2023-2024学年广东省深圳市龙岗区高一上学期1月期末质量监测数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1广东省深圳市龙岗区2023-2024学年高一上学期1月期末质量监测数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.化简的值是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】.故选：D.2.设集合，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】因为，所以.故选：B.3.当a>1时，在同一直角坐标系中，函数与的图像是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】依题意可将指数函数化为，由可知；由指数函数图象性质可得为单调递减，且过定点，即可排除BD，由对数函数图象性质可得为单调递增，且过定点，排除C.故选：A.4.已知命题“”是真命题，则实数a的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因为命题“”是真命题，所以，解得，所以实数a的取值范围是.故选：D.5.“且”是“为第四象限角”的（）A.充要条件 B.必要不充分条件C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】充分性：因为，所以为第一象限角或第四象限角或终边在轴的非负半轴，又，则，所以为第三象限角或第四象限角或终边在轴的非正半轴，综上知，为第四象限角，故充分性成立；必要性：若为第四象限角，则且，此时，故必要性成立，故“且”是“为第四象限角”的充要条件.故选：A.6.已知且，则的值是（）A. B. C.1 D.3【答案】C【解析】令，因为，所以函数为奇函数，由，得，所以，所以.故选：C.7.已知角，终边上有一点，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因为，所以所以点在第二象限，由已知得所以.故选：A.8.设函数，对任意给定的，都存在唯一的，使得成立，则a的最小值是（）A. B.1 C. D.2【答案】C【解析】令，开口向上且对称轴为，则在上递增，故对应值域为，由解析式可得函数大致图象如下：令，则或时有一个解；时有两个解，结合图象，当，则，此时有两个解；当，则或，此时有两个解；当，则，此时有一个解；任意给定的，存在唯一的使成立，所以，且是的子集，所以，即.故选：C.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.已知a，b，c为实数，则下列命题中正确的是（）A.若，则 B.若，则C.若，，则 D.若，则【答案】ACD【解析】对于A，若，则，所以，故A正确；对于B，当时，若，则，故B错误；对于C，若，，则，故C正确；对于D，若，则，故D正确故选：ACD.10.在中，下列等式恒成立的是（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】对于A，，A正确；对于B，，B错误；对于C，，C正确；对于D，，D错误.故选：AC.11.，和是方程的两个根，则下列结论正确的是（）A. B.C. D.【答案】AD【解析】由，则，则，且，则，由，A对，B、C错；由，则，当且仅当时取等号，故，D对.故选：AD.12.设，则下列选项中正确的有（）A.与的图象有两个交点，则B.方程有三个实数根，则C.的解集是D.的解集是【答案】ABD【解析】由函数解析式可得函数图象如下，要使与的图象有两个交点，则，A对；方程有三个实数根，则，B对；由图象知：的解集是，C错；令，由，则，而，所以，则或，可得或，故解集是，D对.故选：ABD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.函数的定义域是____________.【答案】【解析】要使有意义，只需，解得，故函数的定义域为.故答案为：.14.如图1，折扇又名“撒扇”“纸扇”，是一种用竹木或象牙做扇骨，㓞纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子，其展开的平面图如图2的扇形AOB，其中，，则扇面（曲边四边形ABDC）的面积是_________．【答案】【解析】由题设，，则扇面（曲边四边形ABDC）面积.故答案为：.15.设，则a，b，c的大小关系为____________．【答案】【解析】，，，所以.故答案为：.16.对任意，恒有，对任意，现已知函数的图像与有4个不同的公共点，则正实数的值为__________.【答案】【解析】，，，令，则有，任意，恒有，则函数的图像关于对称，函数是以2为周期的周期函数，在同一直角坐标系下作出函数与的图像，如图所示：函数的图像与有4个不同的公共点，由图像可知，的图像函数在上的图像相切，由，消去得，则，解得.故答案为：.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知集合，集合．（1）当时，求；（2）若，求实数m的取值范围．解：（1）由题设，且或，所以.（2）由，则，可得.18.函数（其中）的部分图象如图所示，先把函数的图象上的各点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），把得到的曲线向左平移个单位长度，再向上平移1个单位，得到函数的图象．（1）求函数图象的对称中心；（2）当时，求的值域．解：（1）由题设及图知：且，则，所以，而且，则，综上，，函数的图象上的各点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得，把曲线向左平移个单位长度，再向上平移1个单位，得，令，则，即图象对称中心为.（2）由，则，故，所以的值域为.19.已知函数是定义在上的奇函数，且.（1）求函数的解析式；（2）判断函数在上单调性，并用定义证明；（3）解关于的不等式：.解：（1）因为函数是定义在上的奇函数，则，即，可得，则，所以，，则，因此，.（2）证明：函数在上是增函数，证明如下：任取、且，则，因，则，，故，即，因此，函数在上是增函数.（3）因为函数是上的奇函数且为增函数，由得，由已知可得，解得，因此，不等式的解集为.20.已知函数，.（1）求函数的最小正周期；（2）求函数的对称轴方程；（3）求函数在上的单调区间.解：（1）依题意，，所以函数的最小正周期为.（2）由（1）知，，由，得，所以函数的对称轴方程是.（3）由（1）知，，当时，，由，解得，由，解得，所以函数在上的单调增区间是，单调递减区间是.21.党的二十大报告指出：必须坚持科技是第一生产力、人才是第一资源、创新是第一动力．科技兴则民族兴，科技强则国家强.2023年9月，华为Mate60系列的发布再次引发了广泛关注，它不仅展示了中国科技产业的不断进步和发展，更体现了中国人民自主创新、顽强不屈的精神．某芯片企业原有400名技术人员，年人均投入万元，现为加大对研发工作的投入，该企业把原有技术人员分成技术人员和研发人员，其中技术人员名，调整后研发人员的年人均投入增加，技术人员的年人均投入调整为万元．（1）若要使调整后研发人员的年总投入不低于调整前400名技术人员的年总投入，求调整后的研发人员的人数最少为多少人？（2）为了激励研发人员的工作热情和保持技术人员的工作积极性，企业决定在投入方面要同时满足以下三个条件：①技术人员不少于100人，不多于275人；②研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入；③技术人员的年人均投入始终不减少．请问是否存在这样的实数，满足以上两个条件，若存在，求出的范围；若不存在，说明理由．解：（1）依题意可得调整后研发人员的年人均投入为万元，则，整理得，解得，故，所以要使这名研发人员的年总投入不低于调整前400名技术人员的年总投入，调整后的研发人员的人数最少为25人．（2）由条件②研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入，得，上式两边同除以得，整理得；由条件③技术人员年人均投入不减少，得，解得；由条件①得，假设存在这样的实数，使得技术人员在已知范围内调整后，满足以上三个条件，即恒成立，因为，当且仅当，即时等号成立，所以，又因为，当时，取得最大值，所以，所以，即，即存在这样的满足条件，其范围为．22.已知函数．（1）当时，求不等式的解集；（2）若且，试比较与的大小关系；（3）令，若在R上的最小值为，求m的值．解：（1）当时，函数，不等式化为，即，解得，则，所以不等式的解集为.（2）依题意，，由，得，又，则，因此，所以.（3）令，，则，于是，而，当且仅当，即，时取等号，当，即时，则当时，取得最小值，，矛盾；当，即时，则当时，取得最小值，解得，则，所以m的值是1.广东省深圳市龙岗区2023-2024学年高一上学期1月期末质量监测数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.化简的值是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】.故选：D.2.设集合，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】因为，所以.故选：B.3.当a>1时，在同一直角坐标系中，函数与的图像是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】依题意可将指数函数化为，由可知；由指数函数图象性质可得为单调递减，且过定点，即可排除BD，由对数函数图象性质可得为单调递增，且过定点，排除C.故选：A.4.已知命题“”是真命题，则实数a的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因为命题“”是真命题，所以，解得，所以实数a的取值范围是.故选：D.5.“且”是“为第四象限角”的（）A.充要条件 B.必要不充分条件C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】充分性：因为，所以为第一象限角或第四象限角或终边在轴的非负半轴，又，则，所以为第三象限角或第四象限角或终边在轴的非正半轴，综上知，为第四象限角，故充分性成立；必要性：若为第四象限角，则且，此时，故必要性成立，故“且”是“为第四象限角”的充要条件.故选：A.6.已知且，则的值是（）A. B. C.1 D.3【答案】C【解析】令，因为，所以函数为奇函数，由，得，所以，所以.故选：C.7.已知角，终边上有一点，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因为，所以所以点在第二象限，由已知得所以.故选：A.8.设函数，对任意给定的，都存在唯一的，使得成立，则a的最小值是（）A. B.1 C. D.2【答案】C【解析】令，开口向上且对称轴为，则在上递增，故对应值域为，由解析式可得函数大致图象如下：令，则或时有一个解；时有两个解，结合图象，当，则，此时有两个解；当，则或，此时有两个解；当，则，此时有一个解；任意给定的，存在唯一的使成立，所以，且是的子集，所以，即.故选：C.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.已知a，b，c为实数，则下列命题中正确的是（）A.若，则 B.若，则C.若，，则 D.若，则【答案】ACD【解析】对于A，若，则，所以，故A正确；对于B，当时，若，则，故B错误；对于C，若，，则，故C正确；对于D，若，则，故D正确故选：ACD.10.在中，下列等式恒成立的是（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】对于A，，A正确；对于B，，B错误；对于C，，C正确；对于D，，D错误.故选：AC.11.，和是方程的两个根，则下列结论正确的是（）A. B.C. D.【答案】AD【解析】由，则，则，且，则，由，A对，B、C错；由，则，当且仅当时取等号，故，D对.故选：AD.12.设，则下列选项中正确的有（）A.与的图象有两个交点，则B.方程有三个实数根，则C.的解集是D.的解集是【答案】ABD【解析】由函数解析式可得函数图象如下，要使与的图象有两个交点，则，A对；方程有三个实数根，则，B对；由图象知：的解集是，C错；令，由，则，而，所以，则或，可得或，故解集是，D对.故选：ABD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.函数的定义域是____________.【答案】【解析】要使有意义，只需，解得，故函数的定义域为.故答案为：.14.如图1，折扇又名“撒扇”“纸扇”，是一种用竹木或象牙做扇骨，㓞纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子，其展开的平面图如图2的扇形AOB，其中，，则扇面（曲边四边形ABDC）的面积是_________．【答案】【解析】由题设，，则扇面（曲边四边形ABDC）面积.故答案为：.15.设，则a，b，c的大小关系为____________．【答案】【解析】，，，所以.故答案为：.16.对任意，恒有，对任意，现已知函数的图像与有4个不同的公共点，则正实数的值为__________.【答案】【解析】，，，令，则有，任意，恒有，则函数的图像关于对称，函数是以2为周期的周期函数，在同一直角坐标系下作出函数与的图像，如图所示：函数的图像与有4个不同的公共点，由图像可知，的图像函数在上的图像相切，由，消去得，则，解得.故答案为：.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知集合，集合．（1）当时，求；（2）若，求实数m的取值范围．解：（1）由题设，且或，所以.（2）由，则，可得.18.函数（其中）的部分图象如图所示，先把函数的图象上的各点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），把得到的曲线向左平移个单位长度，再向上平移1个单位，得到函数的图象．（1）求函数图象的对称中心；（2）当时，求的值域．解：（1）由题设及图知：且，则，所以，而且，则，综上，，函数的图象上的各点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得，把曲线向左平移个单位长度，再向上平移1个单位，得，令，则，即图象对称中心为.（2）由，则，故，所以的值域为.19.已知函数是定义在上的奇函数，且.（1）求函数的解析式；（2）判断函数在上单调性，并用定义证明；（3）解关于的不等式：.解：（1）因为函数是定义在上的奇函数，则，即，可得，则，所以，，则，因此，.（2）证明：函数在上是增函数，证明如下：任取、且，则，因，则，，故，即，因此，函数在上是增函数.（3）因为函数是上的奇函数且为增函数，由得，由已知可得，解得，因此，不等式的解集为.20.已知函数，.（1）求函数的最小正周期；（2）求函数的对称轴方程；（3）求函数在上的单调区间.解：（1）依题意，，所以函数的最小正周期为.（2）由（1）知，，由，得，所以函数的对称轴方程是.（3）由（1）知，，当时，，由，解得，由，解得，所以函数在上的单调增区间是，单调递减区间是.21.党的二十大报告指出：必须坚持科技是第一生产力、人才是第一资源、创新是第一动力．科技兴则民族兴，科技强则国家强.2023年9月，华为Mate60系列的发布再次引发了广泛关注，它不仅展示了中国科技产业的不断进步和发展，更体现了中国人民自主创新、顽强不屈的精神．某芯片企业原有400名技术人员，年人均投入万元，现为加大对研发工作的投入，该企业把原有技术人员分成技术人员和研发人员，其中技