423三角函数的叠加及其应用424积化和差与和差化积公式课件-高一下学期数学北师大版

4.2.3-4.2.4三角函数的叠加及其应用&积化和差与和差化积公式北师大版（2019）必修第二册第四章

三角恒等变换

学习目标理解辅助角公式的结构形式，并能利用该公式解决三角函数的图象与性质问题．02能灵活运用两角和与差的三角函数公式对三角函数式化简.01了解利用两角和与差的正弦、余弦公式推导积化和差、和差化积两组公式的过程.03会用积化和差、和差化积公式求值、化简和证明.04知识回顾我们上节课学习了两角和与差的三角函数公式，一起回顾一下.

三角函数式两角和与差的三角函数公式

解：

余弦的两角和差可以推出类似结论吗

思考交流1：求函数

f(x)＝sinx＋cosx的最大值、最小值和周期.解：

∴当

，即

时，

当

，即

时，

f(x)的周期T＝2π.思考交流2：求函数f(x)＝asinx＋bcosx(a，b不同时为0)的最大值、最小值和周期.当

时，

当

时，

f(x)的周期

T＝2π.利用两角和或差的三角函数公式，可以将某些三角函数化简成为Asin(ωx＋φ)的形式，以利于研究这类三角函数的图象和性质.例7已知三个电流瞬时值的函数解析式分别是

其中

ω

为常数，t为线圈旋转的时间.求它们合成后的电流瞬时值的函数解析式，并求出这个函数的振幅.解：将三个电流瞬时值的函数解析式化成

f(x)＝Asin(ωx＋φ)的形式，

由两角和与差的正弦公式有

其中

，∴，且它的振幅是

由此可知几个振幅和初相不同但频率相同的正弦波之和，总是等于另一个具有相同频率的正弦波，同时可求得这个正弦波的振幅和初相.问题1

右边的两个角如何用左边的两个角表示？右边的两个角分别是左边两个角的和（差）的一半．问题2

对任意两个角，sinx＋siny应该等于什么？

把

展开整理，可得

思考：如何化简

问题：如何运用已知的公式证明sinαcosβ＝[sin(α＋β)＋sin(α－β)]？你还能得出什么结论？

sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ，sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ，两式相加得sinαcosβ＝[sin(α＋β)＋sin(α－β)]．

两式相减得cosαsinβ＝[sin(α＋β)－sin(α－β)]．

问题：利用两角和差的余弦，你能求出cosαcosβ，sinαsinβ的表达式吗？cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ；cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ．两式相加可得cosαcosβ＝[cos(α＋β)＋cos(α－β)]．

两式相减可得sinαsinβ＝[cos(α＋β)－cos(α－β)]．

知识剖析：(1)记忆口诀：前角用和后角差，正余二分正弦和，余正二分正弦差，余余二分余弦和，正正负半余弦差.(2)任意两角的正弦、余弦的积都可化为

的形式.若两角的函数名同为正弦或余弦，则“f”表示余弦；若两角的函数名一个为正弦一个为余弦，则“f”表示正弦.

cosαsinβ＝[sin(α＋β)－sin(α－β)]．

cosαcosβ＝[cos(α＋β)＋cos(α－β)]．

sinαsinβ＝[cos(α＋β)－cos(α－β)]．

三角函数的积化和差例8求

的值

解：

证明：

sin（α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβ，sin（α－β）＝sinαcosβ－cosαsinβ，两式相加得：sin（α＋β）＋sin（α－β）＝2sinαcosβ（1）设α＋β＝x，α－β＝y，则

代入（1）得：sinx＋siny＝

知识剖析：(1)记忆口诀：正加正，正在前；余加余，余并肩；正减正，余在前；余减余，负正弦.(2)利用和差化积与积化和差公式化简三角函数时，关键在于将同名称的正弦与余弦进行恰当组合.组合时遵循原则：①应尽量使两角的和(差)出现特殊角；②对于特殊角的三角函数应求出其值.sinx＋siny＝

sinx－siny＝

cosx＋cosy＝

cosx－cosy＝

三角函数的积化和差解析：（1）例10

把下列各式化为积的形式：（1