2025高考数学压轴专项题型专题11抛物线中的切线问题含答案及解析

专题11抛物线中的切线问题一、考情分析对于抛物线特别是抛物线,可以化为函数,从而可以借组导数研究求性质,这种关联使得可以把抛物线与导数的几何意义交汇,这是圆锥曲线中的一大亮点,也是圆锥曲线解答题的一个热点.二、解题秘籍(一)利用判别式求解抛物线中的切线问题求解直线抛物线相切问题,可以把直线方程与抛物线方程联立整理成一个一元二次方程,然后利用求解.【例1】（2023届河南省新未来高三上学期联考）已知抛物线C：,直线,都经过点．当两条直线与抛物线相切时,两切点间的距离为4．(1)求抛物线C的标准方程；(2)若直线,分别与抛物线C依次交于点E,F和G,H,直线EH,FG与抛物线准线分别交于点A,B,证明：．【解析】（1）设经过点的直线为：,由消去y,得,,当直线与抛物线相切时,,∵,∴,所以,解得,∴切点为,又∵两切点间的距离为4,∴,即,∴抛物线的标准方程为；（2）设点,,,,设直线：,直线：,联立消去,得,则,同理,,故,,直线EH的方程为,令,得,整理得,同理,,所以,∴．(二)利用导数几何意义求解抛物线中的切线问题求解抛物线在其上一点处的切线方程,可先把化为,则,则抛物线在点处的切线斜率为,切线方程为.【例2】（2023届湖南省三湘名校教育联盟高三上学期联考）在直角坐标系中,已知抛物线,为直线上的动点,过点作抛物线的两条切线,切点分别为,当在轴上时,.(1)求抛物线的方程；(2)求点到直线距离的最大值.【解析】（1）当在轴上时,即,由题意不妨设则,设过点的切线方程为,与联立得,由直线和抛物线相切可得,,所以由得,∴,,由可得,解得,∴抛物线的方程为；（2）,∴,设,,则,又,所以即,同理可得,又为直线上的动点,设,则,,由两点确定一条直线可得的方程为,即,∴直线恒过定点,∴点到直线距离的最大值为.(三)抛物线中与切线有关的性质过抛物线焦点弦的两端点作抛物线的切线,则(1)切线交点在准线上(2)切线交点与弦中点连线平行于对称轴(3)切线交点与焦点弦的两端点连线垂直(4)切线交点与焦点连线与焦点弦垂直(5)弦AB不过焦点即切线交点P不在准线上时,切线交点与弦中点的连线也平行于对称轴．反之：(1)过抛物线准线上任一点作抛物线的切线,则过两切点的弦必过焦点,该点与焦点连线垂直于过两切点的弦(2)过准线上任一点作抛物线的切线,过两切点的弦最短时,即为通径．【例3】已知抛物线的焦点为F,过F的直线l与C相交于A,B两点,,是C的两条切线,A,B是切点．当轴时,．(1)求抛物线C的方程；(2)证明：．【解析】（1）由题意,,当轴时,将代入有,解得,又故,解得.故抛物线C的方程为.（2）由（1）,设,直线的方程为,联立抛物线方程有,故.又抛物线方程,故,故切线的方程为,即,同理可得切线的方程为,联立可得,解得,代入有,代入韦达定理可得.故当时有,当时,因为,故,也满足.故恒成立.又,故.所以,,故,故,故,即,即得证.【例4】已知直线过原点,且与圆交于,两点,,圆与直线相切,与直线垂直,记圆心的轨迹为曲线．（1）求的方程；（2）过直线上任一点作的两条切线,切点分别为,,证明：①直线过定点；②．【解析】（1）如图,设,因为圆与直线相切,所以圆Ａ的半径为．由圆的性质可得,即,化简得．因为与不重合,所以,所以的方程为．（2）证明：①由题意可知,与不重合．如图,设,,则,因为,所以切线的斜率为,故,整理得．设,同理可得．所以直线的方程为,所以直线过定点．②因为直线的方程为,由消去得,所以,．又,所以．三、跟踪检测1.（2023届云南省名校高三上学期月考）已知抛物线的焦点为F,斜率为的直线l与E相切于点A.(1)当,时,求E的方程；(2)若直线与l平行,与E交于B,C两点,且,设点F到的距离为,到l的距离为,试问：是否为定值？若是,求出定值；若不是,说明理由.2.（2023届河南省北大公学禹州国际学校高三上学期月考）已知抛物线C的顶点在坐标原点,焦点在y轴的正半轴上,直线l：经过抛物线C的焦点．(1)求抛物线C的方程；(2)若直线l与抛物线C相交于A,B两点,过A,B两点分别作抛物线C的切线,两条切线相交于点P,求△ABP面积的最小值．3．（2022届浙江省绍兴市高三上学期12月选考）已知抛物线的焦点是,如图,过点作抛物线的两条切线,切点分别是和,线段的中点为．（1）求抛物线的标准方程；（2）求证：直线轴；（3）以线段为直径作圆,交直线于,求的取值范围．4．（2022届山东省济宁市高三上学期期末）已知抛物线E：（）上一点到其焦点F的距离为2．（1）求实数的值；（2）若过焦点F的动直线与抛物线交于A、B两点,过A、B分别作抛物线的切线、,且、的交点为Q,、与y轴的交点分别为M、N．求面积的取值范围．5.（2022届百校联盟高三上学期12月联考）已知曲线C上任意一点到,距离之和为,抛物线E：的焦点是点.（1）求曲线C和抛物线E的方程；（2）点是曲线C上的任意一点,过点Q分别作抛物线E的两条切线,切点分别为M,N,求的面积的取值范围．6．（2022届四川省达州高三上学期诊断）过定点的动圆始终与直线：相切.（1）求动圆圆心的轨迹的方程；（2）动点在直线上,过点作曲线的两条切线分别交轴于B,D两点,当的面积是时,求点坐标.7．（2022届四川省成都市高三上学期考试）已知抛物线的焦点为.且与圆上点的距离的最小值为.（1）求抛物线的方程；（2）若点在圆上,,是的两条切线.,是切点,求面积的最大值.8．（2022届山西省怀仁市高三上学期期中）已知抛物线：的焦点为,准线与轴交于点,过点的直线与抛物线交于,两点,且.（1）求抛物线的方程；（2）设,是抛物线上的不同两点,且轴,直线与轴交于点,再在轴上截取线段,且点介于点点之间,连接,过点作直线的平行线,证明是抛物线的切线.9.已知抛物线,点在抛物线C上,过点M作抛物线C的切线,交x轴于点P,点O为坐标原点．(1)求P点的坐标；(2)点E的坐标为,经过点的直线交抛物线于A,B两点,交线段OM于点Q,记EA,EB,EQ的斜率分别为,,,是否存在常数使得．若存在,求出的值,若不存在,请说明理由．10．如图,已知为二次函数的图像上异于顶点的两个点,曲线在点处的切线相交于点.(1)利用抛物线的定义证明：曲线上的每一个点都在一条抛物线上,并指出这条抛物线的焦点坐标和准线方程；(2)求证：成等差数列,成等比数列；(3)设抛物线焦点为,过作垂直准线,垂足为,求证：.11．已知抛物线上的任意一点到的距离比到x轴的距离大1．(1)求抛物线的方程；(2)若过点的直线l与抛物线交于A,B两点,过A,B两点分别作抛物线的切线,两条切线交于点Q,求重心G的轨迹方程．12．已知抛物线的焦点为F,点为抛物线上一点,抛物线C在点P处的切线与y轴相交于点Q,且的面积为2．(1)求抛物线的方程．(2)若斜率不为0的直线l过焦点F,且交抛物线C于A,B两点,线段AB的中垂线与y轴交于点M,证明：为定值．13．（2022届新未来4月联考）已知直线与抛物线交于A,B两点,过A,B两点且与抛物线C相切的两条直线相交于点D,当直线轴时,．(1)求抛物线C的标准方程；(2)求的最小值．14．过原点O的直线与拋物线C：（）交于点A,线段OA的中点为M,又点,．在下面给出的三个条件中任选一个填在横线处,并解答下列问题：①,②；③的面积为．（1）______,求拋物线C的方程；（2）在（1）的条件下,过y轴上的动点B作拋物线C的切线,切点为Q（不与原点O重合）,过点B作直线l与OQ垂直,求证：直线l过定点．注：如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分．15．已知抛物线,其焦点为F,抛物线上有相异两点,．（1）若轴,且经过点A的抛物线的切线经过点,求抛物线方程；（2）若,且,线段AB的中垂线交x轴于点C,求面积的最大值．16．设抛物线：（）的焦点为,点（）在抛物线上,且满足．（1）求抛物线的标准方程；（2）过点的直线与抛物线交于,两点,分别以,为切点的抛物线的两条切线交于点,求三角形周长的最小值．17．已知圆与定直线,且动圆与圆外切并与直线相切.（1）求动圆圆心的轨迹的方程；（2）已知点是直线上一个动点,过点作轨迹的两条切线,切点分别为、.①求证：直线过定点；②求证：.18.设抛物线：,其焦点为,准线为,点为上的一点,过点作直线的垂线,垂足为,且,.（1）求抛物线的方程；（2）设点为外的一点且点不在坐标轴上,过点作抛物线的两条切线,切点分别为,,过点作轴的垂线,垂足为,连接,,证明：直线与直线关于轴对称.

专题11抛物线中的切线问题一、考情分析对于抛物线特别是抛物线,可以化为函数,从而可以借组导数研究求性质,这种关联使得可以把抛物线与导数的几何意义交汇,这是圆锥曲线中的一大亮点,也是圆锥曲线解答题的一个热点.二、解题秘籍(一)利用判别式求解抛物线中的切线问题求解直线抛物线相切问题,可以把直线方程与抛物线方程联立整理成一个一元二次方程,然后利用求解.【例1】（2023届河南省新未来高三上学期联考）已知抛物线C：,直线,都经过点．当两条直线与抛物线相切时,两切点间的距离为4．(1)求抛物线C的标准方程；(2)若直线,分别与抛物线C依次交于点E,F和G,H,直线EH,FG与抛物线准线分别交于点A,B,证明：．【解析】（1）设经过点的直线为：,由消去y,得,,当直线与抛物线相切时,,∵,∴,所以,解得,∴切点为,又∵两切点间的距离为4,∴,即,∴抛物线的标准方程为；（2）设点,,,,设直线：,直线：,联立消去,得,则,同理,,故,,直线EH的方程为,令,得,整理得,同理,,所以,∴．(二)利用导数几何意义求解抛物线中的切线问题求解抛物线在其上一点处的切线方程,可先把化为,则,则抛物线在点处的切线斜率为,切线方程为.【例2】（2023届湖南省三湘名校教育联盟高三上学期联考）在直角坐标系中,已知抛物线,为直线上的动点,过点作抛物线的两条切线,切点分别为,当在轴上时,.(1)求抛物线的方程；(2)求点到直线距离的最大值.【解析】（1）当在轴上时,即,由题意不妨设则,设过点的切线方程为,与联立得,由直线和抛物线相切可得,,所以由得,∴,,由可得,解得,∴抛物线的方程为；（2）,∴,设,,则,又,所以即,同理可得,又为直线上的动点,设,则,,由两点确定一条直线可得的方程为,即,∴直线恒过定点,∴点到直线距离的最大值为.(三)抛物线中与切线有关的性质过抛物线焦点弦的两端点作抛物线的切线,则(1)切线交点在准线上(2)切线交点与弦中点连线平行于对称轴(3)切线交点与焦点弦的两端点连线垂直(4)切线交点与焦点连线与焦点弦垂直(5)弦AB不过焦点即切线交点P不在准线上时,切线交点与弦中点的连线也平行于对称轴．反之：(1)过抛物线准线上任一点作抛物线的切线,则过两切点的弦必过焦点,该点与焦点连线垂直于过两切点的弦(2)过准线上任一点作抛物线的切线,过两切点的弦最短时,即为通径．【例3】已知抛物线的焦点为F,过F的直线l与C相交于A,B两点,,是C的两条切线,A,B是切点．当轴时,．(1)求抛物线C的方程；(2)证明：．【解析】（1）由题意,,当轴时,将代入有,解得,又故,解得.故抛物线C的方程为.（2）由（1）,设,直线的方程为,联立抛物线方程有,故.又抛物线方程,故,故切线的方程为,即,同理可得切线的方程为,联立可得,解得,代入有,代入韦达定理可得.故当时有,当时,因为,故,也满足.故恒成立.又,故.所以,,故,故,故,即,即得证.【例4】已知直线过原点,且与圆交于,两点,,圆与直线相切,与直线垂直,记圆心的轨迹为曲线．（1）求的方程；（2）过直线上任一点作的两条切线,切点分别为,,证明：①直线过定点；②．【解析】（1）如图,设,因为圆与直线相切,所以圆Ａ的半径为．由圆的性质可得,即,化简得．因为与不重合,所以,所以的方程为．（2）证明：①由题意可知,与不重合．如图,设,,则,因为,所以切线的斜率为,故,整理得．设,同理可得．所以直线的方程为,所以直线过定点．②因为直线的方程为,由消去得,所以,．又,所以．三、跟踪检测1.（2023届云南省名校高三上学期月考）已知抛物线的焦点为F,斜率为的直线l与E相切于点A.(1)当,时,求E的方程；(2)若直线与l平行,与E交于B,C两点,且,设点F到的距离为,到l的距离为,试问：是否为定值？若是,求出定值；若不是,说明理由.【解析】（1）由得,则,令,则,即,则,所以,故抛物线E的方程为.（2）设,,,则切线l的斜率,则切线l的方程为：,即,.直线的方程为,化简得,因为,所以,由得,则,即,即.由,则,,所以.故是定值,定值为3.2.（2023届河南省北大公学禹州国际学校高三上学期月考）已知抛物线C的顶点在坐标原点,焦点在y轴的正半轴上,直线l：经过抛物线C的焦点．(1)求抛物线C的方程；(2)若直线l与抛物线C相交于A,B两点,过A,B两点分别作抛物线C的切线,两条切线相交于点P,求△ABP面积的最小值．【解析】（1）由题意,设抛物线C的方程为,因为直线经过,即抛物线C的焦点,所以,解得,所以抛物线C的方程为.（2）设､,联立方程组,整理得,因为,且,,,所以,由,可得,则,所以抛物线经过点的切线方程是,将代入上式整理得,同理可得抛物线C经过点B的切线方程为,联立方程组,解得,所以,所以到直线的距离,所以的面积,因为,所以,即当时,,所以面积的最小值为.3．（2022届浙江省绍兴市高三上学期12月选考）已知抛物线的焦点是,如图,过点作抛物线的两条切线,切点分别是和,线段的中点为．（1）求抛物线的标准方程；（2）求证：直线轴；（3）以线段为直径作圆,交直线于,求的取值范围．【解析】（1）设抛物线的方程为,由题意可得,所以,所以抛物线方程.（2）由（1）,因为,设,直线的方程为,直线的方程为,联立上述两直线方程,得点坐标,又因为点为线段的中点,所以点坐标,因为,所以直线轴：（3）因为点,所以,则,圆心,直线的斜率为,直线方程为,,得,,,圆心到直线的距离为,半径,,令,在时单调递减,．4．（2022届山东省济宁市高三上学期期末）已知抛物线E：（）上一点到其焦点F的距离为2．（1）求实数的值；（2）若过焦点F的动直线与抛物线交于A、B两点,过A、B分别作抛物线的切线、,且、的交点为Q,、与y轴的交点分别为M、N．求面积的取值范围．【解析】（1）因为点到其焦点F的距离为2,由抛物线的定义知解得（2）由上问可知,抛物线方程E：设,,（,）,设l：,联立,得,判别式,故R,设：联立方程组,消x得,所以所以则：,即,令,得,同理：,,联立,得交点Q的横坐标为,∴∴面积的取值范围是．5.（2022届百校联盟高三上学期12月联考）已知曲线C上任意一点到,距离之和为,抛物线E：的焦点是点.（1）求曲线C和抛物线E的方程；（2）点是曲线C上的任意一点,过点Q分别作抛物线E的两条切线,切点分别为M,N,求的面积的取值范围．【解析】（1）依题意,曲线C是以,为左右焦点,长轴长为的椭圆,则短半轴长有,曲线C的方程为：,即,在中,,即,所以曲线C的方程为：,抛物线E的方程为：.（2）显然,过点Q的抛物线E的切线斜率存在且不为0,设切线方程为：,由消去x并整理得：,依题意,,设二切线斜率为,则,,设斜率为的切线所对切点,斜率为的切线所对切点,因此,,,于是得,,,直线MN上任意点,,由得：,化简整理得：,则直线MN的方程为：,点Q到直线MN的距离,,则的面积,而点在曲线C上,即,,在上单调递减,当时,,当时,,于是有,则,有所以的面积的取值范围是.6．（2022届四川省达州高三上学期诊断）过定点的动圆始终与直线：相切.（1）求动圆圆心的轨迹的方程；（2）动点在直线上,过点作曲线的两条切线分别交轴于B,D两点,当的面积是时,求点坐标.【解析】（1）设动圆圆心坐标为,因为过定点的动圆始终与直线：相切,可得,化简得,即动圆圆心的轨迹方程：.（2）设动点,根据题意过点A作曲线C的切线斜率存在,设为,所以切线方程为,联立方程组,整理得,且,因为有两不等实根,所以有两条切线,斜率分别设为,,所以,,切线交轴于点,切线交轴于点,所以,即,解得,所以点坐标为或.7．（2022届四川省成都市高三上学期考试）已知抛物线的焦点为.且与圆上点的距离的最小值为.（1）求抛物线的方程；（2）若点在圆上,,是的两条切线.,是切点,求面积的最大值.【解析】（1）抛物线的焦点为,,所以,与圆上点的距离的最小值为,解得；所以抛物线的方程为.（2）抛物线的方程为,即,对该函数求导得,设点,,,直线的方程为,即,即,同理可知,直线的方程为,由于点为这两条直线的公共点,则,所以,点、的坐标满足方程,所以,直线的方程为,联立,可得,由韦达定理可得,,所以点到直线的距离为,所以,,,由已知可得,所以,当时,的面积取最大值.8．（2022届山西省怀仁市高三上学期期中）已知抛物线：的焦点为,准线与轴交于点,过点的直线与抛物线交于,两点,且.（1）求抛物线的方程；（2）设,是抛物线上的不同两点,且轴,直线与轴交于点,再在轴上截取线段,且点介于点点之间,连接,过点作直线的平行线,证明是抛物线的切线.【解析】（1）解：设过点的直线方程为,,联立,得,则,所以,,因为,所以,化简得,所以,当过点的直线斜率不存在时,则,故,又因为,则,所以,综上所述,,所以；（2）证明：不妨设点P在第一象限,则,设直线PQ的方程为,,联立,消元整理得,则,即故,即,当时,,则,又因,且点介于点点之间,则为的中点,所以,则直线的斜率为,因为直线平行直线,所以直线的斜率为,故直线的方程为,即,联立,消元整理得,,所以直线l与抛物线只有一个交点,有直线l斜率不为0,所以是抛物线的切线.9.已知抛物线,点在抛物线C上,过点M作抛物线C的切线,交x轴于点P,点O为坐标原点．(1)求P点的坐标；(2)点E的坐标为,经过点的直线交抛物线于A,B两点,交线段OM于点Q,记EA,EB,EQ的斜率分别为,,,是否存在常数使得．若存在,求出的值,若不存在,请说明理由．【解析】（1）因为在抛物线C上,所以,所以所以抛物线C的方程为,即,则,所以切线的斜率为,所以过点M的切线方程为,即联立,解得P点的坐标为（2）由题意可知过点的直线的斜率存在,设为,线段所在的直线为,联立,解得Q点坐标为,所以设,,联立,得,所以,．则所以,即存在满足条件．10．如图,已知为二次函数的图像上异于顶点的两个点,曲线在点处的切线相交于点.(1)利用抛物线的定义证明：曲线上的每一个点都在一条抛物线上,并指出这条抛物线的焦点坐标和准线方程；(2)求证：成等差数列,成等比数列；(3)设抛物线焦点为,过作垂直准线,垂足为,求证：.【解析】（1）证明：令,直线：,曲线上任意一点,又,则点到直线的距离,则,即曲线上任意一点到点的距离与到直线：的距离相等,且点不在直线：上,所以曲线上的每一个点都在一条抛物线上,抛物线的方程即为,焦点坐标为,准线方程为；（2）解：对于,则,所以,,即过点、的切线方程分别为、,又,,所以、,由,解得,即,即,,又,所以、、成等差数列,、、成等比数列；（3）解：由（2）可知,,,所以,如图,设,,与轴分别交于点、、,则,,,又,,所以,,即,所以；11．已知抛物线上的任意一点到的距离比到x轴的距离大1．(1)求抛物线的方程；(2)若过点的直线l与抛物线交于A,B两点,过A,B两点分别作抛物线的切线,两条切线交于点Q,求重心G的轨迹方程．【解析】（1）由抛物线的定义可得,∴抛物线的方程为；（2）由题意可得直线的斜率存在,设其为k,设,则直线的方程为；代入抛物线方程得,则有,∵,∴,∴,即①同理可得②,①-②有,得,∴．∴又,设,则,消k得,所以G的轨迹方程为．12．已知抛物线的焦点为F,点为抛物线上一点,抛物线C在点P处的切线与y轴相交于点Q,且的面积为2．(1)求抛物线的方程．(2)若斜率不为0的直线l过焦点F,且交抛物线C于A,B两点,线段AB的中垂线与y轴交于点M,证明：为定值．【解析】（1）将代入得,设抛物线的切线方程为,代入整理得：由题知,解得又,所以所以,解得所以抛物线的方程为（2）记AB中点为N,设直线AB方程为,代入整理得：,则所以因为N为AB中点,所以,所以直线MN的方程为则所以所以13．（2022届新未来4月联考）已知直线与抛物线交于A,B两点,过A,B两点且与抛物线C相切的两条直线相交于点D,当直线轴时,．(1)求抛物线C的标准方程；(2)求的最小值．【解析】（1）当直线轴时,,代入解得,∴,得,∴抛物线C的标准方程为；（2）设．联立得．∴①,∵直线恒过点,且与抛物线有两个交点,点在抛物线上,∴,当直线和直线斜率存在时,设直线,联立∴,,∴,∴,同理,设直线,则,联立∴由①可知,∴,即,∴点D在直线上．当直线或直线斜率不存在时,即直线l过原点时,,过原点的切线方程为,易知另外一点为,过点的切线方程设为,联立,得,,解得,即切线方程．此时交点D的坐标为,在直线上,故的最小值为原点到直线的距离,即．14．过原点O的直线与拋物线C：（）交于点A,线段OA的中点为M,又点,．在下面给出的三个条件中任选一个填在横线处,并解答下列问题：①,②；③的面积为．（1）______,求拋物线C的方程；（2）在（1）的条件下,过y轴上的动点B作拋物线C的切线,切点为Q（不与原点O重合）,过点B作直线l与OQ垂直,求证：直线l过定点．注：如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分．【解析】（1）由题意知直线OA的斜率存在且不为0,设其方程为,由得或即,所以线段OA的中点．因为,所以直线PM的斜率存在,．所以,解得,所以直线OA的方程为,．若选①,不妨令,由,得,解得（舍去）,所以抛物线C的方程为．若选②,因为,,所以点P到直线OA的距离为,即,解得（舍去）,所以抛物线C的方程为．若选③,不妨令,因为,点P到直线OA的距离,所以,解得（舍去）,所以抛物线C的方程为．（2）由题意可知切线BQ的斜率存在且不为0．设,切线BQ的方程为,由得,（*）所以,解得,所以方程（*）的根为,代入得,所以切点,于是,则,所以直线l的方程为,即,所以当b变化时,直线l恒过定点．15．已知抛物线,其焦点为F,抛物线上有相异两点,．（1）若轴,且经过点A的抛物线的切线经过点,求抛物线方程；（2）若,且,线段AB的中垂线交x轴于点C,求面积的最大值．【解析】（1）抛物线,焦点坐标为,因为,所以,所以,又,所以,所