2023-2024学年广东省惠州市高一上学期1月期末考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1广东省惠州市2023-2024学年高一上学期1月期末数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分.1.已知集合，集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因为，所以，所以.故选：B.2.“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】解不等式得或，记，因为AB，所以“”是“”的充分不必要条件．故选：A.3.若=，则sin=（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因为，所以.故选：D.4.已知定义在上的函数表示为：x0y102设，的值域为M，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】因为满足，所以，由表中数据可知：的取值仅有三个值，所以.故选：B.5.已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由图象可知：为奇函数，且、，对于A：，不符合；对于B：定义域为，关于原点对称，又，所以为偶函数，不符合；对于C：定义域为，不满足，不符合.故选：D6.已知函数=，满足对任意，都有成立，则a的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因为对任意，都有成立，所以为上的增函数，所以，解得，即.故选：C.7.数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设一个三角形的三边长分别为a，b，c，三角形的面积S可由公式求得，其中p为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦—秦九韶公式．现有一个三角形的周长为12，，则此三角形面积的最大值为（）A.4 B. C. D.【答案】C【解析】由题意得，，则，当且仅当时，等号成立，此时三角形的面积有最大值，且最大值为．故选：C.8.已知函数，若，且，设，则的最小值为（）A.1 B. C. D.【答案】A【解析】设，函数如下图所示：显然有，所以直线与函数相交两点记为，显然，，即，，对称轴为，当时，有最小值.故选：A.二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每个小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9.若“，”为真命题，“，”为假命题，则集合可以是（）A. B.C. D.【答案】AD【解析】依题意可知中存在小于的元素且不存在大于或等于的元素，则集合和均符合题意.故选：AD.10.下列选项中，满足的有（）A. B.C. D.【答案】BD【解析】对A：由函数在上单调递增，故，即，故A错误；对B：，，由，故、，则，故，故B正确；对C：由函数在定义域上单调递减，故，即，故C错误；对D：由函数在定义域上单调递增，故，即，故D正确.故选：BD.11.现代研究结果显示，饮茶温度最好不要超过60，一杯茶泡好后置于室内，1分钟、2分钟后测得这杯茶的温度分别为80，65，给出两个茶温T（单位：）关于茶泡好后置于室内时间t（单位：分钟）的函数模型：①；②.根据所给的数据，下列结论中正确的是（）（参考数据：）A.选择函数模型① B.该杯茶泡好后到饮用至少需要等待3分钟C.选择函数模型② D.该杯茶泡好后到饮用至少需要等待分钟【答案】AD【解析】选择函数模型①，则当时，，当时，，符合要求，选择函数模型②，则当时，，不符合要求，故选选择函数模型①，即A正确，C错误；令，则有，即，即，故该杯茶泡好后到饮用至少需要等待分钟，故B错误，D正确.故选：AD.12.已知函数的部分图象如图所示，图象经过点和点，且在区间上单调，则（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】由图象可知：，所以，因为的图象过，所以，因为，所以或，因为在区间上单调，所以，所以，①当时，，因为图象过，所以，所以，所以，，又，所以，此时，显然在附近单调递增，这与图象矛盾，故B错误；②当时，，因为图象过，所以，所以，所以，，又，所以，所以，当时，令，此时在上单调递减，故A正确；因为，故C正确；因为，，所以，故D正确.故选：BCD.三、填空题：本题共4小题，每题5分，共20分；其中第16题的第一个空2分，第二个空3分.13.已知扇形的圆心角为，弧长为，则扇形的面积为___________．【答案】【解析】扇形的圆心角为，弧长为，则扇形的半径为r4，面积为Slrπ×4＝2．故答案为：2．14.若，则____________.【答案】【解析】当时，，不符合要求，故，则，即，则.故答案为：.15.若用二分法求方程在初始区间内的近似解，则第二次取区间的中点___________.【答案】【解析】令，，，则，，故.故答案为：.16.我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可将其推广为：函数的图象关于点成中心对称的充要条件是函数为奇函数.据此，对于函数，其图象的对称中心是_____________，且有___________.【答案】【解析】设的对称中心为，则为奇函数，所以，即，化简可得，所以，解得，所以图象的对称中心为；因为图象的对称中心为，所以，所以，所以，所以，所以原式.故答案为：.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.计算下列各式的值；（1）；（2）.解：（1）原式.（2）原式.18.如图，在平面直角坐标系中，锐角和钝角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边分别与单位圆交于，两点，且.（1）求的值；（2）若点的横坐标为，求的值.解：（1）依题意，，所以.（2）因点的横坐标为，而点在第一象限，则点，即有，于是得，，，，所以.19.设函数.（1）求的最小正周期和对称中心；（2）若函数的图象向左平移个单位得到函数的图象，求函数在区间上的值域.解：（1），则，令，解得，即的最小正周期为，对称中心为.（2）函数的图象向左平移，即可得，则当时，，故，即，即函数在区间上的值域为.20.已知函数，（1）已知为单调递增函数，请判断的单调性，并用单调性定义证明；（2）若，求证：方程在区间上有且仅有一个实数解.解：（1）在上单调递减，证明如下：的定义域为，任取，且，所以，因为为单调递增函数且，所以，所以，又因为，所以，所以，所以，所以上单调递减.（2）令，因为为单调递增函数，且在上单调递减，所以在上单调递增，又因为，，由零点的存在性定理可知：在上有且仅有一个零点，即方程在区间上有且仅有一个实数解.21.已知.（1）探究函数是否具有奇偶性，并说明理由；（2）设，，若，，使得，求实数的取值范围.解：（1）为偶函数，理由如下：由恒成立可得的定义域为，，故为偶函数.（2）若，，使得，即在，时，有，，由函数、、都随的增大而增大，故在上单调递增，故，，则当时，有，此时有，即，即符合要求，当时，，此时有，即或，即符合要求，当时，，此时有，即，即，综上所述，.22.某养殖公司有一处矩形养殖池ABCD，如图所示，AB=50米，BC=米.为了便于冬天给养殖池内的水加温，该公司计划在养殖池内铺设三条加温带OE，EF和OF，考虑到整体规划，要求O是边AB的中点，点E在边BC上，点F在边AD上，且∠EOF=.（1）设∠BOE=，试将△OEF的周长表示为的函数，并求出此函数的定义域；（2）在（1）的条件下，为增加夜间水下照明亮度，决定在两条加温带OE和OF上安装智能照明装置，经核算，在两条加温带增加智能照明装置的费用均为每米400元，问：如何设计才能使安装智能照明装置的费用最低？说明理由，并求出最低费用.解：（1）因为，所以，当在点时，此时最小，又，所以，所以，当在点时，此时最大，又，所以，由上可知，；因为，所以，又因为，且，所以，所以，所以，定义域为.（2）据题意可知：要使照明装置的费用最低，只需最小即可，由（1）可知：且，设，且，所以，所以，又因为，且，且，，所以，令，因为均在上单调递增，所以上单调递增，所以，即，所以的最小值为，此时，所以，所以，综上所述，当米时，此时照明装置的费用最低，且最低费用为元.广东省惠州市2023-2024学年高一上学期1月期末数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分.1.已知集合，集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因为，所以，所以.故选：B.2.“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】解不等式得或，记，因为AB，所以“”是“”的充分不必要条件．故选：A.3.若=，则sin=（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因为，所以.故选：D.4.已知定义在上的函数表示为：x0y102设，的值域为M，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】因为满足，所以，由表中数据可知：的取值仅有三个值，所以.故选：B.5.已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由图象可知：为奇函数，且、，对于A：，不符合；对于B：定义域为，关于原点对称，又，所以为偶函数，不符合；对于C：定义域为，不满足，不符合.故选：D6.已知函数=，满足对任意，都有成立，则a的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因为对任意，都有成立，所以为上的增函数，所以，解得，即.故选：C.7.数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设一个三角形的三边长分别为a，b，c，三角形的面积S可由公式求得，其中p为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦—秦九韶公式．现有一个三角形的周长为12，，则此三角形面积的最大值为（）A.4 B. C. D.【答案】C【解析】由题意得，，则，当且仅当时，等号成立，此时三角形的面积有最大值，且最大值为．故选：C.8.已知函数，若，且，设，则的最小值为（）A.1 B. C. D.【答案】A【解析】设，函数如下图所示：显然有，所以直线与函数相交两点记为，显然，，即，，对称轴为，当时，有最小值.故选：A.二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每个小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9.若“，”为真命题，“，”为假命题，则集合可以是（）A. B.C. D.【答案】AD【解析】依题意可知中存在小于的元素且不存在大于或等于的元素，则集合和均符合题意.故选：AD.10.下列选项中，满足的有（）A. B.C. D.【答案】BD【解析】对A：由函数在上单调递增，故，即，故A错误；对B：，，由，故、，则，故，故B正确；对C：由函数在定义域上单调递减，故，即，故C错误；对D：由函数在定义域上单调递增，故，即，故D正确.故选：BD.11.现代研究结果显示，饮茶温度最好不要超过60，一杯茶泡好后置于室内，1分钟、2分钟后测得这杯茶的温度分别为80，65，给出两个茶温T（单位：）关于茶泡好后置于室内时间t（单位：分钟）的函数模型：①；②.根据所给的数据，下列结论中正确的是（）（参考数据：）A.选择函数模型① B.该杯茶泡好后到饮用至少需要等待3分钟C.选择函数模型② D.该杯茶泡好后到饮用至少需要等待分钟【答案】AD【解析】选择函数模型①，则当时，，当时，，符合要求，选择函数模型②，则当时，，不符合要求，故选选择函数模型①，即A正确，C错误；令，则有，即，即，故该杯茶泡好后到饮用至少需要等待分钟，故B错误，D正确.故选：AD.12.已知函数的部分图象如图所示，图象经过点和点，且在区间上单调，则（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】由图象可知：，所以，因为的图象过，所以，因为，所以或，因为在区间上单调，所以，所以，①当时，，因为图象过，所以，所以，所以，，又，所以，此时，显然在附近单调递增，这与图象矛盾，故B错误；②当时，，因为图象过，所以，所以，所以，，又，所以，所以，当时，令，此时在上单调递减，故A正确；因为，故C正确；因为，，所以，故D正确.故选：BCD.三、填空题：本题共4小题，每题5分，共20分；其中第16题的第一个空2分，第二个空3分.13.已知扇形的圆心角为，弧长为，则扇形的面积为___________．【答案】【解析】扇形的圆心角为，弧长为，则扇形的半径为r4，面积为Slrπ×4＝2．故答案为：2．14.若，则____________.【答案】【解析】当时，，不符合要求，故，则，即，则.故答案为：.15.若用二分法求方程在初始区间内的近似解，则第二次取区间的中点___________.【答案】【解析】令，，，则，，故.故答案为：.16.我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可将其推广为：函数的图象关于点成中心对称的充要条件是函数为奇函数.据此，对于函数，其图象的对称中心是_____________，且有___________.【答案】【解析】设的对称中心为，则为奇函数，所以，即，化简可得，所以，解得，所以图象的对称中心为；因为图象的对称中心为，所以，所以，所以，所以，所以原式.故答案为：.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.计算下列各式的值；（1）；（2）.解：（1）原式.（2）原式.18.如图，在平面直角坐标系中，锐角和钝角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边分别与单位圆交于，两点，且.（1）求的值；（2）若点的横坐标为，求的值.解：（1）依题意，，所以.（2）因点的横坐标为，而点在第一象限，则点，即有，于是得，，，，所以.19.设函数.（1）求的最小正周期和对称中心；（2）若函数的图象向左平移个单位得到函数的图象，求函数在区间上的值域.解：（1），则，令，解得，即的最小正周期为，对称中心为.（2）函数的图象向左平移，即可得，则当时，，故，即，即函数在区间上的值域为.20.已知函数，（1）已知为单调递增函数，请判断的单调性，并用单调性定义证明；（2）若，求证：方程在区间上有且仅有一个实数解.解：（1）在上单调递减，证明如下：的定义域为，任取，且，所以，因为为单调递增函数且，所以，所以，又因为，所以，所以，所以，所以上单调递减.（2）令，因为为单调递增函数，且在上单调递减，所以在上单调递增，又因为，，由零点的存在性