高考数学总复习《数列的概念及简单表示》专项测试卷带答案

第第页高考数学总复习《数列的概念及简单表示》专项测试卷带答案学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一、单项选择题1．在数列1,2，eq\r(7)，eq\r(10)，eq\r(13)，…中，2eq\r(19)是这个数列的()A．第16项 B．第24项C．第26项 D．第28项2．(2024·黑龙江牡丹江月考)在数列{an}中，对任意m，n∈N*，恒有am＋n＝am＋an，若a1＝eq\f(1,8)，则a7＝()A.eq\f(1,27)B.eq\f(1,47)C.eq\f(7,4)D.eq\f(7,8)3．观察下列各图，并阅读图形下面的文字．像这样，10条直线相交，交点的个数最多是()…A．40 B．45C．50 D．554．(2024·河北衡水模拟)若数列{an}满足a1＝2，an＋1＝aeq\o\al(2,n)(an>0)，则an＝()A．22n－1 B．2n－1C．4n－1 D．2n5．(2024·山西太原模拟)已知数列{an}满足a2＝2a1＝1，且an＋1an－1＝an(n≥2)，则eq\f(a2020,2020)＝()A.eq\f(1,4040)B.eq\f(1,2020)C.eq\f(1,1010)D.eq\f(1,505)6．观察后面的算式：1⊗1,1⊗2,2⊗1,1⊗3，2⊗2,3⊗1,1⊗4,2⊗3,3⊗2,4⊗1，…，则式子3⊗5是第()A．22项 B．23项C．24项 D．25项7．(2024·四川成都联考)若等差数列{an}中的a3，a2017是函数f(x)＝x3－6x2＋4x－1的两个不同的极值点，则logeq\f(1,4)a1010的值为()A．－2 B．－eq\f(1,2)C．2 D.eq\f(1,2)二、多项选择题8．“克拉茨猜想”又称“3n＋1猜想”，是德国数学家洛萨·克拉茨在1950年世界数学家大会上公布的一个猜想：任给一个正整数n，如果n是偶数，就将它减半；如果n是奇数，就将它乘3加1，不断重复这样的运算，经过有限步后，最终都能够得到1.已知正整数m经过6次运算后得到1，则m的值可以为()A．10 B．32C．64 D．969．(2024·山东潍坊模拟)已知数列{an}满足an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(an－2，n<4，,6－an－a，n≥4，))若对任意的n∈N*都有an<an＋1成立，则整数a的值可以为()A．1 B．2C．3 D．4三、填空题与解答题10．(2024·河北保定模拟)若数列{an}满足eq\f(1,3)a1＋eq\f(1,32)a2＋…＋eq\f(1,3n)an＝3n＋1，n∈N*，则an＝________.11．已知数列{an}中，前n项和为Sn，且Sn＝eq\f(n＋2,3)an，则eq\f(an,an－1)的最大值为________．12．(2024·河北衡水武邑中学模拟)我们称一个数列是“有趣数列”，当且仅当该数列满足以下两个条件：①所有的奇数项满足a2n－1<a2n＋1，所有的偶数项满足a2n<a2n＋2；②任意相邻的两项a2n－1，a2n满足a2n－1<a2n.根据上面的信息完成下面的问题：(1)数列1,2,3,4,5,6________“有趣数列”(填“是”或“不是”)；(2)若an＝n＋(－1)neq\f(2,n)，则数列{an}________“有趣数列”(填“是”或“不是”)．13．在①nan＋1－(n＋1)an＝n(n＋1)；②Sn＝2n2－1这两个条件中任选一个补充在下面的横线上，并解答．若数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，且数列{an}满足________．(1)求a2，a3；(2)求数列{an}的通项公式．高分推荐题14．在数列{an}中，已知a1＝1，n2an－Sn＝n2an－1－Sn－1(n≥2，n∈N*)，记bn＝eq\f(an,n2)，Tn为数列{bn}的前n项和，则T2025＝________.解析版一、单项选择题1．在数列1,2，eq\r(7)，eq\r(10)，eq\r(13)，…中，2eq\r(19)是这个数列的()A．第16项 B．第24项C．第26项 D．第28项解析：设题中数列为{an}，则a1＝1＝eq\r(1)，a2＝2＝eq\r(4)，a3＝eq\r(7)，a4＝eq\r(10)，a5＝eq\r(13)，…，所以an＝eq\r(3n－2).令eq\r(3n－2)＝2eq\r(19)＝eq\r(76)，解得n＝26.故选C.答案：C2．(2024·黑龙江牡丹江月考)在数列{an}中，对任意m，n∈N*，恒有am＋n＝am＋an，若a1＝eq\f(1,8)，则a7＝()A.eq\f(1,27)B.eq\f(1,47)C.eq\f(7,4)D.eq\f(7,8)解析：因为am＋n＝am＋an，a1＝eq\f(1,8)，所以a2＝2a1＝eq\f(1,4)，a4＝2a2＝eq\f(1,2)，a3＝a1＋a2＝eq\f(3,8)，a7＝a3＋a4＝eq\f(7,8).故选D.答案：D3．观察下列各图，并阅读图形下面的文字．像这样，10条直线相交，交点的个数最多是()…A．40 B．45C．50 D．55解析：方法一：最多交点个数的规律是1,1＋2,1＋2＋3，…，1＋2＋3＋…＋n，….∴10条直线交点个数最多是1＋2＋…＋9＝45.方法二：设n条相交直线的交点个数最多为an(n≥2)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a3－a2＝2，,a4－a3＝3，,…,a10－a9＝9.))累加得a10－a2＝2＋3＋…＋9，∴a10＝1＋2＋3＋…＋9＝45.答案：B4．(2024·河北衡水模拟)若数列{an}满足a1＝2，an＋1＝aeq\o\al(2,n)(an>0)，则an＝()A．22n－1 B．2n－1C．4n－1 D．2n解析：因为数列{an}满足a1＝2，an＋1＝aeq\o\al(2,n)(an>0)，所以log2an＋1＝2log2an⇒eq\f(log2an＋1,log2an)＝2，所以{log2an}是公比为2的等比数列，所以log2an＝2n－1log2a1⇒an＝22n－1.答案：A5．(2024·山西太原模拟)已知数列{an}满足a2＝2a1＝1，且an＋1an－1＝an(n≥2)，则eq\f(a2020,2020)＝()A.eq\f(1,4040)B.eq\f(1,2020)C.eq\f(1,1010)D.eq\f(1,505)解析：由an＋1an－1＝an(n≥2)，得an＋6＝eq\f(an＋5,an＋4)＝eq\f(1,an＋3)，eq\f(1,an＋3)＝eq\f(an＋1,an＋2)＝an，所以an＋6＝an，则数列{an}是周期为6的周期数列，因为a2＝2a1＝1，所以a3＝2，a4＝2，所以a2020＝a336×6＋4＝a4＝2，所以eq\f(a2020,2020)＝eq\f(1,1010).答案：C6．观察后面的算式：1⊗1,1⊗2,2⊗1,1⊗3，2⊗2,3⊗1,1⊗4,2⊗3,3⊗2,4⊗1，…，则式子3⊗5是第()A．22项 B．23项C．24项 D．25项解析：两数和为2的有1个，和为3的有2个，和为4的有3个，和为5的有4个，和为6的有5个，和为7的有6个，前面共有21个，3⊗5是和为8的第3项，所以是第24项，故选C.答案：C7．(2024·四川成都联考)若等差数列{an}中的a3，a2017是函数f(x)＝x3－6x2＋4x－1的两个不同的极值点，则logeq\f(1,4)a1010的值为()A．－2 B．－eq\f(1,2)C．2 D.eq\f(1,2)解析：由题易得f′(x)＝3x2－12x＋4，因为a3，a2017是函数f(x)＝x3－6x2＋4x－1的两个不同的极值点，所以a3，a2017是方程3x2－12x＋4＝0的两个不等实数根，所以a3＋a2017＝4.又数列{an}为等差数列，所以a3＋a2017＝2a1010，即a1010＝2，从而logeq\s\do8(\f(1,4))a1010＝logeq\s\do8(\f(1,4))2＝－eq\f(1,2)，故选B.答案：B二、多项选择题8．“克拉茨猜想”又称“3n＋1猜想”，是德国数学家洛萨·克拉茨在1950年世界数学家大会上公布的一个猜想：任给一个正整数n，如果n是偶数，就将它减半；如果n是奇数，就将它乘3加1，不断重复这样的运算，经过有限步后，最终都能够得到1.已知正整数m经过6次运算后得到1，则m的值可以为()A．10 B．32C．64 D．96解析：如果正整数m按照上述规则经过6次运算得到1，则经过5次运算后得到的一定是2，经过4次运算后得到的一定是4，经过3次运算后得到的为8或1(不合题意)，经过2次运算后得到的一定是16.经过1次运算后得到的是5或32.所以开始时的数为10或64.所以正整数m的值为10或64.故选AC.答案：AC9．(2024·山东潍坊模拟)已知数列{an}满足an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(an－2，n<4，,6－an－a，n≥4，))若对任意的n∈N*都有an<an＋1成立，则整数a的值可以为()A．1 B．2C．3 D．4解析：因为对任意的n∈N*都有an<an＋1成立，所以数列是递增数列，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>1，,6－a>0，,a<6－a×4－a，))解得1<a<4.故选BC.答案：BC三、填空题与解答题10．(2024·河北保定模拟)若数列{an}满足eq\f(1,3)a1＋eq\f(1,32)a2＋…＋eq\f(1,3n)an＝3n＋1，n∈N*，则an＝________.解析：当n＝1时，eq\f(1,3)a1＝4，∴a1＝12；当n≥2时，∵eq\f(1,3)a1＋eq\f(1,32)a2＋…＋eq\f(1,3n)an＝3n＋1，n∈N*，∴eq\f(1,3)a1＋eq\f(1,32)a2＋…＋eq\f(1,3n－1)an－1＝3(n－1)＋1，两式相减，得eq\f(1,3n)an＝3，∴an＝3n＋1(n≥2)．∵a1＝12不满足上式，∴an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(12，n＝1，,3n＋1，n≥2.))答案：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(12，n＝1，,3n＋1，n≥2))11．已知数列{an}中，前n项和为Sn，且Sn＝eq\f(n＋2,3)an，则eq\f(an,an－1)的最大值为________．解析：∵Sn＝eq\f(n＋2,3)an，∴当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝eq\f(n＋2,3)an－eq\f(n＋1,3)an－1，可化为eq\f(an,an－1)＝eq\f(n＋1,n－1)＝1＋eq\f(2,n－1)，由函数y＝eq\f(2,x－1)在区间(1，＋∞)上单调递减，可得当n＝2时，eq\f(2,n－1)取得最大值2.∴eq\f(an,an－1)的最大值为3.答案：312．(2024·河北衡水武邑中学模拟)我们称一个数列是“有趣数列”，当且仅当该数列满足以下两个条件：①所有的奇数项满足a2n－1<a2n＋1，所有的偶数项满足a2n<a2n＋2；②任意相邻的两项a2n－1，a2n满足a2n－1<a2n.根据上面的信息完成下面的问题：(1)数列1,2,3,4,5,6________“有趣数列”(填“是”或“不是”)；(2)若an＝n＋(－1)neq\f(2,n)，则数列{an}________“有趣数列”(填“是”或“不是”)．解析：(1)若数列为1,2,3,4,5,6，则该数列为递增数列，满足“有趣数列”的定义，故数列1,2,3,4,5,6是“有趣数列”．(2)若an＝n＋(－1)neq\f(2,n)，则a2n－1＝2n－1－eq\f(2,2n－1)，a2n＋1＝2n＋1－eq\f(2,2n＋1)，a2n＝2n＋eq\f(2,2n)，a2n＋2＝2n＋2＋eq\f(2,2n＋2).所以a2n－1－a2n＋1＝－2－eq\f(2,2n－1)＋eq\f(2,2n＋1)＝－2－eq\f(4,4n2－1)<0，故a2n－1<a2n＋1.又a2n－a2n＋2＝－2＋eq\f(4,2n2n＋2)＝－2＋eq\f(1,nn＋1)≤－2＋eq\f(1,2)<0，故a2n<a2n＋2.因为a2n－1－a2n＝2n－1－eq\f(2,2n－1)－2n－eq\f(2,2n)＝－1－eq\f(2,2n－1)－eq\f(2,2n)<0，故a2n－1<a2n.综上，数列{an}是“有趣数列”．答案：(1)是(2)是13．在①nan＋1－(n＋1)an＝n(n＋1)；②Sn＝2n2－1这两个条件中任选一个补充在下面的横线上，并解答．若数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，且数列{an}满足________．(1)求a2，a3；(2)求数列{an}的通项公式．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．解：(1)选择①：a2－2a1＝1×2，则a2＝4.2a3－3a2＝2×3，则a3＝9.选择②：a2＝S2－S1＝2×22－1－1＝6.a3＝S3－S2＝2×32－1－2×22＋1＝10.(2)选择①：由nan＋1－(n＋1)an＝n(n＋1)，得eq\f(an＋1,n＋1)－eq\f(an,n)＝1，所以eq\f(an,n)＝eq\f(an,n)－eq\f(an－1,n－1)＋eq\f(an－1,n－1)－eq\f(an－2,n－2)＋…＋eq\f(a2,2)－a1＋a1＝n－1＋1＝n，所以an＝n2.选择②：当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n2－1－[2(n－1)2－1]＝4n－2；当n＝1时，a1＝S1＝1，不符合上式，故{an}的通项公式为an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(