《向量的数乘》教学设计

高中数学精选资源3/3《向量的数乘》教学设计教学设计教学环节教学内容师生互动设计意图新课引入如图所示,已知向量,请作出和.问题:指出所得和向量与向量的模、方向有什么关系?教师提问,用多媒体演示求和向量的过程.学生自己试着作图,交流,回答.用具体实例启发学生思考,激发学生的学习兴趣,引出向量的数乘的概念.概念形成一、向量的数乘1.定义:一般地,实数与向量的积是一个向量,记作,它的长度和方向规定如下：(1).(2)若,则当时,与方向相同;当时,与方向相反.实数与向量相乘的运算,叫作向量的数乘.2.特别地,当时,;当时,.3.向量数乘的几何意义.当时,把向量沿着的相同方向放大或缩小;当时,把向量沿着的相反方向放大或缩小,如下图.二、向量的数乘满足的运算律1.设为向量,为实数,则有：(1);(2);(3).2.特别地,有.3.向量的线性运算:向量的加法、减法和数乘统称为向量的线性运算.向量的线性运算结果仍是向量.对于任意向量,以及任意实数,恒有.三、向量共线定理设为非零向量,如果有一个实数,使,那么与是共线向量;反之,如果与是共线向量,那么有且只有一个实数,使.学生结合共线向量和向量的加减法初步归纳向量的数乘的概念.教师进行点拨与补充.教师引导学生从大小和方向两个方面分析向量的数乘的特点.教师给出当和0这两种特殊情形下向量数乘的计算结果,学生识记.教师让学生试着归纳向量数乘的几何意义,并画出对应图形,学生根据图形进行解释说明,全班订正.教师结合实例让学生理解向量的数乘满足的运算律.学生阅读教材,进行归纳,加深记忆.学生识记后教师提问：我们可以发现向量数乘的运算律和乘法的运算律形式上很相似,你能说说它们之间的区别吗?教师出示左栏两个公式,让学生试着进行解释说明.教师和学生重点分析向量数乘结果的方向,引导学生观察结果向量和原来向量的关系.学生分小组合作,总结.教师提问:我们可以如何证明这个结论?学生小组讨论,完成证明过程.教师让一名学生板演,全班订正答案.通过对向量的数乘概念的学习,提升学生的数学抽象核心素养.通过对向量数乘的几何意义的说明，让学生从几何角度理解向量的数乘概念,提升直观想象核心素养,增强学生的表达能力.在掌握了向量数乘的运算律之后,再与实数乘法的运算律进行比较,加深理解,强化学生对形式相似内容的辨析能力.通过对向量共线定理的证明,让学生对向量的数乘有更加深刻的认识,提升逻辑推理核心素养.概念深化一、向量的数乘1.实数与向量可以相乘,但是实数和向量不可以相加或相减.2.若向量是非零向量,则向量是与向量同向的单位向量.3.注意的方向和模.二、向量的数乘满足的运算律向量数乘的运算律可类似于多项式的运算.例如，多项式运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用,但是这里的“同类项”“公因式”指向量,实数看作是向量的系数.三、向量共线定理若与共线,不一定有,当时,无解;只有当时,才有.所以,定理中才会有条件.教师给出对向量的数乘需要注意的知识点,逐条分析说明.学生结合教师的点拨,展开讨论、交流.教师把向量数乘的运算律与多项式的运算进行类比,加深学生的理解.教师给出向量共线定理中要求的原因,强调定理的严谨性.加深学生对向量的数乘的理解.灵活运用类比的方法,加深学生对向量数乘的运算律的掌握程度.培养学生的观察归纳能力,达到培养逻辑推理核心素养的目的.应用举例例1如图,已知向量和向量,求作向量和向量.作法如图(1)所示,向量的长度是的长度的倍,方向与的方向相反.如图(2)所示,以为起点,分别作,连接,则.课堂练习:教材第16页练习第1,3题.例2计算：(1);(2).解(1)原式.(2)原式.课堂练习:教材第16页练习第2题.例3如图,分别为的边的中点,求证:与共线,并用表示.证明因为分别为的中点,所以,即与共线.又,且与同向,所以.例4如图,已知为直线外一点,点在直线上,且.求证:.证明因为,又,所以,即.又因为,即,所以.课堂练习:教材第18页练习第7题.学生自主完成例1,然后探讨.教师演示答案,并引导学生归纳需注意的问题.教师出示例2,学生分组练习,交流讨论.教师巡回指导,收集信息,及时评价,纠正错误.教师出示例3,学生分组练习.集体订正答案.教师指出:设,若,则称向量可以用非零向量线性表示.教师出示例4,提问:待求证的式子中的和与已知中的和如何建立联系?学生尝试解答,全班订正答案.完成证明后,教师进一步提问:本题的结论可以写成如下形式:,这说明了什么?两个不共线的向量可以表示平面内任一向量吗?通过例1让学生掌握此类向量的作法,加深对向量的数乘概念的理解,提升直观想象核心素养.例2旨在强化学生对向量数乘的运算律的理解，使学生能够灵活应用运算律进行解题,提升数学运算核心素养.通过例4加深学生对向量共线定理的理解.最后两个思考题可使本节内容进一步拓展,提升逻辑.推理核心素养.归纳总结1.知识：(1)向量的数乘.(2)向量数乘满足的运算律.(3)向量共线定理.2.应用：用向量共线定理证明三点共线.学生相互交流收获与体会，并进行反思.关注学生的自主体验，提高其归纳总结能力.布置作业1.基础题：教材第18~19页习题9.2（2）第2~6题.2.拓展题：教材第19页习题9.2（2）第9~11题.学生课下独立完成，教师批阅并公布学生的做题情况，有问题的给予纠正.通过分层作业使学生巩固所学知识，并为有余力的学生提供进一步学习的机会.板书设计9.2.2向量的数乘一、向量的数乘1.定义:一般地,实数与向量的积是一个向量,记作,它的长度和方向规定如下：(1).(2)若,则当时,与方向相同；当时,与方向相反.实数与向量相乘的运算,叫作向量的数乘2.特别地,当时,;当时,3.向量数乘的几何意义二,向量的数乘满足的运算律1.设为向量,为实数,则有：(1);;(3)2.特别地,有3.向量的线性运算:向量的加法、减法和数乘统称为向量的线性运算.向量的线性运算结果仍是向量三、向量共线定理设为非零向量,如果有一个实数,使,那么与是共线向量;反之,如果与是共线向量,那么有且只有一个实数,使例1练习例2练习例3例4练习归纳总结教学研讨此案例主要以逐一讲解概念的方式进行新课,通过问题的解决,归纳推理出向