一阶电路在没有输入激励的情况下，仅由电路的初始状态(初始时刻的储能)所引起的响应，称为零输入响应。6.2.1RC电路的零输入响应

如图6-2-1(a)所示电路，换路前电容已被充电至电压uC(0)＝U0，储存的电场能量为 。ｔ＝0瞬间将开关S从a换接到b后，电压源被断开，输入跃变为零，电路进入电容C通过电阻R放电的过渡过程。换路后的电路如图6-2-1(b)所示，电容电压的初始值根据换路定律为uC(0＋)＝uC(0－)＝U0，而电流i则从换路前的0跃变为

。放电过程中，电容的电压逐渐降低，其储存的能量逐渐释放，放电电流逐渐减小，最终电压降为零，其储能全部释放，放电电流也减小到零，放电过程结束。下面分析放电过程中电压、电流随时间的变化规律，即电路的零输入响应。

图6-2-1RC电路的放电过程

1.电压、电流的变化规律

对图6-2-1(b)所示换路后的电路，由KVL得

UC＋Ri＝0

以

代入上式得

(6-2-1)

这是一个关于变量UC的一阶线性常系数齐次常微分方程。设方程的通解uC＝Aept(其中p为特征根，A为待定系数)，代入式(6-2-1)得

RCApept＋Aept＝0

方程两边同除以Aept，即得式(6-2-1)的特征方程为

RCp＋1＝0

解得

于是

(6-2-2)

式(6-2-2)即微分方程(6-2-1)的通解，其中积分常数A由电路的初始状态即电容电压的初始值确定。以t＝0＋、UC(0＋)＝U0代入式(6-2-2)，求得

A＝U0

所以

上式即放电过程中电容电压的变化规律。电阻电压和放电电流则分别为

图6-2-2RC电路的零输入响应

式中的负号说明电阻电压uR和放电电流i的实际方向与图示的参考方向相反。uC、uR和i随时间变化的曲线如图6-2-2所示。

从以上结果可见，电容通过电阻放电的过程中，uC、|uR|、|i|均随时间按指数函数的规律衰减。

2.时间常数

令t＝RC，则uC、uR和i可分别表示为

(6-2-3)

(6-2-4)

(6-2-5)

对于已知R、C参数的电路来说，t＝RC是一个仅取决于电路参数的常数。t的单位为

由于t具有时间的单位，故称为时间常数。

时间常数t的大小决定了放电过程中电压、电流衰减的快慢。以电容电压uC为例，其随时间衰减的情况如表6-2-1所

表6-2-1放电过程中电容电压随时间衰减的情况

图6-2-3时间常数与放电快慢的示意图从表中可以看出，t＝t时电容电压降至初始值的36.8％。图6-2-3则表明，放电过程中，电容电压和放电电流衰减至初始值的36.8％所需的时间等于时间常数t。这一时间越长，放电进行得越慢；反之，放电进行得越快。

从理论上说，t→∞电容电压才衰减为零；实际上t＝5t时，电容电压已衰减至初始值的0.7％，足以说明电路已经达到新的稳态。

当t＝0＋时，由式(6-2-3)～式(6-2-5)可得

故RC电路的零输入响应可表示成一般形式

(6-2-6)

其中，f(t)表示RC电路的任一零输入响应，而f(0＋)则表示该响应的初始值。

3.放电过程中的能量

如前所述，电路的初始储能为

放电过程中电阻消耗的能量为

可见，整个放电过程中电阻消耗的能量就是电容的初始储能。

例6-2-1

图6-2-1所示电路中，开关S在位置a为时已久，已知US＝10V，R＝5kW，C＝3mF，t＝0瞬间，开关S从a换接至b，求：

(1)换路后uC(t)的表示式，并绘出变化曲线；

(2)换路后15mS及75mS时的电容电压值。

解电压、电流的参考方向如图6-2-1所示。图6-2-4例6-2-1用图

(1)换路前电路已达稳态，电容电压

UC(0－)＝US＝10V

根据换路定律，电容电压的初始值

UC(0＋)＝UC(0－)＝10V

电路的时间常数

t＝RC＝5×103×3×10－6＝15mS

由式(6-2-6)得换路后的电容电压

其变化曲线如图6-2-4所示。

(2)当t＝15mS，即t＝t时，

UC＝10e－1＝3.68V

当t＝75mS，即t＝5t时，

UC＝10e－5＝0.07V

例6-2-2

某电路中有一个40mF的电容器，断电前已充电至电压UC(0－)＝3.5kV。断电后电容器经本身的漏电阻放电。若电容器的漏电阻R＝100ＭW，1小时后电容器的电压降至多少？若电路需要检修，应采取什么安全措施？

解由题意知电容电压的初始值

UC(0＋)＝UC(0－)＝3.5×103V

放电时间常数

t＝RC＝100×106×40×10－6＝4000S

当t＝1h＝60×60S＝3600S时

可见，断电1小时后，电容器仍有很高的电压。为安全起见，须待电容器充分放电后才能进行线路检修。为缩短电容器的放电时间，可用一阻值较小的电阻并联于电容器两端以加速放电过程。6.2.2RL电路的零输入响应

图6-2-5(a)所示电路中，开关S原置于位置a，电路已达稳态，电流

，电感元件储存的磁场能量

。t＝0瞬间将开关S从a换接至b后，电压源被短路代替，输入跃变为零，电路进入过渡过程。过渡过程中的电压、电流即是电路的零输入响应。

图6-2-5RL电路换路对图6-2-5(b)所示换路后的电路列出KVL方程

uR＋uL＝0

将

代入得

即

(6-2-7)

式(6-2-7)与式(6-2-1)同为一阶常系数齐次常微分方程，其通解具有相同的形式，即

iL＝Aept

由式(6-2-7)的特征方程

解得

又电路的初始状态即(电感)交流的初始值

代入通解，即可得过渡过程中的电流

其中

为RL电路的时间常数，其意义及单位与RC电路

的时间常数相同。

图6-2-6RL电路的零输入响应电阻元件和电感元件的电压分别为

电压、电流随时间变化的曲线如图6-2-6所示。

由于电感电流不能跃变，因此，换路后虽然输入跃变为零，但电流却以逐渐减小的方式继续存在。电感电压则因电流iL减小(

)而与电流反向(为负值)。电感的储能随电流减小而逐渐释放，并为电阻所消耗。当电流减小到零时，电感储存的磁场能量全部释放，过渡过程结束。可见，R、L短接后的过渡过程就是电感元件释放储存的磁场能量的过程。

例6-2-3

电路如图6-2-7所示，继电器线圈的电阻R＝250W，吸合时其电感值L＝25H。已知电阻R1＝230W，电源电压US＝24V。若继电器的释放电流为４ｍＡ，则开关S闭合后多长时间继电器能够释放？

解换路前继电器的电流

图6-2-7例6-2-3用图

换路后电感电流的初始值

iL(0＋)＝iL(0－)＝0.05A

电路的时间常数

由式(6-2-6)得

继电器开始释放时，电流iL等于释放电流，即

0.05e－10t＝4×10－3

则

t＝0.25S

即开关S闭合后0.25S，继电器开始释放。

6-2-1什么是一阶电路？什么是零输入响应？一阶电路的零输入响应具有怎样的变化规律？

6-2-2什么是时间常数？它与过渡过程有何关系？如何计算RC电路和RL电路的时间常数？如果与动态元件相连的不只是一个电阻，而是多个电阻连接而成的单口，又如何确定时间常数？思考与练习

学习任务：

(1)RC电路的零状态响应；

(2)RL电路的零状态响应。

获取能力：

(1)掌握RC电路和RL电路的零状态响应过程中电压、电流的变化规律，以及分析方法；

(2)理解RC电路和RL电路零状态响应过程中的能量变化。

如果换路前电路中的储能元件均未储能，即电路的初始状态为零，换路瞬间电路接通直流激励，则换路后由外施激励在电路中引起的响应称为零状态响应。6.3直流激励下一阶电路的零状态响应6.3.1RC电路的零状态响应

图6-3-1(a)所示电路中，开关S原置于b位已久，电容已充分放电，电压UC(0－)＝0。t＝0瞬间将开关S从b换接至a接通直流电压源US，此后电路进入US通过电阻R向电容C充电的过渡过程。过渡过程中的电压、电流即为直流激励下RC电路的零状态响应。

对图6-3-1(b)所示换路后的电路，由KVL得

uR＋uC＝uS

图6-3-1RC电路接通直流激励

把

代入上式得

(6-3-1)

这是一个关于变量uC的一阶线性常系数非齐次常微分方程，其完全解由两部分组成，即

uC＝uCp＋uCh

其中

为原方程(6-3-1)所对应的齐次方程

的通解，而UCp则为原方程的任意一个特解。特解UCp具有和外施激励相同的形式，现激励为直流电压源，故可设特解为一常数，即

UCp＝K

将其代入原式(6-3-1)得

K＝US

所以，原方程的完全解为

(6-3-2)

其中t＝RC，A则根据电路的初始状态来确定。由于换路前电容已充分放电，电容电压uC(0－)＝0，根据换路定律，换路后电路的初始状态即

uC(0＋)＝uC(0－)＝0

代入式(6-3-2)得

A＝－US

故得充电过程中的电容电压

(6-3-3)

式(6-3-3)表明，充电过程中的电容电压uC(t)由两个分量组成。其中， 称为暂态分量，因为t→∞时 ，说明该分量仅存在于过渡过程中；而US则称为稳态分量，当t→∞，电路达到新的稳态时，暂态分量衰减为零，电容电压即等于这一分量，即uC(∞)＝US，所以稳态分量就是电容电压的稳态值，电容电压的零状态响应可表示为

(6-3-4)

进一步不难得到电阻两端电压和充电电流分别为

(6-3-5)

(6-3-6)

电阻电压和充电电流均只含有暂态分量，它们的稳态分量都等于零。

显然，电阻电压和充电电流的零状态响应与电容电压的零状态响应变化规律不同。

式(6-3-3)、式(6-3-4)和式(6-3-5)中的t＝RC为电路的时间常数，当t＝t时，电容电压

uC(t)＝US(1－e－1)＝0.632US

可见t在数值上等于电容电压充电至稳态值的63.0%所需的时间。和放电时一样，充电过程进行的快慢取决于时间常数t，即取决于电阻R和电容C的乘积。过渡过程中uC、uR和iC随时间变化的曲线如图6-3-2所示。和放电时一样，充电过程中的响应也都是时间的指数函数。只是其中电容电压的变化是从零初始值按指数规律上升到非零稳态值，而电阻电压和充电电流都在换路瞬间一跃而为非零初始值(最大)，而后按指数规律下降到零稳态值。从理论上说，t→∞时电容电压才升至稳态值，同时充电电流降至零，充电过程结束。实际上t＝5t时，

uC(5t)＝US(1－0.007)＝0.993US

电容电压已充电至稳态值的99.3%，可以认为充电过程到此基本结束。

图6-3-2RC电路的零状态响应

例6-3-1

图6-3-3(a)所示电路中IS＝1Ａ，R＝10W，C＝10mF，换路前开关S是闭合的。t＝0瞬间S断开，求S断开后电容两端的电压uC、电流iC和电阻的电压uR，并绘出电压、电流的变化曲线。

解换路前电容被开关短路，UC(0－)＝0，所以换路后电路的初始状态为零，即

UC(0＋)＝UC(0－)＝0

换路后的电路可等效变换成图6-3-3(b)所示电路。

图6-3-3例6-3-1用图电路的时间常数

t＝RC＝10×10×10－6＝10－4S

等效电路中的电压源电压就是换路后电容电压的稳态值，即

uC(∞)＝US＝ISR＝1×10＝10V

由式(6-3-4)得

由式(6-3-6)得

或

原电路中电阻R与电容C并联，故电阻电压

电压、电流的变化曲线如图6-3-4所示。

图6-3-4例6-3-1电路的零状态响应6.3.2RL电路的零状态响应

图6-3-5(a)所示电路中，开关S未闭合时，电流为零。t＝0瞬间合上开关S，RL串联电路与直流电压源Us接通后，电路进入过渡过程。过渡过程中的电压、电流即为直流激励下RL电路的零状态响应。

对图6-3-5(b)所示换路后的电路，由KVL得

以

代入上式得

图6-3-5RL电路接通直流激励

(6-3-7)

式(6-3-7)与式(6-3-1)同为一阶线性常系数非齐次常微分方程，其完全解具有相同的形式，通过比较可得

(6-3-8)

其中t＝L/R。由于电路的初始状态即(电感)电流的初始值

将其代入式(6-3-8)求得

所以

(6-3-9)

其中，t＝L/R为RL电路的时间常数，其意义与RC电路的时间常数相同。t的大小也同样决定RL电路过渡过程的快慢。与RC电路中电容电压的零状态响应一样，RL电路中电感电流的零状态响应也由稳态分量和暂态分量组成。当t→∞电路达到新的稳态时，电感电流的稳态值

电感电流的零状态响应也可表示为

(6-3-10)可见，电感电流的零状态响应与电容电压的零状态响应具有相同的变化规律，因此，可用下面的通式来表示它们：

(6-3-11)

电阻元件和电感元件的电压分别为

(6-3-12)

(6-3-13)

显然，电感电压的零状态响应与电感电流的零状态响应变化规律不同。

电压、电流随时间变化的曲线如图6-3-6所示。

由于电感电流不能跃变，因此，换路后iL和电阻电压uR＝RiR都只能从零初始值按指数规律上升到非零稳态值；而电感电压uL在换路瞬间则从零一跃而为非零初始值(最大)，而后按指数规律下降到零稳态值。

图6-3-6RL电路的零状态响应过渡过程中电感的储能将随电流的增大而逐渐增加。当t→∞，电路达到稳态时，其储能为

注意：式(6-3-11)只能用来计算电容电压或电感电流的零状态响应。其他的零状态响应只能在求出uC(t)或iL(t)后，再根据元件的VCR和基尔霍夫定律计算。这是因为，除了电容电压和电感电流以外，其他电压、电流在换路瞬间有可能跃变。

例6-3-2

图6-3-5所示电路中，Us＝18V，R＝500W，L＝5H。当开关S闭合后，求：

(1)稳态电流iL(∞)及iL、UL的变化规律；

(2)电流增至iL(∞)的63.2％时所需的时间；

(3)电路储存磁场能量的最大值。

解

(1)电路的时间常数

电路达到稳态时电流

由式(6-3-10)得

由式(6-3-13)得

(2)当iL＝0.632iL(∞)时，

36(1－e－100t)＝36×0.632

故得

t＝t＝0.01s＝10ms

即换路后10mS电流增至稳态值的63.2%。

(3)因为电路中的电流达到稳态值时最大，所以电感储存的最大磁场能量为

6-3-1什么是零状态响应？一阶电路对恒定激励的所有零状态响应变化规律都一样吗？哪些零状态响应具有确定的变化规律？它们是怎样的规律？

6-3-2求一阶电路对恒定激励的零状态响应时应该先求哪些响应？随后又如何计算其他的响应呢？思考与练习

学习任务：

(1)一阶电路的全响应；

(2)用叠加定理求一阶电路的全响应。

获取能力：

(1)理解全响应的概念；

(2)理解和掌握全响应的两种分解方法。

本节讨论一阶电路的全响应，即一阶电路在非零初始状态和外施直流激励共同作用下的响应。6.4一阶电路的全响应及其求法6.4.1一阶电路的全响应

图6-4-1所示电路中，开关S闭合前电容已充电至电压uC(0－)＝U0。t＝0瞬间合上开关后，电路的KVL方程为

上式与式(6-3-1)完全相同，故方程的完全解为

图6-4-1RC电路接通直流激励

电路的初始状态

UC(0＋)＝UC(0－)＝U0

代入上式，得

A＝U0－Us

故得电容电压的全响应

(6-4-1)

式(6-4-1)中， 为暂态分量，t→∞时，

，说明该项仅存在过渡过程中；而US为稳态分量，当t→∞，电路达到新的稳态时，暂态分量衰减为零，电容电压即等于这一分量，即UC(∞)＝Us。式(6-4-1)说明

全响应＝稳态分量＋暂态分量

其中，稳态响应与外施激励有关，当激励为恒定(直流)时，稳态响应也是恒定量；暂态响应总是时间的函数，其变化规律与激励无关。电阻R的电压

(6-4-2)

电路中的电流

(6-4-3)

过渡过程中UC、UR和i随时间变化的曲线如图6-4-2所示。

图6-4-2RC电路的全响应从图6-4-2所示曲线可以看出：由于Us＞U0＞0，因此，过渡过程中电容电压从初始值按指数规律上升至稳态值，即电容进一步充电。如果U0＞Us＞0，或二者一个为正、另一个为负，则过渡过程中电容是充电还是放电呢？请读者自行分析(例如Us＝6V，U0＝－3V)。6.4.2用叠加定理求一阶电路的全响应

式(6-4-1)可改写成如下形式：

(6-4-4)

不难发现，上式第一项是RC电路的零响应，而第二项是零状态响应。可见全响应＝零输入响应＋零状态响应这说明：一阶电路的全响应等于由电路的初始状态单独作用所引起的零输入响应和由外施激励单独作用所引起的零状态响应之和。这正是叠加定理的体现。

图6-4-3例6-4-1用图

例6-4-1

图6-4-3所示电路中，US＝100V，R1＝R2＝4W，L＝4H，电路原已处于稳态。t＝0瞬间开关S断开。

(1)用叠加定理求S断开后电路中的电流iL；

(2)求电感的电压uL；

(3)绘出电流、电压的变化曲线。

解

(1)求过渡过程中的电流iL。

①求零输入响应。换路前电路已处于稳态，由换路前的电路得

换路后电路的初始状态

iL(0＋)＝iL(0－)＝25A

换路后电路的时间常数

故得电路的零输入响应

②求零状态响应。若初始状态为零，则换路后在外施激励作用下iL从零按指数规律上升至稳态值，即

故得电路的零状态响应

③全响应为

iL(t)＝iL¢(t)＋iL²(t)＝25e－2t＋12.5(1－e－2t)

＝12.5(1＋e－2t)A

(2)求电感电压uL。

uL＝us－(R1＋R2)i＝100－(4＋4)×12.5(1＋e－2t)

＝－100e－2tV

或

(3)电压、电流的变化曲线如图6-4-4所示。

图6-4-4例6-4-1电路的全响应

什么是一阶电路的全响应？全响应可作哪两种分解？思考与练习

学习任务：

一阶电路的三要素法。

获取能力：

理解和掌握用三要素法分析一阶电路的全响应。

如上节所述，求一阶电路的全响应，可以根据叠加定理分别求出电路的零输入响应和零状态响应，然后加以叠加。但更简便和更常用的计算全响应的方法是一阶电路的三要素法。6.5一阶电路的三要素法由上节知道，电容电压的全响应等于暂态响应和稳态响应之和，即

(6-5-1)

对于式(6-5-1)，当t＝0＋时即为电容电压的初始值：

若t→∞则为电容电压的稳态值：

以UC(0＋)、UC(∞)分别代替式(6-5-1)中的U0、US得

(6-5-2)

可见，只要求出电容电压的初始值、稳态值和电路的时间常数，即可由式(6-5-2)写出电容电压的全响应。初始值、稳态值和时间常数称为一阶电路的三要素。求出三要素，然后按式(6-5-2)写出全响应的方法称为三要素法。不仅求电容电压可用三要素法，求一阶电路过渡过程中的其他响应都可用三要素法。若用f(t)表示一阶电路的任意响应，f(0＋)、f(∞)分别表示该响应的初始值和稳态值，则

(6-5-3)

式(6-5-3)即用三要素法求一阶电路过渡过程中任一响应的公式。

从式(6-5-3)可见，过渡过程中之所以存在暂态响应，是因为初始值与稳态值之间有差别［f(0＋)－f(∞)］。暂态响应的作用就是消灭这个差别——使其按指数规律衰减。一旦差别没有了，电路也就达到了新的稳态，响应即为稳态响应f(∞)。应用三要素法时，一阶电路中与动态元件连接的可以是一个多元件的线性含源电阻单口，这时t＝RC，或t＝L/R中的R应理解为该含源电阻网络的等效电阻。

例6-5-1

电路如图6-5-1所示，开关S闭合于a端为时已久。t＝0瞬间将开关从a换接至b，用三要素法求换路后的电容电压uC(t)，并绘出其变化曲线。

解

(1)求初始值。

由换路前的电路得

根据换路定律

UC(0＋)＝UC(0－)＝－2V

由换路后的电路求稳态值

(2)求时间常数。

与电容C相连的含源单口网络的输出电阻为

所以，时间常数

将求出的三要素代入公式(6-5-3)，得

uC(t)的变化是从初始值uC(0＋)＝－2V按指数函数的规律上升到稳态值uC(∞)＝4V，故其曲线的起点坐标为(0，－2)，渐进线为uC＝4V，据此绘出uC(t)的变化曲线如图6-5-2所示。

图6-5-1例6-5-1用图图6-5-2例6-5-1电路的全响应

例6-5-2

图6-5-3所示电路中，支路电流源Is＝2A，R1＝50W，R2＝75W，L＝0.3H，开关原为断开。t＝0瞬间合上开关，用三要素法求换路后的电感电流i(t)和电流源u(t)，并绘出其变化曲线。

解

(1)求初始值。

由换路前的电路得

iL(0－)＝0

根据换路定律

iL(0＋)＝iL(0－)＝0

图6-5-3例6-5-2的电路

t＝0＋即换路后的最初瞬间，电感支路无电流视为开路，可求得

(2)求稳态值。

达稳态后，视电感为短路，电流源电流全部通过电感，即

i(∞)＝Is＝2A

u(∞)＝0V

(3)求时间常数。

与电容C相连的含源电阻单口的输出电阻为

所以时间常数

将求出的三要素代入公式(6-5-3)得

i(t)、u(t)的变化曲线如图6-5-4所示。

图6-5-4例6-5-2电路的响应

什么是一阶电路的三要素法？怎样用三要素法求一阶电路的全响应？如何绘制全响应的波形图？

思考与练习古斯塔夫·罗伯特·基尔霍夫(1824—1887年)，德国物理学家。大学毕业后，基尔霍夫在柏林大学担任讲师，1850年转到布雷其劳大学担任临时教授，1854年担任海德堡大学教授。1860年，他提出了光谱分析法，发现了铯和铷两种新元素。后来基尔霍夫又提出了天体的光谱分析法，带领天体物理学进入新纪元。他在1862年发表的黑体概念，更为20世纪的量子物理发展奠定了重要的基础。他的四卷本教科书《数学物理学讲义》更成为了当时德国著名大学的经典教材。

RC和RL电路在许多电子设备中都很常用，包括直流电源中的滤波器、数字通信中的平滑电路、微分器、积分器、延时电路、继电器电路等等。其中有一些应用场合是利用RC或RL电路的短(或长)时间常数的优点。这里我们将介绍一个一阶RL电路应用实例——汽车点火电路。应用与训练电感要阻止电流快速变化的特征可用于电弧或火花发生器中，汽车点火电路就用的是这个特性。汽车的汽油发动机启动时要求气缸中的燃料空气混合体在适当的时候被点燃，该装置为点火塞，如附图6.1所示，它基本上是一对电极，间隔一定的空气隙。若在两个电极间产生一个高压(几千伏特)，则空气隙中将产生火花而点燃发动机。汽车电池只有12V，怎样才能得到那么高的电压呢？此时就需要用一个电感L(点火线圈)。因为电感两端的电压是U＝Ldi/dt，所以，若在一个很短的时间内使电流变化很大，就可获得大的di/dt，从而使电感两端的电压很高。附图6.1中，当点火开关闭合时，流过电感的电流逐渐增加而达到其终值，即i＝Us/R，这里Us＝12V，电感电流要充到终值所需的时间是电路时间常数的5倍，即

附图6.1汽车点火电路稳态时，i是常数，di/dt＝0，所以电感两端的电压U＝0。若开关突然断开，电感两端就形成一个很高的电压(由于电磁场的快速变化)而在空气隙中产生火花或电弧，一直到放电过程中电感的能量被消耗为止。上述效应，在实验室中进行电感电路实验或研究时，也时有发生，使人有电击的感觉，所以必须提醒注意。

【训练】

汽车点火装置的电路如附图6.1所示，其中的螺线管的电阻是4W，电感是6mH，供电电池为12V。试分析开关闭合后，螺线管的终值电流、线圈中储存的能量和空气隙的电压，假设断开开关要1mS。

(答案：3A、27mJ、18kV)

一、过渡过程和换路定律

1.过渡过程

电路从一种稳定状态到另一种稳定状态之间的过程，即为电路的过渡过程。本章小结

2.换路定律

电路的接通或切断、激励或参数的突变等称为换路。含储能元件的电路中如果发生换路，则电路将从换路前的稳定状态经历一段过渡过程达到另一新的稳定状态。

实际电路中电容电压不能跃变，电感电流也不能跃变。uC、iL的这一规律也适合于换路瞬间，即换路瞬间

uC(0＋)＝uC(0－)

iL(0＋)＝iL(0－)

这就是换路定律。换路定律是确定过渡过程初始值的依据。

二、一阶电路的过渡过程及其三要素法

1．一阶电路的时间常数

只含一个储能元件的线性电路称为一阶电路，其过渡过程的快慢取决于电路的时间常数t。RC电路的时间常数t＝RC；RL电路的时间常数t＝L／R。如果换路后与动态元件连接的是一个多元件的线性含源电阻单口，则t＝RC或t＝L/R中的R应理解为该含源电阻单口的输出电阻。

2．一阶电路的全响应

一阶电路的全响应即一阶电路在非零初始状态和外