2022-2023学年湖北省武汉市5G联合体高一上学期期末考试数学试卷（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1湖北省武汉市5G联合体2022-2023学年高一上学期期末考试数学试卷一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.已知集合，集合，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，又，所以.故选：A.2.“，”的否定是（）A.， B.，C.， D.，【答案】D【解析】因为命题“，”是存在量词命题，所以其否定是全称量词命题即，.故选：D.3.将函数的图象平移后所得的图象对应的函数为，则进行的平移是（）A向右平移个单位 B.向左平移个单位C.向右平移个单位 D.向左平移个单位【答案】B【解析】因为，所以将的图象向左平移个单位可得到的图象，而把的图象向左平移后的图象对应的函数为，不合题意；把的图象向右平移后的图象对应的函数为，不合题意.故选：B.4.我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休”.在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来研究函数图象的特征.下面的图象对应的函数可能是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由图象可知，函数的定义域为，因为的定义域为，所以排除C；因为的定义域为，所以排除D；因为当时，，所以排除A.故选：B.5.设，，，则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由对数函数单调性可知：，由指数函数单调性可知：，由幂函数单调性可知：，所以.故选：D.6.“”是“函数在区间上单调递增”的（）A.充要条件 B.充分不必要条件C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】当时，若，此时的定义域为，则不是定义域的子集，所以无法推出函数在区间上单调递增；当函数在区间上单调递增，且定义域为，因为二次函数只可能在上单调递增，不可能在上单调递减，故只需满足，解得，此时可以推出，所以“”是“函数在区间上单调递增”的必要不充分条件.故选：C.7.已知函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（）A.的图象关于点对称 B.为奇函数C.在区间上单调递增 D.的图象关于直线对称【答案】D【解析】由题可知，又因，所以，则，，则，，所以，，由于，所以，所以，则，对A：，故A错误；对B：为偶函数，故B错误；对C：，则，函数不具有单调性，故C错误；对D：当时，，则是函数的一个对称轴，故D正确.故选：D.8.已知定义在R上的奇函数满足，当时，．若函数在区间上有9个零点，则实数m的取值范围是（）A. B.C D.【答案】A【解析】因为，所以，又因为为R上的奇函数，所以，所以，所以，所以是周期为的周期函数，在上的零点个数函数图象在上的交点个数，且是最小正周期为的周期函数，而，在同一平面直角坐标系中作出的图象，如下图所示：因为，且，由图象可知：当时，的图象共有个交点，且第个交点的横坐标为，又因为，，所以，所以第个交点的横坐标为，所以的取值范围是，故选：A.二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）9.下列说法正确的是（）A.是第二象限角B.C.已知角α的终边过点，则D.已知扇形弧长为2，圆心角为60°，则该扇形的面积为【答案】BCD【解析】对于A：是第三象限角，A错误；对于B：，B正确；对于C：已知角α的终边过点，则，C正确；对于D：根据条件该扇形的面积为，D正确.故选：BCD.10.已知，且，则下列不等式恒成立的是（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】对于A：因为，，所以，当且仅当时取等号，所以，当且仅当时取等号，故A正确；对于B：因为，当且仅当时取等号，故B错误；对于C：因，当且仅当时取等号，故C正确；对于D：因为，所以，当且仅当，即时取等号，故D正确.故选：ACD.11.计算下列各式的值，其结果为2的有（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】对于A：，A正确；对于B：，B错误；对于C：，C正确；对于D：，D错误.故选：AC.12.已知函数，若关于x的方程有四个不同的根，它们从小到大依次记为，则（）A. B.C. D.函数有6个零点【答案】B【解析】作出函数的图象如下：对于A：关于x的方程有四个不同的根，即函数与的图象有4个交点，由图象可得，A错误；对于B：由图可知，解得，B正确；对于C：由图象知，所以，且，所以，又由，所以，C错误；对于D：对于函数函数，令，则，可得，当时，由图可得，有个根，当时，由图可得，有个根，当时，由图可得，有个根，当时，由图可得，有个根，综合得函数有个零点，D错误.故选：B.三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分．）13.已知函数，则的值是____________.【答案】【解析】因为，所以，所以.故答案为：.14.已知，则__________.【答案】【解析】因为，所以.故答案为：.15.若函数的最大值为，则常数φ的值为______．【答案】【解析】，其中，又函数的最大值为，所以，整理得，又，所以.故答案为：.16.已知函数与的零点分别为和，若存在，使得，则实数a的取值范围是______．（是自然对数的底数）【答案】【解析】对于函数，明显函数在定义域上单调递增，在定义域上单调递减，所以函数在定义域上单调递增，又，所以，所以，即，即函数在上存在零点，令，得，令，对于函数，由对勾函数的性质可得其在上单调递减，在上单调递增，又，所以的值域为，所以.故答案为：.四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17.（1）计算：；（2）若，求的值.解：（1）原式.（2），，.18.已知函数．（1）判断并证明函数的奇偶性；（2）判断函数在定义域上的单调性，并用单调性的定义证明．解：（1）为奇函数，证明：因为，所以，所以，所以的定义域为且关于原点对称，又因为，所以为奇函数.（2）在上单调递减，证明：且，，因为，所以，且，所以，所以，所以，所以在上单调递减.19.已知函数．（1）求函数的单调递增区间；（2）当时，已知的最大值为1，求使成立时自变量x的集合．解：（1）由题意知，当，，即，，单调递增，所以的单调递增区间为.（2）当，，则，所以，解得，所以，由，即，所以，解得，所以使成立时自变量的集合为.20.我们知道：设函数的定义域为D，那么“函数的图象关于原点成中心对称图形”的充要条件是“，”．有同学发现可以将其推广为：设函数的定义域为D，那么“函数的图象关于点(m，n)成中心对称图形”的充要条件是“，”已知．（1）利用上述结论，证明：的图象关于点成中心对称图形；（2）判断的单调性（无需证明），并解关于x的不等式．解：（1）的定义域为，且，根据条件可得的图象关于点成中心对称图形.（2），当越大，会导致为正数，且越大，从而会越小，所以在上单调递减，由得，所以由在上单调递减可得，即，即，当，即时，不等式的解为或，当，即时，不等式的解为或，当，即时，不等式的解为，综上所述：当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为.21.如图，某公园摩天轮的半径为，圆心距地面的高度为，摩天轮做匀速转动，每转一圈，摩天轮上的点的起始位置在最低点处．（1）已知在时刻（单位：）时点P距离地面的高度（其中，，），求函数解析式及时点P距离地面的高度；（2）当点P距离地面及以上时，可以看到公园的全貌，若游客可以在上面游玩，则游客在游玩过程中共有多少时间可以看到公园的全貌？解：（1）由题意可知：，所以，又，得到，即，又摩天轮上的点的起始位置在最低点处，即，所以，即，又，所以，故，当时，，所以时点P距离地面的高度为85.（2）因为从最低处开始到达高度为刚好能看着全貌，经过最高点再下降至时又能看着全貌，每个游客可游玩三个周期，由（1）知，得到，即，得到，所以在每个周期内，，又，所以，游客在游玩过程中共有可以看到公园的全貌.22.已知函数为偶函数，.（1）求实数k的值；（2）若，，使得恒成立，求实数m的取值范围．解：（1）的定义域为，因为为偶函数，所以，所以，所以，所以，所以，所以，所以，又因为不恒为，所以，即.（2）因为，令，当时，，且在上单调递增，由对勾函数性质可知在上单调递增，所以在上单调递增，所以在上单调递增，又因为为偶函数，所以在上单调递减，所以；又因为，，使得恒成立，且，所以对恒成立，令，所以对恒成立，所以，又因为在上单调递减，所以，即.湖北省武汉市5G联合体2022-2023学年高一上学期期末考试数学试卷一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.已知集合，集合，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，又，所以.故选：A.2.“，”的否定是（）A.， B.，C.， D.，【答案】D【解析】因为命题“，”是存在量词命题，所以其否定是全称量词命题即，.故选：D.3.将函数的图象平移后所得的图象对应的函数为，则进行的平移是（）A向右平移个单位 B.向左平移个单位C.向右平移个单位 D.向左平移个单位【答案】B【解析】因为，所以将的图象向左平移个单位可得到的图象，而把的图象向左平移后的图象对应的函数为，不合题意；把的图象向右平移后的图象对应的函数为，不合题意.故选：B.4.我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休”.在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来研究函数图象的特征.下面的图象对应的函数可能是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由图象可知，函数的定义域为，因为的定义域为，所以排除C；因为的定义域为，所以排除D；因为当时，，所以排除A.故选：B.5.设，，，则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由对数函数单调性可知：，由指数函数单调性可知：，由幂函数单调性可知：，所以.故选：D.6.“”是“函数在区间上单调递增”的（）A.充要条件 B.充分不必要条件C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】当时，若，此时的定义域为，则不是定义域的子集，所以无法推出函数在区间上单调递增；当函数在区间上单调递增，且定义域为，因为二次函数只可能在上单调递增，不可能在上单调递减，故只需满足，解得，此时可以推出，所以“”是“函数在区间上单调递增”的必要不充分条件.故选：C.7.已知函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（）A.的图象关于点对称 B.为奇函数C.在区间上单调递增 D.的图象关于直线对称【答案】D【解析】由题可知，又因，所以，则，，则，，所以，，由于，所以，所以，则，对A：，故A错误；对B：为偶函数，故B错误；对C：，则，函数不具有单调性，故C错误；对D：当时，，则是函数的一个对称轴，故D正确.故选：D.8.已知定义在R上的奇函数满足，当时，．若函数在区间上有9个零点，则实数m的取值范围是（）A. B.C D.【答案】A【解析】因为，所以，又因为为R上的奇函数，所以，所以，所以，所以是周期为的周期函数，在上的零点个数函数图象在上的交点个数，且是最小正周期为的周期函数，而，在同一平面直角坐标系中作出的图象，如下图所示：因为，且，由图象可知：当时，的图象共有个交点，且第个交点的横坐标为，又因为，，所以，所以第个交点的横坐标为，所以的取值范围是，故选：A.二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）9.下列说法正确的是（）A.是第二象限角B.C.已知角α的终边过点，则D.已知扇形弧长为2，圆心角为60°，则该扇形的面积为【答案】BCD【解析】对于A：是第三象限角，A错误；对于B：，B正确；对于C：已知角α的终边过点，则，C正确；对于D：根据条件该扇形的面积为，D正确.故选：BCD.10.已知，且，则下列不等式恒成立的是（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】对于A：因为，，所以，当且仅当时取等号，所以，当且仅当时取等号，故A正确；对于B：因为，当且仅当时取等号，故B错误；对于C：因，当且仅当时取等号，故C正确；对于D：因为，所以，当且仅当，即时取等号，故D正确.故选：ACD.11.计算下列各式的值，其结果为2的有（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】对于A：，A正确；对于B：，B错误；对于C：，C正确；对于D：，D错误.故选：AC.12.已知函数，若关于x的方程有四个不同的根，它们从小到大依次记为，则（）A. B.C. D.函数有6个零点【答案】B【解析】作出函数的图象如下：对于A：关于x的方程有四个不同的根，即函数与的图象有4个交点，由图象可得，A错误；对于B：由图可知，解得，B正确；对于C：由图象知，所以，且，所以，又由，所以，C错误；对于D：对于函数函数，令，则，可得，当时，由图可得，有个根，当时，由图可得，有个根，当时，由图可得，有个根，当时，由图可得，有个根，综合得函数有个零点，D错误.故选：B.三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分．）13.已知函数，则的值是____________.【答案】【解析】因为，所以，所以.故答案为：.14.已知，则__________.【答案】【解析】因为，所以.故答案为：.15.若函数的最大值为，则常数φ的值为______．【答案】【解析】，其中，又函数的最大值为，所以，整理得，又，所以.故答案为：.16.已知函数与的零点分别为和，若存在，使得，则实数a的取值范围是______．（是自然对数的底数）【答案】【解析】对于函数，明显函数在定义域上单调递增，在定义域上单调递减，所以函数在定义域上单调递增，又，所以，所以，即，即函数在上存在零点，令，得，令，对于函数，由对勾函数的性质可得其在上单调递减，在上单调递增，又，所以的值域为，所以.故答案为：.四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17.（1）计算：；（2）若，求的值.解：（1）原式.（2），，.18.已知函数．（1）判断并证明函数的奇偶性；（2）判断函数在定义域上的单调性，并用单调性的定义证明．解：（1）为奇函数，证明：因为，所以，所以，所以的定义域为且关于原点对称，又因为，所以为奇函数.（2）在上单调递减，证明：且，，因为，所以，且，所以，所以，所以，所以在上单调递减.19.已知函数．（1）求函数的单调递增区间；（2）当时，已知的最大值为1，求使成立时自变量x的集合．解：（1）由题意知，当，，即，，单调递增，所以的单调递增区间为.（2）当，，则，所以，解得，所以，由，即，所以，解得，所以使成立时自变量的集合为.20.我们知道：设函数的定义域为D，那么“函数的图象关于原点成中心对称图形”的充要条件是“，”．有同学发现可以将其推广为：设函数的定义域为D，那么“函数的图象关于点(m，n)成中心对称图形”的充要条件是“，”已知．（1）利用上述结论，证明：的图象关于点成中心对称图形；（2）判断的单调性（无需证明），并解关于x的不等式．解