高中数学-直线与圆相关的最值问题

PAGEPAGE2直线与圆相关的最值问题常用的处理方法圆的轨迹问题在江苏高考中是常考的内容之一，常常与向量、直线相结合考查，有一定的难度，题型从填空题到解答题不固定。【母题】（2018年苏州市第一中学高二上期中考试）平面直角坐标系中，若直线上存在点，使得过点可作一条射线与圆依次交于，满足，则的取值范围为.一、与圆相关的最值问题的联系点1.1与距离有关的最值问题在运动变化中，动点到直线、圆的距离会发生变化，在变化过程中，就会出现一些最值问题，如距离最小，最大等.这些问题常常联系到平面几何知识，利用数形结合思想可直接得到相关结论，解题时便可利用这些结论直接确定最值问题.常见的结论有：（1）圆外一点到圆上距离最近为，最远为；（2）过圆内一点的弦最长为圆的直径，最短为该点为中点的弦；（3）直线与圆相离，则圆上点到直线的最短距离为圆心到直线的距离，最近为；（4）过两定点的所有圆中，面积最小的是以这两个定点为直径端点的圆的面积.（5）直线外一点与直线上的点的距离中，最短的是点到直线的距离；（6）两个动点分别在两条平行线上运动，这两个动点间的最短距离为两条平行线间的距离.【例1】已知圆的方程为：，若直线上存在一点，在圆上总存在不同的两点，使得点是线段的中点，则圆的半径的取值范围为.【变式1】（2015届淮安高三三模第14题）在平面直角坐标系中，圆，圆．若圆上存在一点，使得过点可作一条射线与圆依次交于点，，满足，则半径的取值范围是_______.【变式2】过点的直线与圆：交于两点，为圆心，当最小时，直线的方程是．【变式3】（2015江苏高考第10题）在平面直角坐标系中，以点为圆心且与直线相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为。1.2与面积相关的最值问题与圆的面积的最值问题，一般转化为寻求圆的半径相关的函数关系或者几何图形的关系，借助函数求最值的方法，如配方法，基本不等式法等求解，有时可以通过转化思想，利用数形结合思想求解.【例2】在平面直角坐标系中，分别是轴和轴上的动点，若以为直径的圆与直线相切，则圆面积的最小值为．【变式1】设，若直线与轴相交于点，与轴相交于点，且与圆相交所得弦的长为，为坐标原点，则面积的最小值为．二、与圆相关的最值问题常用的处理方法2.1数形结合法处理与圆有关的最值问题，应充分考虑圆的几何性质，并根据代数式的几何意义，借助数形结合思想求解.【例3】已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0，求：(1)eq\f(y,x)的最大值和最小值；(2)y－x的最大值和最小值；(3)x2＋y2的最大值和最小值．【变式1】（2017江苏高考第13题）在平面直角坐标系中,点在圆上,若则点的横坐标的取值范围是.【变式2】（江苏2012、12）在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆有公共点，则的最大值是．2.2隐形圆1、有些题设中没有明确给出圆的相关信息，而是隐含在题中，要通过分析、转化、发现圆（或圆的方程），从而利用圆的知识来求解，我们称这类问题为“隐形圆”问题。2、常见解题策略（1）利用圆的定义（到定点的距离等于定长的点的轨迹）确定隐形圆；（2）动点与两定点连线的张角是（）确定隐形圆；（3）两定点与动点满足确定隐形圆；（4）两定点与动点满足确定隐形圆；（5）两定点与动点满足确定隐形圆；（6）由圆周角的性质确定隐形圆。【例4】已知是圆上的动点，，是圆上的动点，则的取值范围为.【变式1】已知圆和点，过点作直线交于两点，则的取值范围为.【变式2】若，则的最大值．【变式3】．【变式4】已知平面直角坐标系上一点和圆，动点到圆的切线长与的比等于，求动点的轨迹方程．【变式5】已知圆及．点是平面直角坐标系内一点，过点分别作两圆，的切线，切线长分别为，若，求动点的轨迹方程．【变式6】已知圆和圆，对于圆上任意一点，圆上均存在两点，使得，则的取值范围是．【变式7】已知圆，直线与坐标轴分别交于两点，若圆上存在点，使得，则的取值范围是．【变式8】在平面直角坐标系中，过点向直线作垂线，垂足为，则点到点的距离的最大值为．【变式9】在平面直角坐标系中，若与点的距离为且与点的距离为的直线恰有两条，则实数的取值范围为．【变式10】在平面直角坐标系中，已知圆及点，．在圆上是否存在点，使得？若存在，求点的个数；若不存在，说明理由．【变式11】（江苏2013、17）如图，在平面直角坐标系中，点，直线．设圆的半径为，圆心在上．（1）若圆心也在直线上，过点作圆的切线，求切线的方程；（2）若圆上存在点，使，求圆心的横坐标的取值范围．【变式12】方向相距4海里的B处有一走私船正欲逃跑，缉私艇立即追击．已知缉私艇的最大航速是走私船最大航速的3倍．假设缉私艇和走私船均按直线方向以最大航速航行．（1）（参考数据：，）领海AB北领海AB北公海l课后练习1、在平面直角坐标系中，已知圆，点，若圆上存在点，满足，则实数的取值范围为．2、已知圆吗，则圆，若圆上存在点，过点作圆的两条切线，切点为，使得，则实数的取值范围为．3、在平面直角坐标系中，已知点，直线，其中实数成等差数列，若点在直线上的射影为，则线段的取值范围为．4、设圆，直线，点，使得圆上存在点，且（为坐标原点），则点的横坐标的取值范围为．5、已知圆,点是直线上的动点,若圆上总存在不同的两点,使得,则的取值范围为.6、已知直线和圆，点在直线上，为圆上两点，在中，，过圆心，则点的横坐标的取值范围为．已知圆，直线上存在点使得经过直线与圆交于两点，且点为中点，则点的横坐标的取值范围为．8、在平面直角坐标系xOy中