2023版人教版初中数学同步讲义练习8年级下册期末押题预测卷 期末押题预测卷（1）（教师版）

2023版人教版初中数学同步讲义练习八年级下册

期末押题预测卷（1）姓名：__________________班级：______________得分：_________________注意事项：本试卷满分120分，考试时间90分钟，试题共26题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2022·北京八年级专题练习）下列函数中，自变量取值范围错误的是（）A．B．C．为任意实数）D．【答案】D【分析】根据函数的特点，意义求出函数自变量的取值范围进行比较即可．【详解】解：的自变量的取值范围为2x-1≠0，即，故选项A正确；的自变量的取值范围为1-x≥0，即，故选项B正确；的自变量的取值范围为为任意实数，故选项C正确；的自变量的取值范围为x-10，即．故选项D不正确；故选：．【点睛】本题考查函数自变量取值范围，掌握求函数自变量取值范围的方法是解题关键．2．（2023秋·陕西咸阳·八年级统考期末）下列式子中，是最简二次根式的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据最简二次根式满足的两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式逐项判断即可．【详解】解：A、不是最简二次根式，故本选项不符合题意；B、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；C、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；D、，是最简二次根式，故本选项符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了最简二次根式，掌握最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式是解题的关键．3．（2022·安徽芜湖·八年级期末）已知的三条边分别为a，b，c，下列条件不能判断是直角三角形的是（

）A．B．C．，，D．【答案】B【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．可判断A、C选项；根据三角形内角和定理可判断B、D选项．【详解】解：A选项中，∵c2＝a2﹣b2，∴b2+c2＝a2，∴此三角形是直角三角形，故本选项不符合题意；B选项中，∵设∠A＝3x，则∠B＝4x，∠C＝5x，∵∠A+∠B+∠C＝180°，∴3x+4x+5x＝180°，解得x＝15°，∴∠C＝5×15°＝75°，∴此三角形不是直角三角形，故本选项符合题意；C选项中，∵52+122＝132，∴此三角形是直角三角形，故本选项不符合题意；D选项中，∵∠A+∠B+∠C＝180°，∠A＝∠B+∠C，∴∠A＝90°，∴此三角形是直角三角形，故本选项不符合题意．故选：B．【点睛】本题考查的是勾股定理的逆定理、三角形内角和定理，熟知三角形内角和定理是解题的关键．4．（2022·河北·九年级阶段练习）某公司共有51名员工（包括1名经理），经理的工资高于其他员工的工资，今年经理的工资从去年的200000元增加到225000元，而其他员工的工资同去年一样，则这家公司所有员工今年的工资与去年相比，集中趋势相同的是（）A．只有平均数B．只有中位数C．只有众数D．中位数和众数【答案】D【分析】本题考查统计的有关知识，找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数，平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．【详解】解：设这家公司除经理外50名员工的工资和为a元，则这家公司所有员工去年工资的平均数是元，今年工资的平均数是元，显然；由于这51个数据按从小到大的顺序排列的次序完全没有变化，所以中位数不变．众数也没有变化.故选：D．【点睛】本题主要考查了平均数，中位数的概念，要掌握这些基本概念才能熟练解题．同时注意到个别数据对平均数的影响较大，而对中位数和众数没影响．5．（2022秋·福建福州·八年级校考期末）如图，在平行四边形中，对角线，相交于点，是AB的中点，连接，若cm，则的长为（

）A．3cm B．6cm C．9cm D．12cm【答案】B【分析】根据平行四边形的性质可得点O为AC的中点，从而得到OE是△ABD的中位线，即可求解．【详解】解：在平行四边形中，对角线，相交于点，∴点O为AC的中点，∵是AB的中点，cm，∴AD=2OE=6cm．故选：B【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，三角形的中位线定理，熟练掌握平行四边形的性质，三角形的中位线定理是解题的关键．6．（2022·重庆忠县·八年级期末）中国古代称直角三角形为勾股形，如果勾股形的三边长为三个正整数，则称三边长叫“勾股数”；如果勾股形的两直角边长为正整数，那么称斜边长的平方叫“整弦数”对于以下结论：①20是“整弦数”；②两个“整弦数”之和一定是“整弦数”；③若c2为“整弦数”，则c不可能为正整数；④若m＝a12+b12，n＝a22+b22，≠，且m，n，a1，a2，b1，b2均为正整数，则m与n之积为“整弦数”；⑤若一个正奇数（除1外）的平方等于两个连续正整数的和，则这个正奇数与这两个连续正整数是一组“勾股数”．其中结论正确的个数为(

)A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】①根据“整弦数”的定义即可求解；②根据定义举出反例即可求解；③根据“整弦数”的定义即可求解；④先求出m与n之积，再根据“整弦数”的定义即可求解；⑤先设一个正奇数（除1外）为2n+1（n为正整数），进一步得到两个连续正整数，再根据勾股定理的逆定理即可求解．【详解】解：①∵∴20是“整弦数”，符合题意；②如5，2是“整弦数”，∵不是“整弦数”，∴两个“整弦数”之和不一定是“整弦数”，不符合题意；③若，则，，c2为“整弦数”，则c为正整数”，不符合题意；④∵m＝a12+b12，n＝a22+b22，≠，且m，n，a1，a2，b1，b2均为正整数，∴m与n之积为“整弦数”，符合题意；⑤设一个正奇数（除1外）为2n+1（n为正整数），∵（2n+1）2=4n2+4n+1且等于两个连续正整数的和，∴较小的正整数为2n2+2n，较小的正整数为2n2+2n+1，∵（2n+1）2+（2n2+2n）2=（2n2+2n）2+4n2+4n+1=（2n2+2n）2+2（2n2+2n）+1=（2n2+2n+1）2，∴这个正奇数与这两个连续正整数是一组“勾股数”，符合题意．故选：C．【点睛】此题主要考查了勾股定理的综合运用，涉及数字类变化规律、整式的混合运算、完全平方公式等知识，正确理解“整弦数”的定义是解题关键．7．（2022春·江苏无锡·八年级统考期末）在矩形ABCD中，E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA上的点（不与端点重合），对于任意矩形ABCD，以下结论：①存在且仅有一个四边形EFGH是菱形；②存在无数个四边形EFGH是平行四边形；③存在无数个四边形EFGH是矩形；④除非矩形ABCD为正方形，否则不存在四边形EFGH是正方形．其中正确的是（

）A．③④ B．①②③ C．②③④ D．①②④【答案】C【分析】根据菱形的判定和性质，矩形的判定，正方形的判定，平行四边形的判定定理即可得到结论．【详解】解：如图，∵四边形ABCD是矩形，连接AC，BD交于O，过点O直线EG和HF，分别交AB，BC，CD，AD于E，F，G，H，则四边形EFGH是平行四边形，故存在无数个四边形EFGH是平行四边形；故②正确；当EG=HF时，四边形EFGH是矩形，故存在无数个四边形EFGH是矩形；故③正确；当EG⊥HF时，存在无数个四边形EFGH是菱形；故①错误；当四边形EFGH是正方形时，EH=HG，∠EHG=90°，∠AHE+∠AEH=∠AHE+∠DHG=90°，∴∠AEH=∠DHG，∴Rt△AEH≌Rt△DHG，∴AE=HD，AH=GD，

∵OD=OB，∠ODG=∠OBE，∠DOG=∠BOE，∴△ODG≌△OBE，∵GD=BE=AH，∴AE+BE=HD+AH，即AB=AD，∴四边形ABCD是正方形，当四边形ABCD为正方形时，四边形EFGH是正方形，故④正确；综上，②③④正确；故选：C．【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，菱形的判定，正方形的判定，平行四边形的判定定理，熟记各定理是解题的关键．8．（2023·安徽·九年级专题练习）某通讯公司提供了两种移动电话收费方式：方式1，收月基本费20元，再以每分钟0.1元的价格按通话时间计费；方式2，收月基本费20元，送80分钟通话时间，超过80分钟的部分，以每分钟0.15元的价格计费．下列结论：①如图描述的是方式1的收费方法；②若月通话时间少于240分钟，选择方式2省钱；③若月通讯费为50元，则方式1比方式2的通话时间多；④若方式1比方式2的通讯费多10元，则方式1比方式2的通话时间多100分钟．其中正确的是（）A．只有①② B．只有③④ C．只有①②③ D．①②③④【答案】C【详解】试题解析：根据题意得：方式一的函数解析式为y=0.1x+20，方式二的函数解析式为y=，①方式一的函数解析式是一条直线，方式二的函数解析式是分段函数，所以如图描述的是方式1的收费方法，另外，当x=80时，方式一是28元，方式二是20元，故①说法正确；②0.1x+20＞20+0.15×（x-80），解得x＜240，故②的说法正确；③当y=50元时，方式一：0.1x+20=50，解得x=300分钟，方式二：20+0.15×（x-80）=50，解得x=280分钟，故③说法正确；④如果方式一通话费用为40元则方式一通话时间为：=200，方式二通讯时间为：≈147因此若方式1比方式2的通讯费多10元，则方式1比方式2的通话时间多53分钟，故④说法错误；故选C．考点：一次函数的应用.9．（2022春·四川绵阳·八年级校联考期末）如图，在等腰三角形中，，，点在上，，点是斜边上一动点，连接，于，于，则的最小值为（

）A． B．5 C． D．【答案】D【分析】先由，，得到四边形EFCG为矩形，推出，再将沿边AB对折，点D对折到地位置得到，连接，交AB于点M，求出，用勾股定理求出即可求解．【详解】解：∵，，，∴四边形EFCG为矩形，∴．将沿边AB对折，点D对折到地位置，∴，∴，当点C、E、三点共线且M与E重合时有最小值．如下图，连接，交AB于点M，∴．∵，∴，即的最小值为．故选：D．【点睛】本题主要考查矩形的判定和性质，折叠的性质，勾股定理，作出图形，确定出当点C、E、三点共线且M与E重合时有最小值是解答关键．10．（2022·新疆乌鲁木齐·八年级统考期末）如图，已知在正方形中，对角线与相交于点，，分别是与的角平分线，的延长线与相交于点，则下列结论：①；②；③；④．其中正确的有（）个A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】①证明∠DAE=∠CDF，进而得∠DAF+∠ADG=90°，便可判断①的正误；②证明△AGF≌△AGD（ASA），得AG垂直平分DF，得ED=EF，得∠EFD=∠EDF=∠CDF，得EF∥CD，便可判断②的正误；③由△AGF≌△AGD得AF=AD，便可判断③的正误；④证明EF=ED=OE，由平行于三角形一边的直线所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例便可得AB与EF的数量关系，进而判断④的正误．【详解】解：①∵四边形ABCD是正方形，∴∠CAD=∠BDC=45°，∵AE，DF分别是∠OAD与∠ODC的平分线，∴∠DAE=∠CDF，∵∠ADF+∠CDF=90°，∴∠DAF+∠ADG=90°，∴∠AGD=90°，即AG⊥DF，故①结论正确，符合题意；②在△AGF和△AGD中，∴△AGF≌△AGD（ASA），∴GF=GD，∵AG⊥DF，∴EF=ED，∴∠EFD=∠EDF=∠CDF，∴EF∥CD∥AB，故②正确，符合题意；③∵△AGF≌△AGD（ASA），∴AD=AF=AB，故③正确，符合题意；④∵EF∥CD，∴∠OEF=∠ODC=45°，∵∠COD=90°，∴EF=ED=OE，∴，∴AB=CD=故④错误，不符合题意．故选：C．【点睛】本题是正方形的一个综合题，主要考查了正方形的性质，直角三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，角平分线的性质，平行线的性质与判定，涉及的知识点多，关系复杂，增加了解题的难度，关键是灵活运用这些知识解题．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）11．（2022·黑龙江·哈尔滨市八年级期末）已知2＜a＜3，化简：__________．【答案】3【分析】根据，则有，然后利用二次根式的性质进行化简即可．【详解】解：∵，∴，∴原式=，故答案为：．【点睛】本题主要考查了二次根式的性质，熟练掌握是解题的关键．12．（2022·江苏南京市·中考真题）将一次函数的图象绕原点逆时针旋转，所得到的图像对应的函数表达式是__________．【答案】【分析】根据原一次函数与x,y轴的交点坐标，并求出旋转后这两点对应的坐标，再由待定系数法求解一次方程的表达式即可.【详解】∵一次函数的解析式为，∴设与x轴、y轴的交点坐标为、，∵一次函数的图象绕原点逆时针旋转，∴旋转后得到的图象与原图象垂直，旋转后的点为、，令，代入点得，，∴旋转后一次函数解析式为．故答案为．【点睛】本题主要考查了一次函数图像与几何变换，正确把握互相垂直的两直线的位置关系是解题的关键．13．（2022春·江苏宿迁·八年级统考期末）如图，正方形中，，，则_________°．【答案】50【分析】利用，求得，再利用平行线的性质即可解答本题．【详解】解：如图，∵，∴，∵，∴，∵四边形是正方形，∴，∴．故答案为：50．【点睛】本题考查正方形的性质及平行线的性质，熟练掌握正方形的性质是解答关键．14．（2022·湖北黄石·八年级期末）一组2，2x，y，12中，唯一的众数是12，平均数是10，这数据的中位数是_______．【答案】12【分析】先根据数据的平均数为，得出，再根据唯一众数为，得出或，然后按照从小到大排列即可得出答案．【详解】数据，，，的平均数是，，即，数据，，，唯一的众数是，或，即或，当时，，将数据按照从小到大排列如下：，，，，得出中位数为：；当时，，将数据按照从小到大排列如下：，，，，得出中位数为：；故答案：．【点睛】本题考查了平均数、中位数及众数的意义，解题的关键是熟练掌握相关概念并应用求解．15．（2022春·浙江台州·八年级统考期末）如图，在Rt△ABC中，，分别以AB，BC，AC为边向上作正方形，其中阴影部分面积之和为8，则四边形EDAF的面积为______．【答案】4【分析】由勾股定理可得，即，可得，然后证明△DBC≌△FEB，求出即可解决问题．【详解】解：如图，∵在Rt△ABC中，，∴，∴，∴，∵，∴∠ABC＋∠ACB＝90°，∵∠EBC＝∠EBF＋∠ABC＝90°，∴∠ACB＝∠EBF，即∠DCB＝∠FBE，又∵BC＝EB，∠DBC＝∠E，∴△DBC≌△FEB（ASA），∴，∴，∴，故答案为：4．【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，全等三角形的判定和性质，证明△DBC≌△FEB，求出是解题的关键．16．（2022·江西抚州市·九年级期末）如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，在DC的延长线上取一点E，使CE＝CD，连接OE交BC于点F，若BC＝4，则CF＝_____．【答案】1【分析】作OG∥BC交DC于G点，则根据可得G为DC的中点，同理在△OGE中，运用中位线定理可得CF的长度．【详解】如图，作OG∥BC交DC于G点，∵O为BD的中点，∴G为DC的中点，即OG是△BDC的中位线，∴，又∵，∴，即C为EG的中点，∵CF∥OG，∴CF为△OGE的中位线，∴，故答案为：1．【点睛】本题主要考查中位线定理，熟练掌握中位线的判断以及灵活运用中位线定理是解题关键．17．（2022·江苏无锡·八年级期末）如图，P是直线y＝x上一动点，若点A、B的坐标分别为（5，0）、（9，3），则△PAB的面积为_____．【答案】．【分析】设点P（x,），过P作PD⊥x轴于D，过B作BC⊥x轴于C，利用割补法求三角形面积=△OPD面积+梯形PDCB面积-△PAO面积-△ABC面积计算即可．【详解】解：设点P（x,），过P作PD⊥x轴于D，过B作BC⊥x轴于C，∴S△PAB=S△OPD+S四边形PDCB-S△OPA-S△ABC=，=，==．故答案为：．【点睛】本题考查图形与坐标，正比例函数性质，图形面积，割补法，整式的乘法，掌握图形与坐标，正比例函数性质，图形面积，割补法，整式的乘法是解题关键．18．（2022秋·陕西西安·九年级校考阶段练习）如图，点是边长为8的正方形的对角线上的一个动点（不与点、重合），连接，以为边向左侧作正方形，点为的中点，连接、，与的延长线交于点，在点运动过程中，线段的最小值是______．【答案】【分析】先证明△GAD≌△EAB，求出∠PDG=45°，进而得出点G在线段DH上，当PG⊥DH时，PG最短，此时△PDG为等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质即可求出PG的长度，即可得出答案．【详解】解：四边形ABCD、四边形AEFG均为正方形，∴∠DAB=∠GAE=90°，AD=AB，AG=AE，∠ABD=45°，∴，即∠GAD=∠EAB，在△GAD和△EAB中，，∴△GAD≌△EAB（SAS），∴∠PDG=∠ABD=45°，∴点G在线段DH上，∴当PG⊥DH时，PG最短，∵正方形ABCD的边长为8，点P为AD的中点，∴DP=4，∵PG⊥DH，∠PDG=45°，∴△PDG为等腰直角三角形，∴故答案为：【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，掌握正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质是解决问题的关键．三、解答题（本大题共8小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（2022春·江苏宿迁·八年级统考期末）计算：(1)(2)．【答案】(1)；(2)．【分析】（1）直接利用二次根式的除法运算法则化简得出答案；（2）直接利用二次根式的乘法运算法则化简，再利用二次根式的加减运算法则计算得出答案．【详解】（1）解：；（2）解：．【点睛】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简二次根式是解题关键．20．（2022·山东·八年级专题练习）由于过度采伐森林和破坏植被，我国部分地区频频遭受沙尘暴的侵袭．近日，A城气象局测得沙尘暴中心在A城的正西方向240km的B处，以每时12km的速度向北偏东60°方向移动，距沙尘暴中心150km的范围为受影响区域．（1）A城是否受到这次沙尘暴的影响？为什么？（2）若A城受这次沙尘暴影响，那么遭受影响的时间有多长？【答案】（1）受影响，理由见解析；（2）15小时【分析】（1）过点作AC⊥BM，垂足为C，在Rt△ABC中，由题意可知∠ABC=30°，由此可以求出AC

的长度，然后和150km比较大小即可判断A城是否受到这次沙尘暴的影响；（2）如图，设点E、F是以A为圆心，150km为半径的圆与BM的交点，根据勾股定理可以求出CE的长度，也就求出了EF的长度，然后除以沙尘暴的速度即可求出遭受影响的时间.【详解】解：（1）过点A作AC⊥BM，垂足为C，在Rt△ABC中，由题意可知∠CBA＝30°，∴AC＝AB＝×240＝120，∵AC＝120＜150，∴A城将受这次沙尘暴的影响．（2）设点E，F是以A为圆心，150km为半径的圆与MB的交点，连接AE，AF，由题意得，，CE＝90∴EF＝2CE＝2×90＝180180÷12＝15（小时）∴A城受沙尘暴影响的时间为15小时．【点睛】本题考查了直角三角形中30°的角所对的直角边等于斜边的一半及勾股定理的应用，正确理解题意，把握好题目的数量关系是解决问题的关键．21．（2022·北京市九年级开学考试）为进一步增强中小学生“知危险会避险”的意识，某校初三年级开展了系列交通安全知识竞赛，从中随机抽取30名学生两次知识竞赛的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行收集、整理、描述和分析．下面给出了部分信息．a．这30名学生第一次竞赛成绩和第二次竞赛成绩得分情况统计图：b．下表是这30名学生两次知识竞赛的获奖情况相关统计：参与奖优秀奖卓越奖第一次竞赛人数101010平均分828795第二次竞赛人数21216平均分848793（规定：分数90，获卓越奖；85分数<90，获优秀奖；分数<85，获参与奖）c．第二次竞赛获卓越奖的学生成绩如下：90

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98d．两次竞赛成绩样本数据的平均数、中位数、众数如下表：平均数中位数众数第一次竞赛m87.588第二次竞赛90n91根据以上信息，回答下列问题：（1）小松同学第一次竞赛成绩是89分，第二次竞赛成绩是91分，在图中用“○”圈出代表小松同学的点；（2）直接写出m，n的值；（3）可以推断出第次竞赛中初三年级全体学生的成绩水平较高，理由是．【答案】（1）见解析；（2）88，90；（3）二，理由需支持推断【分析】（1）根据统计图找出的点(89,91)的位置，可以确定小松同学第一次竞赛成绩是89分，第二次竞赛成绩是91分圈出即可；（2）根据加权平均数与中位数定义可求；（3）利用平均数、中位数、众数进行决策即可．【详解】解：（1）根据表中数据找出第一次考试成绩在89分这一列，位于表中第二次考试成绩91分横行，横列交叉位置∴圈出的数代表小松同学第一次成绩是89分，第二次成绩91分（2）第一次竞赛成绩分,第二次竞赛获卓越奖的学生成绩排序如下：90

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98第二次竞赛学生成绩为30人，是偶数，中位数位于，16位置∵参与+优秀=2+12=14人，∴15，16位置的两名学生成绩为90分，90分，中位数是分,∴m=88，n=90．（3）根据平均数第二次90分第一次88分，根据中位数第二次90分第一次87.5分，从众数看第二次91分第一次88分，可以推断出第二次竞赛中初三年级全体学生的成绩水平较高．故答案为：二．【点睛】本题考查统计图分析，加权平均数、中位数、众数，掌握统计图分析方法，加权平均数、中位数、众数数据分析，利用数据分析进行决策．22．（2022·山东德州初二期中）为改善生态环境，防止水土流失，某村计划在江汉堤坡种植白杨树，现甲、乙两家林场有相同的白杨树苗可供选择，其具体销售方案如下：甲林场乙林场购树苗数量销售单价购树苗数量销售单价不超过1000棵时4元/棵不超过2000棵时4元/棵超过1000棵的部分3.8元/棵超过2000棵的部分3.6元/棵设购买白杨树苗x棵，到两家林场购买所需费用分别为y甲（元）、y乙（元）．（1）该村需要购买1500棵白杨树苗，若都在甲林场购买所需费用为元，若都在乙林场购买所需费用为元；（2）分别求出y甲、y乙与x之间的函数关系式；（3）如果你是该村的负责人，应该选择到哪家林场购买树苗合算，为什么？【答案】（1）5900，6000；（2）见解析；（3）当0≤x≤1000或x=3000时，两家林场购买一样，当1000＜x＜3000时，到甲林场购买合算；当x＞3000时，到乙林场购买合算．分析:（1）由单价×数量就可以得出购买树苗需要的费用；

（2）根据分段函数的表示法，甲林场分或两种情况.乙林场分或两种情况.由由单价×数量就可以得出购买树苗需要的费用表示出甲、乙与之间的函数关系式；

（3）分类讨论，当，时，时，表示出甲、乙的关系式，就可以求出结论．【解析】（1）由题意，得．甲=4×1000+3.8（1500﹣1000）=5900元，乙=4×1500=6000元；故答案为5900，6000；（2）当时，甲时．甲∴甲(取整数).当时，乙当时，乙∴乙(取整数).（3）由题意，得当时，两家林场单价一样，∴到两家林场购买所需要的费用一样．当时，甲林场有优惠而乙林场无优惠，∴当时，到甲林场优惠；当时，甲乙当甲=乙时解得：∴当时，到两家林场购买的费用一样；当甲<乙时，时，到甲林场购买合算；当甲>乙时，解得：∴当时，到乙林场购买合算．综上所述，当或时，两家林场购买一样，当时，到甲林场购买合算；当时，到乙林场购买合算．23．（2022春·江苏无锡·八年级统考期末）在正方形纸片ABCD中，点M、N分别是BC、AD上的点，连接MN．问题探究：如图1，作DD′⊥MN，交AB于点D′，求证：MN＝DD′；问题解决：如图2，将正方形纸片ABCD沿过点M、N的直线折叠，点D的对应点D′恰好落在AB上，点C的对应点为点C′，若BD′＝6，CM＝2，求线段MN的长.【答案】（1）见解析；（2）【分析】（1）过点N作NH⊥BC于H，利用ASA证明△ADD'≌△HNM，得DD'=MN；（2）连接MD'，设正方形的边长为x，由勾股定理得，BD'2+BM2=D'C'2+C'M2，解方程可得x的值，利用勾股定理求出DD'，再根据（1）知，DD'=MN，从而解决问题．【详解】解：（1）证明：过点N作NH⊥BC于H，∵四边形ABCD是正方形，∴AD=AB，∠DAB=∠ABM=90°，∵∠NHB=90°，∴四边形ABHN是矩形，∴AB=HN，∵DD′⊥MN，∴∠DON=90°，∴∠OND+∠ODN=90°，∵∠OND+∠MNH=90°，∴∠ODN=∠MNH，∵∠DAD'=∠NHM，AD=NH，∴△ADD'≌△HNM（ASA），∴MN=DD'；（2）连接MD'，DD'，设正方形的边长为x，由勾股定理得，BD'2+BM2=D'C'2+C'M2，∴62+（x-2）2=x2+22，解得x=9，∴AB=AD=9，∴AD'=3，由勾股定理得，DD'=，∵MN是DD'的垂直平分线，由（1）知，DD'=MN，∴MN=．【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，翻折的性质，勾股定理等知识，熟练掌握正方形中的十字架模型是解题的关键．24．（2022·江苏八年级期中）我们给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边．（1）写出你所学过的特殊四边形中是勾股四边形的两种图形的名称正方形、长方形、直角梯形（任选两个均可）；（2）如图1，已知格点（小正方形的顶点）O（0，0），A（3，0），B（0，4），请你画出以格点为顶点，OA，OB为勾股边且对角线相等的勾股四边形OAMB；（3）如图2，将△ABC绕顶点B按顺时针方向旋转60°，得到△DBE，连接AD，DC，∠DCB=30度．求证：DC2+BC2=AC2，即四边形ABCD是勾股四边形．【答案】（1）正方形、长方形；（2）见解析；（3）见解析．【分析】（1）直接利用勾股四边形的定义得出答案；（2）OM=AB知以格点为顶点的M共两个，分别得出答案；（3）连接CE，证明△BCE是等边三角形，△DCE是直角三角形，继而可证明四边形ABCD是勾股四边形；【详解】（1）解：正方形、长方形，理由如下：如图：正方形ABCD中，由勾股定理有：；长方形DEFG中，由勾股定理有：；都满足勾股四边形的定义，因此都是勾股四边形．（2）解：答案如图所示．（3）证明：连接EC，∵△ABC≌△DBE，∴AC=DE，BC=BE，∵∠CBE=60°，∴△CBE为等边三角形，∴EC=BC，∠BCE=60°，∵∠DCB=30°，∴∠DCE=90°，∴DC2+EC2=DE2，∴DC2+BC2=AC2．即四边形ABCD是勾股四边形．【点睛】本题属于四边形的综合题，主要考查了勾股定理、等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解并运用新定义“勾股四边形”、“勾股边”，正确寻找全等三角形解决问题．25．（2022·重庆·八年级期末）阅读下述材料：我们在学习二次根式时，熟悉的分母有理化以及应用．其实，有一个类似的方法叫做“分子有理化”：与分母有理化类似，分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式．比如：分子有理化可以用来比较某些二次