苏科版九年级上册数学期中考试试卷及答案

苏科版九年级上册数学期中考试试题一、单选题1．下列方程中，关于的一元二次方程的是（）A．B．C．D．2．顺次连接圆内两条相交直径的4个端点,围成的四边形一定是（）A．梯形B．菱形C．矩形D．正方形3．已知圆锥的侧面展开图的面积是30πcm2，母线长是10cm，则圆锥的底面圆的半径为A．3cmB．6cmC．2cmD．4cm4．某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系，每盆植3株时，平均每株盈利4元．若每盆增加1株，平均每株盈利减少0.5元，要使每盆的盈利达到15元，每盆应多植多少株？设每盆多植x株，则可以列出的方程是（）A．（3+x）（4﹣0.5x）＝15B．（x+3）（4+0.5x）＝15C．（x+4）（3﹣0.5x）＝15D．（x+1）（4﹣0.5x）＝155．如图，正五边形内接于，点P为（点P与点D，点E不重合），连接，DG⊥PC，垂足为G，则等于（

）A．B．C．D．6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，D是以点A为圆心，2为半径的圆上一点，连接BD，M为BD的中点，则线段CM长度的最大值为（

）A．2.5B．3.5C．4.5D．5.57．某种药品经过了两次降价，从每盒54元降到每盒42元若平均每次降低的百分率都为x，则根据题意，可得方程A．B．C．D．8．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，已知∠BOD＝110°，则∠BCD的度数为A．55°B．70°C．110°D．125°二、填空题9．方程的解为_____．10．若方程的一个根为1，则＝____．11．已知⊙O的半径为5cm,圆心O到直线l的距离为5cm,则直线l与⊙O的位置关系是___12．劳动教育已纳入人才培养全过程，某学校加大投入，建设校园农场，该农场一种农作物的产量两年内从300千克增加到363千克，则平均每年增产的百分率为____．13．如图，AD为△ABC的外接圆⊙O的直径，若∠BAD＝58°，则∠ACB＝____．14．如图，点A、B在半径为3的⊙O上，劣弧长为，则∠AOB＝____．15．如图所示，O为△ABC的外心，若∠BAC＝70°，则∠OBC＝____．16．如图，△ABC内接于圆，∠ACB＝90°，过点C的切线交AB的延长线于点P，∠P＝26°，则∠CAB＝____．17．上体育课时，老师在运动场上教同学们学习掷铅球，训练时，小远同学掷出的铅球在场地上砸出了一个坑口直径约为10cm、深约为2cm的小坑，则该铅球直径约为____cm．18．如图，△ABC内接于⊙O，将沿BC翻折，交AC与点D，连接BD，若∠BAC＝68°，则∠ABD＝____．19．如图，在圆内接四边形ABCD中，∠A＝60°，∠B＝90°，AB＝2，CD＝1，则BC＝____．20．如图，已知正方形ABCD，以AB为腰向正方形内部作等腰△BAE，其中BE＝BA，过点E作EF⊥AB于点F，点P是△BEF的内心，连接CP，若正方形ABCD的边长为2，则CP的最小值为____．三、解答题21．解下列方程：(1)(2)(3)(4)22．已知关于x的一元二次方程求证：无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根；若a和b是这个一元二次方程的两个根，求的最小值．23．如图，AB是半圆O的直径，C、D是半圆O上的两点，且OD∥BC，OD与AC交于点E．（1）若∠B=70°，求∠CAD的度数；（2）若AB=4，AC=3，求DE的长．24．如图，利用一面墙（墙长26米），用总长度49米的栅栏（图中实线部分）围成一个矩形围栏ABCD，且中间共留两个1米的小门，设栅栏BC长为米．(1)AB＝米（用含的代数式表示）；(2)若矩形围栏ABCD面积为210平方米，求栅栏BC的长；(3)能围成比210平方米更大的矩形围栏ABCD吗？如果能，请求出最大面积；如果不能，请说明理由．25．如图四边形是证明勾股定理时用到的一个图形，是和边长，易知，这时我们把关于的形如的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”．请解决下列问题：（1）写出一个“勾系一元二次方程”；（2）求证：关于的“勾系一元二次方程”必有实数根；（3）若是“勾系一元二次方程”的一个根，且四边形的周长是，求面积．26．已知：Rt△ABC，∠C＝90°．（1）点E在BC边上，且△ACE的周长为AC＋BC，以线段AE上一点O为圆心的⊙O恰与AB、BC边都相切．请用无刻度的直尺和圆规确定点E、O的位置；（2）若BC＝8，AC＝4，求⊙O的半径．27．平行四边形ABCD中，AB⊥AC，AB＝3，AD＝5，点P在对角线AC上运动，以P为圆心，PA为半径作⊙P．(1)当⊙P与边CD相切时，AP＝；(2)当⊙P与边BC相切时，求AP的长；(3)请根据AP的取值范围探索⊙P与平行四边形ABCD四边公共点的个数．28．在平面直角坐标系xOy中，已知点A（6，0），点B（0，6），动点C在以原点O为圆心，半径为3的⊙O上，连接OC，过点O作OD⊥OC，OD与⊙O相交于点D（其中点C，O，D按逆时针方向排列），连接AB．(1)当OC∥AB时，∠BOC的度数为；(2)连接AC，BC，点C在⊙O上运动的过程中，当△ABC的面积最大时，请直接写出△ABC面积的最大值是．(3)连接AD，当OC∥AD，点C位于第二象限时，①直接写出点C的坐标；②直线BC是否为⊙O的切线？并说明理由．参考答案1．C2．C3．A4．A5．B6．B7．A8．D9．【分析】利用直接开平方法解答即可．【详解】解：方程的解为．故答案为：．10．4【分析】把代入方程，即可求解．【详解】解：∵方程的一个根为1，∴，解得：．故答案为：411．相切【分析】根据圆心到直线的距离与半径的大小关系即可得出答案.【详解】∵圆心到直线的距离等于半径∴直线l与⊙O相切故答案为相切【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系，掌握直线与圆的位置关系的判断方法是解题的关键.12．10%【分析】可设平均每年增产的百分率为x，先表示出第一年的产量，那么第二年的产量×(1+增长率)=363，然后列出方程求解即可．【详解】解：设平均每年增产的百分率为x，则第一年的产量为300×(1+x)，第二年的产量为300×(1+x)×(1+x)，根据题意可得300(1+x)2=363，解得x1=0.1=10％，x2=−2.1(不符合题意，舍去)，即平均每年增产的百分率为10％，故答案为：10％．13．32°【解析】【分析】连接OB，根据圆周角定理，利用，求出，再利用，求出，再利用圆周角定理可求出．【详解】解：连接OB，∵，∴，∵，∴，∴．【点睛】本题考查圆周角定理，解题的关键是理解圆周角定理，求出．14．30°##30度【解析】【分析】根据弧长公式直接代入计算即可得出结果．【详解】解：，解得：n=30°，∴∠AOB=30°，故答案为：30°．【点睛】题目主要考查弧长公式的计算，熟练掌握弧长公式是解题关键．15．20°##20度【解析】【分析】根据圆周角定理，等弧所对的圆心角是圆周角的2倍得出，∠BOC=2∠BAC，再根据等腰三角形的性质求出∠OBC.【详解】连接OC∵∠BAC=70°∴∠BOC=140°∵OB=OC∴∠OBC=(180°-∠BOC)÷2∴∠OBC=20°16．32°【分析】连接OC，如图，根据切线的性质得到∠PCO=90°，则利用互余计算出∠POC=64°，然后根据等腰三角形的性质和三角形外角性质计算即可求解．【详解】解：连接OC，如图因为PC为切线，∴OC⊥PC，∴∠PCO=90°∴∠POC=90°-∠P=90°-26°=64°OA=OC，∴∠A=∠OCA，而∠POC=∠A+∠OCA，∠A=°=32°故答案为：32°【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径，若出现圆的切线，一般要连接过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．17．【解析】【分析】设该铅球的直径约为xcm，由题意得AB=10cm，CD=2cm，在Rt△AOD中，根据勾股定理得到AD2+OD2=OA2，即52+（x-2）2=（x）2，解方程即可．【详解】解：如图，由题意得AB=10cm，CD=2cm，设该铅球的直径约为xcm，在Rt△AOD中，AD=AB=5cm，OD=(x-2)cm，AD2+OD2=OA2，∴52+（x-2）2=（x）2，解得x=，故答案为：．18．44°【分析】根据折叠的性质和圆内接四边形的性质得到∠A+∠BDC=180°，根据邻补角的定义和三角形的内角和即可得到结论．【详解】解：∵将沿BC翻折，交AC与点D，∴∠A+∠BDC=180°，∵∠A=68°，∴∠BDC=112°，∴∠ADB=180°-∠BDC=68°，∴∠ABD=180°-68°-68°=44°，故答案为：44°．【点睛】本题考查了圆内接四边形，折叠的性质，三角形的内角和定理，正确的识别图形是解题的关键．19．【解析】延长AD、BC交于点F，根据题意得出△ABE和△CDE都是直角三角形，然后根据三角函数分别求出BE和CE的长度，然后根据得出答案．【详解】解：延长AD、BC交于点F．∵圆内接四边形ABCD中，∠A＝60°，∠B＝90°，∴∠CDA＋∠B＝180°，∵∠CDA＋∠CDE＝180°，∴∠CDE＝∠B＝90°，∵△ABE中，∠A＝60°，∠B＝90°，∴∠E=180°－∠B－∠A＝30°，∴△ABE与△CDE都是直角三角形，在Rt△ABE中，AB＝2，∠A＝60°，∴BE＝AB·tan∠A＝2×tan60°＝，在Rt△CDE中，CD＝1，∠E＝30°，∴，∴．故答案为：．20．【分析】利用已知条件以及三角形内心的性质，将转化为定角，进而通过作的外接圆，利用圆内接四边形的性质找到当点P与点重合时，CP的值最小，最后通过求解即可．【详解】解：，点P是的内心，分别是和的平分线，易证（SAS）点P在以AB为弦，所对的圆周角为的圆上运动，作的外接圆，如图所示：圆心记作点O，连接OA，OB，在优弧AB上取一点Q，连接AQ，BQ，则，连接OC，交⊙O于点，当点P与点重合时，CP的值最小，分别过点O作于点M，交CB的延长线于点N，如图所示：则四边形OMBN是正方形，在中，即CP的最小值为故答案为：【点睛】本题主要考查了最短路径问题，涉及到正方形的性质、三角形的内心、三角形外接圆以及圆内接四边形的性质等知识，根据已知条件作出适当的辅助线以及借助圆的相关性质是解决本题的关键．21．(1)(2)(3)(4)【解析】【分析】（1）采用直接开平方法求解即可；（2）采用配方法求解即可；（3），采用公式法求解可得到答案；（4）采用因式分解法求解即可得到答案．(1)∵，∴，或，∴；(2)∵，∴，∴，∴，或，∴；(3)∵，∴，∴，∴，∴方程有两个不相等的实数根，∴，；(4)∵，∴，∴，∴．22．（1）证明见解析；（2）3.【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，可得出△=m2+4＞0，从而证出无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根；（2）由根与系数的关系可得出a+b=﹣[﹣（m+2）]，ab=m，结合a2+b2=（a+b）2﹣2ab解答．【详解】（1）在关于x的一元二次方程x2﹣（m+2）x+m=0中a=1，b=﹣（m+2），c=m，所以△=m2+4m+4﹣4m=m2+4，无论m取何值，m2+4＞0，所以，无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根；（2）因为a和b是这个一元二次方程的两个根，所以a+b=﹣[﹣（m+2）]=m+2，ab=m，所以a2+b2=（a+b）2﹣2ab=（m+2）2﹣2m=m2+2m+4=（m+1）2+3．无论m为何值，（m+1）2≥0，所以a2+b2的最小值为3．23．（1）35°；（2）2﹣．【分析】（1）根据圆周角定理可得∠ACB=90°，则∠CAB的度数即可求得，在等腰△AOD中，根据等边对等角求得∠DAO的度数，则∠CAD即可求得.（2）易证OE是△ABC的中位线，利用中位线定理求得OE的长，则DE即可求得．【详解】解：（1）∵AB是半圆O的直径，∴∠ACB=90°，又∵OD∥BC，∴∠AEO=90°，即OE⊥AC.∵∠B=70°，∴∠CAB=90°﹣∠B=90°﹣70°=20°．∵OA=OD，∴∠DAO=∠ADO=55°，∴∠CAD=∠DAO﹣∠CAB=55°﹣20°=35°；（2）在Rt△ABC中，BC=．∵OE⊥AC，∴AE=EC，又∵OA=OB，∴OE=BC=．又∵OD=AB=2，∴DE=OD﹣OE=2﹣．24．(1)（51﹣3x）(2)10米(3)能，最大面积为【分析】（1）设栅栏BC长为x米，根据栅栏的全长结合中间共留2个1米的小门，即可用含x的代数式表示出AB的长；（2）根据矩形围栏ABCD面积为210平方米，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较大值即可得出结论；（3）根据矩形围栏ABCD面积为S=(51-3x)x＝-3(x-)2+,利用二次函数最值即可求解．(1)解：设栅栏BC长为x米，∵栅栏的全长为49米，且中间共留两个1米的小门，∴AB＝49+2﹣3x＝51﹣3x（米），故答案为：（51﹣3x）；(2)解：依题意，得：（51﹣3x）x＝210，整理，得：x2﹣17x+70＝0，解得：x1＝7，x2＝10．当x＝7时，AB＝51﹣3x＝30＞26，不合题意，舍去，当x＝10时，AB＝51﹣3x＝21，符合题意，答：栅栏BC的长为10米；(3)解：能S=(51-3x)x＝-3(x-)2+,∵-3<0，∴当x=时，S有最大值，最大值为，即最大面积为，∵>210，∴能围成比210平方米更大的矩形围栏ABCD．25．（1）；（2）见解析；（3）4【分析】（1）直接找一组勾股数代入方程即可；（2）通过判断根的判别式△的正负来证明结论；（3）利用根的意义和勾股定理作为相等关系先求得的值，根据完全平方公式求得的值，从而可求得面积．【详解】解：（1）当，，时勾系一元二次方程为；（2）证明：根据题意，得△即△，勾系一元二次方程必有实数根；（3）当时，有，即，，即，，，，，，，．26．（1）见解析；（2）【分析】（1）根据垂直平分线的性质以及角平分线的性质作图即可；（2）先根据勾股定理得出AB的长，再根据S△ABE＝S△AOB＋S△BOE即可得出⊙O的半径．【详解】（1）如图，点E、O即为所求作点，（2）解：设AE＝BE＝x，则CE＝8－x在Rt△ACE中，42＋（8－x）2＝x2x＝5在Rt△ABC中，AB＝＝∵S△ABE＝S△AOB＋S△BOE∴×5×4＝×r＋×5r∴r＝．27．(1)2(2)1.5(3)当0＜AP＜1.5和3.125＜AP≤4时，2个公共点；当AP＝1.5和AP＝3.125时，3个公共点；当1.5＜AP＜3.125时，4个公共点【分析】(1)根据平行四边形的性质得到ABAC，根据勾股定理求出AC，根据切线的性质求出AP；(2)根据切线的性质得到PEBC，根据勾股定理列出方程，解方程求出AP；(3)根据勾股定理求出OP过点D时AP的长，结合图形得到OP与平行四边形ABCD四边公共点的个数．(1)解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB∥CD，BC＝AD＝5，∵AB⊥AC，∴∠ACD＝∠BAC＝90°，∴AC＝＝＝4，当⊙P与边CD相切时，AC为⊙P的直径，∴AP＝2．故答案为：2．(2)如图2，当⊙P与边BC相切时，设切点为E，连接PE，则PE⊥BC，∵AB⊥AC，点P在边AC上，∴⊙P与AB相切，∵⊙P与BC相切于点E，∴BE＝AB＝3，EC＝2，设AP＝x，则PE＝x，PC＝4﹣x，在Rt△PCE中，由勾股定理得x2+4＝（4﹣x）2，解得，x＝1.5，即AP＝1.5．故答案为：1.5．(3)如图3，当⊙过点时，连接，设AP＝x，则PD＝x，PC＝4﹣x，在Rt△PCD中，由勾股定理得（4﹣x）2+9＝x2，解得x＝3.125，即AP＝3.125，则⊙P与平行四边形ABCD四边公共点的个数情况如下：当0＜AP＜1.5和3.125＜AP≤4时，2个公共点；当AP＝1.5和AP＝3.125时，3个公共点；

当1.5＜AP＜3.125时，4个公共点．28．(1)45°或135°(2)9+18(3)①；②是，见解析【解析】(1)易证△OAB为等腰直角三角形，则∠OBA=45°，由OC//AB，当C点在y轴左侧时，有∠BOC=∠OBA=45°；当C点在y轴右侧时，有∠BOC=180°-∠OBA=135°；(2)先由等腰直角三角形的性质得AB=6，再由三角形面积公式得到当点C到AB的距离最时，△ABC的面积最大，过O点作OE⊥AB于E，OE的反向延长线交圆O于C，此时C点到AB的距离的最大值为CE的长，然后利用等腰直角三角形的性质求出OE，计算△