专题10-2 二项式定理-高考数学一轮复习热点题型归纳与变式演练（解析版）

专题10-2二项式定理归类目录TOC\o"1-1"\h\u【题型一】通项公式1：基础 1【题型二】通项公式2：因式相乘型求某项 2【题型三】二项式给通项求n值 4【题型四】给通项求参数 5【题型五】因式相乘型给通项求参数 6【题型六】赋值法 8【题型七】换元型 10【题型八】三项展开式 11真题再现 12模拟检测 14【题型一】通项公式1：基础【典例分析】将二项式的展开式中所有项重新排成一列，有理式不相邻的排法种数为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先利用二项式定理判断其展开式中有理式的项数，再利用插空法进行排列即可.【详解】根据题意，得，因为且，当时，，即为有理式；当时，，即为有理式；当时，，即为有理式；当时，，即为无理式；所以展开式一共有9个项，有3个有理式，6个无理式，先对6个无理式进行排列，共有种方法；再将3个有理式利用“插空法”插入这6个无理式中，共有种方法；利用分步乘法计数原理可得，一共有种方法.故选：C.【提分秘籍】基本规律二项展开式的通项公式.可以求解某一项，也可求解某一项的系数）【变式演练】1.的展开式中的系数为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用二项式定理的通项公式即可得出．【详解】的展开式中,通项公式：，令10−r=7，解得r=3.∴x7的系数为,故选：C.2.．的展开式中的系数为_____．【答案】-20分析：首先利用二项展开式的通项公式写出该二项展开式的通项，之后令相应的幂指数与题中所给的项的幂指数相等，从而求得的值，再代入通项公式，求得对应的项的系数，得出结果.详解：由二项式定理可知，展开式的通项为，要求解的展开式中含的项，则，所求系数为．3.二项式的展开式的常数项为第（）项A．17 B．18 C．19 D．20【答案】C试题分析：由二项式定理可知,展开式的常数项是使的项,解得为第19项,答案选C.【题型二】通项公式2：因式相乘型求某项【典例分析】的展开式中的系数为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据二项式定理可分别求得和展开式中的系数，由此可得结果.【详解】；展开式中的系数为；展开式中的系数为；展开式中的系数为.故选：D.【提分秘籍】基本规律因式相乘型，可以采取乘法分配律，变为两式相加型再转而求对应通项系数【变式演练】1.的展开式中的系数为（

）A． B． C．28 D．56【答案】B【分析】将多项式按第一项展开,再将各项通过二项式定理拼成的形式,计算出结果【详解】由题知,展开式的通项公式为，将含项记为,则,故含项的系数为，故选：B2.在的展开式中常数项为（

）A．14 B．－14 C．6 D．－6【答案】D【分析】根据二项式定理及多项式乘法法则求解．【详解】由二项式定理得，所以所求常数项为．故选：D．3.的展开式中的系数为（

）A． B． C．120 D．200【答案】A【分析】由题意首先确定展开式的通项公式，再采用分类讨论法即可确定的系数.【详解】展开式的通项公式为，当时，，此时只需乘以第一个因式中的即可，得到；当时，，此时只需乘以第一个因式中的即可，得到；据此可得：的系数为.故选：A.【题型三】二项式给通项求n值【典例分析】若展开式中含项的系数与含项的系数之比为，则n等于（

）A．4 B．6 C．8 D．10【答案】C【分析】利用二项展开式的通项公式求出第项，令的指数分别为，求出展开式含项的系数和含项的系数，列出方程求出．【详解】解：展开式的通项为令得故含的系数为令得故含项的系数为将，6，8，10代入检验得故选：C．【提分秘籍】基本规律利用二项展开式通信公式，待定系数法可求得。注意n值为正整数，可能存在分类讨论的情况。【变式演练】1.若的展开式中第项为常数项，则______.【答案】【分析】由题意利用二项展开式的通项公式，求得，从而得到

的值.【详解】解：的展开式中第项为

，再根据它为常数项，

可得，求得，故答案为：.2.若展开式中含项的系数等于含x项的系数的8倍，则n等于（

）A．5 B．7 C．9 D．11【答案】A【分析】由二项展开式通项公式得和的系数，由其比值为8求得值．【详解】，所以，解得（负值舍去）．故选：A．3.若的展开式中存在常数项，则可能的取值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用通项公式，令的指数为0，可得与的关系，即可求解【详解】展开式的第项令则（）所以为偶数。故选：A【题型四】给通项求参数【典例分析】已知的展开式中项的系数为160，则当，时，的最小值为（

）A．4 B． C．2 D．【答案】B【分析】利用二项式定理的展开式的通项公式，通过幂指数为160，求出关系式，然后利用基本不等式求解表达式的最小值．【详解】的展开式中项的系数为160，所以，令，解得所以，所以，∵，，，当且仅当时等号成立，∴的最小值为，故选：B.【变式演练】1.若的展开式中的系数是，则．【答案】1【分析】先求出二项式的展开式的通项公式，令的指数等于，求出的值，即可求得展开式中的项的系数，再根据的系数是列方程求解即可.【详解】展开式的的通项为，令，的展开式中的系数为，故答案为1.2.设常数，若的二项展开式中的系数为144，则__．【答案】2【分析】利用公式，令即可求值．【详解】解：．令，解得，则，，解得．故答案为：2．3.若关于的二项式的展开式中一次项的系数是，则__________．【答案】【分析】利用二项式定理的展开式的通项公式，通过幂指数为1，即可得到实数的值。【详解】展开式的通项公式为，由，得，所以一次项的系数为，得，故答案为：．【题型五】因式相乘型给通项求参数【典例分析】已知，二项式展开式中常数项为，且的展开式中所有项系数和为192，则的展开式中常数项为（

）A．66 B．36 C．30 D．6【答案】B【分析】利用二项式的通项公式求某一项.【详解】设二项式展开式中的第项为常数项，则，，所以，令，则，所以或舍去，所以，又因为，所以，所以的展开式中的常数项，由展开式中的常数项和的项构成，则，当为常数项时，，；当为含的项时，，，；所以的展开式中的常数项为.故选：B【变式演练】1.若的展开式中的系数为75，则（

）A．-3 B．-2 C．2 D．3【答案】A【分析】结合二项式的展开式的通项公式以及多项式的乘法运算可得，进而可求出结果.【详解】的展开式的通项公式为，所以的展开式中的系数为，由题知，，解得．故选：A.2.关于二项式，若展开式中含的项的系数为，则（

）A．3 B．2 C．1 D．-1【答案】C【分析】根据二项式展开式可求得含的项的系数，即得方程，求得答案.【详解】由题意得的系数为，解得，故选：C.3.已知的展开式中的系数为40，则的值为（

）A．-2 B．-1 C．1 D．2【答案】B【分析】首先变形得，然后利用二项式展开式的通项公式求出的系数即可.【详解】由题意可得，在的展开式中，由，令无解，即的展开式没有项；在的展开式中，由，令解得，即的展开式中的项的系数为，又的系数为40，所以，解得.故选：B【题型六】赋值法【典例分析】．已知．则（）A． B． C． D．【答案】C【分析】由二项式定理及利用赋值法即令和，两式相加可得，结合最高次系数的值即可得结果.【详解】中，取，得，取，得，所以，即，又，则，故选C．【提分秘籍】基本规律常见的通法是通过赋值使得多项式中的变为和，在本题中要使即给等式中的赋值，求出展开式的常数项；【变式演练】1.若(x－2)5＝a5x5＋a4x4＋a3x3＋a2x2＋a1x＋a0，则a1＋a3＋a5＝()．A．1 B．－1C．121 D．106【答案】C【分析】利用特殊值法构造方程组求解．【详解】解：令得①令得②①减②得故选：2.若的展开式中，奇数项的系数之和为-121，则n=___________。【答案】5【分析】令和，作和即可得到奇数项的系数和，从而构造出方程解得结果.【详解】令得：令得：奇数项的系数和为：，解得：本题正确结果：3.设，若，则实数________.【答案】【分析】将左右两边的函数分别求导，取代入导函数得到答案.【详解】两边分别求导：取故答案为【题型七】换元型【典例分析】.已知，则A． B．0 C．14 D．【答案】B【解析】由题可知，将转化为，再根据二项式展开式的性质，即可求出和，便可得出.【详解】解：由题知，，且，则，，所以.故选：B.【变式演练】1.若，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】令，利用二项式展开式通项可确定.【详解】令，则，又展开式通项为：，.故选：C.2.对任意实数x，有则下列结论成立的是（

）A． B．C． D．【答案】BCD【分析】由二项式定理，采用赋值法判断选项ACD，转化法求指定项的系数判断选项B.【详解】由，当时，，，A选项错误；当时，，即，C选项正确；当时，，即，D选项正确；，由二项式定理，，B选项正确.故选：BCD3.若多项式，则（）A．9 B．10 C．-9 D．-10【答案】D，，根据已知条件得的系数为0，的系数为1故选D.【题型八】三项展开式【典例分析】在的展开式中，x2项的系数为（

）A．30 B．45 C．60 D．90【答案】B【解析】把看做一个整体，即可得到的通项公式为：Tr+1•，再求出的通项公式Tk+1•xr﹣2021k，再结合条件列式即可得解.【详解】在的展开式中，通项公式为Tr+1•.对于，通项公式为Tk+1•xr﹣2021k，k≤r，r、k∈N，r≤10.令r﹣2021k＝2，可得r＝2+2021k，故k＝0，r＝2，故x2项的系数为•45，故选：B.【提分秘籍】基本规律三项展开式的通项公式：【变式演练】1.下列各式中，不是的展开式中的项是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据题意多项式展开式中，有一个因式选，有2个因式选，其余的2个因式选，有1个因式选，剩下的3个因式选，分别计算所得项，即可得到结果.【详解】表示4个因式的乘积，在这4个因式中，有一个因式选，其余的3个因式选，所得的项为，所以是的展开式中的项，在这4个因式中，有2个因式选，其余的2个因式选，所得的项为，所以是的展开式中的项，在这4个因式中，有1个因式选，剩下的3个因式选，所得的项为，所以是的展开式中的项，在这4个因式中，有2个因式选，其余的2个因式中有一个选，剩下的一个因式选，所得的项为，所以不是的展开式中的项.故选:D.2.．的展开式中，的系数为（

）A．60 B． C．120 D．【答案】A【分析】设的通项为，设的通项为,即得解.【详解】解：设的通项为，设的通项为，令所以的系数为.故选：A3.展开式中的系数是___________.【答案】【分析】结合乘法运算以及组合数的计算求得正确答案.【详解】的展开式中，含有的项为：，所以展开式中的系数是.故答案为：1．（江苏·高考真题）设，则的展开式中的系数不可能是（

）A．10 B．40 C．50 D．80【答案】C【分析】得到展开式的通项公式，求出时的系数，选出答案.【详解】展开式的通项公式为，当时，，系数为1，当时，，系数为10，当时，，系数为40，当时，，系数为80，当时，，系数为80，故系数不可能是50.故选：C2．（全国·高考真题）若，则的值为（

）A． B．1 C．0 D．2【答案】A【分析】分别令和，然后所得两式相乘可得．【详解】令得，令得，所以．故选：A．3．（2022·北京·统考高考真题）若，则（

）A．40 B．41 C． D．【答案】B【分析】利用赋值法可求的值.【详解】令，则，令，则，故，故选：B.4．（2020·全国·统考高考真题）的展开式中x3y3的系数为（

）A．5 B．10C．15 D．20【答案】C【分析】求得展开式的通项公式为（且），即可求得与展开式的乘积为或形式，对分别赋值为3，1即可求得的系数，问题得解.【详解】展开式的通项公式为（且）所以的各项与展开式的通项的乘积可表示为：和在中，令，可得：，该项中的系数为，在中，令，可得：，该项中的系数为所以的系数为故选：C【点睛】本题主要考查了二项式定理及其展开式的通项公式，还考查了赋值法、转化能力及分析能力，属于中档题.5．（浙江·高考真题）若多项式，则（

）A．9 B．10 C．-9 D．-10【答案】D【解析】利用二项式定理的系数，先求的系数，再由，可求的系数，即可得答案．【详解】多项式，等号右侧只有最后一项的展开式中含有，并且的系数为，等号左侧的系数是1，∴;又的系数在右侧后两项中，的系数为，左侧的系数是0，∴，∴.故选：D．【点睛】本题主要考查二项式定理的运用，搞清各项系数是解决本题关键，属于中档题．6．（·辽宁·高考真题）的展开式中常数项是____________．【答案】【分析】根据二项式展开式的通项特征即可求解.【详解】的展开式通项为其中，令，故常数项为，故答案为：7．（湖北·高考真题）已知的展开式中各项系数的和是128，则展开式中的系数是_____________．（以数字作答）【答案】35【分析】令得展开式中各项系数的和，求得，整理展开式中的通项为，令得，从而求得的系数.【详解】令得的展开式中各项系数的和，所以；由令得，所以展开式中的系数是故答案为：358．（2022·全国·统考高考真题）的展开式中的系数为________________（用数字作答）．【答案】-28【分析】可化为，结合二项式展开式的通项公式求解.【详解】因为，所以的展开式中含的项为，的展开式中的系数为-28故答案为：-281．，则（

）A．1 B．3 C．0 D．【答案】C【分析】根据展开式，利用赋值法取即得.【详解】因为，令，可得.故选：C.2．设为实数，甲：；乙：二项展开式常数项为1．则甲是乙成立的（

）条件A．充分但不必要 B．充要C．必要但不充分 D．既不充分也不必要【答案】A【分析】求出展开式的常数项，即可得出结论.【详解】展开式中的第项为，.当时，该项为常数项，常数项为.显然，当时，；当时，.所以，甲是乙成立的充分但不必要条件.故选：A.3．已知的展开式中二项式系数的和是1024，则它的展开式中的常数项是（

）A．252 B． C．210 D．【答案】B【分析】求解先求出n，在利用通项公式求解【详解】由的展开式中二项式系数的和是1024，故，所以．由二项式定理得展开通项为，当时为常数项，故选：B4．的展开式中含项的系数为（

）A．10 B．12 C．4 D．5【答案】A【分析】利用二项式定理的通项公式进行分类讨论即可求解.【详解】的二项展开式的通项为，当时，的展开式中含项为；当时，的展开式中含项为；所以的展开式中含项的系数为.故选：A.5．的展开式中项的系数为（

）A．120 B．160 C．180 D．210【答案】A【分析】将看作5个因式相乘，根据的指数可认为5个因式中有两个选项，其余两个选y,最后一个因式选1，进行相乘，可得答案.【详解】由题意的展开式中项的系数为,故选：A6．若二项式的展开式中所有项的系数和为64，则展开式中的常数项为（

）A．10 B．15 C．25