题型17 5类数列求和（分组求和、裂项相消、错位相减（万能公式）、奇偶并项、周期与类周期综合）-高考数学必考模型归纳

题型17手把手教学答题模板之5类数列求和（分组求和、裂项相消、错位相减（万能公式）、奇偶并项、周期与类周期综合）技法0技法01分组求和的应用及解题技巧技法02裂项相消的应用及解题技巧技法03错位相减（万能公式）的应用及解题技巧技法04奇偶并项的应用及解题技巧技法05周期与类周期的综合应用及解题技巧技法01分组求和的应用及解题技巧分组求和是分组求和是把数列分为两组求和，一般为等差+等比，此类题型较简单，利用公式求和即可，也是高考中的常考考点，需强加练习例1．（2023·四川南充·统考三模）已知数列的前项和为.(1)求的通项公式；(2)设数列满足：，记的前项和为，求.（1）（2）.所以的前项和.1．（2023·黑龙江大庆·统考二模）设数列是首项为1，公差为d的等差数列，且，，是等比数列的前三项．(1)求的通项公式；(2)设，求数列的前n项和．2．（2023·海南·校联考模拟预测）已知数列为单调递增的等比数列，且，．(1)求数列的通项公式；(2)若，求数列的前项和．3．（2023·福建厦门·统考模拟预测）已知数列满足．(1)证明是等比数列；(2)若，求的前项和．技法02裂项相消的应用及解题技巧裂项相消求和是裂项相消求和是把数列拆分，然后抵消后即可求和，此类题型较简单，也是高考中的常考考点，需强加练习知识迁移常见的裂项技巧：指数型对数型例2．（2022·全国·统考高考真题）记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列．(1)求的通项公式；(2)证明：．（1）的通项公式；（2）∴1．（2023·江苏南京·南京师大附中校考模拟预测）设为数列的前项和，已知，且满足．(1)求数列的通项公式；(2)设为数列的前项和，当时，．若对于任意，有，求的取值范围．2．（2023·江苏南京·统考二模）已知数列的前项和为，，，．(1)求数列的通项公式；(2)求证：．3．（2023·广东韶关·统考一模）已知数列的前项和满足.(1)证明：数列是等差数列；(2)设，若成等比数列，求数列的前项和.4．（2023·山东德州·三模）已知为数列的前项和，．(1)求数列的通项公式；(2)设，记的前项和为，证明：．5．（2023·湖北·武汉市第三中学校联考一模）已知正项数列的前项和，满足：．(1)求数列的通项公式；(2)记，设数列的前项和为，求证．技法03错位相减的应用及解题技巧错位相减求和一般是等差数列乘等比数列求和，即差比数列，解题的关键是乘公比错位相减，也可以用万能公式求解，错位相减求和一般是等差数列乘等比数列求和，即差比数列，解题的关键是乘公比错位相减，也可以用万能公式求解，是高考中的高频考点，需强加练习知识迁移万能公式：形如的数列求和为，其中，，例3．（2023·全国·统考高考真题）设为数列的前n项和，已知．(1)求的通项公式；(2)求数列的前n项和．（1）．（2）因为，所以，，两式相减得，，，即，．也可以用万能公式求出A、B、C直接求解1．（2023·江苏南通·统考模拟预测）已知为数列的前项和，，且是公差为1的等差数列．正项等比数列满足，．(1)求数列的通项；(2)求数列的前项和．2．（2023·湖北省直辖县级单位·统考模拟预测）已知两个正项数列，满足，．(1)求，的通项公式；(2)用表示不超过的最大整数，求数列的前项和．3．（2023·湖北武汉·华中师大一附中校考模拟预测）已知数列前n项和为，满足．(1)求数列的通项公式；(2)令，求数列的前n项和．4．（2021·全国·统考高考真题）设是首项为1的等比数列，数列满足．已知，，成等差数列．（1）求和的通项公式；（2）记和分别为和的前n项和．证明：．5．（2023·全国·模拟预测）已知数列满足．(1)求证：数列为等比数列，并求的通项公式；(2)设，求的前项和．技法04奇偶并项的应用及解题技巧有关数列奇偶项的问题是高考中经常涉及的问题，解决此类问题的难点在于搞清数列奇数项和偶数项的首项、项数、公差(比)等。这类题目对大部分学生来说难度较大，需强化练习有关数列奇偶项的问题是高考中经常涉及的问题，解决此类问题的难点在于搞清数列奇数项和偶数项的首项、项数、公差(比)等。这类题目对大部分学生来说难度较大，需强化练习例4-1．（2023·全国·统考高考真题）已知为等差数列，，记，分别为数列，的前n项和，，．(1)求的通项公式；(2)证明：当时，．（1）.（2）方法1：由（1）知，，，当为偶数时，，，当时，，因此，当为奇数时，，当时，，因此，所以当时，.方法2：由（1）知，，，当为偶数时，，当时，，因此，当为奇数时，若，则，显然满足上式，因此当为奇数时，，当时，，因此，所以当时，.例4-2．（2023·山东烟台·统考二模）已知数列的前项和为，，，数列满足，且．(1)求数列和的通项公式；(2)设，求数列的前项和．（1）.（2）由（1）得：，即，当为奇数时，；当为偶数时，；当为偶数时，；当为奇数时，；综上所述：.1．（2023·江苏南通·统考模拟预测）已知等差数列的首项为1，公差为2．正项数列的前项和为，且．(1)求数列和数列的通项公式；(2)若，求数列的前项和．2．（2023·福建泉州·泉州七中校考模拟预测）已知数列的前项的积记为，且满足(1)证明：数列为等差数列;(2)若求数列的前项和.3．（天津·统考高考真题）已知为等差数列，为等比数列，．（Ⅰ）求和的通项公式；（Ⅱ）记的前项和为，求证：；（Ⅲ）对任意的正整数，设求数列的前项和．4．（2023·湖南衡阳·衡阳市八中校考模拟预测）已知等差数列与等比数列的前项和分别为：，且满足：，(1)求数列的通项公式；(2)若求数列的前项的和.5．（2023·天津津南·天津市咸水沽第一中学校考模拟预测）已知是单调递增的等差数列，其前项和为.是公比为的等比数列..(1)求和的通项公式；(2)设，求数列的前项和.技法05周期综合的应用及解题技巧数列是一种特殊的函数，函数的周期性考察往往也存在于数列题中。周期性数列求和相对简单，但在高考和模拟考题中经常出现一类与周期数列结合的类周期数列求和问题。我们称其为“类周期数列”，该类数列求和往往具有一定的迷惑性和难度，数列是一种特殊的函数，函数的周期性考察往往也存在于数列题中。周期性数列求和相对简单，但在高考和模拟考题中经常出现一类与周期数列结合的类周期数列求和问题。我们称其为“类周期数列”，该类数列求和往往具有一定的迷惑性和难度，需强化学习例5-1．（2023·四川成都·统考二模）已知数列满足，，则数列前2023项的积为（

）A．2 B．3 C． D．依题意，，，所以，，所以数列是周期为的周期数列，，，所以数列前项的积为，故选：B例5-2．（2023下·湖南长沙·高三长郡中学校考阶段练习）已知数列满足：.则的前60项的和为（

）A．1240 B．1830 C．2520 D．2760由，故，，，，….故，，，….从第一项开始，依次取2个相邻奇数项的和都等于3；，，，….从第二项开始，依次取2个相邻偶数项的和构成以13为首项，以24为公差的等差数列.故.故选：D.例5-3．（2023·安徽模拟）数列的通项，其前项和为，则为（

）A． B． C． D．由二倍角公式得出，，，.故选：A.1．（2023·河北·校联考模拟预测）在数列中，，则.2．（2023·四川广元·校考模拟预测）已知数列满足，，则.3．（2023·海南海口·统考模拟预测）已知数列满足，，数列满足，，设数列和的前项和分别为和，若，则（

）A． B． C． D．4．数列满足，则数列的前项和等于A． B． C． D．5．（2021