2023-2024学年湖北省新高考联考协作体高二上学期期末考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1湖北省新高考联考协作体2023-2024学年高二上学期期末考试数学试题注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.非选择题的作答；用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.抛物线的焦点坐标为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由可得抛物线标准方程为：，其焦点坐标为.故选：D.2.若等比数列的第2项和第6项分别为3和12，则的第4项为（）A.4 B. C.6 D.【答案】C【解析】由题意得，又，故.故选：C3.两条平行直线与间的距离为（）A. B.1 C. D.【答案】D【解析】直线化为：，所以平行直线与间的距离为.故选：D4.假设，且A与B相互独立，则（）A.0.3 B.0.4 C.0.7 D.0.58【答案】D【解析】由，，且A与B相互独立，得，所以.故选：D5.已知空间向量，，则B点到直线的距离为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，，故在上的投影向量的模为，故B点到直线的距离为.故选：A6.过圆：内一点的2023条弦恰好可以构成一个公差为（）的等差数列，则公差的最大值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因经过圆：内一点的最长的弦为圆的直径，长度为10，最短弦长为以点为中点且与垂直的弦，其长度为.(理由如下)如图，过点且与垂直，过点另作弦,过点作于点，在中，显然,而,因，则得，即为过点的最短弦长.要使公差d最大，则这2023条弦构成的等差数列应以最短弦长为首项，以最长弦长为末项.即，解得：，故公差的最大值为.故选：B.7.已知椭圆C：，过右焦点F作直线与椭圆C交于两点，以为直径画圆，则该圆与直线的位置关系为（）A.相交 B.相切 C.相离 D.不确定【答案】C【解析】如图，依题知，设过点的直线方程为，代入椭圆方程，整理得：，设线段的中点为，由韦达定理，则，即，，则圆的半径为，此时，圆心到直线的距离为：，由可知直线与圆相离.当直线斜率为0时，圆的圆心在原点，半径为，显然该圆与直线相离.故选：C.8.如图，在空间直角坐标系中，正四棱柱的底面边长为4，高为2，O为上底面中心，E，F，G分别为棱、、的中点.若平面与平面的交线为l，则l的方向向量可以是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】连接，正四棱柱的对角面是矩形，则，而分别是中点，则，又O为上底面中心，则，因此四边形是平面截正四棱柱所得截面，延长，由是的中点，得，连接，则四边形是平面截正四棱柱所得截面，显然与相交，令交点为，，四边形是正方形，则，而，又，所以向量是直线的一个方向向量，A满足，选项BCD中向量与不共线，即选项BCD不满足.故选：A二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有错选或不选得0分）9.若数列的前n项和为，则下列命题正确的是（）A.数列为等差数列 B.数列为单调递增数列C.数列为单调递增数列 D.数列为等差数列【答案】BC【解析】当时，，当时，，当时，不满足上式，所以，所以数列不是等差数列，A错误；因为，，且当时，为公差大于零的等差数列，所以为单调递增数列，所以B正确；由于，而，数列为单调递增数列，所以C正确；由，则且，显然数列不可能是等差数列，D错误.故选：BC10.已知点和：，过P点的两条直线分别与相切于A，B两点.则以下命题正确的是（）A.B.C.P、A、Q、B均圆上D.A，B所在直线方程为【答案】ACD【解析】根据题意，圆心，半径为2，过P点的两条直线分别与相切于A，B两点，如图，则，所以，，所以A正确，B错误；四边形为正方形，中心为所以P、A、Q、B均在圆上，C正确；所在直线方程为，D正确.故选：ACD.11.在棱长为2的正方体中，点P满足，、，则（）A.当时，点P到平面的距离为B.当时，点P到平面的距离为C.当时，存在点P，使得D.当时，存在点P，使得平面【答案】BD【解析】在棱长为2的正方体中，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，设平面的法向量为，则，令，得，对于A，当时，，，，点P到平面的距离，A错误；对于B，当时，，，，点P到平面的距离，B正确；对于C，当时，，则，，当时，显然，方程无实根，即与不垂直，C错误；对于D，当时，，则，，显然，即，由，得，即当时，，而平面，因此平面，D正确.故选：BD12.已知双曲线C：，（），的左、右焦点分别为，，双曲线C上两点A，B关于坐标原点对称，点P为双曲线右支上一动点，记直线，的斜率分别为，，若，则下列说法正确的是（）A.B.若，则的面积为C.若，则的内切圆半径为D.以为直径的圆与圆相切【答案】ACD【解析】A选项，设，，，，则，，两式相减得，故，，所以，解得，点P为双曲线右支上一动点，由双曲线定义得，A正确；B选项，因为，，若，由余弦定理得，故，解得，故的面积为，B错误；C选项，因为，，若，由勾股定理得，解得，故的面积为，设的内切圆半径为，故，即，解得，C正确；D选项，设，，，其中，设的中点为，则，，又，故，故以为直径的圆与圆相切，D正确.故选：ACD三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.甲、乙两人下棋，已知甲获胜的概率为0.39，乙获胜的概率为0.51，则甲不输的概率为__________.【答案】0.49【解析】甲不输分为甲获胜和甲乙和棋，它是乙获胜事件的对立事件，所以.故答案为：0.4914.已知（a，）是直线l的方向向量，是平面的法向量，如果，则__________.【答案】39【解析】因，依题意，必有，即存在唯一的实数，使，即：，则，解得：，故.故答案：39.15.已知圆，直线若圆上有两个点到直线距离等于1，则实数b的取值范围是_______.【答案】【解析】根据题意，圆的圆心为，半径为2，因为直线若圆上有两个点到直线的距离等于1，则圆心到直线距离为：，，所以此时b的取值范围是故答案为：16.在平面直角坐标系中,P为椭圆C:上的动点,Q为直线l：上的动点，且.则的最小值为__________.【答案】【解析】设三点坐标分别为.由可得.所以，，所以.，假设存在一点，则有.因为，所以，因此点在直线上，令为点到直线的距离，设点坐标为.显然有，又.因此，即的最小值为.故答案为：.四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.递增等比数列中，，.（1）求；（2）若，求数列的前n项的和.解：（1）在递增等比数列中，，解得，，设公比为q，则，又因为为递增数列，故，所以，，所以.（2）由题，则且，所以数列是等比数列，故.18.已知过、两点，且圆心M在直线上.（1）求的标准方程；（2）若直线l：与圆交于E，F两点，且（O为坐标原点），求直线l的方程.解：（1）设的方程为.因为.过、两点，且圆心M在直线上.所以解得：，，，所以的标准方程为：.（2）设，，联立立得，由题意得：，即，由根与系数关系得：，，所以，解得，又因为满足，故所求直线l的方程为.19.甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，已知甲每轮猜对的概率为p（），乙每轮猜对的概率为.在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响.（1）当时，求“星队”在两轮活动中猜对3个成语的概率；（2）若“星队”在两轮活动中猜对2个成语的概率为，求p的值.解：（1）设，分别表示甲两轮猜对1个，2个成语的事件，，分别表示乙两轮猜对1个，2个成语的事件.根据独立性假定，得，.，.设“两轮活动‘星队’猜对3个成语”，则，且与互斥，与，与分别相互独立，所以,因此，“星队”在两轮活动中猜对3个成语的概率是.（2）由（1）知甲两轮猜对0个，1个，2个成语的概率分别为，，，乙两轮猜对0个，1个，2个成语的概率分别为，，，因为甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响，所以“星队”在两轮活动中猜对2个成语的概率为，整理得，又因为，所以.20.在四棱锥中，底面是正方形，若，，.（1）求证：平面平面；（2）求平面与平面夹角的余弦值.解：（1）中，，，，所以，所以.又，，平面，平面，所以平面.又平面，所以平面平面.（2）取的中点O，因为，所以，且因为，平面平面，平面平面，所以平面.在平面内作，以为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，如图所示：则，，，，，，设平面的法向量为，由，，得，令，得，，所以平面的一个法向量.设平面的法向量为，由，，得，令，得，，所以平面的一个法向量.所以，所以平面与平面夹角的余弦值为.21.在如图三角形数阵中，第n行有n个数，表示第i行第j个数，例如，表示第4行第3个数.该数阵中每一行的第一个数从上到下构成以m为公差的等差数列，从第三行起每一行的数从左到右构成以m为公比的等比数列（其中），已知，，.（1）求m及；（2）记，求.解：（1）由题意，可知，，，∵，∴，化简整理，得，解得（舍去），或，∴，∴.（2）由（1），可得，当时，，（*）又∵，，∴，均满足（*）式，∴，，∴，，，两式相减，可得∴.22.动点G到点的距离比到直线的距离小2.（1）求G的轨迹的方程；（2）设动点G的轨迹为曲线C,过点F作斜率为,的两条直线分别交C于M，N两点和P，Q两点,其中.设线段和的中点分别为A，B,过点F作，垂足为D，试问：是否存在定点T，使得线段的长度为定值.若存在，求出点T的坐标及定值；若不存在，说明理由.解：（1）因为动点G到点的距离比到直线的距离小2，则点G到点的距离和它到直线的距离相等，因此点G轨迹是以为焦点，直线为准线的抛物线，设抛物线方程为（），由，得，所以G的轨迹的方程为.（2）显然直线的方程为，直线的方程为，其中，且，由消去y并整理得，该方程的判别式，设，，则，，点，同理，的斜率，直线的方程为，即，，所以，因此直线：过定点，又，则点D在以为直径的圆上，所以存在定点，使得线段的长度为定值2.湖北省新高考联考协作体2023-2024学年高二上学期期末考试数学试题注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.非选择题的作答；用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.抛物线的焦点坐标为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由可得抛物线标准方程为：，其焦点坐标为.故选：D.2.若等比数列的第2项和第6项分别为3和12，则的第4项为（）A.4 B. C.6 D.【答案】C【解析】由题意得，又，故.故选：C3.两条平行直线与间的距离为（）A. B.1 C. D.【答案】D【解析】直线化为：，所以平行直线与间的距离为.故选：D4.假设，且A与B相互独立，则（）A.0.3 B.0.4 C.0.7 D.0.58【答案】D【解析】由，，且A与B相互独立，得，所以.故选：D5.已知空间向量，，则B点到直线的距离为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，，故在上的投影向量的模为，故B点到直线的距离为.故选：A6.过圆：内一点的2023条弦恰好可以构成一个公差为（）的等差数列，则公差的最大值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因经过圆：内一点的最长的弦为圆的直径，长度为10，最短弦长为以点为中点且与垂直的弦，其长度为.(理由如下)如图，过点且与垂直，过点另作弦,过点作于点，在中，显然,而,因，则得，即为过点的最短弦长.要使公差d最大，则这2023条弦构成的等差数列应以最短弦长为首项，以最长弦长为末项.即，解得：，故公差的最大值为.故选：B.7.已知椭圆C：，过右焦点F作直线与椭圆C交于两点，以为直径画圆，则该圆与直线的位置关系为（）A.相交 B.相切 C.相离 D.不确定【答案】C【解析】如图，依题知，设过点的直线方程为，代入椭圆方程，整理得：，设线段的中点为，由韦达定理，则，即，，则圆的半径为，此时，圆心到直线的距离为：，由可知直线与圆相离.当直线斜率为0时，圆的圆心在原点，半径为，显然该圆与直线相离.故选：C.8.如图，在空间直角坐标系中，正四棱柱的底面边长为4，高为2，O为上底面中心，E，F，G分别为棱、、的中点.若平面与平面的交线为l，则l的方向向量可以是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】连接，正四棱柱的对角面是矩形，则，而分别是中点，则，又O为上底面中心，则，因此四边形是平面截正四棱柱所得截面，延长，由是的中点，得，连接，则四边形是平面截正四棱柱所得截面，显然与相交，令交点为，，四边形是正方形，则，而，又，所以向量是直线的一个方向向量，A满足，选项BCD中向量与不共线，即选项BCD不满足.故选：A二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有错选或不选得0分）9.若数列的前n项和为，则下列命题正确的是（）A.数列为等差数列 B.数列为单调递增数列C.数列为单调递增数列 D.数列为等差数列【答案】BC【解析】当时，，当时，，当时，不满足上式，所以，所以数列不是等差数列，A错误；因为，，且当时，为公差大于零的等差数列，所以为单调递增数列，所以B正确；由于，而，数列为单调递增数列，所以C正确；由，则且，显然数列不可能是等差数列，D错误.故选：BC10.已知点和：，过P点的两条直线分别与相切于A，B两点.则以下命题正确的是（）A.B.C.P、A、Q、B均圆上D.A，B所在直线方程为【答案】ACD【解析】根据题意，圆心，半径为2，过P点的两条直线分别与相切于A，B两点，如图，则，所以，，所以A正确，B错误；四边形为正方形，中心为所以P、A、Q、B均在圆上，C正确；所在直线方程为，D正确.故选：ACD.11.在棱长为2的正方体中，点P满足，、，则（）A.当时，点P到平面的距离为B.当时，点P到平面的距离为C.当时，存在点P，使得D.当时，存在点P，使得平面【答案】BD【解析】在棱长为2的正方体中，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，设平面的法向量为，则，令，得，对于A，当时，，，，点P到平面的距离，A错误；对于B，当时，，，，点P到平面的距离，B正确；对于C，当时，，则，，当时，显然，方程无实根，即与不垂直，C错误；对于D，当时，，则，，显然，即，由，得，即当时，，而平面，因此平面，D正确.故选：BD12.已知双曲线C：，（），的左、右焦点分别为，，双曲线C上两点A，B关于坐标原点对称，点P为双曲线右支上一动点，记直线，的斜率分别为，，若，则下列说法正确的是（）A.B.若，则的面积为C.若，则的内切圆半径为D.以为直径的圆与圆相切【答案】ACD【解析】A选项，设，，，，则，，两式相减得，故，，所以，解得，点P为双曲线右支上一动点，由双曲线定义得，A正确；B选项，因为，，若，由余弦定理得，故，解得，故的面积为，B错误；C选项，因为，，若，由勾股定理得，解得，故的面积为，设的内切圆半径为，故，即，解得，C正确；D选项，设，，，其中，设的中点为，则，，又，故，故以为直径的圆与圆相切，D正确.故选：ACD三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.甲、乙两人下棋，已知甲获胜的概率为0.39，乙获胜的概率为0.51，则甲不输的概率为__________.【答案】0.49【解析】甲不输分为甲获胜和甲乙和棋，它是乙获胜事件的对立事件，所以.故答案为：0.4914.已知（a，）是直线l的方向向量，是平面的法向量，如果，则__________.【答案】39【解析】因，依题意，必有，即存在唯一的实数，使，即：，则，解得：，故.故答案：39.15.已知圆，直线若圆上有两个点到直线距离等于1，则实数b的取值范围是_______.【答案】【解析】根据题意，圆的圆心为，半径为2，因为直线若圆上有两个点到直线的距离等于1，则圆心到直线距离为：，，所以此时b的取值范围是故答案为：16.在平面直角坐标系中,P为椭圆C:上的动点,Q为直线l：上的动点，且.则的最小值为__________.【答案】【解析】设三点坐标分别为.由可得.所以，，所以.，假设存在一点，则有.因为，所以，因此点在直线上，令为点到直线的距离，设点坐标为.显然有，又.因此，即的最小值为.故答案为：.四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.递增等比数列中，，.（1）求；（2）若，求数列的前n项的和.解：（1）在递增等比数列中，，解得，，设公比为q，则，又因为为递增数列，故，所以，，所以.（2）由题，则且，所以数列是等比数列，故.18.已知过、两点，且圆心M在直线上.（1）求的标准方程；（2）若直线l：与圆交于E，F两点，且（O为坐标原点），求直线l的方程.解：（1）设的方程为.因为.过、两点，且圆心M在直线上.所以解得：，，，所以的标准方程为：.（2）设，，联立立得，由题意得：，即，由根与系数关系得：，，所以，解得，又因为满足，故所求直线l的方程为.19.甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，已知甲每轮猜对的概率为p（），乙每轮猜对的概率为.在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响.（1）当时，求“星队”在两轮活动中猜对3个成语的概率；（2）若“星队”在两轮活动中猜对2个成语的概率为，求p的值.解：（1）设，分别表示甲两轮猜对1个，2个成语的事件，，分别表示乙两轮猜对1个，2个成语的事件.根据独立性假定，得，.，.设“两轮活动‘星队’猜对3个成语”，则，且与互斥，与，与分别相互独立，所以,因此，“星队”在两轮活动中猜对3个成语的概率是.（2）由（1）知甲两轮猜对0个，1个，2个成语的概率分别为，，，乙两轮猜对0个，1个，2个成